desviación estándar - Universidad Nacional del Callao.

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS
Capítulo 6:
DESVIACIÓN
ESTÁNDAR
INTRODUCCIÓN
Como podemos observar, en el mundo de hoy necesitamos conocer con
detalle un conjunto de datos, no basta con conocer solo las medidas de
tendencia central, sino que necesitamos conocer también la desviación que
representan los datos en su distribución respecto de la media aritmética de
dicha distribución, con objeto de tener una visión de los mismos más
acorde con la realidad a la hora de describirlos e interpretarlos para la toma
de decisiones de la empresa
229
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6.1 CONCEPTO:
La desviación estándar o desviación típica (σ) es una medida de centralización o
dispersión para variables de razón (ratio o cociente) y de intervalo, de gran utilidad en la
estadística descriptiva.
Se define como la raíz cuadrada de la varianza. Junto con este valor, la desviación típica
es una medida (cuadrática) que informa de la media de distancias que tienen los datos
respecto de su media aritmética, expresada en las mismas unidades que la variable.
Se caracteriza por ser el estadígrafo de mayor uso en la actualidad.
Se obtiene mediante la aplicación de la siguiente fórmula:
ni (Yi - X )²
S=
N
SERIES
UNIVERSOS
SIMPLES
S( yi  x)2
S2 =
N
S(Yi)  (Syi)
S =
N
2
2
MUESTRAS
T2 
2
S(Yi)  x)
N 1
S{Yi (SYI)2}
T2
N
=
N1
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AGRUPADA
O
S (Yi  x) 2
S2 =
N
SniYi 2 (SniYi)2
CLASIFICADA S2 =
N
N
T2
T2
=
Sni (Yi  x) 2
N 1
niYi 2  ( SniYi ) 2
=
N
N 1
Para comprender el concepto de las medidas de distribución vamos a suponer que el
gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto varían los pesos de los
empaques (en gramos), de uno de sus productos; por lo que opta por seleccionar al azar
cinco unidades de ellos para pesarlos. Los productos tienen los siguientes pesos (490,
500, 510, 515 y 520) gramos respectivamente.
Por lo que su media es:
La varianza sería:
Por lo tanto la desviación estándar sería:
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Con lo que concluiríamos que el peso promedio de los empaques es de 507 gramos,
con una tendencia a variar por debajo o por encima de dicho peso en 12 gramos. Esta
información le permite al gerente determinar cuanto es el promedio de perdidas causado
por el exceso de peso en los empaques y le da las bases para tomar los correctivos
necesarios en el proceso de empacado.
Ejercicio 1: Determinar la Desviación Estándar del siguiente cuadro de distribución:
L1 - L2
YI
nI
Yi ²
NiYi²
niYi
(Yi – X)²
/Yi –x/
ni(Yi-x)²
45 - 55
50
4
2500
10000
200
384.16
-196
1536.64
55 - 65
60
12
3600
43200
720
92.16
-9.6
1105.92
65 - 75
70
20
4900
98000
1400
0.16
0.4
3.2
75 - 85
80
10
6400
64000
800
108.16
10.4
108.16
85 - 95
90
4
8100
32400
360
416.16
20.4
416.16
niYi²=
niYi=
247600
3480
N =50
S=
ni(Yi-x)²
=
5392
ni (Yi - X )²
N
232
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S=
5392
50
S=
S = 10.38460399
niYi² - (niYi )²
N
S=
247 600 – (3480/50)²
S = 10.38460399
50
Nota:
La desviación Standard o desviación típica se aplica
solo para datos agrupados.
233
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Ejercicio 2 : Calcular la desviación standard del siguiente cuadro de distribución de
frecuencia donde son desconocidas las 3ª y la 5ª clase y la media aritmética es 66.3
L1 - L2
YI
nI
NiYi
(Yi -x)²
Yi - x
45 - 55
61
5
305
28.09
-5.3
140.45
55 - 65
64
7
448
5.29
-2.3
37.03
65 - 75
67
10
670
0.49
0.7
4.9
75 - 85
70
6
420
13.69
3.7
82.14
85 - 95
73
2
146
44.89
6.7
89.78
N =
niYi=
30
1989
x = 66,3
x = niYi/N
ni(Yi-x)²
ni(Yi-x)²=
354.3
305 + 448 + 67X + 420 + 73Y = 1989
67x + 73y = 1989 - 1173
67.x + 73y = 816 …….(a)
234
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66.3 x 30 = niYi = 5 + 7 + x + 6 + y = 30
x + y = 30 -18
x + y = 12
……. (b)
x + 12 - y
x = 12 - 2
N -10
(a) en (b)
67 (12 - 4) + 73y = 816
804 - 67 + 73y = 816
6y = 616 - 804
6y = 12
y =12/6
y = 2
235
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6.2 CORRECCIÓN SHEPPARD PARA LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR (Sc)
Cuando en una serie clasificada los límites de clase comprenden varias unidades se
introducen un error al agrupar los datos en clase (llamado error de agrupamiento) ,
debido a que los puntos medios o marcas no coinciden con los respectivos promedios
de los datos agrupados en cada clase .
Los puntos medios o marcas de clase tienen mayor dispersión que los promedios
lo que da lugar a un error en la varianza en exceso , este error se corrige mediante la
corrección Sheppard con lo cual se obtiene la varianza ajustada o corregida para lo cual
a la varianza calculada se le resta la constante i² / 12
Se determina mediante la aplicación de la siguiente fórmula:
Sc =
S2 - i²
12
Ejercicio 1: Calcular la varianza ajustada estándar corregida del ejercicio anterior .
Sc =
S² - i² / 12
Sc =
107.84 - 10² /12
Sc =
99.50666
Sc =
9.975302
236
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Ejercicio 2: Calcular la corrección sheppard del siguiente cuadro de distribución
L1 - L2
YI
nI
Yi ²
NiYi²
niYi
(Yi – X)²
/Yi –x/
ni(Yi-x)²
45 - 55
50
4
2500
10000
200
384.16
-196
1536.64
55 - 65
60
12
3600
43200
720
92.16
-9.6
1105.92
65 - 75
70
20
4900
98000
1400
0.16
0.4
3.2
75 - 85
80
10
6400
64000
800
108.16
10.4
108.16
85 - 95
90
4
8100
32400
360
416.16
20.4
416.16
niYi²=
niYi=
ni(Yi-x)² =
247600
3480
5392
N =50
Sc =
Sc=
107.84 - 10 /12
S² - i²
12
Sc=
99.50666
Sc = 9.975302
237
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6.3 SIGNIFICADO E INTERPRETACION DE LA DESVIACION
ESTANDAR Y LA CURVA NORMAL
La desviación estándar puede ser interpretada como una medida de incertidumbre. La
desviación estándar de un grupo repetido de medidas nos da la precisión de éstas.
Cuando se va a determinar si un grupo de medidas está de acuerdo con el modelo
teórico, la desviación estándar de esas medidas es de vital importancia: si la media de
las medidas está demasiado alejada de la predicción (con la distancia medida en
desviaciones estándar), entonces consideramos que las medidas contradicen la teoría.
Esto es coherente, ya que las mediciones caen fuera del rango de valores en el cual
sería razonable esperar que ocurrieran si el modelo teórico fuera correcto. La desviación
estándar es uno de tres parámetros de ubicación central; muestra la agrupación de los
datos alrededor de un valor central (la media o promedio).
34.13%
34.13%
13.59%
13.59%
2.15%
-3S
2.15%
- 2S
-1S
X
1S
2S
3S
68.26%
95.45%
99.74%
238
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La desviación estándar ayuda a describir la curva de la distribución normal o campana
de Gauss mediante la siguiente manera:
1.- Una desviación estándar a cada lado de la media incluye un área del 68.26% del
área total es decir aproximadamente los 2/3 de los casos.
X =  1S = 68.26%
2.- El área comprendida entre una y dos desviaciones estándar a ambos lados de la
media representa el 13.59% del área total. El área comprendida entre 2 desviaciones
estándar a ambos lados de la media es igual a 95.45% del área total.
X =  2S = 94.75 %
3.- Entre la 2º y 3º desviación standard (o 2 y 3 desviaciones standard) resulta otra
porción del área igual a 2.15% del área total. El área comprendida entre 3 desviaciones
standard a cada lado de la media es igual al 99.74% del área total.
X =  3S = 99.74 %
239
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Capítulo 7:
MEDIDAS CONJUNTAS
INTRODUCCIÓN:
En estadística el coeficiente de variación (de Pearson), es una medida de
dispersión útil para comparar dispersiones a escalas distintas pues es una
medida invariante ante cambios de escala. Sirve para comparar variables
que están a distintas escalas pero que están correlacionadas
estadísticamente y sustantivamente con un factor en común.
También estamos desarrollando, para el incremento de conocimientos, el
tema de kurtosis el cual se ha usado en el monitoreo de máquinas ,
especialmente en compresores recíprocos,pero no se ha hecho muy
común.
240
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7.1 CONCEPTO
Es la relación que se puede establecer entre las medidas de centralización (RMS, G, X,
H, Mo, Md, Q, D.P.) y las medidas de dispersión (R, DQ, D.M., S2, S) para obtener
coeficientes que nos permite medir: el coeficiente de variación, la variable normalizada,
el sesgo, la Kurtosis y los momentos.
7.2 COEFICIENTE DE VARIACIÓN (V)
En estadística el coeficiente de variación (de Pearson), es una medida de dispersión útil
para comparar dispersiones a escalas distintas pues es una medida invariante ante
cambios de escala. Sirve para comparar variables que están a distintas escalas pero
que están correlacionadas estadísticamente y sustantivamente con un factor en común.
Es decir, ambas variables tienen una relación causal con ese factor. Su fórmula expresa
la desviación estándar como porcentaje de la media aritmética, mostrando una mejor
interpretación porcentual del grado de variabilidad que la desviación típica o estándar.
PROPIEDADES Y APLICACIONES:

El coeficiente de variación es típicamente menor que uno.

Para su mejor interpretación se lo expresa como porcentaje.

Depende de la desviación típica y en mayor medida de la media aritmética, dado
que cuando esta es 0 o muy próxima a este valor C.V. pierde significado, ya que
puede dar valores muy grandes, que no necesariamente implican dispersión de
datos.

El coeficiente de variación es común en varios campos de la probabilidad
aplicada.
241
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Cuando es preciso comparar las distribuciones de varias series de datos estadísticos
es necesario recurrir, el coeficiente de dispersión relativa que se define como el cociente
que hay entre la dispersión absoluta y el promedio.
Coef. Disp. Relativa = Dispersión absoluta = V
Promedio
Si consideramos que la dispersión absoluta es la desviación standard y el promedio es
la media aritmética, a la dispersión relativa resultante se le conoce con el nombre de
coeficiente de variación.
V = S * 100%
X
El coeficiente de variación (v); se expresa en términos de porcentaje y representa un
número de abstracto y depende de las unidades que se utilicen.
Ventaja: La ventaja que ofrece este coeficiente es que permite comparar 2
distribuciones que no están expresadas en las mismas unidades.
Desventaja: Deja de ser útil cuando la media tiende a cero.
242
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Ejemplo: Determinar el coeficiente de variación del siguiente cuadro de distribución:
L1 - L2
YI
nI
Yi ²
NiYi²
niYi
(Yi – X)²
/Yi –x/
ni(Yi-x)²
45 - 55
50
4
2500
10000
200
384.16
-196
1536.64
55 - 65
60
12
3600
43200
720
92.16
-9.6
1105.92
65 - 75
70
20
4900
98000
1400
0.16
0.4
3.2
75 - 85
80
10
6400
64000
800
108.16
10.4
108.16
85 - 95
90
4
8100
32400
360
416.16
20.4
416.16
niYi²=
niYi=
ni(Yi-x)² =
247600
3480
5392
N =50
V = S * 100%
X
V = 10.38460399 * 100%
V = 14.92040803%
69.6
243
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7.3 VARIABLE NORMALIZADA O REFERENCIA TIPIFICADAS (Z)
Las variables normalizada es aquella variable que mide las desvías de los puntos
medios con respecto a su medio aritmético en unidades de desviación standard.
_
_
Z = Yi – X
Z = | Yi – X |
S
S
S
Las desviaciones de la medida vienen dadas en unidades de la desviación standard por
lo que se dice también que están expresadas en unidades tipificadas o referencias
tipificadas, variables que son de gran utilidad para la comparación de distribución.
Ejercicio 1:
1.-En un examen final de Matemática Finanaciera la media aritmética fue 15 y la
desviación standard fue 5 y en el examen de Estadística fue 13 y la desviación standard
fue 4. La alumna Samuel León obtuvo 17 y 16 respectivamente de notas finales en
ambas asignaturas ¿En qué asignatura obtuvo un puesto relativamente más alto?
_
Matemática
X =15
Nota: 17
Financiera
S=5
Yi = 17
_
Z=
Yi - X
S
Z = 17-15
Z = 0.40
5
244
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Nota:16
Yi = 16
Estadística X = 13
S=4
Z = Yi - X
= 16 - 13
Z = 0.75
S
4
Luego ha obtenido una desviación standard de 0.40 y 0.75 por encima de la media ,
siendo por lo tanto su puntuación superior en estadística .
Ejercicio 2: Hallar el área bajo la curva normal de los siguientes casos:
a) Z = 0; Z = 1.2
0.3849 Área bajo la curva normal
0
.
3
8
4
9
-3
-2
-1
0
1
2
3
245
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b) Z = -0.68; Z = 0
Por simetría -0.68 = 0.68
0.2518 Área bajo la curva normal
0
.
2
5
1
8
-3
-2
-1
0
1
2
3
c) Z = -0.46 ; Z = 2.21
Por simetría
Z = -0.46 =
Z = 2.21 = 0.4
Z = 0.46
Z = 0.46 = 0.1772
0.1772 + 0.4864 = 0.6636 Área bajo la curva normal
0
.
1
7
7
2
-3
-2
-1
0
0.
4
8
6
4
1
2
3
246
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d) Z = 0.81 ; Z = 1.94
Z = 1.94 - Z = 0.91
Z = 0.81 = 0.2910
Z = 1.94 = 0.4738
0.4738 - 0.2910
0.1828 Área bajo la curva normal
0
.
2
9
1
0
-3
-2
-1
0
0.
1
8
2
8
1
2
3
e) Suponiendo que el ingreso mensual promedio de 10000 trabajadores es $ 500 y la
desviación Standard es $ 100 :
Si la distribución es normal. ¿Cuál es el número de trabajadores que tienen un ingresos
mensual :
1.-Superior a $ 500
2.-Superior a $ 500 pero inferior a $ 600
3.- Inferior a $ 600
1.- Inferior a $ 500
_
Z = Yi – X = 500 – 500 = 0 = 0
S
100
100
10000(0.5) = 5000
2.- Superior a $ 500 pero inferior a $600
10000 (0.3413) =3413
3.- Superior a $ 600
_
Z = Yi – X = 600 – 500 = 100 = 1
S
100
100
10000 (0.1587) =1587
247
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0.5
-3
200
0.
3
4
1
3
0.5 -0.3413
0.5 -0.3413
0.1587
-2 -1 0 1 2 3
300 400 500 600 700 800
f) Suponiendo que el ingreso mensual promedio de 10000 trabajadores es $ 400 y la
desviación Standard es $ 100 :
Si la distribución es normal. ¿Cuál es el número de trabajadores que tienen un ingresos
mensual :
1.-Superior a $ 250 pero inferior a $ 500
2.- Inferior a $ 250
_
Z = Yi – X = 250 – 400 =-150 = -1.5
S
100
100
A (-1.5) = 0.4332
_
Z = Yi – X = 500 – 400 = 100 = 1
S
100
100
A (1) =0.3413
248
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AREA ENTRE $250 Y $500 = A (-1.5) + A (1)
0.4332 + 0.3413 = 0.7745
AREA INFERIOR A $250 = A (1) - A(1.5)
0.5 – 0.4332 = 0.668
1.- Inferior a $ 250
10000(0.7745)
Inferior a $ 250 = 5000
2.- Superior a $ 500 pero inferior a $600
10000 (0.6668) =6668
0.6668
-3
100
0
.
7
7
4
5
-2 -1 0 1
2 3
200 300 400 500 600 700
249
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7.5 COVARIANZA (SXY)
Esta medida conjunta es utilizada para determinar la relación que existe entre variables
que han sido medidas en diferentes unidades.
Ejercicio 1: La relación que existe la inversión de publicidad de la inversión del
medicamento y la venta del mismo, la producción de papa por hectáreas (arrobas) y la
lluvia (milímetros).
Ingreso per cápita y la tabla de analfabetismo.
Sxy =
(Yi y")(Xix")
"
N1
250
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7.6 RELACIONES EMPÍRICAS ENTRE LAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Para distribuciones moderadamente aritméticas se pueden obtener las siguientes
relaciones empíricas entre las medidas de dispersión.
1. La desviación quartil es aproximadamente iguala 2/3 de la desviación estándar.
D.Q =
2 (S)
3
2. La desviación media es igual a las 4/5 de la desviación estándar.
D.M.
D.M.
=4 =
(S) 4 (S)
5
5
251
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3. La desviación quartil es aproximadamente iguala 2/3 de la desviación estándar.
D.Q =
2 (S)
3
4. La desviación media es igual a las 4/5 de la desviación estándar.
D.M. = 4 (S)
5
252
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7.7 SESGO U OBLICUIDAD, KURTOSIS Y MOMENTOS
7.7.1.- SESGO U OBLICUIDAD
Una distribución se considera sesgada si la media, la mediana y la moda no tienen
el mismo valor.
1. X > Md > Mo = Sesgo positivo
2. X < Md < Mo = Sesgo negativo
X = Md = Mo
X
Md
Mo
a) Sesgo Positivo o Sesgado a la derecha
+
X >Md > Mo
Mo
Md
X
253
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b) Sesgo Negativo o Sesgado a la izquierda
-
X < Md < Mo
X
Md
Mo
+
-
SESGO
254
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7.7.2.- MEDIDAS DE SESGO
a.- LOS COEFICIENTES DE SESGO DE KARL PEARSON.- Ha logrado relacionar
medidas de dispersión y centralización y ha obtenido:
- PRIMER COEFICIENTE DE SESGO DE KARL PEARSON :
_
1º CS kp =
X – Mo
S
-SEGUNDO COEFICIENTE DE SESGO DE KARL PEARTSON :
_
2° CSkp = 3 ( X- Md )
S
b. -
COEFICIENTE DE SESGO CUARTILICO Y PERCENTÍLICO
- COEFICIENTE DE SESGO CUARTÍLICO:
CSq = (Q3 - Q2) - (Q2 - Q1) =
Q3 - Q 1
Q3 - 2 Q2 + Q1
Q3 - Q1
255
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-
COEFICIENTE DE SESGO PERCENTÍLICO
CSp = (P90 - P50) - (P50 - P10) =
P90 - P10
7.7.3
P90 - 2P50 + P10
P90 - P10
COEFICIENTES DE SESGO EN FUNCIÓN A LOS MOMENTOS:
Otra medida de sesgo viene dado por el momento del 3er orden con respecto a la
x denominado también medida relativa de 3 órdenes:
Csm  a 3 
m3
m3
m3
m3



3/ 2
2
2
3
S3 ( S )
m2
( m2 )
256
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7.8 KURTOSIS
Es el grado de apuntamiento o echamiento de una distribución relacionado
comúnmente con la curva normal, campana de Gauss o distribución normal.
7.8.1 CLASES DE KURTOSIS
1. LEPTOCÚRTICA: Es aquello que presenta un apuntamiento relativamente alto
literalmente Leptocúrtica significa curvatura puntiagudo.
2. MESOCÚRTICA: Es aquello que no es ni puntiagudo ni achatado y coincide
generalmente con la curva normal.
3. PLATICÚRTICA: Es aquello que se presenta un achatamiento en la parte superior .
LEPTOCÚRTICA
MESOCÚRTICA
PLATICÚRTICA
257
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7.8.2 MEDIDAS DE KURTOSIS
1. COEFICIENTE DE KURTOSIS PERCENTÍLICO: Este coeficiente relaciona la
desviación quartil con el espacio interpercentílico obteniéndose el siguiente
coeficiente.
CKp =
D.
Q.
= 1/2 Q 3 - Q 1 =
Q3 - Q1
P 90 - P 10
2(P 90 - P 10 )
P 90 - P 10
2. COEFICIENTE DE KURTOSIS EN FUNCIÓN DE LOS MOMENTOS: Está dado por
una medida relativa de cuarto orden con respecto a la media y se determina mediante la
siguiente relación.
CKm =
a
4
=
m4
S4
=
m4
( S2 )4
=
m4
( m2)4
=
m4
m22
m4
m4
CS m  O4 
 2
4
m3
( m2 )
258
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7.9 MOMENTOS (Mo)
Tanto el sesgo como la Kurtasis se miden mejor utilizando los momentos que emplea el
valor exacto de cada observación. Los momentos son 4 y a su vez pueden ser con
respecto al origen y con respecto a la media. Se considera que los momentos son una
síntesis de 4 capítulos anteriores al establecer las siguientes relaciones.
_
m1 = X
Medidas de centralización o promedio
m2 =S²
Medida de dispersión.
m3 = Sesgo
m4 = Kurtosis
Fórmula General para los momentos:
  niur  r
Mr  
i
 N 
259
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_
m1
=
( ni u/n) i
=
m2
=
( ni n2 /N) i2 =
S2
m3
=
( ni n3 /N) i3 =
Sesgo
m4
=
( ni n4 /N) i4 =
Kurtosis
  niu 
M1  
i
 N 
  niu 3  3
M3  
i
 N 
X
  niu 2  2
M2  
i
 N 
  niu 4  4
M4  
i
 N 
COEFICIENTE DE KURTOSIS EN FUNCIÓN DE LOS MOMENTOS:
Esta dado por una medida relativa de cuarto orden .
CKm = A4 = m4 / 54 = m4 / ( 5² )4 = m4 / ( m² )4 = m4 /m²2
260
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7.9.1 COMPROBACIÓN CHARLIER
La comprobación Charlier en el cálculo de los momentos por el método clave hace uso
de las propiedades de las identidades para la comprobación para el cálculo de medidas.
 ni ( u + 1) =  niu + N
 ni ( u + 1)² =  niu 2+ 3  niu 2 +  niu + N
 ni ( u + 1)3 =  niu 2+ 3  niu 2 +  niu + N
 ni ( u + 1)4 =  niu 4+ 4  niu 3 + 6  niu + 4  niu + N
7.9.2 RELACIÓN ENTRE LOS MOMENTOS.
Entre momentos con respecto a la media y momentos con respecto a un punto cualquier
se dan las siguientes relaciones:
m2 = m2
- m1 2
m3 = m3 - 3m1 m2 + 2m13z
m4
= m4 - 4m1 m3 + 6m12 m2 - 3m14
La relación entre los momentos es el paso previo a la corrección Sheppard para los
momentos.
261
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7.9.3 CORRECCIÓN SHEPPARD PARA LOS MOMENTOS
Los momentos que necesitan corregirse son los momentos de 2 y 4 orden, esto implica
que los momentos de 1 y 3 orden ya no necesitan corregirse.
M2c
=
m2 – i 2
12
m4c = m4 - 1 i2 m2 + 7 i4
2
240
262
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Ejercicio : Del siguiente cuadro de distribución de frecuencia determinar :
1.
Las 4 primeros momentos.
2.
La comprobación Charlier
3.
La relación entre los momentos
4.
La corrección Sheppard para los momentos
L1 – L2
Yi
ni
µ
µ²
ni µ3
µ3
ni µ3
µ4
45 -55
50
4
-2
4
16
-8
-32
16
55- 65
60
12
-1
1
12
-1
-12
1
65 -75
70
20
0
0
0
0
0
0
75 -85
80
10
10
1
10
1
1
1
85 - 95
90
4
4
4
16
8
8
16
n = 50
 niµ²=54
 niµ3=-2
263
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1.
m1 = (  niu/N)i
m1 = (-2 /50) 10
m1 = -0/4
m2 = ( niu2/N)i²
m2 = (54 /50) 1002
m2 = 108
m3 = ( niu3/N)i3
m3 = (-2 /50) 1000
m3 = -40
m4 = ( niu4/N)i4
m4 = (150/50) 1000
m4 = 30000
2. ni(u + 1) =  ni (u+N)
48 = -2 + 50
48 = 48
 ni(u + 1) 2 =  niu 2 + 2 niu + N
100 = 54 + 2(2) + N
100 = 58 + N
N = 42
 ni(u + 1) 3 =  niu 3 + 3 niu² + 3 ni + u + N
204 = -2 + 3(54) + 3( -2) + N
204 = -2 + 162 - 6 + N
204 = 154 + N
N = 48
 ni(u + 1) 3 =  niu 4 + 3 niu 3 + 6 ni² + 4ni + u + N
508 = 150 + 4(-2) + 6(54) + 4(-2) + N
508 = 150 - (-8) + 324 - 8 + N
508 = 458 + N
N = 48
264
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3.m2r
m2r
m2r
m2r
=
=
=
=
m2 - m12
108 - (-0.4)2
108 + 0.16
108.16
m3r
m3r
m3r
m3r
m3r
=
=
=
=
=
m 3 - 3m 1 m 2 + 2m 1 3
-40 -3(-0.4)(108) + 2(-0.4)3
-40 + 129.6 - 0.128
129.6 - 40.128
89.472
m4r
m4r
m4r
m4r
m4r
=
=
=
=
=
m 4 - 4m 1 m 2 + 6m 1 3 m 2 - 3m 1 4
30000 - 4(-0.4)(-40) + 6(-0.4)²(108) - 3(-0.4)
30000 - 64 + 103.68 - 0.0768
30103.68 - 64.0768
30039.6032
m2C
m2C
m2C
m2C
=
=
=
=
m² - i 2
107.84 -(100)
107.84 – 100/12
99.50666667
m4C
m4C
m4C
m4C
m4C
=
=
=
=
=
m 4 r - ½ i²m 2 r + 7/240 i 4
30039.6032 - ½(100)107.84 + 7/240(10 4 )
30039.6032 -5392 + 0.029166666 x 10 4
30039.6032 -5392 + 291.666666
24939.26986
4.-
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EJERCICIO: Del siguiente
determinar lo siguiente.
cuadro
de
distribu
distribución
ción
de
frecuencias,
1. La Varianza
2. La Desviación Standard
3. Variable Normalizada
4. Relación Empírica entre las medidas de dispersión
5. Los momentos
6. La Comprobación Charlier
7. Las relaciones entre los momentos
8. Corrección Sheppard
266
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1.- Varianza
S² =  ni (Yi - x)² /N
S² = 24724563.89 =
94573
S² = 261.4336427
2.- Desviación Estándar
S =
S =
 (Yi - x)² /N
261.4336427
S = 16.16890976
3.- Variable Normalizada
Z =  ni |Yi - x | S
Z = 1507460.49
16.16890976
Z = 93232.043
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4.- Relación Empírica entre las Medidas de Dispersión
D.Q. = 2/3 (S) = 2/3 (16.16890976) = 10.77927317
D.M. = 4/5 (S) = 4/5 (16.16890976) = 12.93512781
5.- Relación entre los Momentos
m 1 = (niu / N)i = (-30647 / 94573) 10 = -3.240565489
m 2 = (niu² / N)i² = (257177 / 94573) 100 = 271.9349074
m 3 = (niu 3 / N)i 3 = (-314645 / 94573) 1000 = -3327.006651
m 4 = (niu 4 / N)i 4 = (496525 / 94573) 10000 = 158240.1954
6.- Comprobación Charlier
ni(u + 1) = ni (u+N) = -30467 + 94573 = 64106
ni(u + 1) 2 = niu 2 + 2niu + N= 211634 + (-60934) + 94573
= 245273
ni(u + 1) 3 = niu 3 + 3niu² + 3niu + N
= (-314645) + 3(211634) + 3(-30467) + 94573
= 323249
270
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7.- Corrección Shepard para los Momentos
m2r = m2 - m12
m 2 r = 223.7784569 - (-3.240565489)²
m 2 r = 213.2771922
m 3 r = m 3 - 3m 1 m 2 + 2m 1 3
m 3 r = -3327.006651 -(-2715.506234) + (-68.06007188) 3
m 3 r = -1219.560489
m 4 r = m 4 - 4m 1 m 2 + 6m 1 3 m 2 - 3m 1 4
m 4 r =158240 - 1954 - 43125.53174 + 14099.74084 - 330.8296802
m 4 r = 128883.5748
271