Capitulo 5 - Linealizacion_Predistorsion

Capítulo 5: Técnicas de linealización. Predistorsión.
CAPÍTULO 5: TÉCNICAS DE LINEALIZACIÓN.
PREDISTORSIÓN.
5.1 Introducción
En este capítulo realizaremos una descripción de las principales técnicas que existen para
la linealización. Las podemos dividir en dos grandes grupos:
1) Métodos en los que se reduce la distorsión: Aquí se incluyen los sistemas en los que,
mediante un mecanismo (linealización), se elimina o se compensa la distorsión
introducida por el amplificador. Esta compensación se puede efectuar tomando una
muestra de los productos de intermodulación generados por el PA e inyectándolos
apropiadamente desfasados en la salida (feedforward), o tomando una muestra de la
señal de salida e introducirla a la entrada (feedback), o bien mediante una alteración
apropiada de la forma de la envolvente de la señal de entrada (predistorsión).
2) Métodos en los que se evita la distorsión: Aquí incluimos los métodos en los que la
señal original con envolvente variante en el tiempo se transforma en dos señales de
envolvente constante. Estas señales son amplificadas por separado y sin distorsión y
posteriormente son recombinadas produciendo una réplica amplificada de la señal
original (LINC). Otra alternativa es la de separar la señal con envolvente variable en sus
componentes polares de amplitud y fase. La amplitud es utilizada para modular la
tensión de alimentación del amplificador y la fase es incorporada en una señal con
envolvente constante que es amplificada sin distorsión en el PA (Envelope Elimination
and Restoration, EE&R).
5.2 Feedback
La técnica de feedback es muy simple y ofrece una reducción de la distorsión de
intermodulación (IM) razonable. Desde su invención ha sido utilizada universalmente para la
corrección de cualquier tipo de error. En esta técnica se sacrifica la ganancia del amplificador
en favor de la linealidad. Cuando trabajamos con frecuencias de audio esto no es problema, ya
que a esas frecuencias la estabilidad del dispositivo es relativamente fácil de lograr gracias al
pequeño ancho de banda requerido. En cambio, cuando consideramos amplificadores de RF,
los problemas en el uso de feedback llegan a ser considerables y todo el diseño debe hacerse
con mucho cuidado [5.3]. En estos casos, el ancho de banda suele ser mayor que en
audiofrecuencias, los ciclos temporales son mucho más pequeños de la señal de entrada
(suponiendo que sea sinusoidal) y la ganancia y estabilidad son más difíciles de conseguir.
Como resultado, la linealidad requerida en sistemas de RF es mucho mayor que la requerida en
los sistemas de audio. En la Figura 5.1 se muestra el esquema de la versión directa de esta
técnica, denominada direct feedback:
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Capítulo 5: Técnicas de linealización. Predistorsión.
Figura 5.1 Esquema técnica direct feedback
En el camino hacia delante, véase la Figura 5.1, se encuentra el sistema que se
pretende controlar, en nuestro caso el amplificador de potencia. Existe también un elemento
comparador, que sirve para obtener la señal de error restando (en tensión) la señal de entrada
con la señal a la salida de la retroalimentación.
Si consideramos que el PA tiene una ganancia A y calculamos la relación entre la
entrada x(t) y la salida y(t), llegamos al siguiente resultado:
= (5.1)
Asumiendo que la ganancia del amplificador es mucho mayor que el divisor de tensión,
es decir, A>>K, podemos aproximar del siguiente modo:
= (5.2)
El resultado que se obtiene es una ganancia del sistema K que, aunque sea menor que
la ganancia original del amplificador, es más estable (la ganancia K es mucho más fácil de
controlar que la del amplificador). Además, esta reducción de la ganancia se puede superar en
algunas aplicaciones realimentando una muestra de distorsión en lugar de una muestra de la
señal de salida del amplificador. Por el contrario, en los sistemas RF, el requerimiento de que
A>>K conlleva un coste elevado. En esos casos, sólo pueden aplicarse pequeñas cantidades de
feedback en las etapas individuales del PA, con el resultado de que la reducción de la
distorsión es menor. Aunque consiguiéramos reducir el problema aplicando el feedback en una
multietapa completa del PA, la técnica de feedback puede volverse inestable, debido al retraso
significativo a través del camino hacia delante del sistema respecto al periodo de la señal de
entrada a la frecuencia RF de operación. En otras palabras, la estabilidad depende de la
ganancia y el margen de fase del lazo [5.5].
Aparte de la versión directa de feedback que hemos presentado (direct feedback)
existen otras versiones de linealización negativa agrupadas bajo el nombre de modulation
feedback, a saber: realimentación polar (polar feedback), realimentación cartesiana (Cartesian
feedback) y realimentación de la envolvente (envelope feedback).
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Capítulo 5: Técnicas de linealización. Predistorsión.
5.3 Feedforward
Esta técnica de linealización es la más eficaz y es empleada en la actualidad en
sistemas multiportadora de frecuencia elevada, ya que ofrece simultáneamente excelentes
prestaciones de ancho de banda y una buena disminución de la distorsión IM. La arquitectura
de la misma se puede observar en la Figura 5.2.
Figura 5.2: Esquema del linealizador feedforward
Podemos resumir en los siguientes pasos el camino que recorre la señal de entrada [5.5]:
1) La señal de entrada se bifurca en dos ramas.
2) En la rama superior se coloca el PA que se quiere linealizar.
3) A la salida del PA se coloca un acoplador que extrae una muestra de la señal de la
rama superior en la que tenemos la señal de entrada amplificada y a la que se añade la
distorsión del PA.
4) En la rama inferior, a la señal de entrada se le aplica un retardo igual al que produce el
amplificador.
5) Si a la señal que se extrae del acoplador le restamos la señal a la entrada de la rama
inferior, nos queda aislada la distorsión que produce el PA.
6) Esta distorsión se amplifica y se añade a la rama inferior utilizando otro acoplador que
invierte la fase de la distorsión.
7) A la señal de la rama superior (señal de entrada más distorsión) le hemos añadido la
distorsión en contraste, por tanto, nos queda la señal de entrada amplificada.
Las principales propiedades y ventajas respecto a la técnica feedback, que presenta la
técnica feedforward son:
1) La corrección con feedforward no reduce (idealmente) la ganancia del PA. Esto supone
una mejora respecto a feedback, en la cual la linealidad se consigue a costa de la
ganancia.
2) El producto ganancia-ancho de banda se conserva en la banda de interés. Esto
contrasta con la técnica feedback, en la que a menudo se requiere elevados anchos de
banda para poder llegar a los niveles de corrección requeridos.
3) La corrección es independiente de la magnitud de los retrasos del amplificador dentro
del sistema. Una alta ganancia en amplificadores RF seguramente tendrá un retraso de
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Capítulo 5: Técnicas de linealización. Predistorsión.
4)
5)
6)
7)
8)
grupo elevado y esto es desastroso para las formas feedback debido a que es una
técnica potencialmente inestable.
La corrección no se basa en eventos pasados. El proceso se basa en ver qué está
ocurriendo actualmente.
La configuración básica de feedforward es incondicionalmente estable. Esta es una de
las ventajas más importantes.
El nivel de corrección depende del número de etapas que se consideren. El coste es el
principal factor que limita este número.
El amplificador del error, idealmente, sólo necesita procesar la información de la
distorsión del amplificador principal y, por tanto, puede ser de mucha menor potencia
que el amplificador principal.
En los sistemas feedforward de una sola etapa, el fallo de alguno de los dos
amplificadores producirá una degradación de la respuesta y posiblemente una
disminución en el nivel de potencia a la salida.
Como inconvenientes destacamos el hecho de que, al ser de lazo abierto, no se
compensan los cambios que sufren los componentes con el paso del tiempo y la temperatura.
También es necesario mantener, en un alto grado sobre el ancho de banda de interés, los
elementos del circuito tanto en amplitud como en fase. Por último, esta técnica requiere de un
circuito más complejo que otras técnicas, como feedback.
5.4 Linear amplification with Nonlinear Components (LINC)
La técnica LINC convierte la señal de entrada de envolvente no constante en dos
señales de envolvente constante que son amplificadas por amplificadores clase C y después
combinadas, con bajas pérdidas y gran aislamiento, antes de la transmisión. Así conseguimos
una versión amplificada de la señal original [5.3].
Dado que la señal es en general una señal de gran ancho de banda y dependiente de la
modulación, un balance imperfecto entre las ramas del LINC hace que la porción no cancelada
de la señal aparezca a la salida del combinador, como distorsión fuera de banda. Aún logrando
un balance perfecto, las técnicas LINC que hacen uso de combinadores de potencia
convencionales son susceptibles a la modulación empleada, y se ha observado que la eficiencia
de potencia disminuye en los sistemas M-arios a medida que aumenta M. En la Figura 5.3 se
representa el esquema de la técnica comentada.
Figura 5.3: Esquema de la técnica LINC
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Capítulo 5: Técnicas de linealización. Predistorsión.
5.5 Envelope Elimination and Restoration (EE&R)
El esquema básico de un linealizador mediante la eliminación y restauración de la
envolvente se muestra en la Figura 5.4. A una frecuencia intermedia, la señal de entrada es dividida en sus dos componentes polares: la envolvente y la fase , ésta última
contenida en una señal cos + con envolvente constante a la frecuencia
intermedia original. La señal con envolvente constante es trasladada a radiofrecuencia
mediante un mezclador y posteriormente amplificada sin distorsión en el amplificador de
potencia. La envolvente variable es restituida a la señal amplificada mediante la modulación de
la tensión de alimentación del PA. Esta técnica presenta dos problemas: por un lado es crítico
que la fase sea la misma en los dos caminos que recorre la señal; por otro lado, restablecer la
envolvente de forma eficiente desde el punto de vista de la potencia es complicado [5.5].
Figura 5.4: Esquema EE&R.
5.6 Predistorsión
Esta es la técnica elegida para linealizar nuestro amplificador de potencia en el
proyecto que nos atañe. Esta técnica trata de modificar las características de la señal
modulada antes de pasar por la parte no lineal de nuestro sistema, i.e. el amplificador de
potencia.
Por lo general, se trata de un algoritmo que actúa sobre la señal que queremos
transmitir en base a unos coeficientes de un modelo que hemos supuesto para estimar las no
linealidades. Las dos partes más importantes a la hora de diseñar un predistorsionador son: el
modelado de la parte no lineal (con memoria a ser posible) del sistema; y el método de ajuste
de los coeficientes de ese algoritmo para conseguir un resultado global lineal. Además, el
funcionamiento del predistorsionador se suele comprobar mediante medidas de laboratorio a
nivel de circuito. Estos métodos basados en simulación de circuito y posteriores medidas de
laboratorios se llaman técnicas de modelado basadas en el comportamiento (behavioral
modeling). Hay que tener en cuenta que cualquier error de modelado a nivel de circuito se
reflejará en el modelo de comportamiento. Alternativamente, se pueden derivar a partir de
medidas realizadas sobre dispositivos, relacionando la forma de onda de salida con la de
excitación. La principal limitación que ofrece este método es que la bondad del modelo
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Capítulo 5: Técnicas de linealización. Predistorsión.
resultante depende fuertemente de la calidad de las medidas realizadas, lo que hace necesario
el uso de instrumentación muy específica, capaz de detectar efectos de memoria.
Los modelos más usuales son los comentados en el Capítulo 4, con especial
predilección por los modelos basados en series de Volterra. Estos modelos tienen la
peculiaridad de que ofrecen buenos resultados tanto para sistemas no lineales con memoria
como sin memoria. No obstante, como veremos a continuación, también son posibles otros
modelos como los modelos en series de Fourier.
Una vez escogido el modelo con el que trabajar, se procede a una identificación de
parámetros. Para ello, se aplica el algoritmo, desde un estado inicial, a la señal y se hace pasar
por la parte no lineal. A continuación, se recoge la salida y se realiza algún procedimiento de
ajuste de los parámetros del algoritmo para conseguir una linealización lo mejor posible. Esto
se suele hacer mediante algún tipo de regresión matemática, i.e mínimos cuadrados, y, en
algunas ocasiones, se tiene en cuenta la estadística de la señal de entrada para conseguir un
ajuste más rápido. La forma de ajustar será por iteración entrada-distorsión-recuperaciónajuste. Estas iteraciones se suelen hacer de dos formas: (i) de manera continua y adaptativa; y
(ii) mediante entrenamiento.
El método adaptativo se realiza de manera continua durante toda la transmisión de la
señal. De esta forma, cambios en las características del PA o del canal en general pueden ser
recogidos por el algoritmo, consiguiendo un ajuste bueno para infinidad de situaciones. Esto,
siempre y cuando la velocidad de convergencia, i.e. cómo de rápido el algoritmo reajusta sus
parámetros para conseguir un comportamiento no lineal, sea lo suficientemente rápido como
para adaptarse a los cambios del canal.
Por otro lado, los métodos basados en entrenamiento, consiguen el ajuste de los
parámetros del algoritmo mediante señales de entrenamiento que se transmiten al comienzo
de la vida de la transmisión y, ocasionalmente, en distintos momentos después de la puesta a
punto inicial. Esto puede parecer peor que el caso anterior, pero es muy válido para canales en
los que se prevé que la no linealidad cambie poco, o en los que el modelo de no linealidad se
ajuste muy bien al comportamiento del PA.
5.6.1 Métodos adaptativos
Los métodos adaptativos se llaman así por la forma en que consiguen la convergencia
de sus parámetros, en contraposición con los métodos basados en entrenamiento. La mayoría
de los métodos adaptativos se basan en una técnica que utiliza una tabla de datos (look up
table). Esta se rellena a partir de muestras discretas proveniente de la aplicación de algún
algoritmo de modelado, i.e. series de Volterra, a la señal que queremos transmitir. Es decir,
usando un modelo, generamos una correspondencia entre valor de la señal de entrada y valor
de la señal que debe pasar por el PA, de forma que la señal a la salida del PA tenga un
comportamiento lineal con respecto a la señal que queremos transmitir [5.5].
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Capítulo 5: Técnicas de linealización. Predistorsión.
Figura 5.5: Esquema de un predistorsionador adaptativo.
En la Figura 5.5 se muestra la tabla de correspondencia (LUT) a la salida de la fuente y
el bucle de realimentación del algoritmo adaptativo que rellena la LUT.
Esto funciona bien para señales de banda estrecha. Sin embargo, si consideramos
sistemas de banda ancha, el amplificador de potencia presenta memoria, la tabla con las
muestras pre-computadas se hace muy grande y el procedimiento para la selección de la
muestra siguiente se hace muy complejo. Además, si el amplificador cambia sus
características, toda la tabla debe actualizarse y la estrategia de selección cambia de nuevo.
Un desarrollo alternativo es la utilización de un esquema de control no lineal
adaptativo, Figura 5.6, basado en el Modelo de Referencia Adaptativa de Control. Los
parámetros del controlador (predistorsionador) son ajustados de manera adaptativa, para
conseguir la mínima desviación con respecto al resultado objetivo, en nuestro caso, un
comportamiento lineal.
Las dificultades de este esquema no son triviales: una estructura de control específica
junto con un algoritmo de control robusto deben ser diseñados. Se suele usar como criterio de
diseño en estos casos maximizar la potencia entregada por el amplificador.
Figura 5.6: Esquema de un predistorsionador basado en el modelo de Referencia Adaptativa de Control.
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Capítulo 5: Técnicas de linealización. Predistorsión.
5.6.2 Predistorsión mediante Series de Fourier.
Es un predistorsionador basado en series de Fourier para caso sin memoria. Se trata
de aplicar las conocidas series de Fourier para estimar la no linealidad.
El modelo de Fourier proviene de las series de Fourier aplicadas a la relación
entrada/salida del sistema no lineal real. Si [] denota la relación del sistema no lineal, y x es
la entrada, la aproximación de orden N de Fourier es la siguiente:
[] ≈ [] = ∑%
&'% ∙
!"# $
(5.3)
Es importante recordar que, para evitar el aliasing en la aproximación dada por el
modelo de Fourier, la señal de entrada debe estar limitada en banda, i.e. ∈ [−*+,$ , *+,$ ],
01
01
./ = 02 ≤ 02
#
456
(5.4)
Una vez que tenemos el orden, N, y la frecuencia (por elección), el sistema es lineal
con el resto de coeficientes, 7 8. Esta propiedad hace posible el uso de un criterio de mínimos
cuadrados para el diseño de los coeficientes 7 8 y, además, se pueden usar los métodos
adaptativos clásicos para encontrar la solución.
En los problemas de predistorsión del Amplificador de Potencia, son de especial
interés los modelos que sólo consideran la parte par o impar de un modelo. Así, el modelo de
Fourier admite una simplificación cuando tiene simetría impar o par. La simplificación es
considerable al conseguirse coeficientes reales.
5.6.3 Predistorsionador basado en Series de Volterra
El nombre de este predistorsionador se debe a que el modelo empleado para modelar
la no linealidad serán las ya analizadas series de Volterra. En ocasiones será suficiente emplear
un modelo simplificado del mismo, como los de Wiener y Hammerstein.
Es el más empleado, por la exactitud de los resultados que proporciona, y por su
capacidad de modelar los efectos de memoria y sin memoria [5.4]. Se puede emplear tanto
con métodos de entrenamiento para conseguir el ajuste deseado, como con métodos
adaptativos.
En cuanto al ajuste de los parámetros, es muy común verlo junto con un ajuste de
mínimos cuadrados. También se pueden encontrar artículos en los que se presenta con un
estudio estadístico de la señal de entrada.
El predistorsionador que implementaremos en al apartado siguiente usará el modelo
simplificado de las series de Volterra que estudiamos en el capítulo 4, denominado Memory
Polynomial [5.1]. A continuación lo desarrollaremos, se trata de un predistorsionador en bucle
abierto.
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Capítulo 5: Técnicas de linealización. Predistorsión.
5.6.3.1 Predistorsionador en bucle abierto
La mayoría de las técnicas de predistorsión con memoria usan mecanismos de
adaptación en bucle cerrado estimando los parámetros del predistorsionador digital (DPD) de
forma iterativa. Esta configuración incrementa significativamente la complejidad del sistema y
el coste de la implementación [5.1].
En este proyecto aplicamos la caracterización del DPD con memoria mediante un
sistema en bucle abierto. Que nos permite la obtención de los parámetros del DPD mediante
un simple proceso en offline. A continuación vemos una representación del esquema que
vamos a desarrollar, Figura 5.7.
Figura 5.7 Esquema del conjunto Predistorsionador-Amplificador de Potencia
Para linealizar el PA tenemos dos maneras, que se basan en la teoría de la inversa de orden p:
1) Pre-inversión de orden p: De acuerdo con esta teoría, para linealizar el sistema H,
podemos hacer que el sistema G, de la Figura 5.7 sea la pre-inversión de orden p del
'=
sistema H [5.2], como vemos en la Figura 5.8, y que llamaremos 9:;<
. Esto requiere
que todas las funciones de transferencia hasta las de orden p del sistema global Q sean
cero, exceptuando la de primer orden:
>[?@] = × ?@ + ∑B
?@]
&:= > [
(5.5)
Donde k es la ganancia esperada y > [∙] representa las no linealidades de orden n de
Q. Puesto que las no linealidades más allá de del orden p son insignificantes, podemos
considerar que el sistema Q llega a ser lineal después de la inversión de orden p de H.
Generalmente, para obtener la pre inversa, tenemos que extraer la función H de
antemano y entonces hacer luego la inversión aplicando (5.5). Pero este proceso es
muy costoso computacionalmente para modelos con memoria.
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Capítulo 5: Técnicas de linealización. Predistorsión.
Figura 5.8: Esquema Pre-inverso
2) Post-inversión de orden p: El sistema H también puede ser linealizado insertando un
'=
bloque a continuación al PA que llamaremos post inversión de H, 9:/CD
. El esquema lo
podemos ver en la Figura 5.9.
Figura 5.9: Esquema Post-inverso
En este caso no es necesario caracterizar de antemano el PA y luego calcular la inversa.
Veamos cómo es posible esto. Si asumimos que la entrada al sistema post-inverso,
'=
9:/CD
, es ?@, para hacer que el sistema global S sea lineal, la salida esperada del
'=
9:/CD
debe ser una versión amplificada y lineal de la entrada original al sistema S [5.1].
Ẽ @ = × ?@
(5.6)
'=
Donde k vuelva a ser la ganancia esperada. Por lo tanto, la función del 9:/CD
puede ser
extraída directamente de la entrada y salida medidas en el PA, ?@ e ?@. El
'=
problema está en que el bloque 9:/CD
no se puede utilizar directamente en una
aplicación real de un transmisor, ya que no es viable insertar un bloque linealizador
después del PA.
Se puede realizar un ajuste que hará realizable el diseño del DPD en bucle abierto. Está
probado que en un sistema de Volterra, la pre-inversa de orden p de H, es idéntica a la postinversa de orden p de H dentro de las no linealidades de orden p. Por lo tanto, si con la post'=
'=
inversa de H, S llega a ser lineal, podemos entonces, reemplazar 9:/CD
por 9:;<
en el sistema
Q y este sistema Q, llegará a ser lineal y se podrá utilizar en un transmisor real.
Esto quiere decir que, para obtener los coeficientes del DPD, en vez de obtener los de
'=
'=
la función 9:;<
, obtenemos los del 9:/CD
, ya que, la entrada y la salida de esta función las
podemos tener disponibles de antemano con un proceso offline, sin tener que utilizar la
estimación en bucle cerrado en tiempo real.
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Capítulo 5: Técnicas de linealización. Predistorsión.
5.6.3.2 Representación con Serie de Volterra. Ganancia esperada.
Igual que hicimos para el PA en el capítulo 4, vamos a utilizar una representación de la
función usando una serie de Volterra simplificada teniendo en cuenta los efectos de memoria.
N
!'=
EGH @ = ∑J&O ∑
!&=,/MM:,;D ℎ!,J @ − K|@ − K|
(5.7)
Siendo ẼGH @ la salida del DPD, ?@ la salida del PA y la entrada al DPD. Q es la
longitud de la memoria y K es el orden de la no linealidad.
Antes de obtener los coeficientes del kernel de Volterra del DPD, hay que normalizar
los datos que intervienen en el modelo de extracción, para que el nivel de potencia sea el
mismo al de la señal de entrada original y puedan ser usados directamente en el DPD después.
Los predistorsionadores basados en lookup table (LUT) eligen como ganancia esperada
la de máxima, que es la respuesta linealizada del PA, como podemos ver en la Figura 5.10. Sin
embargo, como el predistorsionador solo puede corregir la distorsión hasta el límite del nivel
de saturación del amplificador, es decir, el punto en el que cualquier incremento de la
potencia de entrada no produce un incremento en la potencia de salida, por lo que la máxima
entrada permitida para el predistorsionador puede sólo alcanzar el punto donde la respuesta
lineal se cruza con el límite de saturación.
Figura 5.10: Linealización para la ganancia máxima
Por lo que, como observamos en la Figura 5.10, la entrada original al sistema y la
entrada predistorsionada (la salida del DPD) tendrán diferentes valores de pico. Esto requerirá
un esfuerzo de calibración y también incrementa la complejidad de controlar la potencia de
entrada en el sistema final que implementemos debido a esta diferencia de niveles de pico que
ocurren antes y después del DPD.
Podemos solucionar este problema eligiendo una ganancia esperada que me normalice
la señal de entrada predistorsionada para que alcance la máxima potencia de la entrada
original, como se muestra en la Figura 5.11:
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Capítulo 5: Técnicas de linealización. Predistorsión.
Figura 5.11: Linealización con una ganancia esperada dirigida hasta el máximo nivel de potencia.
Entonces podemos definir la ganancia esperada, k, de la siguiente manera:
=
G,$[|P?|]
G,$[|$?|]
(5.8)
Donde ?@ y ?@ son la envolvente compleja de la salida y la entrada del PA,
respectivamente. Hay que decir, que estamos asumiendo que la potencia de salida del PA
aumenta monótonamente con la potencia de entrada, es decir, el pico de potencia ocurre solo
con la máxima potencia de entrada [5.1]. Con esta ganancia esperada que hemos definido, la
entrada original y la predistorsionada alcanzan el mismo nivel de potencia máximo en la
entrada. El único problema es que hemos perdido ganancia en el sistema global.
5.6.3.3 Cálculo de los coeficientes del kernel de Volterra
Ahora simplemente nos queda calcular los coeficientes del kernel de Volterra. Ya
sabemos cómo normalizar las señales implicadas en la función (5.7), por lo que el
procedimiento para calcular los coeficientes es el siguiente.
La señal de salida del DPD será: ?@ y la de entrada normalizada:
?@Q
, siendo k la
ganancia esperada, ecuación (5.8), calculada anteriormente.
Por lo tanto aplicando la técnica de los mínimos cuadrados:
X
UQ V ∙ TWWWWWWWW
UQ VY
R = STWWWWWWWW
9
'=
X
WWWWWWWW
∙ TUQ V ∙ *ZGH
(5.9)
Obtenemos los coeficientes deseados. Como se puede observar, se calcula de la misma
manera que hemos calculado el PA en el capítulo anterior, en el apartado 4.4, pero ahora,
teniendo en cuanta la normalización de las señales.
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Capítulo 5: Técnicas de linealización. Predistorsión.
5.7 Bibliografía
[5.1] Anding Zhu, Paul J. Draxler, Jonmei J. Yan, “Open-Loop Digital Predistorter for RF Power
Amplifiers Using Dynamic Deviation Reduction-Based Volterra Series”, IEEE Transactions on
microwave theory and techniques, vol. 56, No. 7, pp. 1524-1534, Julio 2008.
[5.2] Chi-Hao Cheng, Edward J. Powers, “A reconsideration of the pth-order inverse
Predistorter”, IEEE 49th Vehicular Technology Conference, vol. 2, pp. 1501-1504, Julio 1999.
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modulación OFDM”, Proyecto Fin de Carrera, Escuela Técnica Superior de Ingeniería,
Universidad de Sevilla, 2006.
[5.4] A. Pages-Zamora, Miguel A. Lagunas, Tomás Jiménez “Memoryless Predistortion of
Nonlinear Amplifiers Based on Fourier Series Based Models”, Statistical Signal and Array
Processing, 1996. Proceedings., 8th IEEE Signal Processing Workshop, pp. 375-378, Junio 1996.
[5.5] Alfonso Zozaya Sahaad, “Aportación a la Linealización de Amplificadores de Potencia
Mediante la Teoría de la Hiperestabilidad”, Tesis Doctoral, Universidad Politécnica de Cataluña,
2002.
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