EJERCICIOS PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES 3º

EJERCICIOS PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES 3º
PROPORCIONALIDAD
- Proporcionalidad directa
1. Completa la siguiente tabla para que las magnitudes sean directamente proporcionales:
6
2
8
5
0,5
4,5
Solución:
6 3,2 2 1,8 0,5
15
2 6
  x  15;
5 x
8
5 4,5 1,25
2 x
  x  3,2;
5 8
2
x

 x  1,8;
5 4,5
2 0,5

 x  1,25
5
x
2. La rueda de una bicicleta da 54 vueltas cada 90 metros. ¿Cuántas vueltas habrá dado después de
recorrer un kilómetro?
Solución:
Relación de proporcionalidad:
54
x
54  1000

x
 600
90 1000
90
v ueltas
3. Se sabe que la altura y la sombra de un edificio son proporcionales. Si la sombra de un edificio de
30 m es 8 m, ¿qué altura tendrá otro edificio cuya sombra en el mismo momento mide 12 m?
Solución:
30
x

8
12

x
30·12
 45m
8
Sea x la altura del edificio:
El edificio mide 45 m
4. Para componer una aleación se utiliza estaño y cobre. Si la constante de proporcionalidad entre
los dos metales es 3/5, ¿cuánto cobre se utilizaría para 45 gramos de estaño?
Solución:
Se emplea 3 gramos de estaño por 5 gramos de cobre.
Por tanto,
45 3
45  5
 x
 75
x
5
3
Se utilizan 75 gramos de cobre
5. La constante de proporcionalidad directa entre dos números es 0,75. El mayor es 20. Calcula el
menor.
Solución:
x
 0,75  x  0,75·20  15
20
El menor es 15
- Repartos directamente proporcionales
1. Reparte 4 475 proporcionalmente a 5, 7 y 13.
Solución:
Si k es la constante de proporcionalidad directa
A 5 le corresponde
5k
A 7 le corresponde
7k
A 13 le corresponde
13k
Así:
5k  7k  13 k  4475
Luego a 5 le corresponde
a 7 le corresponde
a 13 le corresponde
 25 k  4475
 k  19
5 · 179 = 895
7 · 179 = 1253
13 · 179 = 2327
2. En una biblioteca se colocan 2610 libros en dos muebles de 40 y 50 estanterías cada uno.
¿Cuántos libros se colocarán en cada mueble si se reparten proporcionalmente al número de
estantes de cada uno?
Solución:
Sea k la constante de proporcionalidad directa:
En el primer mueble se colocarán:
40 k
En el segundo mueble se colocarán:
50 k
Por tanto:
40 k  50 k  2610
90 k  2610
k  29
Luego
en el primer mueble se colocarán
en el segundo mueble se colocarán
40  29  1160
50  29  1450
libros
libros
_____
2610
3. Reparte 90 en partes directamente proporcionales a 2 y 4.
Solución:
Sea k la constante de proporcionalidad directa:
A 2 le corresponde:
2k
A 4 le corresponde:
4k
Por tanto:
2 k  4 k  90
6 k  90
k  15
Luego
a 2 le corresponde
a 4 le corresponde
2  15  30
4  15  60
_____
90
4. Un padre reparte entre sus dos hijos 72 euros en partes directamente proporcionales a la edad de
cada uno. Si Luis tiene 9 años y Marta 15 años, ¿cuánto le corresponde a cada uno?
Solución:
Sea k la constante de proporcionalidad directa:
A Luis le corresponde:
9k
A Marta le corresponde: 15 k
Por tanto:
9K  15K  72
24K  72
K3
Luego
a Luis le corresponde
a Marta le corresponde
9·3  27
15 ·3  45
euros
euros
_____
72
5. Reparte 246000 en partes directamente proporcionales a 1500, 2000 y 2500.
Solución:
Sea k la constante de proporcionalidad directa:
A 1500 le corresponde: 1500 k
A 2000 le corresponde: 2000 k
A 2500 le corresponde: 2500 k
Por tanto:
1500 k  2000 k  2500 k  246000
6000 k  246000
k  41
Luego
a 1500 le corresponde
a 2000 le corresponde
a 2500 le corresponde
1500  41  61500
2000  41  82000
2500  41  102500
_______
246000
6. Se quieren repartir 396 m2 de un terreno entre tres familias, de forma directamente proporcional
al número de hijos de cada una. Si cada familia tiene 2, 4 y 5 hijos respectivamente, ¿qué parte del
terreno recibirá cada una?
Solución:
Sea k la constante de proporcionalidad directa:
A la primera familia le corresponde:
2k
A la segunda familia le corresponde:
4k
A la tercera familia le corresponde:
5k
Por tanto:
2 k  4 k  5 k  396
11k  396
k  36
Luego
a la primera familia le corresponde
a la segunda familia le corresponde
a la tercera familia le corresponde
2  36  72m 2
4  36  144m 2
5  36  180m 2
_____
396
- Proporcionalidad inversa
1.Calcula el valor de x en el siguiente caso de proporcionalidad compuesta inversa:
Mag A
Mag B
Mag C
64
1
1
x
4
10
Solución:
Método de reducción a la unidad:
64
- 1- 1
64
 16
4
- 4 -1
16
 1,6
10
- 4 - 10
Por tanto x = 1,6
2.Tres personas pintan una valla en 2 días, ¿cuánto tardará en pintarla una persona sola?
Solución:
Buscamos la constante de proporcionalidad inversa:
32  6
3  2  6  1 x  x  6 días
3.La constante de proporcionalidad inversa entre dos números es 63 y uno de ellos es el 14, ¿cuál es
el otro?
Solución:
14  x  63  x 
63
 4,5
14
4. Un campamento de 45 alumnos tiene provisiones para 16 días, ¿cuántos días podrá durar el
campamento si fuesen 15 alumnos más?
Solución:
Si fueran 60 alumnos el campamento podría durar:
buscamos la constante de proporcionalidad inversa:
45  16  720
45  16  720  60  x  x  12 días
5. Marta tarda 36 minutos en ir andando al colegio, ¿cuánto tardará si decide ir a 1/3 de la
velocidad habitual? ¿y si decide ir el doble de rápido?
Solución:
Si decide ir a 1/3 de la velocidad tardará:
Relación de proporcionalidad inversa:
1
36  1  x   x  36  3  108 minutos
3
Si decide ir al doble de la velocidad tardará:
Relación de proporcionalidad inversa:
36
36  1  x  2  x 
 18 minutos
2
- Repartos inversamente proporcionales
1. Reparte 78 en partes inversamente proporcionales a 2, 3 y 4.
Solución:
Sea k la constante de proporcionalidad inversa:
k
2
A 2 le corresponde:
k
3
A 3 le corresponde:
k
4
A 4 le corresponde:
Por tanto:
k k k
   78
2 3 4
13 k
 78
12
k  72
72
 36
2
Luego
a 2 le corresponde
72
 24
3
a 3 le corresponde
72
 18
4
a 4 le corresponde
_____
78
2. Reparte 518 en partes inversamente proporcionales a 8, 10 y 12.
Solución:
Sea k la constante de proporcionalidad inversa:
k
8
A 8 le corresponde:
k
10
A 10 le corresponde:
k
12
A 12 le corresponde:
Por tanto:
k
k
k


 518
8 10 12
37 k
 518
120
k  1680
1680
 210
8
Luego
a 8 le corresponde
1680
 168
10
a 10 le corresponde
1680
 140
12
a 12 le corresponde
_____
518
3. Reparte 330 en partes inversamente proporcionales a 5 y 10.
Solución:
Sea k la constante de proporcionalidad inversa:
k
5
A 5 le corresponde:
k
10
A 10 le corresponde:
Por tanto:
k
k

 330
5 10
3k
 330
10
k  1100
1100
 220
5
Luego
a 5 le corresponde
1100
 110
10
a 10 le corresponde
_____
330
- Proporcionalidad compuesta
1 Para cubrir el suelo de una casa se necesitan 270 baldosas de 24 cm de largo y 15 de ancho.
¿Cuántas baldosas serían precisas si cada una mide 20 cm de largo y 12,5 cm de ancho?
Solución:
270 baldosas 
x baldosas 
24 cm de largo
20 cm de largo
 15 cm de ancho
 12,5 cm de ancho
Proporcionalidad compuesta inversa
x=388’8
2. 5 personas consumen en 2 días 100 litros de agua. ¿Cuántos litros de agua consumirán 8 personas
durante una semana?
Solución:
5 personas
8 personas


2 días  100 litros
7 días  x litros
Proporcionalidad compuesta directa
x=560 litros
3. Un ganadero quiere transportar cierto número de vacas. Para ello contrata 15 camiones con una
capacidad de 8 vacas cada uno, que realizarán el trabajo en 10 días. ¿Cuánto tiempo tardarán si
contrata la tercera parte de camiones con una capacidad para 12 vacas?
Solución:
15 camiones 
8 vacas c/u
 10 días
5 camiones  12 vacas c/u
 x días
Proporcionalidad compuesta inversa
x=20 días
4. Para transportar 450 kilogramos de alimentos se contratan 3 camiones con una capacidad de 4
toneladas cada uno. ¿Cuántos camiones de dos toneladas y media habrá que contratar para
transportar 750 kilogramos de alimentos?
Solución:
450 kg 
750 kg 
3 camiones  4 Tn
x camiones  2,5 Tn
Proporcionalidad compuesta directa-inversa
x= 8 camiones
5. Un ciclista para recorrer una distancia emplea 7 días, a razón de 60 kilómetros por día,
pedaleando 6 horas diarias. ¿Cuántos kilómetros deberá realizar cada día si quiere cubrir la misma
distancia en 5 días pedaleando 8 horas diarias?
Solución:
60 km/día 
x km/día 
6 horas/día
8 horas/día
 7 días
 5 días
Proporcionalidad compuesta inversa
X=63 km/día
6. Un mecánico trabajando una hora diaria tarda 6 días en reparar un vehículo. ¿Cuánto tiempo
tardarán 3 mecánicos en repararlo si trabajan 5 horas diarias?
Solución:
1 mecánico 
3 mecánico 
1 horas/día
5 horas/día
 6 días
 x días
Proporcionalidad compuesta inversa
6
2
3
3 mecánicos trabajando 1 hora diaria tardarán:
días
2
 0,4
5
3 mecánicos trabajando 5 horas diarias tardarán:
días 9 horas y 36 minutos
PORCENTAJES
- Aumentos y disminuciones porcentuales
1. Un equipo de música cuesta 120 euros más el 16% de IVA, ¿cuánto habrá que pagar por el
equipo?
Solución:
El 16% de 120 euros es:
16
x
16·120

x
 19,20
100 120
100
euros
Por tanto, el equipo costará 120 + 19,20= 139,20 euros.
2. En una tienda rebajan un juego que costaba 28 euros en un 18%, ¿cuánto habrá que pagar por el
juego después del descuento?
Solución:
El 18% de 28 es:
18
x
18·28

x
 5,04
100 28
100
Por tanto, el precio final es 28 - 5,04=22,96 euros.
3. Un programa de televisión fue visto en el mes de septiembre por 540 000 espectadores, lo que
supone un 28% más que el mes anterior. ¿Cuántos espectadores vieron el programa en el mes de
agosto?
Solución:
El porcentaje de espectadores en septiembre es el 128% con respecto al 100 % del mes de
agosto.
Por tanto,
540000
x
540000  100

x
 421875 espectadores lo v ieronen agosto
128
100
128
2
5
4. Se compra un coche de 36 000 euros, pagando los
al contado y el resto con un aumento del
18% en mensualidades durante dos años. ¿Cuánto corresponde pagar cada mes?
Solución:
2
36000·  14400
5
euros se pagan al contado.
El resto: 36 000  14 400 = 21 600 euros se aplazan.
18
21600·
 3888
100
euros es el aumento.
Lo que hay que pagar en 2 años es: 21 600 + 3 888 = 25 488.
25488
 1062
24
La mensualidad:
euros
- Porcentaje que representa una cantidad
1. Si 2 de cada 8 alumnos de la clase suspenden una asignatura, ¿qué tanto por ciento de alumnos
aprobará la asignatura? ¿Cuántos alumnos suspenden si en la clase hay 36 alumnos?
Solución:
El tanto por ciento de alumnos que suspenden la asignatura es:
2
x
2  100

x
 25  25%
8 100
8
Por tanto, un 75% de los alumnos aprueba.
El número de alumnos que suspende es:
25
x
25  36

x
 9 alumnos
100 36
100
2. Una impresora cuesta 359 euros, pero como hay que pagar el IVA, al final vale 416,44 euros.
¿Qué tanto por ciento de IVA has pagado?
Solución:
x
359·
 3,59x
100
Si el tanto por ciento de IVA es x, entonces:
pagar.
3,59  3,59x  416,44  x 
es la cantidad de IVA que hay que
416,44  359
 16
3,59
Por tanto:
Se ha pagado el 16% de IVA.
3. En una clase, el 50% de los estudiantes lleva gafas, el 30 es rubio y el 10% es rubio y lleva gafas.
¿Qué porcentaje de estudiantes no son rubios y no llevan gafas?
Solución:
Resulta más sencillo haciendo un esquema que represente el número de estudiantes con cada una de las
características de cada 100 de ellos. Pero como 100 es demasiado grande, lo haremos de 10 y en ese caso,
5 llevan gafas, 3 son rubios y 1 es rubio y lleva gafas que se representa en gris en la cuadrícula:
Estudiantes con gafas
Estudiantes rubios
Estudiantes
rubios con gafas
Todos juntos
Los cuadros en blanco representan los 3 estudiantes que no son rubios ni llevan gafas de los 10. Esto es:
3
·100  30%
10
4. El salario de una persona es 1265 euros mensuales y aumenta en 22,77 euros. ¿Cuál es el
porcentaje de la subida?
Solución:
El tanto por ciento de la subida es:
x
22,77
22,77·100

x
 1,8  1,8%
100 1265
1265
5. Calcula el tanto por ciento de alcohol en una mezcla de 3 litros de alcohol y 5 litros de agua.
Solución:
Líquido total:
3+5=8
3
 0,375
8
es el tanto por 1.
El tanto por ciento es: 0,375 · 100 = 37,5%
-Porcentajes encadenados
1. Un artículo que vale 120 euros, ante la excesiva demanda, sube un 20%. Luego, cuando se reduce
la demanda, se rebaja un 20%. ¿Sigue valiendo lo mismo que antes?
Solución:
Subida: 120 · 1,20 = 144 euros
Rebaja: 144 · 0,8 = 115,20 euros
Vale menos que antes de la subida.
2. ¿Quién es mayor, el 20% del 50% de 80 o el 250% del 5% de 50?
Solución:
20  50
20

·
·80  
·40  8
100  100  100
250  5
 250
·
·50  
·2,5  6,25
100  100  100
3. Una moto está etiquetada, sin IVA (16%),en 800 euros. El vendedor le dice que puede hacerle
una rebaja del 20%. Calcula su coste final con porcentajes encadenados.
Solución:
Coste: 800 · 0,8 · 1,16 = 742,40 euros