f(xi) + f(x2)^2f(^±3)

J.
BLAQUIER
(Buenos Aires - Argentina)
SOBRE DOS CONDICIONES CARACTERISTICAS
DE LAS FUNCIONES CONVEXAS (4)
El senor J. L. W. V. J E N S E N , en su memoria « Sur les fonctions convexes et
les inégahtés entre les valeurs moyennes » Acta Mathematica tomo 30, pâgs. 175-193
(ano 1905-1906) introduce la difinjeion, clâsica hoy dia, de función convexa
Uamando asì a toda función f(x) real finita y uniforme de una variable real x,
que satisface en un cierto intervalo (a, b) a la desigualdad:
f(xi) + f(x2)^2f(^±3)
En particular si la relación anterior subsiste siempre con el signo = la
función se dice lineal y si el signo es ^ se Uama còncava.
Esta définition que relaciona las ordenadas de très puntos cualesquiera de
abscisas equidistantes del intervalo es de carâcter integral; ocurre inmediatamente preguntarse si puede sustituirse por otra condición del mismo tipo pero
de carâcter diferencial es decir : g Sera suficiente que se verifique
f(x + h)+f(x~h)^2f(x)
(2)
no ya para très puntos x + h, x, x—h equidistante cualesquiera del intervalo
sino solamente para très puntos x + h, x, x—h de un entorno de cada x por
pequeno que este sea? Asì es en efecto si ademâs se impone la condición de
continuidad segûn expresa el primer teorema objeto de esta nota, pero antes
de demostrarlo recordaremos la definición de GALVANI.
El senor L. GALVANI, en su memoria « Sulle funzioni convesse di una o
due variabili definite in un aggregato qualunque » Rendiconti del circolo
Matematico di Palermo, tomo XLI, ano 1916, pâg. 103, dice que una función
(1) Nota extractada de un trabajo efectuado en el Seminario Matematico de Buenos
Aires bajo la direceión y guîa del prof. Dr. REY PASTOK.
(2) Asì se escibe la relación de JENSEN poniendo : xi + x2 = Zx y xL — x2 = 2A.
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COMUNICAZIONI
f(x) real finita y uniforme de una variable real x es convexa en un intervalo
(a, b) cuando se verifica que:
Ci
%
x2
x3
f(Xi)
f($i)
w>
fl*ù
1
1
1
>0.
siendo x±<x2<x3, très puntos cualesquiera pertenecientes a dicho intervalo.
El senor GALVANI demuestra en su memoria citada (pâg. 120) que si f(x)
esta acotada en (a, b) su definición de función convexa es equivalente a la de
J E N S E N (*).
Geomètricamente la definición de J E N S E N expresa que una curva y=f(x) es
convexa si el punto de abscisa media de los extremos de cualquier arco AB
no esta encima de la euer da AB.
La definición de GALVANI expresa que ningun punto del arco AB esta
encima de la cuerda AB.
Condición diferencial de Jensen.
El teorema a que aludimos anteriormente y que Uamaremos condición diferencial de JENSEN expresa que:
La condición necesaria y suficiente para que una función
acotada
f(x) sea convexa en un intervalo (ab) es, que sea continua en el intervalo
abierto (a + b~), que para cada x interior a él exista un numero positivo ò
tal que siendo | h | < ó se verifique f(x + h) + f(x—h)^2f(x) y que en los
extremos exista limite y sea
lim f(x) ^ f(a) y Um f(x) ^ f(b).
x—*~a+
x-+b~
1) La condición es necesaria.
En efecto, por ser convexa es f(x + h) + f(x—h)^2f(x),
siempre que x+h y
x—h pertenezean al intervalo (ab). Siendo acotada y convexa, J E N S E N en su
memoria citada (pâg. 189) demuestra que es continua y apoyândose en la definición equivalente de GALVANI resulta que existe y es
lîm f(x) ^ f(a) y lîm f(x) ^ f(b) (2).
(*) Otra demostración de esta equivalencia puede verse en la Memoria de TORTURICI
« Sulle funzioni convesse ». Annali di Matematica, Nov. 1926-Febb. 1927, pag. 144.
(2) Basta elegir un punto fijo A^x^, /*(%)] y otro variable M[x, f(x)] siendo « < % < £ < &
y observar que de esa def. se deduce que la pendiente de la cuerda ALM es función monotona de # y corno f(x) = (x — x^ìga + f(x^) resulta la existencia del lìmite para x-*b~, el
cual en virtud de la convexidad y continuidad es ^f(b).
Analogamente para el extremo a.
J.
BLAQUIER
: Sobre dos condiciones
de las funciones convexas
351
2) La condition es suficiente.
En efecto, si f(x) no fuera convexa habrìa, (en virtud de la definición equivalente de GALVANI), dos puntos
Ä'[a',f(a')]
y
B'[b',f(b')]
tales que la cuerda que determinan dejarìa por encima algun punto del arco A!Br
de la curva y=f(x) (£).
Rebajemos hnealmente las ordenadas de la curva de modo que los puntos
extremos Af y B' tengan ordenadas iguales, es decir consideremos la nueva
función :
F(x)^f(x)-f%)zT'} (*-<*')
en la que
F(af)=F(V).
EUa satisface a la identidad :
F(x+h) + F(x-h)-2F(x)
= f(x+h) +
f(x-h)-2f(x)
y corno el segundo miembro es positivo o nulo por hipótesis, resulta :
F(x+h) +
F(x-h)^2F(x)
f
Sea Xo el punto de (a', b ) en que F(x) toma el valor mâximo absoluto, (que
existe por la continuidad, en virtud del teorema de WEIERSTRASS), en ese punto
es F(xQ) > F(a') porque hemos supuesto que hay algun punto de la curva encima
de la cuerda, la cual es horizontal de ordenada F(af) = F(br).
El punto XQ es pues interior a (a', b'). Ahora bien caben dos posibihdades :
a) Que el punto xQ de mâximo sea tal que para algunos |A|<<5 por
pequeno que sea ô exista el signo < en alguna de las dos desigualdades :
F(xo + h)^F(xQ)
F(x0-h)^F(xo)
y sumando, (por haber algûn signo < ) se obtiene: F(x0+h) + F(xQ—
o sea :
f(x, + h) + f(x0 -h)< 2f(x0).
h)<2F(x0}
Contra la hipótesis, lo que demuestra el teorema en este caso.
ß) Que el punto x0 de mâximo sea tal que para todo \h\ suficientementepequeno se verifique
F(x0 + h)=F(xo)
a r a
m
IA
TT/ \ ( P
|A|<£
F(x0—h)==F(x0) (
' '
Hay entonces un segmento horizontal a la altura F(x0) del mâximo. Si desig(£) Y siempre podremos suponer a < a / < ò / < ò .
352
COMUNICAZIONI
namos con Xi la abscisa extrema, de la derecha por ejemplo, de dicho segmento
(que existe corno se demuestra fàcilmente) resulta :
F(xi+h)<F(xi)
\
F(xi-h) = F(xi) \
„
para
algUn
W<0
luego
F(xi + h) +
F(xi-h)<2F(xi)
o sea
f(xi+h)+f(xi-h)<2f(xi)
contra la hipótesis.
Nuestro teorema queda por tanto demostrado.
NOTAS : I). Después de estudiar esta cuestión hemos visto que el eminente
prof. P. MONTEL en su reciente e interesante memoria Sur les fonctions convexes et les fonctions sousharmoniques
pubhcadas en el Journal de Mathématiques pures et apphquées, tomo VII, pâg. 29 ano 1928, cita esta propiedad
(sin demostrarla) omitiendo la condición de continuidad que es indispensable.
Existen, en efecto, funciones taies que para cada x interior al intervalo (ab)
hay un ô>0 tal que
. 0//x
,. , ^ .
f(x + h)+f(x—h^>2f(x)
para \h\<ò,
siendo suficiente que en un solo punto f(x) no sea continua para que pueda
no ser convexa corno lo demuestra la función :
( f(x) = l — \x\
para x + 0 y ] a ? | ^ l
! f(0) = o
Otro ej. en el que el signo = de la relación de
( f(x) = (l—x%)%
\ f(0)=0
JENSEN
no subsista siempre es:
para x + 0 y \x\^l;
[f(x)*>Q]
II). Como corolario de nuestro teorema resulta que:
Si una sucesión convergente de funciones convexas fn(x) definidas
en un mismo intervalo admite una función continua f(x) corno limite, esta
función f(x) también es convexa en su interior.
En efecto, por hipótesis
fn(x + h)+ fn(x -h)-
2fn(x) ^ 0
tornando Umites :
f(x + h) +
f(x-h)-2f(x)^0
y corno f(x) es continua por hipótesis, resulta demostrado el corolario.
De aqui se deduce que:
Si las funciones convexas fn(x) convergen uniformemente
hacia f(x)
resulta que f(x) es también
convexa.
Como el senor MONTEL en su memoria citada ha omitido la condición de
continuidad deduce (pâg. 32) que:
J.
BLAQUIER
: Sobre dos condiciones
de las funciones convexas
353
« Una sucesión convergente de funciones convexas tiene siempre por lìmite1
una función continua » lo que puede no ser cierto corno lo demuestra el siguiento
ejemplo :
La sucesión de funciones convexa fn(x)=x2n
tiene por lìmite la función
( f(x)=0
( f(^) = l
la cual es discontìnua.
para | # | < 1
» |#| = 1
Condición diferencial de Galvani.
Investiguemos si una condición diferencial del tipo de la de GALVANI es
suficiente para caracterizar una función convexa.
Supongamos que a cada punto interior al intervalo (ab) le corresponda un
entorno tal que se verifique la condición de convexidad de GALVANI para très
puntos cualesquiera de dicho entorno.
Como en el entorno x—h, x + h correspondiente a cada punto interior x, se
cumple la condición de GALVANI, resulta « a fortiori »
f(x + h) +
f(x-h)^2f(x).
Ademâs se tiene por esa misma condición que en ese entorno la función
està dentro del ângulo de vèrtice [(x, f(x)], y cuyos lados son, la semirrecta de
origen [x, f(x)] dirigida hacia [x + h, f(x + h)] y la opuesta de la de mismo origen
dirigida hacia [x—h, f(x—h)], y dentro del ângulo opuesto por el vèrtice a éste.
E stando en ese entorno dentro del ângulo completo resulta que f(x) es
continua en cada punto interior a (ab).
En virtud de la condición diferencial de J E N S E N anteriormente demostrada
resulta que f(x) es convexa en cada intervalo (a1, b') interior al (ab), de donde
resulta que es convexa en (ab) existiendo lìmite en los extremos y tal que,
H m ^ ) ^ ^ ) y hm
x—*-à~
f(x)^f(b)
x—+b~
Resulta por tanto el siguiente teorema corno consecuencia de la mencionada
condición diferencial de J E N S E N :
Si a cada punto de un intervalo le corresponde un entorno tal que
para X i < x 2 < x 3 pertenecientes a él se verifica
x±
x2
x3
m
ftoù
f(x3)
1
1
1
^0.
la función entonces es convexa en dicho intervalo y
reciprocamente.
Propiedad esta que proponemos Uamar condición diferencial de GALVANI.
Agosto
1928.
Atti del Congresso.
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