Tema 11 Normal

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES: Mayores de 25 años.
Tema 11. Distribuciones de probabilidad. Variable continua.
 Distribuciones de probabilidad de variable continua.
 Distribución normal. Manejo de la tabla de la función de
distribución N(0,1).
 Cálculo de probabilidades en distribuciones normales.
Tipificación.
IPEP de Granada
Dpto. de Matemáticas
Tema 11. Distribuciones de probabilidad. Variable continua.
Distribuciones de probabilidad de una variable continua.
Una distribución de probabilidad de una variable continua nos mide el área bajo la curva de la función de
densidad de la variable continua.
Mientras que en una variable discreta la p(X=a) suele tener un valor no nulo, en una variable continua es
cero. Por ejemplo, si se mide la anchura de una hoja de roble, el resultado 3,5 cm es posible, pero tiene
probabilidad cero porque hay infinitos valores posibles entre 3 cm y 4 cm. Cada uno de esos valores
individuales tiene probabilidad cero, aunque la probabilidad de ese intervalo no lo es. Esta aparente
paradoja se resuelve por el hecho de que la probabilidad de que X tome algún valor en un conjunto
infinito como un intervalo, no puede calcularse mediante la adición simple de probabilidades de valores
individuales. Formalmente, cada valor tiene una probabilidad infinitesimal que estadísticamente equivale
a cero.
Distribución normal. Manejo de la tabla de la función de distribución N(0,1).
Distribución normal.
Esta es, con seguridad, la más importante de las distribuciones de probabilidad.
El primero que la describe es Moivre (en 1733), pero no fue hasta cincuenta años más tarde cuando el
matemático alemán Gauss, la redescubrió. De ahí que también se le llama “campana de Gauss”.
Ejemplo de poblaciones con distribución de frecuencias prácticamente de tipo Normal:
1.-caracteres morfológicos (tallas, pesos…)
2.-caracteres fisiológicos (efectos de una misma dosis de un fármaco)
3.-caracteres sociológicos (consumo de ciertos productos por un mismo grupo humano)
En general: Cualquier característica que se obtenga como suma de muchos factores
La curva Normal usada con más frecuencia (por estar tabulada) es la llamada Normal Estándar o N (0,1), se le
llama así precisamente por tener como parámetros: media cero ( 
0
), y desviación típica uno (
  1 ),
se
llama distribución estándar o normal tipificada y suele designarse por la letra Z.
En esta distribución los valores de las probabilidades para los distintos valores de Z, están tabulados,
según muestra la tabla anterior, por lo que para conocerlos debemos aprender a manejar las tablas.
La tabla nos da las probabilidades p ( z  k ) para valores de k de 0 hasta 4, de centésima en
centésima.
Las características más importantes de la curva normal son las siguientes:
1.
2.
3.
4.
5.
El dominio de la variable normal es todo 
f(x) es simétrica respecto a la media de la distribución 
El máximo de f(x) se alcanza en x = 
Tiene dos puntos de inflexión con abscisas:  - y  + .
El eje OX es una asíntota de f(x)
Tabla de áreas bajo la curva Normal estándar: N (0,1)
El valor de k se busca así: unidades y décimas: columna de la
izquierda, las centésimas: en la fila superior.
p(Z  k )  p  Área coloreada
N(0,1)
k
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,5000
0,5398
0,5793
0,6179
0,6554
0,6915
0,7257
0,7580
0,7881
0,8159
0,8413
0,8643
0,8849
0,9032
0,9192
0,9332
0,9452
0,9554
0,9641
0,9713
0,9772
0,9821
0,9861
0,9893
0,9918
0,9938
0,9953
0,9965
0,9974
0,9981
0,9987
0,9990
0,9993
0,9995
0,9997
0,9998
0,9998
0,9999
0,9999
1,0000
0,5040
0,5438
0,5832
0,6217
0,6591
0,6950
0,7291
0,7611
0,7910
0,8186
0,8438
0,8665
0,8869
0,9049
0,9207
0,9345
0,9463
0,9564
0,9649
0,9719
0,9778
0,9826
0,9864
0,9896
0,9920
0,9940
0,9955
0,9966
0,9975
0,9982
0,9987
0,9991
0,9993
0,9995
0,9997
0,9998
0,9998
0,9999
0,9999
1,0000
0,5080
0,5478
0,5871
0,6255
0,6628
0,6985
0,7324
0,7642
0,7939
0,8212
0,8461
0,8686
0,8888
0,9066
0,9222
0,9357
0,9474
0,9573
0,9656
0,9726
0,9783
0,9830
0,9868
0,9898
0,9922
0,9941
0,9956
0,9967
0,9976
0,9982
0,9987
0,9991
0,9994
0,9995
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
0,5120
0,5517
0,5910
0,6293
0,6664
0,7019
0,7357
0,7673
0,7967
0,8238
0,8485
0,8708
0,8907
0,9082
0,9236
0,9370
0,9484
0,9582
0,9664
0,9732
0,9788
0,9834
0,9871
0,9901
0,9925
0,9943
0,9957
0,9968
0,9977
0,9983
0,9988
0,9991
0,9994
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
0,5160
0,5557
0,5948
0,6331
0,6700
0,7054
0,7389
0,7704
0,7995
0,8264
0,8508
0,8729
0,8925
0,9099
0,9251
0,9382
0,9495
0,9591
0,9671
0,9738
0,9793
0,9838
0,9875
0,9904
0,9927
0,9945
0,9959
0,9969
0,9977
0,9984
0,9988
0,9992
0,9994
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
0,5199
0,5596
0,5987
0,6368
0,6736
0,7088
0,7422
0,7734
0,8023
0,8289
0,8531
0,8749
0,8944
0,9115
0,9265
0,9394
0,9505
0,9599
0,9678
0,9744
0,9798
0,9842
0,9878
0,9906
0,9929
0,9946
0,9960
0,9970
0,9978
0,9984
0,9989
0,9992
0,9994
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
0,5239
0,5636
0,6026
0,6406
0,6772
0,7123
0,7454
0,7764
0,8051
0,8315
0,8554
0,8770
0,8962
0,9131
0,9279
0,9406
0,9515
0,9608
0,9686
0,9750
0,9803
0,9846
0,9881
0,9909
0,9931
0,9948
0,9961
0,9971
0,9979
0,9985
0,9989
0,9992
0,9994
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
0,5279
0,5675
0,6064
0,6443
0,6808
0,7157
0,7486
0,7794
0,8078
0,8340
0,8577
0,8790
0,8980
0,9147
0,9292
0,9418
0,9525
0,9616
0,9693
0,9756
0,9808
0,9850
0,9884
0,9911
0,9932
0,9949
0,9962
0,9972
0,9979
0,9985
0,9989
0,9992
0,9995
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
0,5319
0,5714
0,6103
0,6480
0,6844
0,7190
0,7517
0,7823
0,8106
0,8365
0,8599
0,8810
0,8997
0,9162
0,9306
0,9429
0,9535
0,9625
0,9699
0,9761
0,9812
0,9854
0,9887
0,9913
0,9934
0,9951
0,9963
0,9973
0,9980
0,9986
0,9990
0,9993
0,9995
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
0,5359
0,5753
0,6141
0,6517
0,6879
0,7224
0,7549
0,7852
0,8133
0,8389
0,8621
0,8830
0,9015
0,9177
0,9319
0,9441
0,9545
0,9633
0,9706
0,9767
0,9817
0,9857
0,9890
0,9916
0,9936
0,9952
0,9964
0,9974
0,9981
0,9986
0,9990
0,9993
0,9995
0,9997
0,9998
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
Manejo de tablas
Vamos a ver como se calculan probabilidades utilizando la tabla de
la Normal Estándar (tipificada)
Z  N 0,1 con algunos casos
particulares.
La tabla anterior
da los valores de la probabilidad acumulada
hasta el valor “k”, es decir: p(Z  k )
Por la simetría de la función de probabilidad de una Normal
estándar tenemos:
a)
c)
pZ  k   pZ  k   1
b)
pZ  k   pZ  k  k  0
d)
pZ  k   pZ  k  k  0
pt  Z  k   pZ  k   pZ  t 
Los ejemplos que tienes a continuación están resueltos manejando esa tabla.
1. Probabilidad de que Z tome valores menores o iguales que 1,45
p(Z  1'45)  0'9265
2. Probabilidad de que Z tome valores menores o iguales que -1,45
p(Z  1'45)  p(Z  1'45)  1  p(Z  1,45)  0,0735
3. Probabilidad de que Z tome valores entre 1´25 y 2’57
p(1'25  Z  2'57)  pZ  2'57  pZ  1'25  0'9949  0'8944  0'1005
4. Probabilidad de que Z tome valores entre –2’57 y –1’25
p(2'57  Z  1'25)  (1'25  Z  2'57)  0'1005
5. Probabilidad de que Z tome valores entre –0’53 y 2’46
p 0,53  Z  2'46  p(Z  2'46)  p(Z  0'53) 
 pZ  2'46  pZ  0'53  pZ  2'46  1  pZ  0'53  0'9931 1  0'7019  0'695
Cálculo de probabilidades en distribuciones normales. Tipificación
Para calcular la probabilidad de una variable normal
X: N (,) no
tipificada, es decir, que no toma los valores
  0 y   1,
transforma
mediante
Z
X 

en
una
variable
normal
tipificada
el
se
cambio:
que sigue una distribución de media 0 y desviación típica 1
(tipificada): Z  N (0,1)
En una Normal de media 6 y desviación típica 4, X: N (6,4) calcula:
a) Probabilidad de que X tome valores menores o iguales que 3
36

p( x  3)  p z 
  pz  0,75  1  p( z  0,75)  1  0,7734  0,2266
4 

b) Probabilidad de que X tome valores entre 5 y 8.
86
56
p(5  x  8)  p
z
  p 0,25  z  0,5  0,6915 1  0,5987  0,2902
4 
 4
Cálculo de probabilidades en la distribución normal
La tabla nos da las probabilidades de P(z ≤ k), siendo z la variable tipificada.
La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto sombreado en la figura. Y para
calcularla utilizaremos una tabla.
Tipificación de la variable
Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que sigue una distribución N(μ, σ) en
otra variable Z que siga una distribución N(0, 1).
Búsqueda en la tabla de valor de k
Unidades y décimas en la columna de la izquierda.
Céntesimas en la fila de arriba.
P(Z ≤ a)
P(Z ≤ 1.47) = 0.9292
P(Z > a) =
1 - P(Z ≤ a)
P(Z > 1.47) = 1 − P(Z ≤ 1.47)
= 1 − 0.9292 = 0.0708
P(Z ≤ −a) =
1 − P(Z ≤ a)
P(Z > −a)
= P(Z ≤ a)
P(Z ≤ −1.47) = 1 − P(Z ≤ 1.47)
= 1 − 0.9292 = 0.0708
p(Z > −1.47) = p(Z ≤ 1.47) =
0.9292
P(a < Z ≤ b ) =
=P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a)
P(−b < Z ≤ −a ) =
= P(a < Z ≤ b )
P(−a < Z ≤ b )
= P(Z ≤ b) –
[ 1 − P(Z ≤ a)]
P( 0.45 <Z ≤ 1.47) =
= P(Z ≤ 1.47) − P(Z ≤ 0.45) =
= 0.9292 − 0.6736 = 0.2556
P(−1.47 <Z ≤ − 0.45) =
=P( 0.45 <Z ≤ 1.47) =
= P(Z ≤ 1.47) − P(Z ≤ 0.45) =
= 0.9292 − 0.6736 = 0.2556
P(-1.47 < Z ≤ 0.45) =
P(Z ≤ 0.45) − [ 1 − P(Z ≤ 1.47)]=
= 0.6736 − (1 − 0.9292) = 0.6028
Ejercicio 1: Si X es una variable aleatoria de una distribución N(µ, σ), hallar: p(µ−3σ ≤ X ≤ µ+3σ)
Solución:
Es decir, que aproximadamente el 99.74% de los valores de X están a menos de tres desviaciones típicas
de la media.
Ejercicio 2: En una distribución normal de media 4 y desviación típica 2, calcular el valor de a para que:
P(4−a ≤ x ≤ 4+a) = 0.5934
Solución:
Ejercicio 3: En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una
distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que
se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°
Solución:
Ejercicio 4: La media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg.
Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, halla cuántos estudiantes pesan:
1
Entre 60 kg y 75 kg
2
Más de 90 kg
3
Menos de 64 kg
4
64 kg
5
64 kg o menos
Soluciones:
1
Entre 60 kg y 75 kg
2
Más de 90 kg
3
Menos de 64 kg
4
64 kg
5
64 kg o menos
Ejercicio 5: Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y
desviación típica 36. Se pide:
1
¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación
superior a 72?
2
Calcula la proporción de estudiantes que tienen puntuaciones que exceden por lo menos en cinco
puntos de la puntuación que marca la frontera entre el Apto y el No-Apto (son declarados No-Aptos el
25% de los estudiantes que obtuvieron las puntuaciones más bajas)
3
Si se sabe que la calificación de un estudiante es mayor que 72 ¿cuál es la probabilidad de que su
calificación sea, de hecho, superior a 84?
Soluciones:
1
¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación
superior a 72?
2
Calcula la proporción de estudiantes que tienen puntuaciones que exceden por lo menos en cinco
puntos de la puntuación que marca la frontera entre el Apto y el No-Apto (son declarados No-Aptos el
25% de los estudiantes que obtuvieron las puntuaciones más bajas)
3
Si se sabe que la calificación de un estudiante es mayor que 72 ¿cuál es la probabilidad de que su
calificación sea, de hecho, superior a 84?
Ejercicio 6: Tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una
distribución una distribución N(65, 18). Se desea clasificar a los examinados en tres grupos (de baja
cultura general, de cultura general aceptable, de excelente cultura general) de modo que hay en el
primero un 20% la población, un 65% el segundo y un 15% en el tercero. ¿Cuáles han de ser las
puntuaciones que marcan el paso de un grupo al otro?
Solución:
Baja cultura hasta 49 puntos.
Cultura aceptable entre 50 y 83.
Excelente cultura a partir de 84 puntos.
Ejercicio 7: Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media 100 y
desviación típica 15
1
Determina el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 110
2
¿Qué intervalo centrado en 100 contiene al 50% de la población?
3
En una población de 2500 individuos ¿cuántos individuos se esperan que tengan un coeficiente
superior a 125?
Soluciones:
1
Determina el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 110
2
¿Qué intervalo centrado en 100 contiene al 50% de la población?
3
En una población de 2500 individuos ¿cuántos individuos se esperan que tengan un coeficiente
superior a 125?
Ejercicio 8: En una ciudad una de cada tres familias posee teléfono. Si se eligen al azar 90 familias,
calcula la probabilidad de que entre ellas haya por lo menos 30 tengan teléfono
Solución:
Ejercicio 9: En un examen tipo test de 200 preguntas de elección múltiple, cada pregunta tiene una
respuesta correcta y una incorrecta. Se aprueba si se contesta a más de 110 respuestas correctas.
Suponiendo que se contesta al azar, calcula la probabilidad de aprobar el examen
Solución:
Ejercicio 10: Un estudio ha mostrado que, en un cierto barrio, el 60% de los hogares tienen al menos dos
televisores Se elige al azar una muestra de 50 hogares en el citado barrio. Se pide:
1
¿Cuál es la probabilidad de que al menos 20 de los citados hogares tengan cuando menos dos
televisores?
2
¿Cuál es la probabilidad de que entre 35 y 40 hogares tengan cuando menos dos televisores?
Soluciones:
1
¿Cuál es la probabilidad de que al menos 20 de los citados hogares tengan cuando menos dos
televisores?
2
¿Cuál es la probabilidad de que entre 35 y 40 hogares tengan cuando menos dos televisores?
Aproximación de la distribución binomial por la normal
Teorema de Moivre
Si:
n·p ≥ 0 y n·q ≥ 0, la distribución binomial B(n, p) se puede aproximar mediante una
distribución normal:
Ejemplo: En una ciudad una de cada tres familias posee teléfono. Si se eligen al azar 90 familias, calcula
la probabilidad de que entre ellas haya por lo menos 30 tengan teléfono.