I Lógica y geometría

CAPÍTULO I
LÓGICA Y GEOMETRÍ A
Introducción
La geometría estudia las propiedades de los cuerpos extensos en el espacio,
haciendo abstracción de todo lo q u e no sea extensión. No se ocupa, por lo tanto, del
color, la dureza, la vida...
Etimológicamente -geos = tierra, metría = medida- deriva de una de las
aplicaciones que motivó su nacimiento: la agrimensura de los campos de Egipto, para que
cada campesino recuperara sus par celas, después de las inundaciones del río Nilo.
Experimentación e Inducción en Geometría
La geometría arranca de la experiencia, y su primera motivación han sido las
necesidades prácticas. Buena parte de los conocimientos geométricos han sido hallados
empíricamente, siquiera en forma aproximada, antes de ser demostrados. Los babilonios,
por ejemplo, tomaban, como longitud de la circunferencia, el triple del diámetro, y el
área del círculo como un doceavo del cuadrado de la circunferencia (averigüe qué valor
asignarían al número π ). Para resolver ciertos problemas geométricos, es aún muy útil
hallar, sobre una figura, una solución empírica, que oriente para buscar la solución
verdadera.
L ó g i c a y Deducción en Geometría
Los conocimientos geométricos han sido organizados desde Eu clides (300 a.C.;
publicó los "Elementos") de acuerdo al método axiomático, copiado después por otras
ciencias (matemáticas y físicas), y perfeccionado, pero no variado su bstancialmente desde
su inicio.
El método axiomático separa las adquisiciones de una ciencia en dos partes
claramente definidas : la parte empírico - inductiva, por un lado, y la parte derivada
mediante combinaciones lógicas, o parte deductiv a, por otro.
Los conceptos empíricos usados se llaman conceptos primitivos (p. e.: punto, recta,
plano, intersección, distancia...). Las proposiciones empírico-inductivas se llaman
axiomas o postulados (p. e.: "Por dos puntos distintos pasa una recta y sólo una").
Los conceptos obtenidos combinando conceptos primitivos (o también
combinándolos con combinaciones de los mismos) se llaman definidos (y necesitan
definición precisa; los conceptos primitivos se pueden explicar, pero no definir).
Las proposiciones obtenidas por deducción se llaman teoremas; los cuales necesitan
una demostración. Un corolario es una proposición cuya deducción es inmediata, a partir
de un teorema ya demostrado.
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El 5º Postulado de Euclides. Geometría no Euclídeas
El 5º postulado de Euclides es mucho menos evidente que los restantes. En una
versión moderna, dicho postulado se expresaría así: "En un plano, por un punto exterior a
una recta pasa una re cta, y só lo una, paralela a la primera". El propio Euclides se dio
cuenta de ello y trató de evitar el uso de dicho postulado, en lo posible, en sus
demostraciones.
La única condición lógica que debe exigirse a un sistema de postulados es que no
sean contradictorios entre sí; porque de lo contrario, consideraríamos inválida la lógica natural
del hombre y renunciaríamos a cualquier ciencia.
Por otra parte, no han faltado intentos de demostrar dicho 5 º postulado, como
consecuencia de los demás. En el siglo XIX, se demostró que dicho postulado era
independiente de los demás (no se podía deducir de ellos) y compatible con ellos (no los
contradecía). Se construyeron distintas geometrías no euclídeas, que prescinden del 5º
postulado de Euclides o lo cambian por otro.
Boylai y Lobatchewsky postularon que por un punto se podían trazar infinitas
paralelas a una recta". Riemann postuló que no se podía trazar ninguna. Los primeros
dedujeron de su sistema que la suma de los ángulos del triángulo es siempre menor que dos
rec tos. El último dedujo que esa suma es siempre mayor que dos rectas.
El mundo aparece, en l a escala humana, como euclideo. Sin embargo, a escala
astrofísica adm ite la geometría de Riemann (mo dificada por el físico Einstein).
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Limitaciones del método axiomático
Desde el punto de vista práctico, el método axiomát ico no puede ser
aplicado con todo su rigor por el estudiante de ingeniería, que debe aceptar
muchas conclusiones ajenas y combinar la deduc ción con la intuición.
Desde el punto de vista t eór ico se presta a construir sistemas de
proposiciones deducidas de postulados que no se cumplen en el mundo r e a l : el
conjunto obtenido puede ser lógico, pero no ref l e j a una realidad; no es por
tanto un conocimiento científico, aún que use correctamente un método
científico.
Estructura de los teoremas. Relaciones entre teoremas
Un teorema se enuncia en form a de una oración condicional (o en una
forma equivalente, que fácilmente puede transformarse, en condicional sin que
cambie de significado). La condición se llama, "hipótesis", y lo
condicionado,"tesis"; ejemplo:
Si saco la l o t e r í a , compraré un carro.
Hipótesis , "saco la l o t e r í a " .
T e s i s , T: "compraré un carro".
La forma esquemática de un teorema es pues, así:
Si se cumple H, también se cumple T.
Un teorema se llama reciproco de otro, llamado directo, cuando la
t e s i s de uno es la hipótesis del otro y viceversa:
Direct o: Si se cumple H, se cumple T.
Recíproco: Si se cumple T, se cumple H.
La certeza de un teorema no implica la cer teza de su recíproco. Así, el
teorema: "Si dos tri ángulos son congruentes, sus ángulos son
respectivamente iguales", tiene un recíproco f a l s o : "Si dos triángulos tienen
sus ángulos respectivamente iguales, son congruentes".
Cuando tanto un teorema como su recíproco son verdaderos, entonces H y T se
cumplen (o incumplen) simultáneamente. Se dice de este caso que H es "condición
necesaria y suficiente" de T. El Teorema de Pitágoras: "Sí un tri ángulo es rectángulo,
el cuadrado del lado mayor (o hipotenusa) es igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos lados (catetos)", tiene un recíproco también verdadero: "Si en un triángulo el
cuadrado del lado mayor es i gual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados,
dicho triángulo es rectángulo".
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Dos teoremas se llaman contrarios cuando la hipótesis y la tesis de uno son las
negaciones respectivas de la hipótesis y la tesis del otro:
−
−
Si se cumple H, se cumule T.
Si no se cumple H, no se cumple T.
La certeza de un teorema no implica la de su contrario. Ejemplo: "Si dos triángulos
son congruentes, sus ángulos son respectivamente iguales" (verdadero); "Si dos triángulos
no son congruentes, sus ángulos no son respectivamente iguales" (falso).
Dos teoremas se llaman contrarrecíprocos cuando cada uno de ellos es el contrario
del recíproco del otro.
−
−
Si es H, es T.
Si no es T, no es H.
Es fácil comprobar que dos teoremas contrarrecíprocos son a la vez verdaderos o
falsos (son equivalentes). En efecto, supongamos que no se cumple T, y se cumple H (se
incumple el segundo teorema); ello vulneraría también el primero, ya que según él, al
cumplirse H, debe cumplirse T.
Cuando para demostrar un teorema, demostramos la certeza de su
contrarrecíproco, la demostración se llama demostración por reducción al absurdo.
El siguiente esquema lógico muestra las relaciones entre un teorema, su recíproco,
contrario y contrarrecíproco:
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Se observa que el recíproco y el contrario son contrarrecí procos entre sí. Por
consiguiente, si son ciertos el directo y el recíproco, también lo es el contrario. Si son
ciertos el directo y el contrario, también lo es el recíproco.
A la vista de la estructura lógica condicional de los teoremas, puede parecer que la
geometría no podrá ser utilizada, porque al decir: "Si se cumple H, también se cumple T"
¿quién garantiza que se cumple H? Tiene que ser justamente el usuario de la geometría,
bajo su responsabilidad, el que decida en cada problema concreto si la hipótesis se
cumple o no.