Tema 5: Sesión 1
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SISTEMAS LINEALES Tema 5. Muestreo 25 de noviembre de 2010 F. JAVIER ACEVEDO [email protected] TEMA 5 Contenidos. • Definición de muestreo • Muestreo ideal • Teorema de Nyquist • Muestreo Instantáneo • Muestreo de señales no limitadas en banda • Muestreo de señales paso-banda ITT Sistemas Telecomunicación SISTEMAS LINEALES. MUESTREO Muestreo: Dada una señal continua x(t), el proceso de muestreo consiste en tomar muestras equiespaciadas de la señal mediante otra señal denominada señal muestreadora p(t). xs (t) x(t) p(t) x(t) t p(t) −Ts Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts 6Ts x(t) t ITT Sistemas Telecomunicación SISTEMAS LINEALES. t MUESTREO IDEAL Muestreo Ideal: En este caso la señal muestreadora p(t) es un tren de deltas de periodo Ts. xs (t) x(t) p(t) = p(t) x(t) t n=−∞ p(t) xs (t) = ∞ P n=−∞ −Ts Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts 6Ts ITT Sistemas Telecomunicación SISTEMAS LINEALES. δ(t − nTs ) Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts 6Ts −Ts xs (t) ∞ P t t x(nTs )δ(t − nTs ) MUESTREO IDEAL Vamos a ver qué pasa en el dominio de la frecuencia. Supongamos que el espectro de x(t) es: X(ω) A −ωm ωm ω Ahora vamos a calcular el espectro de p(t). Para ello, tenemos en cuenta que p(t) es periódica∞ ∞ p(t) = P n=−∞ P (ω) = 2π δ(t − nTs ) P k=−∞ ak δ(ω − kωs ) P (ω) P (ω) = −ωs ωs 2ωs ω ITT Sistemas Telecomunicación SISTEMAS LINEALES. 2π Ts ∞ P k=−∞ ak = δ(ω − kωs ) 1 Ts ∀k MUESTREO IDEAL X2 (ω) = x2 (t) = x(t)p(t) X2 (ω) = 1 Ts ∞ P k=−∞ 1 2π X(ω) X(ω) ∗ δ(ω − kωs ) = ∗ P ω) = 1 Ts ∞ P k=−∞ X(ω) ωm ∗ 2π Ts X(ω − kωs ) ω ∗ ωs −ωs A Ts −ωs k=−∞ 2ωs X2 (ω) −2ωs ∞ P δ(ω − kωs ) P (ω) A −ωm 1 2π X(ω) ωs ITT Sistemas Telecomunicación SISTEMAS LINEALES. 2ωs 3ωs ω 3ωs ω MUESTREO IDEAL Vamos a ver dos ejemplos para dos señales muestreadoras de diferente periodo. En ambos casos suponemos que para la señal X(ω), ωm = 5 rad/s Ejemplo 1: Ts = 2π 15 s ωs = 15 rad/s X(ω) P (ω) 1 5 −5 ω ∗ −15 15 30 X2 (ω) 15 2π −30 −20 −15 −10 −5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 ITT Sistemas Telecomunicación SISTEMAS LINEALES. ω ω MUESTREO IDEAL Si filtramos paso bajo la señal obtenida en el ejemplo anterior y(t) xs (t) x(t) H(ω) 15 2π p(t) −30 −20 −15 −10 −5 −30 −20 −15 −10 −5 10 15 20 25 30 35 40 45 ω H(ω) 5 10 15 20 25 30 35 40 45 ω Y (ω) = X(ω) → y(t) = x(t) Y (ω) = Xs (ω)H(ω) 1 Y (ω) −30 0 |ω| < 5 resto X2 (ω) 5 2π 15 H(ω) = 2π 15 −20 −15 −10 −5 5 Recuperamos la señal original 10 15 20 25 30 35 40 45 ITT Sistemas Telecomunicación SISTEMAS LINEALES. ω MUESTREO IDEAL Ahora veamos el segundo ejemplo en el que el periodo entre muestras es mayor, mientras que seguimos limitando X(ω), ωm = 5 rad/s Ejemplo 2: Ts = 2π 7 s ωs = 7 rad/s X(ω) P (ω) 1 5 −5 ω 7 2π −30 −20 −15 −10 −5 ∗ −14 −7 7 14 21 28 X2 (ω) 5 10 15 20 25 30 35 40 45 ITT Sistemas Telecomunicación SISTEMAS LINEALES. ω ω MUESTREO IDEAL Si filtramos paso bajo la señal obtenida en el ejemplo anterior y(t) xs (t) x(t) H(ω) 7 2π p(t) −30 −20 −15 −10 −5 −30 −20 −15 −10 −5 10 15 20 25 30 35 40 45 ω H(ω) 5 10 15 20 25 30 35 40 45 ω Y (ω) 6= X(ω) → y(t) 6= x(t) Y (ω) = Xs (ω)H(ω) 1 Y (ω) −30 0 |ω| < 5 resto X2 (ω) 5 2π 7 H(ω) = 2π 7 −20 −15 −10 −5 5 No Recuperamos la señal original 10 15 20 25 30 35 40 45 ITT Sistemas Telecomunicación SISTEMAS LINEALES. ω TEOREMA DE NYQUIST xs (t) x(t) y(t) H(ω) p(t) Teorema de Nyquist: Dada una señal limitada en banda X(ω) = 0 ∀|ω| > ωm podemos recuperar la señal a partir de sus muestras si se cumple: ωs ≥ 2ωm A la pulsación ωs = 2ωm se la conoce normalmente como pulsación de Nyquist. En la práctica debemos muestrear por encima de la frecuencia de Nyquist pues es imposible realizar un filtro ideal. ITT Sistemas Telecomunicación SISTEMAS LINEALES. TEOREMA DE NYQUIST Ejemplo: Dada la señal: x(t) = 5 2π sinc ¡ 5t ¢ 2π Muestreada de forma ideal mediante la señal: p(t) = ∞ P n=−∞ δ(t − 6πn) ¿Podemos recuperar la señal original? ITT Sistemas Telecomunicación SISTEMAS LINEALES. MUESTREO NATURAL En la práctica es imposible obtener un tren de deltas como señal muestreadora. Vamos a ver qué pasa cuando multiplicamos por una señal periódica, de periodo Ts, como por ejemplo un tren de impulsos de anchura τ. X(ω) B A p(t) 6Ts −ωm ωm ω −Ts Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts 6Ts t 6Ts − τ 2 6Ts + Calcularemos en primer lugar la transformada de p(t). Puesto que se trata de una señal periódica debemos calcular los ak correspondientes a esa señal. P (ω) = 2π ∞ P k=−∞ ak δ(ω − kωs ) ak = (Tablas) = ITT Sistemas Telecomunicación SISTEMAS LINEALES. Bτ Ts sinc ¡ kω τ ¢ s 2π τ 2 MUESTREO NATURAL En la práctica es imposible obtener un tren de deltas como señal muestreadora. Vamos a ver qué pasa cuando multiplicamos por una señal periódica, de periodo Ts, como por ejemplo un tren de impulsos de anchura τ. X(ω) B A p(t) 6Ts −ωm ωm ω t Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts 6Ts −Ts 6Ts − τ 2 6Ts + Calcularemos en primer lugar la transformada de p(t). Puesto que se trata de una señal periódica debemos calcular los ak correspondientes a esa señal. ∞ P (ω) = 2π P k=−∞ ak δ(ω − kωs ) 2πa−2 −2ωs ak = (Tablas) = P (ω) 2πa−1 −ωs 2πa0 Bτ Ts sinc 2πa1 2πa2 ωs 2ωs ITT Sistemas Telecomunicación SISTEMAS LINEALES. ω ¡ kω τ ¢ s 2π = Bτ Ts sinc τ 2 ³ ´ τ k Ts MUESTREO NATURAL X2 (ω) = x2 (t) = x(t)p(t) X2 (ω) = ∞ P k=−∞ X2 (ω) = 1 2π X(ω) X(ω) ∗ ak δ(ω − kωs ) = ∞ P k=−∞ B Tτs sinc(k Tτs )X (ω ∗ P ω) = ∞ P k=−∞ k=−∞ Cada réplica del espectro queda escalada por ak − kωs ) ω ∗ 3ωs ωs −ωs 2ωs X2 (ω) ABτ Ts ABτ τ Ts sinc(−2 Ts ) −2ωs ABτ τ Ts sinc(− Ts ) −ωs ak δ(ω − kωs ) P (ω) A ωm ∗ ∞ P ak X(ω − kωs ) = X(ω) −ωm 1 2π X(ω) ABτ τ Ts sinc( Ts ) ABτ τ Ts sinc(2 Ts ) ωs ITT Sistemas Telecomunicación SISTEMAS LINEALES. 2ωs 3ωs ω ω MUESTREO NATURAL Como hemos podido ver en el ejemplo anterior, la diferencia con el muestreo ideal es que cada réplica aparece escalada por los coeficientes correspondientes. Por tanto, el teorema de Nyquist sigue siendo válido y podemos recuperar la señal si: ωs ≥ 2ωm Ejemplo: Calcular la señal de salida y(t) y deducir si se cumple el teorema de Nyquist. x(t) p(t) ¡ 4¢ x(t) = 4πsinc t 2π ωm = y(t) xs (t) h(t) p(t) = ∞ P n=−∞ 4 ³ t−n π 3 π 12 ωs = ITT Sistemas Telecomunicación SISTEMAS LINEALES. ´ H(ω) = 1 |ω| < 3 0 resto MUESTREO NATURAL X(ω) P (ω) X2 (ω) ω ω ω 1 −3 H(ω) 3 ω Y (ω) ω ITT Sistemas Telecomunicación SISTEMAS LINEALES.
