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1.3. Principios del
Análisis Real
En este tema recogemos lo que bajo
el nombre de Principios se presenta como
herramienta esencial en nuestro camino.
1.3.1 Principio de Inducción
Con este principio vamos a introducir el bien
conocido conjunto Í de los números naturales.
Lo haremos introduciendo una muy útil definición,
la de conjunto inductivo, que dará nombre a un
método de demostración que usaremos cada vez
que queramos probar un resultado que involucre
fórmulas donde aparezcan números naturales.
Definición 1
Sea A un cto de números reales.
Se dice que A es inductivo si se verifican las
dos condiciones siguientes
i) 1ŒA, y
ii) Si xŒA, entonces x+ 1ŒA
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Definiciones
Definición 2
Llamamos cto Í de los números naturales al cto
intersección de todos los subctos inductivos de
Ñ, es decir:
Í:=»{AÕ Ñ / A es inductivo}
Í es inductivo, aunque lo realmente importante
es que Í es el cto inductivo más pequeño; eso es
lo que nos dice la siguiente
Proposición 1
Si A es un cto inductivo tal que AÕ Í , entonces
A= Í
La prueba es evidente, puesto que por ser Í
inductivo, se tiene que Í Œ A.
Teniendo esto en cuenta, obtenemos un principio,
el cual nos proporciona un método matemático
para demostrar la validez de una propiedad para
todo número natural
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Principio de Inducción
Principio de Inducción
Supongamos que para cada natural n podemos
enunciar una proposición p(n)
Entonces, si p(1) es verdadera y la veracidad de
p(n) implica la veracidad de p(n+1) tendremos
que p(n) es cierta para todo n natural
Por ejemplo Ñ y Ñ+ son inductivos, mientras
que Ñ- y Ñ* no lo son
La función potencia real de exponente natural
(Fotocopias)
Corolario 1
i) n≥1, para todo nŒÍ
ii) Dados m,nŒÍ se tiene que m+n,mnŒÍ
iii) nŒÍfi-nŒÍ
iv) Si nŒÍ y 1/nŒÍ fin=1.
v) Si nŒÍ y nπ1fin-1ŒÍ
vi) Dados m,nŒÍ se tiene que n<m¤m-nŒÍ
vii) Dados m,nŒÍ se tiene que n<m¤n+1£m
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Principios de Arquímedes y
Buena Ordenación
1.3.2 Principio de Arquímedes El cto Í de los
números naturales no está mayorado, es decir,
dado x ŒÑ , existe nŒÍ tal que x<n.
Presentamos ahora otro resultado relativo a Í de
crucial importancia :
Í es discreto, esto es, cada número natural tiene
su siguiente a salto de uno, es lo que viene a decir
la siguiente proposición:
Proposición:
Si nŒÍ y x ŒÑ es tal que n<x<n+1fixœÍ.
1.3.3. Principio de la Buena ordenación
Todo cto no vacío de números naturales
tiene mínimo.
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1.4. Conjuntos distinguidos
En este tema recogemos contenidos que amplian
la gama de conjuntos de números reales que son
de interés por sí mismos.
Llamamos conjunto Ù de los números enteros
al conjunto
Ù:=Í«{-n:nŒÍ}«{0}
Es fácil probar que la diferencia de dos números
naturales es siempre un número entero y que,
recíprocamente,
todo número entero se puede expresar
como diferencia de dos naturales. Esta forma de
expresar los números enteros es útil para probar
el siguiente resultado:
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Proposición
Si pŒ Ù fi -pŒ Ù
i)
La suma y el producto de dos numeros
enteros son números enteros.
iii) Si pŒ Ù\{0} y p-1Œ Ù , entonces p=1 ó p=-1.
iv) Ù no tiene ni máximo ni mínimo
v) p, qŒ Ù con p<qfip+1£q
vi) Todo cto de números enteros no vacío y
mayorado (resp. minorado) tiene máximo
(resp. mínimo).
Vemos tb que el orden de los enteros es discreto,
como cabía esperar en vista de su definición a
partir de los naturales.
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Definición (Potencias de exponente entero)
Sea x un número real. Las potencias de exponente
natural de x vienen dadas por recurrencia del
siguiente modo:
x1=x,
,xn+1=xnx, para todo n natural
Si xπ0, definimos además x0=1 y x-n=1/xn para
todo n natural.
Es inmediato a partir de esta def. que para cualesq.
x en Ñ* y pŒ Ù , se verifica que xp=1/x-p.
Propiedades de las potencias de exponente entero
Sean x,y en Ñ* y p,q Œ Ù. Entonces
i)
xp+q=xpxq
iii) (x/y)p=xp/yp
ii) (xy)p=xpyp
iv)(xp)q=xpq=(xq)p.
Si x,y ŒÑ+ y p ŒÍ, se tiene además
v) x<y¤ xp< yp
vi) Finalmente, para x>1: p<q¤ xp< yq
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La función parte entera
Llamamos función parte entera a la función f de
Ñ en Ù dada por E(x):={kŒ Ù :k£x}
Llamamos cto Ð de los números racionales al cto
Ð:= {x ŒÑ tal que x=p/q con pŒ Ù y qŒÍ}
El orden de los racionales no es discreto y existen
muchos racionales que no son enteros
Ð es un cuerpo conmutativo ordenado
(con las operaciones y la relación heredada de Ñ ).
Además, ÍÃÙÃÐÃÑ.
Sabemos que las dos primeroas inclusiones son
estrictas. Para comprobar la tercera hacemos
uso del axioma del supremo.
Dedicamos el resto del tema a poner de manifiesto
que Ñ es más grande que Ð
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Es fácil comprobar que no existe un número
racional r tal que r2=2. En cambio, el axioma del
Supremo permite probar que la situación es muy
distinta en el caso real:
Proposición
Sea a ŒÑ, con a≥0, y sea n un natural. Entonces
existe un único número real x≥0 tal que xn=a. El
real x se llama raiz n-ésima no negativa de a y se
denota por
n
a o bien a1/n. Dados dos números
reales no negativos a y b se tiene que √ab= √a √b
Es obvio, que cualquiera que sea n natural, la raiz
n-ésima de cero es cero, y la de 1 es 1.
Por otro lado, dado a ∈Ñ+0,
costumbre en
lugar de 2
1
a =a
es
a= a
Ya tenemos garantizada la existencia de números
reales que no son racionales. Tal es el caso de √2
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Proposición
i)
Existe un número real positivo x tal que x2=2.
Este número se notará por √2
ii) √2œÐ
Estamos en condiciones de afirmar que los
Irracionales son muy abundantes. Piensese que
La suma de racional +irracional=irracional, y
el producto de un
Racional (π0) ∑Irracional=irracional
La primera parte del siguiente enunciado nos habla
tb de la abundancia de irracionales
Teorema
Sean x e y dos números reales tales que x<y.
Entonces
i) Existe un número irracional a tal que x< a <y.
ii) Existe un número racional r tal que x< r <y.
Solemos referirnos al contenido del Teorema
anterior diciendo que los ctos Ñ y Ñ\Ð son
densos en Ñ
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Definición
Llamamos un intervalo cerrado y acotado de
extremos a y b, con a y b en Ñ y a £ b, al conjunto
siguiente : [a,b]:={xτ
; a§x§b}
Además de éstos existen otros de la forma :
[a,b[:={xœÑ ; a§x<b} Intervalo semiabierto a derecha
de extremos a y b
]a,b]:={xœÑ ; a<x§b} Intervalo semiabierto a izquierda
de extremos a y b
]a,b[:={xτ ; a<x<b} Intervalo abierto
de extremos a y b
]-¶,a]:={xœÑ ; x§a}
Semirrecta cerrada de extremo a
]-¶,a[:={xœÑ ; x<a}
Semirrecta abierta de extremo a
[a, +¶[:={xœÑ ; a§x} Semirrecta cerrada de origen a
]a, +¶[:={xœÑ ; a<x} Semirrecta abierta de origen a
Ejemplos: Ñ+0:= [0, +¶[ , Ñ-0:= ]-¶,0]
Ñ+:= ]0, +¶[ , Ñ-:= ]-¶,0[
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