estimación de la probabilidad de fallo por deslizamiento

www.ipresas.upv.es
ESTIMACIÓN DE LA PROBABILIDAD DE FALLO
POR DESLIZAMIENTO DE UNA PRESA DE
HORMIGÓN DE GRAVEDAD
II SEMANA INTERNACIONAL SOBRE LA APLICACIÓN DEL
ANÁLISIS DE RIESGOS A LA SEGURIDAD DE PRESAS
26-29 FEBRERO 2008
iPresas
INSTITUTO DE INGENIERÍA DEL AGUA Y MEDIO AMBIENTE
UPV, ETSICCP, Edificio 4E – Camino de Vera s/n
Luis Altarejos García
[email protected]
Estimación de la probabilidad de fallo por deslizamiento de una presa de hormigón de gravedad
II Semana Internacional sobre la aplicación
del análisis de riesgos a la seguridad de presas
26-29 Febrero 2008. Valencia. España
INDICE DE LA SESION
1.- Introducción
2.- Caso de aplicación
3.- Modelo matemático de análisis
4.- Métodos de Nivel 1: Coeficiente de Seguridad Global
5.- Métodos de Nivel 1: Coeficientes Parciales de Seguridad
6.- Métodos de Nivel 2. Fundamento teórico.
7.- Métodos de Nivel 2. FOSM – Serie de Taylor.
8.- Métodos de Nivel 2. Point Estimate Method (PEM).
9.- Métodos de Nivel 2. Método de Hasofer-Lind.
10.- Métodos de Nivel 3. Simulación.
11.- Referencias bibliográficas.
www.ipresas.upv.es
3/31
Estimación de la probabilidad de fallo por deslizamiento de una presa de hormigón de gravedad
II Semana Internacional sobre la aplicación
del análisis de riesgos a la seguridad de presas
26-29 Febrero 2008. Valencia. España
www.ipresas.upv.es
4/31
Estimación de la probabilidad de fallo por deslizamiento de una presa de hormigón de gravedad
II Semana Internacional sobre la aplicación
del análisis de riesgos a la seguridad de presas
26-29 Febrero 2008. Valencia. España
1.- INTRODUCCION.
El objetivo de la sesión es ilustrar el uso de distintos métodos de análisis para estimar la
probabilidad condicional de fallo por deslizamiento en el contacto presa-cimiento en el caso de
una presa de hormigón de gravedad. Para ello se emplean diversos métodos de análisis
probabilístico de Nivel 1, Nivel 2 y Nivel 3.
Si las variables de proyecto (X1,X2,...,Xn) se consideran aleatorias, se puede definir la función
de las resistencias r(x1,x2,...,xn) y la de las solicitaciones s(x1, x2,...,xn) y plantear la ecuación de
estado límite siguiente:
g * (x 1 , x 2 ,..., x n ) = g(x 1 , x 2 ,..., x n ) − 1 =
r (x 1 , x 2 ,..., x n )
−1= 0
s(x 1 , x 2 ,..., x n )
(Eq. 1)
De acuerdo con esta definición, el domino de fallo del espacio n-dimensional se define como el
conjunto de valores (x1,x2,...,xn) que verifican la condición:
g * (x 1 , x 2 ,..., x n ) ≤ 0
(Eq. 2)
y en el dominio de seguridad corresponderá al conjunto de valores (x1,x2,...,xn) que verifican la
siguiente condición:
g * (x 1 , x 2 ,..., x n ) > 0
(Eq. 3)
Por la propia definición de función de densidad, la probabilidad de que un punto del espacio ndimensional (x1,x2,...,xn) se encuentre el dominio de fallo definido por g*(x1,x2,...,xn), se calcula
como la integral de la función de densidad de probabilidad conjunta de todas las variables
aleatorias, extendida al dominio de fallo, es decir:
[
]
Pf g * (x 1 , x 2 ,..., x n ) ≤ 0 =
∫
f X1 ,X 2 ,...,X n
g*( x1 , x 2 ,..., x n )≤0
( x 1 , x 2 ,..., x n )dx 1dx 2 ...dx n
(Eq. 4)
Mediante (4) se obtiene un valor puntual de la probabilidad, que, en la medida en que sea
posible definir con precisión tanto la función de densidad conjunta como el dominio de
integración, y sea posible obtener el valor de la integral, es una probabilidad matemáticamente
exacta.
Los métodos para estimar la probabilidad de fallo de un sistema se pueden agrupar en distintos
niveles (véase Mínguez [1]):
Nivel 1: Método de los coeficientes de seguridad parciales. No proporciona la
probabilidad de fallo. La incertidumbre se mide mediante factores arbitrarios.
Nivel 2: Método de los momentos de segundo orden. Puede proporcionar la probabilidad
de fallo. Aproxima la función de densidad de probabilidad conjunta fX1,X2,...,Xn(x1,x2,...,xn)
mediante sus dos primeros momentos (media y desviación típica). En algunos casos, se
utiliza también una aproximación para la región de fallo g*(x1,x2,...,xn).
Nivel 3: Métodos exactos. Proporciona la probabilidad de fallo. Utiliza la función de
densidad conjunta global y métodos específicos para poder realizar la integración.
www.ipresas.upv.es
5/31
Estimación de la probabilidad de fallo por deslizamiento de una presa de hormigón de gravedad
II Semana Internacional sobre la aplicación
del análisis de riesgos a la seguridad de presas
26-29 Febrero 2008. Valencia. España
En el cuadro 1 se recoge un resumen de las características de estos niveles, adaptada de
Mínguez [1].
Cuadro 1. Niveles de medidas de fiabilidad estructural
NIVEL
Métodos de
cálculo
Distribuciones
estadísticas
Ecuaciones de
estado límite
Incertidumbres
asociadas
Resultados
Nivel 1
Calibración de
códigos con métodos
de nivel 2 ó 3
No se utilizan
Ecuaciones
lineales
usualmente
Factores arbitrarios
Coeficientes
Parciales
Nivel 2
Álgebra de segundo
orden
Sólo distribuciones
normales
Lineales o
aprox. lineales
Puede incluirse
como
distribuciones
normales
Probabilidad
de fallo
Transformaciones
Distribuciones
normales
equivalentes
Lineales o
aprox. lineales
Puede incluirse
Cualesquiera
Cualesquiera
Probabilidad
de fallo
Nivel 3
Integración numérica
y simulación
Variables
aleatorias
2.- CASO DE APLICACIÓN.
La geometría de la presa ejemplo se recoge en la Figura 1.
Figura 1. Geometría de la presa.
Las principales características de la presa se recogen en la Tabla 1.
Tabla 1. Características de la presa.
Geometría
Altura (m)
Anchura de la base (m)
Talud paramento aguas arriba
Talud paramento aguas abajo (H:V)
www.ipresas.upv.es
Valores
100
75
Vertical
0.75
6/31
Estimación de la probabilidad de fallo por deslizamiento de una presa de hormigón de gravedad
II Semana Internacional sobre la aplicación
del análisis de riesgos a la seguridad de presas
26-29 Febrero 2008. Valencia. España
Las propiedades de los materiales para el hormigón y la roca de cimentación se recogen en la
Tabla 2.
Tabla 2. Propiedades del hormigón y de la roca.
Parámetros de los materiales
Hormigón
Roca
Densidad (kg/m3)
2300
2600
Tensión resistente máxima (Pa)
200 × 105
300 × 105
Tensión resistente de tracción (Pa)
20× 105
25 × 105
Las propiedades en el contacto presa-cimiento se recogen en la Tabla 3.
Tabla 3. Propiedades en el contacto presa-cimiento.
Propiedades de los materiales
Valores
Cohesión pico(Pa)
5 × 105
Cohesión residual (Pa)
0
Ángulo de fricción pico (º)
45
Ángulo de fricción residual (º)
35
Tensión resistente de tracción (Pa)
4 × 105
Los datos relativos a presiones de agua se recogen en la Tabla 4.
Tabla 4. Datos de presiones de agua.
Datos de presiones de agua
Densidad del agua, ρw (kg/m3)
Nivel de agua en el embalse, h (m)
Nivel aguas abajo (m)
Eficiencia del sistema de drenaje
Valores
1000
90
0
0
Se supone un valor de la aceleración de la gravedad de g = 10 m/s2.
3.- MODELO MATEMÁTICO DE ANÁLISIS.
La estabilidad frente al deslizamiento puede ser analizada mediante un simple modelo
bidimensional de equilibrio límite.
La presión hidrostática, S (N/m), es la acción deslizante, y se evalúa mediante la ecuación (5).
S=
1
ρ w gh 2
2
(Eq. 5)
La resistencia al deslizamiento, R(N/m) se evalúa mediante la ecuación (6).
R = ( N − U )tgϕ + B × c
(Eq. 6)
N (N/m) es la suma de las fuerzas verticales actuando sobre el plano de contacto entre presacimiento.
U (N/m) es la subpresión.
B (m2/m) es el área comprimida en el plano de contacto presa-cimiento.
ϕ (º) es el ángulo de fricción en el contacto.
c (Pa) es la cohesión en el contacto.
www.ipresas.upv.es
7/31
Estimación de la probabilidad de fallo por deslizamiento de una presa de hormigón de gravedad
II Semana Internacional sobre la aplicación
del análisis de riesgos a la seguridad de presas
26-29 Febrero 2008. Valencia. España
4.- METODOS DE NIVEL 1: COEFICIENTE DE SEGURIDAD
GLOBAL
4.1.- FUNDAMENTO TEORICO.
Es el método clásico utilizado para la evaluación de la seguridad en infraestructuras. Si
consideramos las distintas variables que intervienen en un problema dado (variables
geométricas, de características de los materiales, de acciones,...), como un vector de un espacio
n-dimensional (X1,X2,...,Xn), y definimos una función de resistencia r(x1,x2,...,xn) que favorece
la seguridad y una función de solicitación s(x1,x2,...,xn) que favorece el fallo, se puede definir
una función adimensional g(x1,x2,...,xn) a partir de las anteriores de modo que:
g( x 1 , x 2 ,..., x n ) =
r ( x 1 , x 2 ,..., x n )
s( x 1 , x 2 ,..., x n )
(Eq. 7)
Un determinado punto del espacio n-dimensional definido está en la región segura si se verifica
la condición:
g( x 1 , x 2 ,..., x n ) > 1
(Eq. 8)
Por otro lado, un punto de este espacio queda en la región de fallo si:
g( x 1 , x 2 ,..., x n ) ≤ 1
(Eq. 9)
La frontera entre estas dos regiones, o estado límite, corresponde a la situación definida por el
hiperplano n-dimensional:
g( x 1 , x 2 ,..., x n ) = 1
(Eq. 10)
Variable X2
REGIÓN SEGURA
g(x1 ,x2 )>1
ESTADO LÍMITE
g(x1 ,x2 )=1
REGIÓN DE FALLO
g(x1 ,x2 )<1
Variable X1
Figura 2: Región segura, de fallo y estado límite para un caso bidimensional.
Se define el coeficiente de seguridad global como una magnitud F (F>1), tal que:
g( x 1 , x 2 ,..., x n ) − F > 0
www.ipresas.upv.es
(Eq. 11)
8/31
Estimación de la probabilidad de fallo por deslizamiento de una presa de hormigón de gravedad
II Semana Internacional sobre la aplicación
del análisis de riesgos a la seguridad de presas
26-29 Febrero 2008. Valencia. España
De forma más habitual se utiliza la notación:
r ( x 1 , x 2 ,..., x n )
>F
s( x 1 , x 2 ,..., x n )
(Eq. 12)
La utilización de esta metodología supone adoptar valores fijos para las variables consideradas
(X1,X2,..., Xn), que se denominan valores representativos.
ESTADO LÍMITE
g(x1 ,x2 )=1
REGIÓN SEGURA
g(x1 ,x2 )>1
Variable X2
g(x1 ,x2 )=F
COEFICIENTE DE
SEGURIDAD
REGIÓN DE FALLO
g(x1 ,x2 )<1
Variable X1
Figura 3. Incremento del margen de seguridad mediante el coeficiente de seguridad
4.2.- APLICACIÓN AL CASO DE ESTUDIO.
Evaluando las fuerzas que actúan sobre la presa de la Figura 1 se tiene:
1
S = 1000 × 10 × 90 2 = 4.05 × 107 (N/m)
2
R = ((0.5 × 75 × 100 × 2300 × 10) −
((0.5 × 75 × 90 × 1000 × 10)tg 45 + (75 × 5 × 105 ))) = 9.00 × 10 7 (N/m)
(Eq. 13)
(Eq. 14)
Y el coeficiente de seguridad global resultante es:
FS =
R 9.00 × 10 7
=
= 2.22
S 4.05 × 10 7
(Eq. 15)
5.- METODOS DE NIVEL 1: COEFICIENTES PARCIALES DE
SEGURIDAD
5.1.- FUNDAMENTO TEORICO.
En esta metodología se introducen unos coeficientes de seguridad que se asocian a algunas de
las variables de cálculo. Su uso está extendido dentro del campo de las estructuras de hormigón
armado y de las estructuras metálicas.
www.ipresas.upv.es
9/31
Estimación de la probabilidad de fallo por deslizamiento de una presa de hormigón de gravedad
II Semana Internacional sobre la aplicación
del análisis de riesgos a la seguridad de presas
26-29 Febrero 2008. Valencia. España
Se definen unos coeficientes γi (γi <1) que se asocian a las resistencias, Ri, y unos coeficientes λj
(λj > 1) que se asocian a las solicitaciones, Sj, de modo que la ecuación de comprobación de la
seguridad (Eq. 12) se plantea del siguiente modo:
∑γ R
i
i
i
> ∑ λ jS j
(Eq. 16)
j
Esta metodología permite ponderar las variables que intervienen de diversa forma,
introduciendo correcciones en función de la incertidumbre asociada a los valores representativos
de las variables. Los coeficientes asociados a las resistencias suponen una minoración de las
mismas, mientras que los coeficientes asociados a las solicitaciones suponen una mayoración
con respecto a los valores representativos.
5.2.- APLICACIÓN AL CASO DE ESTUDIO.
Sea la presa del ejemplo. Podemos evaluar la seguridad frente al deslizamiento utilizando
coeficientes de seguridad parciales, tal y como se recoge en las recomendaciones españolas
para cálculo de presas (Guía Técnica nº2 Criterios para proyectos de presas y sus obras
anejas).
Se establecen coeficientes parciales de seguridad de minoración de las resistencias asociadas
al rozamiento y a la cohesión en el plano de contacto. El valor de estos coeficientes es distinto
en función de que se trate de una comprobación para una situación normal, accidental o
extrema. También varía en función de la categoría de la presa.
A efectos de este ejemplo se considera una situación accidental, lo que es consistente con la
hipótesis de subpresión realizada, sin ningún tipo de reducción por efecto del sistema de
drenaje de la presa. Se supone que la presa del ejemplo presenta una categoría A.
Las resistencias asociadas al rozamiento, R1, a la cohesión, R2, y la única solicitación, S1, se
pueden expresar como:
R1 = ( A ⋅ ρ c g − U )tgφ = (3750 × 2300 × 10 − 3.375 × 10 7 )tg 45 = 5.25 × 10 7 N/m
5
7
(Eq. 17)
R2 = B ⋅ c = 75 × 5.00 × 10 = 3.75 × 10 N/m
(Eq. 18)
S1 = 0.5 ⋅ ρ w g ⋅ h = 0.5 × 1000 × 10 × 90 = 4.05e7 N/m
(Eq. 19)
2
2
y la ecuación (16) queda del siguiente modo:
γ 1 R 1 + γ 2 R 2 > λ 1S1
(Eq. 20)
Los coeficientes parciales de seguridad asociados son, para situación accidental y presa de
categoría A, los siguientes:
para el rozamiento, γ1 = 1/1.2 = 0.833
para la cohesión, γ2 = 1/4 = 0.25
Obsérvese la mayor penalización que se otorga a la cohesión. Las recomendaciones no
contemplan una mayoración de las solicitaciones, por lo que en este caso λ = 1. Sustituyendo
en (20) se comprueba que se verifica la condición de seguridad al deslizamiento:
0.833 × 5.25 × 10 7 + 0.25 × 3.75 × 10 7 = 5.31 × 10 7 > 1 × 4.05 × 10 7
www.ipresas.upv.es
(Eq. 21)
10/31
Estimación de la probabilidad de fallo por deslizamiento de una presa de hormigón de gravedad
II Semana Internacional sobre la aplicación
del análisis de riesgos a la seguridad de presas
26-29 Febrero 2008. Valencia. España
6.- MÉTODOS DE NIVEL 2. FUNDAMENTO TEÓRICO.
Los métodos de Nivel 2 utilizan aproximaciones de la función g*(x1,x2,...,xn) de tipo lineal (es
decir, de primer orden, o First Order). Además, en lugar de trabajar con la función de densidad
de probabilidad conjunta, utilizan únicamente los dos primeros momentos de la misma (Second
Moment). Por ello, estos métodos se denominan como métodos FOSM (First Order Second
Moment).
El resultado directo típico que se obtiene con estos métodos es el índice de fiabilidad, β, que se
define como el número de desviaciones típicas que separan el valor esperado de la función
g*(x1,x2,...,xn), del valor correspondiente al estado límite g*(x1,x2,...,xn)=0. Este valor
proporciona una medida relativa de la fiabilidad (distancia del valor más probable a la región de
fallo), de forma que cuanto mayor sea β, más segura es la estructura, pero no proporciona el
valor buscado de la probabilidad de fallo.
β=
E[g *] − (g *)fallo
σ g*
=
E[g *] − 0 E[g *]
=
σ g*
σ g*
(Eq. 22)
Puesto que X1,X2,...,Xn son variables aleatorias, g*(x1,x2,...,xn) es una variable aleatoria, que
tendrá una función de distribución de probabilidad determinada, que normalmente es
desconocida. Para poder determinar la probabilidad de fallo es preciso realizar una hipótesis
sobre cómo es la función de distribución de g*(x1,x2,...,xn). Realizada esta hipótesis y con los
dos primeros momentos de la distribución obtenidos a partir de los dos primeros momentos de
las distribuciones de probabilidad de las variables aleatorias X1,X2,...,Xn, se puede obtener el
índice de fiabilidad y la probabilidad de fallo.
A continuación se presentan diversas técnicas para abordar el problema:
•
•
•
Desarrollo en serie de Taylor alrededor del valor medio.
Método de estimación puntual (Point Estimate Method)
Método de Hasofer-Lind
7.- METODOS DE NIVEL 2. FOSM – SERIE DE TAYLOR.
7.1.- FUNDAMENTO TEORICO.
Para poder obtener los dos primeros momentos de la distribución de probabilidad de
g*(x1,x2,...,xn) a partir de los dos primeros momentos de las distribuciones de probabilidad de
las variables aleatorias X1,X2,...,Xn es preciso que g*(x1,x2,...,xn) sea una función lineal:
g * (x 1 , x 2 ,..., x n ) = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + a n x n
(Eq. 23)
El primer momento de g*, suponiendo que las variables aleatorias no son independientes, se
obtiene mediante:
E[g *] = g * (E[X1 ], E[X 2 ],..., E[X n ]) +
⎞
1 ⎛⎜ ∂ 2 g *
ρ Xi X j σ Xi σ X j ⎟
∑
⎟
2 ⎜⎝ ∂X i ∂X j
⎠
(Eq. 24)
donde σXi es la desviación típica de variable aleatoria Xi y ρXiXj es el coeficiente de correlación
entre las variables aleatorias Xi y Xj.
www.ipresas.upv.es
11/31
Estimación de la probabilidad de fallo por deslizamiento de una presa de hormigón de gravedad
II Semana Internacional sobre la aplicación
del análisis de riesgos a la seguridad de presas
26-29 Febrero 2008. Valencia. España
Por tratarse de una aproximación de primer orden, las derivadas de segundo orden se
desprecian, por lo que la expresión resultante es la misma tanto si las variables aleatorias son
dependientes como si son independientes (sin correlaciones):
E[g *] = g * (E[X1 ], E[X 2 ],..., E[X n ])
(Eq. 25)
Es decir, el valor esperado de g* se obtiene evaluando la función en el punto del espacio ndimensional correspondiente a los valores esperados de las distintas variables aleatorias. La
varianza de g*, suponiendo variables dependientes, se obtiene mediante:
⎛ ⎛ ∂g * ⎞ 2
⎟ σ2
Var[g *] = ∑ ⎜ ⎜⎜
⎜ ∂X ⎟ X i
i ⎠
i ⎝
⎝
⎞
⎞
⎟ + 2 ⎛⎜ ∂g * ∂g * ρ
∑ ⎜ ∂X ∂X Xi X j σ Xi σ X j ⎟⎟
⎟
i
j
i≠ j ⎝
⎠
⎠
(Eq. 26)
donde σ2Xi es la varianza de la variable aleatoria Xi.
En el caso de independencia entre las variables aleatorias, la expresión (26) se reduce a:
⎛ ⎛ ∂g * ⎞ 2
⎟ σ2
Var[g *] = ∑ ⎜ ⎜⎜
⎜ ∂X ⎟ X i
i ⎠
i ⎝
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
(Eq. 27)
Si la función g* es lineal, es posible obtener de forma inmediata las derivadas de primer orden.
En el caso de que sea no lineal, las derivadas se primer orden se aproximan utilizando el
desarrollo en serie de Taylor de primer orden para g* alrededor del valor medio. Para ello,
aunque lo normal es evaluar la función g* en dos puntos próximos al valor medio, uno a cada
lado, se utilizan dos puntos más lejanos del valor medio, que son los puntos situados a una
distancia de una desviación típica del valor medio, uno a cada lado. La justificación de esta
forma de proceder es que, de este modo, en el caso de ser g* no lineal, se captura parte del
comportamiento no lineal, de forma aproximada. Así pues:
(
) (
) (
)
(
)
(
g * E [X i ] + σ X i − g * E [X i ] − σ X i
∂g * g * E [X i ] + σ X i − g * E [X i ] − σ X i
≈
=
∂X i
2σ X i
X i + σ Xi − X i − σ Xi
(
)
)
(Eq. 28)
y el cuadrado de la derivada de primer orden se puede aproximar por:
2
⎛ ∂g * ⎞
1
⎜⎜
⎟⎟ ≈
σ 2X
⎝ ∂X i ⎠
i
(
)
(
)⎞⎟ 2
(Eq. 29)
)⎞⎟ 2 ⎞⎟
(Eq. 30)
⎛ g * E[X i ] + σ X i − g * E[X i ] − σ X i
⎜
⎜
2
⎝
⎟
⎠
sustituyendo (29) en (27) se obtiene:
(
)
(
⎛ ⎛ g * E[X ] + σ − g * E[X ] − σ
i
Xi
i
Xi
⎜
Var[g *] = ∑ ⎜ ⎜
⎜
2
i ⎜⎝
⎝
⎟ ⎟⎟
⎠ ⎠
Nótese que con este método, es preciso realizar 2n+1 evaluaciones de la función g*, siendo n el
número de variables aleatorias consideradas.
www.ipresas.upv.es
12/31
Estimación de la probabilidad de fallo por deslizamiento de una presa de hormigón de gravedad
II Semana Internacional sobre la aplicación
del análisis de riesgos a la seguridad de presas
26-29 Febrero 2008. Valencia. España
7.2.- APLICACIÓN AL CASO DE ESTUDIO.
Sea la presa del ejemplo. De todas las variables que intervienen se consideran como variables
aleatorias el ángulo de fricción, ϕ, y la cohesión, c, en el plano de contacto presa-cimiento.
Todas las demás variables se consideran determinadas por sus respectivos valores. El ángulo
de fricción se supone definido por una función de densidad de probabilidad normal de media
45º y desviación típica 6.75º. La cohesión se supone definida por una función de distribución
normal de media 5.00×105 N/m2 y desviación típica 1.25×105 N/m2. Ambas variables se
suponen independientes. La función de estado g* se define como:
g* =
r
−1
s
(Eq. 31)
Donde r es la función de la resistencia al deslizamiento y s es la solicitación al deslizamiento.
De acuerdo con los valores del ejemplo, la función de la resistencia viene dada por:
r = ( A ⋅ ρ c g − U )tgφ + B ⋅ c = (3750 × 2300 × 10 − 3.375 × 10 7 )tgφ + 75 × c
r = 5.25 × 107 × tgφ + 75 × c
(Eq. 32)
y la función de solicitación viene dada por:
s = 0.5 ⋅ ρ w g ⋅ h 2 = 0.5 × 1000 × 10 × 90 2 = 4.05 × 107 N/m
(Eq. 33)
Por tanto, la función de estado queda definida por:
g * (ϕ , c ) =
5.25 × 10 7 × tgφ + 75 × c
−1
4.05 × 10 7
(Eq. 34)
El término tgϕ introduce una no linealidad en la función. El primer momento de g*, de
acuerdo con (25), vale:
E [g *] =
5.25 × 10 7 × tg 45 + 75 × 5.00 × 10 5
− 1 = 1.222222
4.05 × 10 7
(Eq. 35)
Es preciso realizar 4 evaluaciones más de g*:
5.25 × 10 7 × tg 51.75 + 75 × 5.00 × 10 5
− 1 = 1.570270
4.05e7
5.25 × 10 7 × tg 38.25 + 75 × 5.00 × 10 5
g * (45 − 6.75, 5.00e5) =
− 1 = 0.947844
4.05e7
5.25 × 10 7 × tg 45 + 75 × 6.25 × 10 5
g * (45, 5.00e5 + 1.25e5) =
− 1 = 1.453704
4.05e7
5.25 × 10 7 × tg 45 + 75 × 3.75 × 10 5
g * (45, 5.00e5 − 1.25e5) =
− 1 = 0.990741
4.05e7
g * (45 + 6.75, 5.00e5) =
www.ipresas.upv.es
(Eq. 36)
13/31
Estimación de la probabilidad de fallo por deslizamiento de una presa de hormigón de gravedad
II Semana Internacional sobre la aplicación
del análisis de riesgos a la seguridad de presas
26-29 Febrero 2008. Valencia. España
y aplicando (30) se obtiene:
2
⎛ 1.570270 − 0.947844 ⎞
⎛ 1.453704 − 0.990741 ⎞
Var[g *] = ⎜
⎟ +⎜
⎟
2
2
⎝
⎠
⎝
⎠
Var[g *] = 0.096854 + 0.053584 = 0.150438
2
(Eq. 37)
Una vez obtenidos los dos primeros momentos el valor del índice de fiabilidad se obtiene
mediante (22):
E[g *] − (g *)fallo
σ g*
=
E[g *] − 0 E[g *] 1.222222
=
=
= 3.151174
σ g*
σ g*
0.150437
(Eq. 38)
1.
00
E
g*=1.22
g*(μϕ,μc + σc )=1.45
+0
5
g*(μϕ−σϕ,c)=0.95
g*(μϕ+ σϕ,c)=1.57
g*(μϕ,μc -σc )=0.99
5.
00
E
Cohesión, c (N/m2)
+0
6
β=
Aproximación
lineal en (μϕ,μc )
0.
00
E
+0
0
g*=0
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90
Ángulo de fricción, f (º)
Figura 4: Método de desarrollo en serie de Taylor.
La contribución a la varianza total de cada una de las variables aleatorias es:
Contribución de ϕ: (0.096854/0.150438)→ 64.38%
Contribución de c: (0.053584/0.150438)→ 35.62%
Para poder determinar la probabilidad de fallo es preciso realizar una hipótesis sobre la
distribución de probabilidad de la función g*. Si se supone que g* se distribuye normalmente:
g*∼ N(μg*;σ2g*) ∼ N(1.222222; 0.150438)
entonces, la probabilidad de fallo Pf[g*≤0] se obtiene como:
⎛ 0 − μ g*
Pf [g* ≤ 0] = FN (0) = Φ⎜
⎜ σ g*
⎝
⎞
⎟ = Φ(− β ) = Φ(− 3.151174 ) = 0.000813
⎟
⎠
(Eq. 39)
Nótese que la probabilidad obtenida es una probabilidad CONDICIONAL para un determinado
nivel de embalse y para un determinado grado de eficiencia de los drenes.
www.ipresas.upv.es
14/31
Estimación de la probabilidad de fallo por deslizamiento de una presa de hormigón de gravedad
II Semana Internacional sobre la aplicación
del análisis de riesgos a la seguridad de presas
26-29 Febrero 2008. Valencia. España
8.- METODOS DE NIVEL 2. POINT ESTIMATE METHOD (PEM).
8.1.- FUNDAMENTO TEORICO.
El método de estimación puntual aproxima los dos primeros momentos de g* mediante la
discretización de las funciones de probabilidad de las variables aleatorias X1,X2,...,Xn. Esta
discretización se realiza mediante unos pocos puntos para cada una de ellas (dos, a lo sumo tres
puntos), donde se concentra la probabilidad, de modo que la suma de las probabilidades
concentradas en los puntos es igual a la unidad para cada variable (véase Rosenblueth [2] y Harr
[3]). La formulación general del método aproxima hasta el tercer momento de las distribuciones,
lo que permite el análisis con variables aleatorias asimétricas. También admite el tratamiento de
variables aleatorias correlacionadas.
A diferencia del método de las series de Taylor, no es preciso evaluar las derivadas parciales de
la función g*. Un inconveniente del método es que precisa evaluar la función g* 2n veces,
siendo n el número de variables aleatorias consideradas. Si n es grande, la aplicación del método
requiere un considerable esfuerzo computacional, sobre todo si la evaluación de g* no es
inmediata. El método discretiza la función de densidad de probabilidad continua de la variable
aleatoria Xi en dos puntos, xi+ y xi-, donde se concentra la masa de probabilidad, Pi+ y Pi-. Los
puntos se sitúan a cada lado de la media, μXi, a una distancia de la misma de di+ y di- veces la
desviación típica, σXi , respectivamente.
Pi + + Pi − = 1
x i+ = μ Xi + d i + ⋅ σ Xi
(Eq. 40)
x i− = μ Xi + d i− ⋅ σ Xi
Los coeficientes di+ y di- se obtienen a partir del coeficiente de sesgo, γi, de la variable aleatoria
Xi:
d i+
d i−
γ
⎛γ ⎞
= i + 1+ ⎜ i ⎟
2
⎝ 2⎠
= d i+ − γ i
2
(Eq. 41)
Las probabilidades asignadas a cada punto se obtienen mediante:
Pi + =
di−
di+ + di−
(Eq. 42)
Pi − = 1 − Pi +
La discretización de una variable aleatoria se ilustra en la figuras 5 y 6. Se han de obtener 2n
valores de probabilidades, obtenidas por combinación de cada una de las probabilidades
puntuales de cada variable con las de las restantes. Estas probabilidades se designan como
P(δ1,δ2,...,δn), donde δi es el indicador del signo (+ ó -).
Los valores de las probabilidades se obtienen como:
n
n −1⎛ n
⎞
P(δ1,δ 2,...,δn ) = ∏ Pi ,δi + ∑ ⎜ ∑ δ i δ j a ij ⎟
⎜
⎟
i =1 ⎝ j=i +1
i =1
⎠
www.ipresas.upv.es
(Eq. 43)
15/31
Estimación de la probabilidad de fallo por deslizamiento de una presa de hormigón de gravedad
II Semana Internacional sobre la aplicación
del análisis de riesgos a la seguridad de presas
26-29 Febrero 2008. Valencia. España
donde los coeficientes aij se obtienen mediante:
ρ ij
a ij =
2n
(Eq. 44)
⎛ ⎛ γ ⎞2 ⎞
∏ ⎜⎜1 + ⎜ 2i ⎟ ⎟⎟
⎝ ⎠ ⎠
i =1 ⎝
n
siendo ρij el coeficiente de correlación entre las variables aleatorias Xi y Xj.
Probabilidad
fdp(x)
μ−di+σ
μ
μ+di+σ
Variable Xi
Figura 5: Función de densidad de probabilidad de la variable Xi.
Pi-
Pi+
μ−di+σ
μ
μ+di+σ
Variable Xi
Figura 6: Discretización de la probabilidad con el Point Estimate Method.
Es preciso evaluar la función g* un total de 2n veces, correspondientes a las 2n combinaciones
de puntos donde se ha calculado la probabilidad P(δ1,δ2,...,δn), obteniendo g*(δ1,δ2,...,δn). Una vez
realizado esto, el momento de orden m de la distribución de probabilidad de g* se estima
mediante:
[ ]
E g * m ≈ ∑ P(δ1,δ 2,...,δn )g * (mδ1,δ 2,...,δn )
www.ipresas.upv.es
(Eq. 45)
16/31
Estimación de la probabilidad de fallo por deslizamiento de una presa de hormigón de gravedad
II Semana Internacional sobre la aplicación
del análisis de riesgos a la seguridad de presas
26-29 Febrero 2008. Valencia. España
De modo que para el primer momento se obtiene:
E[g *] = ∑ P(δ1,δ 2,...,δn )g * (δ1,δ 2,...,δn )
(Eq. 46)
y el momento de segundo orden:
[ ]
E g * 2 = ∑ P(δ1,δ 2,...,δn )g * (2δ1,δ 2,...,δn )
(Eq. 47)
La varianza de g* se obtiene mediante:
[(
Var[g *] = E g * −μ g*
)2 ]= E[g * 2 ] − μ g2*
(Eq. 48)
De este modo se puede estimar la media y la varianza de la distribución de probabilidad de g*,
pero, al igual que con el método anterior, la forma de la distribución es desconocida. Para poder
obtener una medida de la probabilidad de fallo es preciso realizar de nuevo una hipótesis sobre
el tipo de función de probabilidad de g*. A partir de aquí, el procedimiento es análogo al
descrito en el apartado anterior.
El método pierde exactitud con no linealidades crecientes de la función g*, y para la estimación
de momentos de orden superior al segundo. No proporciona un criterio sobre la aportación a la
varianza de g* de cada una de las variables aleatorias Xi, por lo que no es adecuado para
identificar las variables más significativas en el análisis.
8.2.- APLICACIÓN AL CASO DE ESTUDIO.
Sea la presa del ejemplo. La función de estado es la misma definida en (34). En primer lugar
hay que discretizar las distribuciones de probabilidad de las variables aleatorias consideradas.
Las funciones de densidad de probabilidad de las variables ϕ y c son normales (simétricas, por
tanto), por lo que γϕ = γc = 0 (coeficiente de asimetría nulo). Aplicando (41) se obtiene que dϕ+
= dϕ- = 1 y dc+ = dc- = 1, y los puntos de concentración de la masa de probabilidad, aplicando
(40), resultan:
φ+ = μφ + σ φ = 45 + 6.75 = 51.75
φ− = μφ − σ φ = 45 − 6.75 = 38.25
c + = μ c + σ c = 5.00 × 105 + 1.25 × 105 = 6.25 × 105
(Eq. 49)
c − = μ c − σ c = 5.00 × 105 − 1.25 × 105 = 3.75 × 105
Los valores concentrados de probabilidad en cada una de las dos distribuciones resultan,
aplicando (42):
Pφ + =
d φ−
d φ+ + d φ−
=
1
= 0 .5
1+1
Pφ − = 1 − Pφ + = 1 − 0.5 = 0.5
Pc+
d c−
1
=
=
= 0 .5
d c+ + d c− 1 + 1
(Eq. 50)
Pc− = 1 − Pc + = 1 − 0.5 = 0.5
www.ipresas.upv.es
17/31
Estimación de la probabilidad de fallo por deslizamiento de una presa de hormigón de gravedad
II Semana Internacional sobre la aplicación
del análisis de riesgos a la seguridad de presas
26-29 Febrero 2008. Valencia. España
Puesto que las variables aleatorias fricción y cohesión se consideran independientes en este
ejemplo, el coeficiente de correlación es nulo (ρϕc = 0), y, aplicando (44), se obtiene aϕc = 0.
Por tanto, el cálculo de las 2n = 22 = 4 probabilidades dadas por (43) resulta:
P(φ + ,c + ) = Pφ + ⋅ Pc + = 0.5 × 0.5 = 0.25
P(φ + ,c − ) = Pφ + ⋅ Pc − = 0.5 × 0.5 = 0.25
(Eq. 51)
P(φ − ,c + ) = Pφ − ⋅ Pc + = 0.5 × 0.5 = 0.25
P(φ − ,c − ) = Pφ − ⋅ Pc − = 0.5 × 0.5 = 0.25
La evaluación de la función g* en los 2n = 22 = 4 puntos donde se han evaluado las
probabilidades resulta:
(
)
− 1 = 1.801751
(
)
− 1 = 1.338788
5.25 × 10 7 × tg 51.75 + 75 × 6.25 × 10 5
4.05 × 10 7
5.25 × 10 7 × tg 51.75 + 75 × 3.75 × 10 5
g * (φ+ , c − ) = g * 51.75, 3.75 × 10 5 =
4.05 × 10 7
5.25 × 10 7 × tg 38.25 + 75 × 6.25 × 10 5
g * (φ− , c + ) = g * 38.25, 6.25 × 10 5 =
4.05 × 10 7
5.25 × 10 7 × tg 38.25 + 75 × 3.75 × 10 5
g * (φ− , c − ) = g * 38.25, 3.75 × 10 5 =
4.05 × 10 7
g * (φ+ , c + ) = g * 51.75, 6.25 × 10 5 =
(Eq. 52)
(
)
− 1 = 1.179325
(
)
− 1 = 0.716362
Por tanto, se puede obtener el momento de primer orden aplicando (46):
E[g *] = 0.25 × 1.801751 + 0.25 × 1.338788 + 0.25 × 1.179325 + 0.25 × 0.716362
E[g *] = 1.259057
(Eq. 53)
El momento de segundo orden se calcula aplicando (47):
[ ]
E[g * ] = 1.735661
E g *2 = 0.25 × 1.8017512 + 0.25 × 1.338788 2 + 0.25 × 1.179325 2 + 0.25 × 0.716362 2
2
(Eq. 54)
y la varianza de g* se estima aplicando (48):
[ ]
Var[g *] = E g *2 − μ g2* = 1.735661 − 1.259057 2 = 0.150437
(Eq. 55)
Al igual que en el caso anterior, es preciso realizar una hipótesis sobre la forma de la
distribución de g* para poder obtener una probabilidad. Si se supone que g* sigue una
distribución normal:
g*∼ N(μg*;σ2g*) ∼ N(1.259057; 0.150437)
entonces, la probabilidad de fallo Pf[g*≤0] se obtiene como:
⎛ 0 − μ g* ⎞
⎟ = Φ⎛⎜ − 1.259057 ⎞⎟ = Φ(− 3.246142 ) = 0.000585
Pf [g* ≤ 0] = FN (0 ) = Φ⎜
⎜
⎟
⎜ σ g* ⎟
⎝ 0.150437 ⎠
⎝
⎠
www.ipresas.upv.es
(Eq. 56)
18/31
Estimación de la probabilidad de fallo por deslizamiento de una presa de hormigón de gravedad
II Semana Internacional sobre la aplicación
del análisis de riesgos a la seguridad de presas
26-29 Febrero 2008. Valencia. España
1.
00
E
g*=1.22
g*(μϕ-σϕ,μc + σc )=1.18
P(+,+)=0.25
+0
5
g*(μϕ-σϕ,μc -σc )=0.72
P(+,+)=0.25
5.
00
E
Cohesión, c (N/m2)
+0
6
Nótese que la probabilidad obtenida es inferior a la estimada por el método de las series de
Taylor. La media de g* obtenida con el Point Estimate Method es ligeramente superior,
mientras que la estimación de la varianza coincide en ambos casos.
g*(μϕ+ σϕ,μc + σc )=1.80
P(+,+)=0.25
g*(μϕ+ σϕ,μc -σc )=1.34
P(+,+)=0.25
0
5
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90
0.
00
E
+0
0
g*=0
Ángulo de fricción, f (º)
Figura 7: Point Estimate Method.
9.- METODOS DE NIVEL 2. MÉTODO DE HASOFER-LIND.
9.1.- FUNDAMENTO TEORICO.
Uno de los problemas que se plantea al utilizar las metodologías del desarrollo en serie de
Taylor y del Point Estimate Method es que los índices de fiabilidad que se obtienen no son
invariantes, sino que dependen de cómo se haya definido la función g*. Para evitar este
problema, Hasofer y Lind [4] propusieron una definición invariante del índice de fiabilidad.
Sea X el vector de las variables aleatorias que intervienen (X1,X2,...,Xn), que se suponen
normales, μX el vector de las medias, σX la matriz de varianzas covarianzas y g*X la función de
estado, que se supone lineal por ahora. El índice de fiabilidad de Hasofer y Lind es el obtenido
al resolver el problema:
β = Mínimo
x
(x − μ X )T σ X−1 (x − μ X )
(Eq. 57)
sujeto a:
g *X ( x ) = 0
(Eq. 58)
El punto del espacio n-dimensional que verifica la condición se denomina punto de diseño. El
punto de diseño se encuentra sobre el límite de la región de fallo (sobre la superficie ndimensional de frontera entre la región segura y la región de fallo), y es, de todos los puntos de
dicha superficie, el más probable. Es decir, aquel para el que la función de densidad conjunta de
todas las variables aleatorias que intervienen fX1,X2,..,Xn es máxima, de entre todos los que se
encuentran en dicha superficie.
www.ipresas.upv.es
19/31
Estimación de la probabilidad de fallo por deslizamiento de una presa de hormigón de gravedad
II Semana Internacional sobre la aplicación
del análisis de riesgos a la seguridad de presas
26-29 Febrero 2008. Valencia. España
En el caso de que las variables aleatorias sean independientes, la matriz de varianzas
covarianzas es una matriz diagonal, donde los términos de la diagonal son las varianzas de las
funciones aleatorias, σ2Xi, por lo que el problema definido en (57) y (58) se puede formular
como:
⎛ x i − μ Xi
β = Mínimo ∑ ⎜
⎜ σX
xi
i =1 ⎝
i
n
⎞
⎟
⎟
⎠
2
(Eq. 59)
sujeto a:
g *X ( x 1 , x 2 ,..., x n ) = 0
(Eq. 60)
Para aplicar el método de Hasofer y Lind es habitual transformar las variables aleatorias
normales correlacionadas (X1,X2,...,Xn) en variables aleatorias normales independientes
estandarizadas, de media nula y varianza la unidad (Z1,Z2,...,Zn). Para conservar las distancias en
ambos espacios la transformación debe ser ortogonal. En un primer paso es preciso transformar
las variables iniciales en variables aleatorias normales independientes (U1,U2,...,Un). Para ello se
utiliza una matriz de transformación, B, tal que:
U = BX
(Eq. 61)
Por ser la matriz de varianzas-covarianzas simétrica y definida positiva, mediante la
descomposición de Cholesky resulta:
σX = LLT
(Eq. 62)
donde L es una matriz triangular inferior que es sencillo obtener a partir de σX. La matriz de la
transformación se obtiene como:
B = L-1
(Eq. 63)
Se puede comprobar que σU = I (véase por ejemplo Mínguez [1]).
La estandarización de las variables se realiza mediante:
Z = U − μ U = B(X − μ X )
(Eq. 64)
En el espacio transformado, la formulación del problema para obtener el índice de fiabilidad
queda:
β = Mínimo z T z
(Eq. 65)
g *Z (z) = 0
(Eq. 66)
z
sujeto a:
www.ipresas.upv.es
20/31
Estimación de la probabilidad de fallo por deslizamiento de una presa de hormigón de gravedad
II Semana Internacional sobre la aplicación
del análisis de riesgos a la seguridad de presas
26-29 Febrero 2008. Valencia. España
En el espacio transformado β es la mínima distancia entre el origen de coordenadas y la región
de fallo. El vector a lo largo del cual se define la distancia β en el espacio transformado viene
dado por los cosenos directores, que se obtienen mediante:
∂g *Z
∂z
α=
∂g *Z
∂z
T
∂g *Z
∂z
(Eq. 67)
Estos cosenos directores representan la sensibilidad de la función de estado gz* a cambios en la
variable zi.
Para resolver el problema se pueden utilizar diversos algoritmos (Newton, gradiente conjugado,
etc.).
Como en los casos anteriores, la probabilidad se obtiene a partir del índice de fiabilidad,
haciendo una hipótesis sobre la función de probabilidad de g*. Si las variables aleatorias son
normalmente distribuidas y g* es una función lineal, entonces g* se distribuye normalmente.
9.2.- APLICACIÓN AL CASO DE ESTUDIO.
Sea la presa del ejemplo. Puesto que las variables aleatorias son normales e independientes, la
obtención del índice de fiabilidad por el método de Hasofer y Lind se reduce a resolver el
problema:
⎛ φ − μφ
β = Mínimo ⎜
⎜ σφ
(φ , c )
⎝
2
⎞
⎟ + ⎛⎜ c − μ c
⎜ σ
⎟
⎝ c
⎠
2
2
2
⎞
φ − 45 ⎞
⎛ c − 5.00e5 ⎞
⎟⎟ = Mínimo ⎛⎜
+
⎜
⎟
⎟
(φ , c )
⎝ 1.25e5 ⎠
⎝ 6.75 ⎠
⎠
(Eq. 68)
sujeto a
g * ( φ, c ) =
5.25e7 × tgφ + 75 × c
−1 = 0
4.05e7
(Eq. 69)
Para resolver el problema se pueden utilizar algoritmos como el de Newton o el del gradiente
conjugado, implementados en hoja de cálculo. En este caso se ha utilizado la herramienta
“Solver” implementada en la hoja de cálculo Excel©, con estimación lineal, cálculo de
derivadas progresivas y algoritmo de Newton.
Los valores iniciales utilizados han sido ϕ = c = 0. El resultado obtenido es β = 3.656443,
correspondiente a los valores de ϕ = 28.8987º y c = 1.54e5 N/m2.
Asumiendo para g* una distribución de probabilidad normal, la probabilidad de fallo se
obtiene:
Pf [g* ≤ 0] = FN (0 ) = Φ(− 3.656443) = 0.000128
(Eq. 70)
Esta probabilidad es inferior a la estimada por los métodos anteriores. Este método
proporciona una mejor aproximación al valor de la probabilidad que los anteriores.
www.ipresas.upv.es
21/31
Estimación de la probabilidad de fallo por deslizamiento de una presa de hormigón de gravedad
II Semana Internacional sobre la aplicación
del análisis de riesgos a la seguridad de presas
26-29 Febrero 2008. Valencia. España
1.00E+06
g*=1.22
Aproximación lineal
alrededor del punto de
diseño
σϕ
σϕ
(μϕ, μc )
5.00E+05
g*=0
β =3.6564
σc
σc
Punto de diseño
0.00E+00
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90
Figura 8: Método de Hasofer y Lind.
10.- METODOS DE NIVEL 3. SIMULACIÓN.
10.1.- FUNDAMENTO TEORICO.
Los métodos de nivel 3 permiten una evaluación más exacta de la probabilidad de fallo, puesto
que trabajan con las funciones de densidad de probabilidad completas de las variables aleatorias
y no solamente con los dos primeros momentos de las mismas. El problema sigue siendo la
evaluación de la integral definida en la ecuación (4).
Para calcular el valor de la integral se adoptan dos tipos de métodos. Por un lado están los
métodos que utilizan transformaciones especiales de las variables aleatorias y siguen una
metodología similar a los métodos FOSM, basada en obtener el índice de fiabilidad β. Entre
ellos están los métodos denominados FORM (First Order Reliability Methods) y SORM
(Second Order Reliability Methods).
El otro gran grupo de métodos de nivel 3 lo forman aquellos mediante los cuales se intenta
evaluar directamente el valor de la integral (4). Entre ellos se encuentran los métodos de
integración numérica (regla trapezoidal, regla de Simpson, Gauss-Laguerre, Gauss-Hermite,
etc.) y los métodos de simulación (métodos de Monte Carlo).
Centrándonos en estos últimos, puesto que se trata de evaluar una integral cuyo significado es la
probabilidad de fallo, con los métodos de simulación lo que se hace es generar N realizaciones
de las variables aleatorias (experimentos) mediante técnicas estadísticas, de forma que los
valores generados son consistentes con las distribuciones supuestas o conocidas de los mismos y
con las posibles correlaciones existentes entre las variables:
∧
∧ ⎞
⎛∧ ∧
x (i ) = ⎜⎜ x 1 , x 2 ,..., x n ⎟⎟ ; i = 1,..., N
⎝
⎠ (i )
(Eq. 71)
La generación de estas realizaciones de las variables aleatorias se acomete mediante técnicas
estadísticas como el método de la transformación inversa, el método de la composición, el
método de aceptación-rechazo, y otros (véase Rubinstein [5]).
www.ipresas.upv.es
22/31
Estimación de la probabilidad de fallo por deslizamiento de una presa de hormigón de gravedad
II Semana Internacional sobre la aplicación
del análisis de riesgos a la seguridad de presas
26-29 Febrero 2008. Valencia. España
Se evalúa la función de estado para cada una de estas realizaciones, obteniendo el número de
ocasiones, m, en que se verifica la situación de fallo g*≤0. La probabilidad buscada se puede
aproximar por:
Pfallo
∧ ⎞
⎛ ⎛∧ ∧
⎞
m⎜⎜ g * ⎜⎜ x 1 , x 2 ,..., x n ⎟⎟ ≤ 0 ⎟⎟
⎝
⎠
⎠ = P∧
≈ ⎝
f
N
(Eq. 72)
El método de simulación expuesto constituye el denominado método de Monte Carlo normal
(“Hit or Miss Monte Carlo Method”). Estos métodos se denominan exactos porque
proporcionan el valor exacto de la probabilidad cuando N → ∞. Para valores menores de N, lo
que proporciona es una estimación del valor de la integral (4). El estimador de la probabilidad
de fallo presenta una media y varianza dadas por:
⎡∧⎤
E ⎢Pf ⎥ = Pf
⎣ ⎦
1
σ 2∧ = Pf (1 − Pf )
N
Pf
(Eq. 73)
La precisión en la estimación realizada viene dada por desviación típica del estimador, que es
inversamente proporcional a la raíz cuadrada del número de realizaciones o experimentos. Esto
significa que doblar la precisión supone multiplicar por cuatro el número de realizaciones (véase
USACE [6]).
Por otro lado, las probabilidades de fallo en ingeniería civil y en ingeniería de presas en
particular suelen ser pequeñas, del orden de 1 entre 10000 y menores. Por ello, es preciso
realizar un gran número de simulaciones para poder registrar situaciones de fallo (cada
realización o experimento es un proceso de Bernouilli, cuya probabilidad de fallo es,
precisamente, la Pf que se quiere averiguar).
Desde los orígenes del método de Monte Carlo, los investigadores han explorado técnicas con el
objetivo de mejorar la eficiencia (reducir el número de simulaciones necesarias para alcanzar un
determinado nivel de precisión) y reducir la varianza (obtener mejores aproximaciones). Entre
estas técnicas para la reducción de la varianza se pueden citar las de muestreo concentrado
(“importance sampling”, véase Clark [7]), muestreo con correlación (“correlated sampling”,
véase Cochran [8]), y muestreo estratificado (“stratified sampling”, una de cuyas variantes más
conocidas es la denominada “Latin Hypercube Sampling”, véase Iman et al. [9, 10], McKay et
al [11] y Startzman el al [12]).
La técnica del Latin Hypercube divide la función de distribución de probabilidad en intervalos
iguales en el eje Y, correspondiente a la probabilidad acumulada. De modo que el espacio [0,1]
queda fraccionado en una serie de intervalos de igual magnitud. Durante el proceso de muestreo,
se obliga a que se generen igual número de realizaciones aleatorias en cada uno de los
intervalos. Con esto se consigue muestrear toda la región de la función de distribución, incluso
las zonas de menor probabilidad, donde, en otro caso, solamente se hubiera muestreado en caso
de generar un elevado número de realizaciones.
www.ipresas.upv.es
23/31
Estimación de la probabilidad de fallo por deslizamiento de una presa de hormigón de gravedad
II Semana Internacional sobre la aplicación
del análisis de riesgos a la seguridad de presas
26-29 Febrero 2008. Valencia. España
Muestreo por Monte Carlo
1.0
Probabilidad acumulada
0.9
0.8
Números aleatorios
generados entre 0 y 1
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
Valores
muestreados
0.2
0.1
0.0
Valor mínimo
de la variable
Variable aleatoria, X
Valor máximo
de la variable
Figura 9: Muestreo por técnicas de Monte Carlo.
Resulta útil, por tanto, poder estimar de algún modo aproximado el orden de magnitud de la
probabilidad de fallo de forma previa a la organización de una simulación por Monte Carlo.
Es habitual utilizar las técnicas de simulación para realizar inferencias acerca de la función de
estado g*, y, por extensión, del coeficiente de seguridad, cuya relación con g* es directa. En
efecto, las N evaluaciones realizadas de g* constituyen una muestra de dicha variable aleatoria,
siendo posible por tanto realizar estimaciones acerca de parámetros importantes que permitan
conocer cómo se distribuye g* en términos probabilísticos (media, varianza, sesgo, etc.).
Muestreo Latin Hypercube
1.0
Probabilidad acumulada
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
Valor mínimo
de la variable
Valores
muestreados
Variable aleatoria, X
Valor máximo
de la variable
Figura 10: Muestreo por técnicas de Latin Hypercube.
Una vez ajustada o deducida una función de distribución para la función de estado, Fg*, la
probabilidad de fallo se obtiene de forma inmediata mediante:
Pf = P[g* ≤ 0] = Fg* (0)
www.ipresas.upv.es
(Eq. 74)
24/31
Estimación de la probabilidad de fallo por deslizamiento de una presa de hormigón de gravedad
II Semana Internacional sobre la aplicación
del análisis de riesgos a la seguridad de presas
26-29 Febrero 2008. Valencia. España
Una aparente ventaja de esta forma de proceder es que, una vez deducida Fg*, para lo que puede
bastar con un valor de N moderado, se conoce completamente el dominio de probabilidad, y se
pueden estimar probabilidades muy bajas, situadas en las colas de la distribución. Frente a esta
comodidad, la desventaja principal es que la función deducida puede no ser adecuada en la
región menos conocida pero más importante a efectos de estimar la probabilidad de fallo, que es
precisamente la cola de la distribución, por lo que las estimaciones pueden arrojar resultados
con errores importantes.
10.2 APLICACIÓN AL CASO DE ESTUDIO.
Sea la presa del ejemplo. El dominio de rotura g*=0 queda definido por la ecuación:
g * (φ , c ) = a 0 + a1 × tgφ + a 2 × c = −1 + 1.30tgφ + 1.85 × 10 6 × c = 0
(Eq. 75)
En primera instancia se consideran las dos variables aleatorias independientes: ángulo de
rozamiento y cohesión, sin truncamiento, adoptando sus funciones de densidad de probabilidad
normales, de forma completa (sin truncamientos).
Se generan mediante técnicas de Monte Carlo diversas series de realizaciones de dichas
variables aleatorias, muestreadas de acuerdo con sus funciones de distribución de
probabilidad. La longitud de las series será de N =100, 1000, 10000, 100000 y 1000000. Esta
generación de realizaciones de variables aleatorias se realiza de dos formas: mediante técnicas
de muestreo puro y mediante técnicas de hipercubo latino.
Cada par de valores muestreados se utilizará para evaluar la función de estado, g*, de modo
que es posible obtener el número m de casos en los que g*≤ 0 . La probabilidad de fallo, Pf, se
estima de acuerdo con (72). La varianza de la probabilidad estimada se obtiene mediante (73).
Los cálculos se han realizado utilizando la herramienta comercial de simulación estadística
@RISK implementada en una hoja de cálculo Excel. Los resultados se adjuntan en las Tablas 5
y 6.
Tabla 5. Estimación de la probabilidad de fallo mediante Monte Carlo puro
Simulaciones mediante muestreo por Monte Carlo puro
Número de
realizaciones,
N
1000
10000
100000
1000000
Número de
fallos, m
0
1
18
135
Probabilidad
de fallo,
Pf = m/N
0
-4
1.00 ×10
1.80 ×10-4
1.35 ×10-4
Varianza de
la
probabilidad
estimada
0
1.00 ×10-8
1.80 ×10-9
1.35 ×10-10
www.ipresas.upv.es
Desviación
típica de la
probabilidad
estimada
0
1.00 ×10-4
4.24 ×10-5
1.16 ×10-5
Método de
integración
directa
Probabilidad
de fallo exacta,
Pf
1.11 ×10-4
1.11 ×10-4
1.11 ×10-4
1.11 ×10-4
25/31
Estimación de la probabilidad de fallo por deslizamiento de una presa de hormigón de gravedad
II Semana Internacional sobre la aplicación
del análisis de riesgos a la seguridad de presas
26-29 Febrero 2008. Valencia. España
Tabla 6. Estimación de la probabilidad de fallo mediante Monte Carlo con técnicas de
hipercubo latino
Método de
Simulaciones mediante muestreo por Hipercubo Latino
integración
directa
Varianza de
Desviación
Número de
Probabilidad
Probabilidad
Número de
la
típica de la
realizaciones,
de fallo,
de fallo exacta,
fallos, m
probabilidad probabilidad
N
Pf = m/N
Pf
estimada
estimada
1000
0
0
0
0
1.11 ×10-4
-4
-8
4
10000
2
2.00 ×10
2.00 ×10
1.41 ×10
1.11 ×10-4
-4
-9
-5
100000
10
1.00 ×10
1.00 ×10
3.16 ×10
1.11 ×10-4
-4
-10
-5
1000000
116
1.16 ×10
1.16 ×10
1.08 ×10
1.11 ×10-4
Se observa que el método sólo ofrece resultados significativos para valores del número de
realizaciones del orden de la probabilidad que se pretende estimar. El método de muestreo
mediante el hipercubo latino proporciona mejores estimaciones para igual número de
realizaciones de la muestra.
En la figura 11 se recoge gráficamente el cálculo de la probabilidad de fallo correspondiente al
muestreo por Monte Carlo puro para N=10000.
A partir de los N valores de g* obtenidos, se puede tratar de ajustar una función de
probabilidad a la misma. En la Tabla 7 se adjuntan los valores muestrales obtenidos para la
media, la varianza, la desviación típica y el sesgo, correspondientes a los valores muestreados
mediante técnicas de Monte Carlo para las distintas longitudes de muestra, N.
9
10
Probabilidad de fallo mediante muestreo por Monte Carlo
6
2
3
4
5
g*=0
1
Región de fallo
g*<0
0
C (N/m2
7
8
Región segura
g*>0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Ángulo de fricción (º)
Figura 11: Probabilidad de fallo mediante simulación por Monte Carlo.
www.ipresas.upv.es
26/31
Estimación de la probabilidad de fallo por deslizamiento de una presa de hormigón de gravedad
II Semana Internacional sobre la aplicación
del análisis de riesgos a la seguridad de presas
26-29 Febrero 2008. Valencia. España
Tabla 7. Estadísticos muestrales de g*. Muestreo mediante Monte Carlo puro
Estadísticos muestrales de g* obtenidos mediante muestreo por Monte Carlo puro
Número de
realizaciones, N
1000
10000
100000
1000000
Media
Varianza
1.278071
1.268753
1.260465
1.260573
0.170130
0.170377
0.163442
0.162467
Desviación
típica
0.412469
0.412768
0.404279
0.403072
Sesgo
0.500776
0.590840
0.482087
0.474239
Para los valores de g* obtenidos a partir del muestreo por técnicas de Hipercubo Latino, se
obtiene una tabla análoga (Tabla 8).
Tabla 8. Estadísticos muestrales de g*. Muestreo mediante Hipercubo Latino
Estadísticos muestrales de g* obtenidos mediante muestreo por Hipercubo Latino
Número de
realizaciones, N
1000
10000
100000
1000000
Media
Varianza
1.260921
1.261030
1.261040
1.261041
0.160528
0.163296
0.163101
0.162702
Desviación
típica
0.400660
0.404099
0.403858
0.403364
Sesgo
0.372136
0.465118
0.479242
0.483939
Se observa una mayor convergencia en los valores obtenidos mediante técnicas de Hipercubo
Latino.
Se ha realizado el ajuste de dos funciones de distribución de probabilidad a los valores de g*
obtenidos para N=10000 realizaciones, en los dos casos (Monte Carlo puro e Hipercubo
Latino). Para ello se ha empleado la herramienta @RISK. Además, se ha realizado el test de
bondad de ajuste Chi-cuadrado.
Las funciones de distribución elegidas han sido la Normal y la Lognormal. La consideración de
la función lognormal se debe a que los valores de g* obtenidos presentan un cierto sesgo, lo
que no puede ser reproducido por una función simétrica de sesgo nulo como es la función
normal.
La función de estado g*, tal como ha sido definida en (75) puede adoptar valores tanto
positivos como negativos.
La distribución normal se define en todo el dominio ( -∞ < g* < +∞), por lo que es compatible.
En cambio, la distribución Lognormal se define en un intervalo positivo (0 ≤ g* < +∞ ), por lo
que en el proceso de ajuste es preciso considerar un decalaje, s, de modo que la función para
la que se realiza el ajuste es una función transformada de g*, denominada G*, definida por:
G* = g* + s
; 0 ≤ G* < ∞
(Eq. 76)
El test de bondad de ajuste consiste en la obtención del estadístico χ2, definido por:
k
(n i − E i )
i =1
Ei
χ2 = ∑
www.ipresas.upv.es
(Eq. 77)
27/31
Estimación de la probabilidad de fallo por deslizamiento de una presa de hormigón de gravedad
II Semana Internacional sobre la aplicación
del análisis de riesgos a la seguridad de presas
26-29 Febrero 2008. Valencia. España
donde:
k = número de intervalos en los que se divide el dominio de los valores de g* (74 en este caso).
ni = número de valores de la muestra que se encuentran en el intervalo i-ésimo.
Ei = valor esperado del número de valores correspondientes al intervalo i-ésimo.
Cuanta mejor sea la concordancia entre la función de probabilidad tanteada y los valores
muestrales, menor será el valor de χ2. Una vez ajustada la función de probabilidad, es posible
estimar la probabilidad de fallo de acuerdo con (74). Los resultados del ajuste realizado y los
valores de probabilidades estimadas por esta vía para muestras obtenidas por Monte Carlo
puro se resumen en la Tabla 9. En las figuras 12 y 13 se recoge de forma gráfica el ajuste
realizado.
Tabla 9. Ajuste de funciones de probabilidad a g*. Muestreo mediante Monte Carlo puro
Valores de g* obtenidos mediante muestreo por Monte Carlo puro
Número de realizaciones, N =10000
Función
Media
Normal
Lognormal
Varianza
1.268753
2.728899
0.170377
0.168983
Test χ2
Decalaje
0
-1.460194
268.5
84.5
Probabilidad de
fallo
P (g*≤ 0)
1.06 ×10-3
2.07 ×10-5
Normal(1.26875; 0.41277)
X <= 0.590
5.0%
X <= 1.948
95.0%
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Figura 12: Ajuste de una función de distribución normal a la función de estado g*.
Lognorm(2.7289; 0.41108) Shift=-1.4602
X <= 0.649
5.0%
X <= 1.992
95.0%
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Figura 13: Ajuste de una función de distribución lognormal a la función de estado g*.
www.ipresas.upv.es
28/31
Estimación de la probabilidad de fallo por deslizamiento de una presa de hormigón de gravedad
II Semana Internacional sobre la aplicación
del análisis de riesgos a la seguridad de presas
26-29 Febrero 2008. Valencia. España
Si se comparan los valores obtenidos de la probabilidad de fallo con el valor más exacto
estimado mediante el valor de la integral para N=10000 realizaciones, Pf = 1.41 e-4, se
observa que el ajuste de una función normal proporciona una estimación de la probabilidad de
fallo por exceso (1.06 e-3) de un orden de magnitud superior. Por otro lado, el ajuste de una
función de distribución lognormal, que resulta ser una mejor aproximación a los valores
muestrales como indica el test χ2, tampoco proporciona una estimación precisa, ofreciendo en
este caso una estimación por defecto (2.07 e-5). Esto revela la dificultad que representa la
estimación de probabilidades a partir de funciones de probabilidad ajustadas a valores
muestrales cuando el problema se mueve en las colas de la distribución.
De igual modo se ha procedido para los valores muestrales obtenidos mediante la técnica del
hipercubo latino. Los resultados se recogen en la Tabla 10. En las figuras 14 y 15 se recoge de
forma gráfica el ajuste realizado.
Tabla 10. Ajuste de funciones de probabilidad a g*. Muestreo mediante Hipercubo Latino.
Valores de g* obtenidos mediante muestreo por Hipercubo Latino
Número de realizaciones, N =10000
Función
Media
Normal
Lognormal
Varianza
1.261030
3.047930
Test χ2
Decalaje
0.163296
0.162627
0
-1.786922
264.8
87.1
Probabilidad de
fallo
P (g*≤ 0)
9.02 ×10-4
3.34 ×10-5
Normal(1.26103; 0.40410)
X <= 0.596
5.0%
X <= 1.926
95.0%
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Figura 14: Ajuste de una función de distribución normal a la función de estado g*.
X <= 0.646
5.0%
Lognorm(3.0479; 0.40327) Shift=-1.7869
X <= 1.966
95.0%
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Figura 15: Ajuste de una función de distribución lognormal a la función de estado g*.
www.ipresas.upv.es
29/31
Estimación de la probabilidad de fallo por deslizamiento de una presa de hormigón de gravedad
II Semana Internacional sobre la aplicación
del análisis de riesgos a la seguridad de presas
26-29 Febrero 2008. Valencia. España
Al igual que en para el caso anterior, si se comparan los valores obtenidos de la probabilidad
de fallo con el valor más exacto estimado mediante el valor de la integral para N=10000
realizaciones, Pf = 1.41 e-4, se observa que el ajuste de una función normal proporciona, como
en el caso anterior, una estimación de la probabilidad de fallo por exceso (9.02 e-4) pero que
se aproxima un poco más al valor exacto.
Por otro lado, el ajuste de una función de distribución lognormal, que ofrece una mejor
aproximación a los valores muestrales como indica el test χ2, tampoco proporciona una
estimación precisa, obteniéndose, como antes, una estimación por defecto (3.34 e-5).
www.ipresas.upv.es
30/31
Estimación de la probabilidad de fallo por deslizamiento de una presa de hormigón de gravedad
II Semana Internacional sobre la aplicación
del análisis de riesgos a la seguridad de presas
26-29 Febrero 2008. Valencia. España
11.- REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.
[1]
MÍNGUEZ, R. (2003)
Seguridad, fiabilidad y análisis de sensibilidad en obras de ingeniería civil mediante
técnicas de optimización por descomposición. Aplicaciones.
Tesis Doctoral. Universidad de Cantabria.
[2]
ROSENBLUETH, E. (1975)
Point estimates for probability moments.
Proceedings of the National Academy of Science, USA, 72 (10)
[3]
HARR, M.E. (1987)
Reliability-based design in civil engineering.
John Wiley and Sons, New York, USA.
[4]
HASOFER, A.M.; LIND, N.C. (1974)
Exact and invariant second moment code format.
Journal of Engineering Mechanics. 100, EM1, 111-121
[5]
RUBINSTEIN, R.Y. (1981)
Simulation and the Monte Carlo Method.
John Wiley & Sons.
[6]
US ARMY CORPS OF ENGINEERS (1999)
ETL 1110-2-556. Appendix A: An overview of probabilistic analysis for geotechnical
engineering problems.
Washington, DC.
[7]
CLARK, E. (1961)
Importance sampling in Monte Carlo Analyses.
Operations Research, 9 – 603-6
[8]
COCHRAN, W.S. (1966)
Sampling techniques.
2nd ed. Wiley, New York
[9]
IMAN, R.L.; DAVENPORT, J.M.; ZEIGLER, D.K. (1980)
Latin Hypercube Sampling
Technical Report SAND79-1473.
Sandia Laboratories. Albuquerque
[10] IMAN, R.L.; CONOVER, W.J. (1980)
Risk Methodology for geologic disposal of radioactive waste: a distribution-free
approach to inducing correlations among input variables for simulation studies.
Technical Report NUREG CR 0390.
Sandia Laboratories. Albuquerque
[11] McKAY, M.D.; CONOVER, W.J.; BECKMAN, R.J. (1979)
A comparison of three methods for selecting values of input variables in the analysis of
output from a computer code.
Technometrics 211, 239-245
[12] STARTZMAN, R.A.; WATTENBARGER, R.A. (1985)
An improved computation procedure for risk analysis problems with unusual probability
functions
SPE Hydrocarbon Economics and Evaluation Symposium Proceedings. Dallas
www.ipresas.upv.es
31/31