Clase 1 de Problemas

Métodos combinatorios
1. En una clase de 10 alumnos van a distribuirse 3 p
premios. Indique
q
de cuántas
maneras puede hacerse esta distribución si:
Clase 1 de Problemas
a)
b)
c)
d)
Probabilidad
Los premios son diferentes y cada alumno sólo puede recibir uno.
Los premios son diferentes pero cada alumno puede recibir más de uno.
uno
Los premios son iguales y cada alumno sólo puede recibir uno.
Los premios son iguales pero cada alumno puede recibir más de uno.
2. ¿De cuántas maneras se pueden sentar 10 personas en un banco en el que hay 4
sitios disponibles?
3. Un alumno tiene que elegir 7 de las 10 preguntas de un examen.
3
examen ¿De cuántas
maneras puede elegirlas? ¿Y si las 4 primeras son obligatorias?
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Teorema de la Probabilidad Total y T
T. de Bayes
Propiedades de la Probabilidad
1. Sean A1, A2, y A3 sucesos tales que A1 U A2 U A3 = E, A1 ∩ A2 = A1 ∩ A3 = A2 ∩ A3.
Si P(A1) = 1/4 ,P(A2) = 1/2, y P(A1 ∩ A2) = 1/8, calcule P(A3).
2. ¿Son ciertas las igualdades siguientes?
a) P(A|B) = P(AC|BC)
b) P(A|B) + P(AC|BC) = 1
c) P(A|B) + P(A|BC) = 1
3. Demuestre que si dos sucesos A y B son independientes, entonces sus complementarios
también lo son.
4. Sean A y B dos sucesos tales que P(A) = ¼,
4
¼ P(B|A) = ½ y P(A|B) = ¼.
¼ Razone si son
ciertas o falsas las siguientes afirmaciones:
a) A está contenido en B
b) A y B son independientes
c) AC y BC son independientes
d) A y B son incompatibles
e) P(AC |BC) = ½
f) P(A|B) + P(AC| BC) = 1
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1. Un inversor tiene la p
posibilidad de realizar inversiones en dos tipos
p de valores ((tipo
p Iy
tipo II).
La 1ª vez que invierte no tiene ninguna preferencia. En la 2ª ocasión, su elección se verá
influida por el resultado de la 1ª inversión, de modo que si obtiene beneficios en la 1ª
i
inversión,
ió entonces
t
está
tá dispuesto
di
t a invertir
i
ti en ell mismo
i
ti
tipo
d valor,
de
l
mientras
i t
que, en
caso contrario, cambiará su elección.
En cada inversión, se sabe que la probabilidad de que obtenga beneficios es del 60% si
p de valor I y del 80% si invierte en el tipo
p de valor II.
invierte en el tipo
a) Calcule la probabilidad de que el inversor obtenga beneficios en la 2ª inversión.
b) Sabiendo que
q e en la 2ª inversión
in ersión obtiene beneficios,
beneficios ¿cuál
c ál es la probabilidad de que
q e en
la 1ª inversión hubiese invertido en el tipo de valor I y obtenido beneficios?
que en la 2ª inversión obtiene beneficios,, ¿
¿cuál es la p
probabilidad de q
que en
c)) Sabiendo q
la 1ª inversión hubiese invertido en el tipo de valor I y no hubiese obtenido beneficios?
d) Sabiendo que en la 2ª inversión obtiene beneficios, ¿cuál es la probabilidad de que en
la 1ª inversión hubiese invertido en el tipo de valor I?
4
Teorema de la Probabilidad Total y T
T. de Bayes
2. Considere el siguiente
g
sistema formado p
por 7 componentes
p
((C1,, C2,, … y C7)) q
que
funcionan independientemente unos de otros y cuya respectiva probabilidad de funcionar
correctamente es 0.96, 0.90, 0.93, 0.55, 0.55, 0.55 y 0.55.
C4
C1
C5
C3
C6
C2
C7
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema funcione correctamente?
¿
componentes
p
con p
probabilidad de funcionar igual
g
a 0.55 serán necesarios
b)) ¿Cuántos
agregar al subsistema formado por los componentes C4, C5, C6 y C7 para lograr una
fiabilidad de al menos 0.91?
c) Sabiendo que el sistema completo ha funcionado,
funcionado ¿cuál es la probabilidad de que el
componente C1 haya funcionado?
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