Ejercicios para el examen

Ejercicios para el examen
1
Si se desecha la posibilidad de un nacimiento en un 29 de febrero, supongamos que un
individuo escogido al azar tiene igual probabilidad de nacer en cualquiera de los otros 365
días.
a) Si diez personas se seleccionaran al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que todas tengan
cumpleaños diferentes? ¿De que, por lo menos, dos tengan el mismo cumpleaños?
b) Con k sustituyendo a diez en el inciso (a), ¿Cuál es la mínima k para la cual hay, por lo
menos, una probabilidad 50-50 de que dos o más personas tengan el mismo cumpleaños?
c) Si diez personas se seleccionan al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que, por lo menos,
dos tengan el mismo cumpleaños o dos tengan los mismos tres últimos dígitos de sus
números del seguro social?
2
Se envían componentes de cierto tipo a un proveedor en lotes de diez. Suponga que 50% de
estos lotes no tienen componentes defectuosos, 30% un componente defectuoso y 20% dos
componentes defectuosos. Dos componentes de un lote se seleccionan al azar y se prueban.
¿Cuáles son las probabilidades asociadas de que haya 0, 1 y 2 componentes defectuosos en el
lote, bajo cada una de las siguientes condiciones?
a) Ningún componente probado está defectuosos
b) Uno de los dos componentes probados es defectuoso. (sugerencia: dibuje un diagrama de
árbol con tres ramas de primera generación para los tres tipos de diferentes lotes)
3
Se ha desarrollado un químico industrial que retardará la propagación de fuego en pintura El
representante de ventas local ha determinado basándose en su experiencia, que 48 % de las
llamadas que realiza para la venta del producto, dan lugar a un pedido.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera venta se realice dentro de las
cuatro primeras llamadas del día?
b) Si ocho llamadas son hechas en un día. ¿Cuál es la probabilidad de recibir
exactamente seis órdenes?
c) Si cuatro llamadas son hechas antes del almuerzo. ¿Cuál es la probabilidad
que una o menos resulte en una orden?
4.
Las llegadas de clientes a la ventanilla de una caja del banco, tienen una distribución de
Poisson con una tasa de 1.2 clientes por minuto.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen cero clientes en el próximo minuto?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen cero clientes en los próximos 2
minutos?
5.
Un tipo particular de raqueta de tenis se fabrica en tamaños mediano y extragrande. Sesenta
por ciento de todos los clientes de cierta tienda buscan el tamaño extragrande.
a. Entre 10 clientes seleccionados al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos
6 busquen el tamaño extragrande?
b. Entre 10 clientes seleccionados al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que el número
que buscan el tamaño extragrande esté dentro de 1 DE del valor medio?
c. La tienda tiene actualmente siete raquetas de cada modelo,¿Cuál es la probabilidad
de que los siguientes 10 clientes puedan comprar el modelo que buscan?
6.
Una pequeña farmacia solicita cada semana ejemplares de una revista para su revistero. Sea
X= demanda de la revista, con función de probabilidad
x
1
2
3
4 5
6
1
2
3
4
3
2
P( x)
15 15 15 15 15 15
Suponga que el propietario de la farmacia paga en realidad $ 1.00 por cada ejemplar de la
revista y el precio a clientes es $ 2.00. Si las revistas que quedan el fin de semana no tienen
valor de recuperación ¿Qué es mejor?, ¿pedir 3 o cuatro ejemplares de la revista? (Sugerencia:
para tres o cuatro ejemplares solicitados, exprese el ingreso neto como función de la demanda
x y después calcule el ingreso esperado)
7.
Un componente tiene un tiempo de falla con una distribución exponencial, con media de
10,000 horas.
El componente ya ha estado en funcionamiento un tiempo equivalente a su vida media. ¿Cuál
es la probabilidad de que falle después de 15,000 horas de funcionamiento?
En 15,000 horas el componente está todavía en funcionamiento. ¿Cuál es la probabilidad que
opere durante otras 5000 horas?
8.
El uso diario de agua en miles de litros, en una herramienta para trabajos de troquelado sigue
una distribución gamma, con un parámetro de la forma igual a 2 y un parámetro de escala
igual a ¼. ¿Cuál es la probabilidad que la demanda exceda 4000 litros en cualquier día dado?
9.
Un cartero tiene una ruta que consiste en cinco segmentos. El tiempo en minutos para
completar cada segmento, tiene una distribución normal, con media y varianza (Observe que
la segunda componente es la varianza) como se muestra:
Avenida Azcapotzalco
Vía Aquiles Serdán
Unidad Rosario
Avenida San Pablo
Calle 22 de Febrero
N(38,16)
N(99,29)
N(85,25)
N(73,20)
N(52,12)
Además de los tiempos anteriores, el cartero debe organizar el correo en la oficina central,
actividad que le toma un tiempo cuya distribución es normal: N(90,25). Para desplazarse al
punto de inicio de la ruta requiere un tiempo de N(10,4). Para regresar a la oficina, desde el
punto de terminación de la ruta el cartero necesita de un tiempo con distribución normal
N(15,4), además realiza tareas administrativas con un tiempo cuya distribución también es
normal N(30,9).
¿Cuál es el tiempo promedio que el cartero está ocupado en un día de trabajo?
De acuerdo con su contrato el cartero debe trabajar 8 horas cada día, pero nunca se va a casa
sin haber terminado las actividades programadas para el día. ¿Cuál es la probabilidad de que
en un día dado el cartero trabaje tiempo extra?
¿Cuál es la probabilidad de que el cartero trabaje tiempo extra dos o más días de la semana, en
una semana de seis días laborables?
¿Cuál es la probabilidad de la que la ruta se complete en 8 horas ±24 minutos en cualquier
día dado?
10.
La demanda semanal de gas propano (en miles de galones) de una distribuidora en particular
es una variable aleatoria X con función de probabilidad:


f ( x)  


1 

2 1  2 
 x 
0
1 x  2
de otra m anera
a. Calcule la función de distribución de X.
b. Obtenga el percentil 90. ¿Cuál es el valor de la mediana?
c. Calcule E(X) y V(X).
d. Si 1500 galones están en existencia a principios de semana y no se recibe nuevo
suministro durante la semana, ¿Cuánto de los 1500 galones se espera que queden al
fin de la semana? (Sugerencia: sea h(x)= cantidad que queda cuando la demanda es
igual a x.
11.
Un panadero intenta determinar cuantas docenas de baguets horneará cada día. La distribución
de probabilidad del número de clientes de baguets es la siguiente:
No. de clientes/día
Probabilidad
8
10
12
14
0.35
0.30
0.25
0.10
Los clientes ordenan 1, 2, 3 o 4 docenas de baguets de acuerdo a la siguiente distribución de
probabilidad:
No. de docenas ordenadas/cliente
Probabilidad
1
2
3
4
0.4
0.3
0.2
0.1
Los baguets se venden a $5.40 por docena. Su costo de fabricación es de $3.80 por docena. No
todos los baguets son vendidos por lo que, al final del día son vendidos a mitad de precio al
encargado de la tienda de dulces. Basados en 5 días de simulación, ¿cuantas docenas (cercano a
las 10 docenas) de baguets deben ser horneadas cada día?
12.
Un taxista de un pequeño pueblo opera un vehículo durante un período de las 9:00 a.m. a las
5:00 p.m. actualmente, considerando la entrada de un segundo vehículo a la flota.
La distribución de la demanda para taxis se muestra a continuación:
Tiempo entre llamadas (min.)
35
Probabilidad
0.04
15
0.14
20
25
30
0.22
0.43
0.17
La distribución del tiempo completo de un servicio es como sigue:
Tiempo entre llamadas (min.)
45
Probabilidad
0.04
5
15
25
35
0.12
0.35
0.43
0.06
Simule cinco días de operación del sistema actual y del sistema con la suma de otro taxi.
Compare los dos sistemas con respecto a los tiempos de espera de los clientes y alguna otra
medida que se pueda mostrar sobre la situación.
13.
¿Cómo pueden ser transformados números aleatorios uniformes en el intervalo [0,1] en
números al azar que son uniformes en el intervalo [-11, 17]?
14.
Considere la secuencia de 120 dígitos siguiente:
1
0
0
2
5
6
3
7
8
3
6
7
7 4 8 6 2 5 1 6 4 4 3 3 4 5
6 2 6 0 5 7 8 0 1 1 2 6 7 6
8 2 6 7 8 1 3 5 3 8 4 0 9 0
6 5 6 0 0 1 3 4 4 6 9 9 8 5
7 9 4 9 3 1 8 3 3 6 6 7 8 2
0 3 1 0 2 4 2 0 6 4 0 3 9 3
1
3
3
6
3
6
Pruebe si puede asumirse que estos dígitos son independientes.
5
7
0
0
5
8
8
5
9
1
9
1
7
9
2
7
6
5
15.
Una sucesión de 1000 números de cuatro-dígitos ha sido generada y su análisis indica las
siguientes combinaciones y frecuencias:
COMBINACIÓN i
4 diferentes dígitos
Un par
Dos pares
Una tercia
Una cuarteta
Total
FRECUENCIA OBSERVADA Oi
565
392
17
24
2
1000
Con base en la prueba del poker, pruebe si estos números son independientes. Use alfa=0.05.
16.
Desarrolle un generador de variables aleatorias para la variable X con función de distribución
siguiente:
2x

e ,
f ( x)    2 x

e ,
17.
Dada la función de distribución: F ( x) 
  x  0
0 x
x
16
4
en 0  x  2 , desarrolle un generador de para
esa distribución.
18.
La función de distribución para la variable discreta X está dada por:
F ( x) 
x ( x  1) (2 x  1)
,
n (n  1) (2n  1)
x  1,2,...,n
Cuando n = 4, genere tres valores de X usando R1= 0.83, R2=0.24 y R3=0.57.
19.
Una máquina es sacada de producción, al momento que falla o a 5 horas de funcionamiento,
cualquiera de las situaciones que suceda primero. Ejecutando máquinas similares hasta el
fracaso, se ha encontrado que el tiempo de fracaso, X, tiene una distribución Weibull con α=8,
β=0.75, y υ=0.(vista en las secciones 5.4 y 8.1.3). Así, el tiempo hasta la máquina se saca de
producción puede representarse como Y= min(x , 5). Desarrolle un procedimiento paso a paso
para generar Y.
20.
El tiempo que transcurre hasta que cierto componente queda fuera de servicio tiene una
distribución uniforme en el intervalo (0,8) horas. Dos componentes independientes de ese tipo
son colocados en serie, por lo que el sistema formado quedará fuera de servicio cuando una de
los dos componentes falle. Si Xi (i=1,2) representa el tiempo de funcionamiento del
componente i, entonces Y= min (X1, X2) represéntale tiempo de vida del sistema.
Muestre 2 métodos distintos para generar Y [Idea: Un camino es directo, para el segundo
método: Primero calcule la función de distribución de Y
Y: FY (y) = P(Y  y) = P(Y > y) para o  y  8 ; para ello, utilice la equivalencia:
{ Y > y}= {X1 > y & X2 > y }, además de la independencia de X1y X2.
Después de encontrar FY (y), proceda con la técnica de la transformada inversa.
21.
Archivos pertenecientes al número mensual de lesiones de trabajo en una mina de carbón
fueron estudiados por una agencia federal. Los valores de los últimos 100 meses fueron los
siguientes:
Lesiones por mes
Frecuencia de ocurrencia
0
35
1
40
2
13
3
6
4
4
5
1
6
1
a. Aplique la prueba de Ji - cuadrada a estos datos para probar la hipótesis que la
distribución subyacente es Poisson. Use un nivel de significancia de
α =0.05
b. Aplique la prueba de Ji - cuadrada a estos datos para probar la hipótesis que la
distribución es Poisson, con media igual a 1.0. De nuevo use α =0.05
c. ¿Cuáles son las diferencias entre los incisos a & b, y cuando podría presentarse en
cada caso?
22.
El tiempo que se requiere para la transmisión de un mensaje (en minutos) se prueba
electrónicamente a un centro de comunicaciones. Los últimos 50 valores en la muestra son los
siguientes:
7.936
4.599
5.259
6.212
8.761
3.785
3.535
3.502
5.289
4.646
4.612
5.224
7.563
2.759
4.502
3.742
5.061
4.266
6.805
5.963
2.407
2.003
3.937
7.172
6.188
4.682
4.629
3.129
3.827
3.829
4.278
1.857
6.908
6.513
2.566
4.346
5.298
1.298
3.912
4.404
5.132
2.696
5.002
3.326
5.515
5.359
6.492
3.454
2.969
4.924
¿Cómo se distribuyen los tiempos de la transmisión? Desarrolle y pruebe
apropiado.
23.
un modelo
Será dirigida la simulación de dos operaciones de una tienda, fresado y granallado, en ese
orden. Se tienen registrados los datos para cada operación. Sin embargo, el gerente de la
tienda dice que las operaciones podrían relacionarse. Son reunidos los datos para las
siguientes 25 órdenes, como se muestra en la tabla siguiente:
Tiempo
Tiempo
Tiempo
Tiempo
de
de
de
de
Orden
Orden
molienda granallado
molienda granallado
(minutos) (minutos)
(minutos) (minutos)
1
12.3
10.6
14
24.6
16.6
2
20.4
13.9
15
28.5
21.2
3
18.9
14.1
16
11.3
9.9
4
16.5
10.1
17
13.3
10.7
5
8.3
8.4
18
21.0
14.0
6
6.5
8.1
19
19.5
13.0
7
25.2
16.9
20
15.0
11.5
8
17.7
13.7
21
12.6
9.9
9
10.6
10.2
22
14.3
13.2
10
13.7
12.1
23
17.0
12.5
11
26.2
16.0
24
21.2
14.2
12
30.4
18.9
25
28.4
19.1
13
9.9
7.7
a. Grafique el tiempo de fresado en el eje horizontal y el tiempo de granallado en el eje
vertical. ¿Parece que dependen estos datos?
b. Compute la correlación de la muestra entre el tiempo de molienda y el tiempo de
granallado.