trasparencias

Teorı́a espectral
José Vicente Romero Bauset
ETSIT-curso 2009/2010
José Vicente Romero Bauset
Tema 7.- Teorı́a espectral. 1
Introducción
Muchas veces interesa calcular Ak , siendo A una matriz
cuadrada y k un entero
Si A se puede expresar como A = PDP −1 (P una matriz
invertible y D una matriz Diagonal)
⇓
Ak = AA . . . A = PDP −1 PDP −1 . . . PDP −1 = PD k P −1
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Tema 7.- Teorı́a espectral. 2
Cálculo de valores y vectores propios
Sea A una matriz cuadrada.
λ ∈ C es un valor propio si existe v ∈ Cn (v 6= 0) tal que
Av = λ v.
v ∈ Cn es un vector propio de A asociado al valor propio λ si
Av = λ v.
Ejemplo
1 2
2 1
1
1
=3
1
1
⇓
1 2
2 1
3 es un valor propio de
1
es un vector propio asociado al valor propio 3
1
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Tema 7.- Teorı́a espectral. 3
Cálculo de valores y vectores propios
Av = λ v (v 6= 0) ⇒ (A − λ I ) v = 0 (v 6= 0) ⇒ det(A−λ I ) = 0.
Se llama polinomio caracterı́stico A al polinomio
p(λ ) = det(A − λ I ).
Se llama ecuación caracterı́stica de A a la ecuación
p(λ ) = det(A − λ I ) = 0,
donde p es el polinomio caracterı́stico.
Nota
El polinomio caracterı́stico es un polinomio de grado n de la
forma
p(λ ) = (λ1 − λ )(λ2 − λ ) · · · (λn − λ ).
det(A) = ∏ λi
i
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Tema 7.- Teorı́a espectral. 4
Cálculo de valores y vectores propios
Ejemplo
Calcular los valores y los vectores propios de la matriz


4 1 −1
 2 3 −1 
−2 1
5
Propiedades
Si A es una matriz triangular, sus valores propios son los
elementos de la diagonal principal.
Si λ es un valor propio de A, entonces λ 2 es un valor propio
de A2 .
Si λ es un valor propio de A, entonces para cada escalar µ,
λ − µ es un valor propio de A − µI .
Si A es invertible y λ es un valor propio de A,
propio de A−1 .
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1
λ
Tema 7.- Teorı́a espectral. 5
es un valor
Matrices diagonalizables
Se llama multiplicidad algebraica de un valor λ a la multiplicidad
de λ como raı́z del polinomio caracterı́stico. La multiplicidad
geométrica de λ es la dimensión del núcleo de A − λ I .
Ejemplo
Calcular los valores y los vectores propios de:
1 1
A=
0 1


1 0 1
B = 0 1 0 
0 0 2
La multiplicidad geométrica de un valor propio es siempre menor o
igual que su multiplicidad algebraica.
Vectores propios correspondientes a valores propios distintos son
linealmente independientes.
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Tema 7.- Teorı́a espectral. 6
Matrices diagonalizables
Una matriz cuadrada A de tamaño n × n es diagonalizable si tiene
n vectores propios linealmente independientes.
Una matriz es diagonalizable si y sólo si la multiplicidad algebraica
de un valor propio coincide su multiplicidad geométrica.
Si un matriz cuadrada de tamaño n × n tiene n valores propios
distintos, entonces es diagonalizable.
Si una matriz A es diagonalizable, entonces A = SDS −1
(AS = SD) , siendo S la matriz cuyas columnas son n vectores
propios linealmente independientes de A y D una matriz diagonal
cuyos elementos de la diagonal son los valores propios de A (la
columna ai es un vector propio asociado al valor propio λi ).
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Tema 7.- Teorı́a espectral. 7
Diagonalización de matrices simétricas
Propiedades
Si λ es una valor propio de una matriz real simétrica,
entonces λ es real.
Si v y w son vectores propios asociados a dos valores propios
diferentes de una matriz real simétrica, entonces v y w son
ortogonales.
Toda matriz real simétrica tiene n vectores propios
independientes ortonormales. Por lo tanto toda matriz
simétrica es diagonalizable.
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Tema 7.- Teorı́a espectral. 8