Page 1 1 Demostrar que ( ) ( ) cb b ca a f x dx c f cx dx

cb
Demostrar que
b
f ( x)dx  c  f (cx)dx

ca
a
Supondremos que la función f (cx) es integrable en el intervalo  a, b , y demostraremos que
f ( x) es integrable en el intervalo  ca, cb , y que las integrales respectivas son iguales.
Demostración (Haremos la demostración sólo para c  0 )
Supongamos que f (cx) es integrable en el intervalo  a, b , por el Criterio de integrabilidad
sabemos que
, tn  b partición de  a, b 
Para todo   0 existe una P  a  t0 ,
tal que U  f (cx), P   L  f (cx), P   
Donde U  f (cx), P  
n
 M t  t  ,
i
i 1
i
i 1
c
y L  f (cx), P  
n
 m t
i 1
i
i
 ti 1  ,
M i  sup  f (cx) : ti 1  x  ti  , i  1..n
y
mi  inf  f (cx) : ti 1  x  ti  , i  1..n

Sea P '  t0'  ca,
, ti'  cti ,
, tn  b del intervalo  a, b .
de la partición P  t0  a,
Sean U  f , P ' 
, tn'  ctn  una partición del intervalo  ca, cb construida a partir
 M t  t 
n
i 1
'
i
'
i
'
i 1

y L  f , P ' 
 m t  t 
n
i 1

Donde M i'  sup f ( x) : ti'1  x  ti' , i  1..n
'
i
'
i
'
i 1
mi'  inf  f ( x) : ti'1  x  ti'  , i  1..n
y
Pero,
M i  sup  f (cx) : ti 1  x  ti   sup  f ( x) : cti 1  x  cti   sup  f ( x) : ti'1  x  ti'   M i' , i  1..n
y
mi  inf  f (cx) : ti 1  x  ti   inf  f ( x) : cti 1  x  cti   inf  f ( x) : ti'1  x  ti'   mi' , i  1..n
Entonces
U ( f , P ')   M i'  ti'  ti'1    M i  cti  cti 1   c M i  ti  ti 1   cU ( f (cx), P)
n
n
n
i 1
i 1
i 1
1
y
L( f , P ')   mi'  ti'  ti'1    mi  cti  cti 1   c mi  ti  ti 1   cL( f (cx ), P )
n
n
n
i 1
i 1
i 1

Por tanto, dado   0 existe una partición P '  t0'  ca,
, ti'  cti ,
, tn'  ctn  de  ca, cb ,
tal que
 c 
U ( f , P ')  L( f , P ')  cU ( f (cx), P)  cL( f (cx), P)  c U ( f (cx), P)  L( f (cx), P)   c 
Por tanto, la función f ( x) es integrable en el intervalo  ca, cb , siempre que la función f (cx) es
integrable en el intervalo  a, b .
Por otro lado,
cb
b
ca
a
 f ( x)dx  sup L  f , P '  sup cL  f (cx), P   c sup L  f (cx), P   c  f (cx)dx
Por tanto,
cb
b
ca
a
 f ( x)dx  c  f (cx)dx
Q.E.D.
2