El objetivo específico de esta práctica es estudiar el comportamiento

Fundamentos Físicos de la Ingeniería
(Ingeniería Industrial)
Prácticas de Laboratorio
Curso 2008-09
Práctica 12:
1
Estudio experimental de los gases ideales
Objeto de la práctica
El objetivo específico es estudiar el comportamiento experimental de los gases. Se supondrá que siguen el modelo
de gas perfecto y se medirá el número de moles de una muestra de gas.
Como objetivos generales cabee señalar el aprendizaje y la destreza en los siguientes aspectos:
• Expresión correcta de las magnitudes con sus errores y unidades.
• Determinación experimental de magnitudes mediante medidas directas e indirectas y especialmente
mediante los coeficientes de rectas de regresión lineal.
2
Fundamento teórico
Se dice que un gas es ideal si posee un comportamiento descrito por la conocida ecuación de Clapeyron
PV = nRT
(12,1)
Donde:
• P y V son respectivamente la presión y el volumen del gas.
• n es el número de moles de la muestra del gas.
• R es la constante universal de los gases perfectos.
En general los gases en la naturaleza siguen aproximadamente esta ley a bajas densidades, y por lo tanto cuando
están sometidos a bajas presiones como la atmosférica.
3
Determinación experimental del número de moles mediante el método de regresión lineal
En este experimento, tomaremos como muestra de gas la que ocupa el volumen de un cilindro recto de sección S
y altura hV , (V=ShV). El modelo físico dado por la ley (12,1) a temperatura constante T0, puede escribirse en la
forma
P=
n RT0 1
S hV
(12,2)
que podemos expresar en forma lineal
P = a+b
1
hV
Pa
donde (1/hV) representa la abcisa y P la ordenada.
Se deberá tomar un conjunto de puntos experimentales {1/hVi, Pi} a
temperatura constante, y posteriormente aplicar el método de mínimos
cuadrados para obtener los parámetros a y b de esta recta. El número de
moles podrá determinarse una vez conocida la pendiente.
hV- 1 cm
n=
1
bS
RT0
(12,3)
4
Montaje experimental.
a)
Descripción del aparato
Una cantidad fija de gas, usada como objeto de estudio, se halla en un
recipiente de vidrio (tubo de medida), el cual está conectado a un manómetro
de mercurio en forma de U. Los brazos del manómetro están formados
básicamente por un tubo de plástico flexible, cuyo extremo abierto termina en
un tubo de vidrio de mayor diámetro (recipiente de mercurio). El taponcito 1
El taponcito no aparece en el dibujo.
Δhp
gas
Hg
Hg
P12: Estudio experimental de los gases ideales
que cubre el recipiente de reserva debe mantenerse quitado durante el experimento y colocarse posteriormente.
Todo el aparato está fijado a un soporte, de forma que el tubo de medida permanece fijo y el recipiente de reserva
se puede desplazar a lo largo del soporte. La presión y el volumen del aire encerrado se controlan al variar ΔhP y
hV. La diferencia del nivel de mercurio entre el tubo de medida y el recipiente de reserva (ΔhP), se puede medir
mediante una regla graduada, y nos da la diferencia de presión entre el gas y la atmósfera en longitud de mercurio.
Si no se dispone en el laboratorio de barómetro, se adoptará como valor de la presión atmosférica el de
condiciones normales, es decir, Pa=1 atm.= 760 mm. de Hg. A fin de poder variar la temperatura del gas de forma
controlada, el tubo de medida está rodeado de otro tubo que se puede conectar con un baño termostático a través
de los tubulares de entrada y salida. La temperatura de salida del líquido en circulación se puede medir con un
termómetro introducido a través de un orificio al efecto y la temperatura de entrada coincide con la del baño
termostático. La altura del volumen de la columna de aire (V=ShV) se mide indirectamente en la escala graduada y
el área de su sección transversal mide S=1.02 cm2. La zona coloreada del extremo superior del tubo de medida
encierra el volumen que tendría un cilindro recto de altura 1 cm. Por ello, la altura de la columna de aire será
siempre la medida hasta el comienzo de la zona coloreada más un centímetro. Para no dañar la resistencia
calefactora del baño termostático, se deberá tener especial cuidado en que el nivel del agua esté siempre por
encima de ella
b) Medidas experimentales de magnitudes.
i.
Temperatura θ.
Esta magnitud se controla con el baño termostático. La circulación del agua debe estar activada y se manipulará el
dial de temperaturas hasta seleccionar 5 ºC por encima de la temperatura ambiente. Cuando se haya estabilizado,
se podrá medir la temperatura θ1 del baño termostático y la temperatura θ2 a la salida del intercambiador de calor
(doble tubo concéntrico). Se tomará como temperatura de la muestra de gas el valor medio de las dos:
θ=
θ1 + θ 2
2
(12,4)
y se consignarán, junto con su error, en la celda habilitada al efecto (apéndice A)
ii. Presión P.
Se mide de forma indirecta. La presión en el interior de la muestra de gas es la debida al peso de la columna de
Hg (hP ) más la presión atmosférica en la superficie libre del Hg (el taponcito debe estar quitado).
P=hP+Pa
(12,5)
Para calcular hP se tomará como dato experimental la diferencia de alturas Δhp entre los dos meniscos de Hg.
hP =Δhp =h2-h1
El valor de la presión atmosférica Pa se mide directamente en el barómetro aneroide instalado en el laboratorio.
iii. Altura del volumen de la muestra de gas.
Se mide de forma indirecta como diferencia entre el nivel de Hg y la línea de separación con la parte coloreada,
más 1 cm correspondiente a esta parte.
hV = h2 − h1 + 1 cm
iv. Número de medidas
Para cada una de las alturas del cilindro que contiene la muestra de gas, indicadas en la tabla del apéndice A, se
medirá la altura de la columna de mercurio hp y se consignará en la misma tabla de datos. El proceso se realizará
tres veces consecutivas, realizando en cada serie un conjunto completo de medidas.
5.
Presentación de documentación.
a)
Se entregará las hojas del apéndice A, “Hojas de datos y resultados”, debidamente cumplimentadas. Aquellos
alumnos que deseen presentar esta memoria impresa, pueden descargar de la página web de nuestra asignatura el
archivo en formato WORD.
b) Se enviará un archivo adjunto a un e-mail con los datos, temperaturas, presión atmosférica y las tablas II y III, a la
dirección [email protected] tal como se indica en el apéndice B.
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Práctica 12:
Estudio experimental de los gases ideales
Apéndice A: Hojas de datos y resultados
1. Captura de datos
a) Caracterización de aparatos de medidas
Tabla I: Caracterizacción de los aparatos de medidas
Instrumento
Termómetro de Hg
Termómetro digital
Regla métrica
Barómetro
Rango de medida
Precisión
b) Errores absolutos de las medidas directas: temperatura, longitud y presión atmosférica
Eθ1(dig.)=
c)
(
)
Eθ2(Hg)=
(
)
Eh=
(
)
EPa=
(
)
Medidas de las magnitudes básicas θ1, θ2, Pa, hV, hP.
θ1=
±
(
θ2=
)
±
(
)
P a=
±
cm Hg
Tabla II: Medidas de las magnitudes básicas: hV, hP
hV±________(cm)
18.00
19.00
20.00
21.00
22.00
23.00
24.00
25.00
26.00
27.00
hP±________(cm)
2. Resultados
a) Cálculo de 1/hV, hP , P
Tabla III: Magnitudes intermedias: 1/hV, hP , P
hV ±____(cm)
18.00
19.00
20.00
21.00
22.00
23.00
24.00
25.00
26.00
27.00
1/hV
(cm-1)
E1/hV cm-1
hP
(cm Hg)
EhP (cm Hg)
P (cm Hg)
EP
(cm Hg)
P12: Estudio experimental de los gases ideales
b) Cálculo de la temperatura del gas
θ=
c)
±
(
)
Parámetros de la recta de regresión lineal P = a + b
1
hV
a±Ea=
El valor esperado para a ¿se corresponde con el obtenido?. Razonar la respuesta
b±Eb=
r=
d) Dibujo en papel milimetrado de los puntos experimentales {1/ hV i , Pi } (Tabla III) y de la gráfica P = a + b
e)
1
hV
Número de moles
n±En=
±
(
)
Sevilla a _______ de __________________ de 2009
(Nombre y firma)
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Apéndice B: Fichero informático de datos
Práctica 12:
Además de la memoria de resultados, se enviará un fichero de texto –adjunto a un E-mail– a la dirección [email protected],
con las medidas experimentales y las siguientes características.
Formato: Texto. Puede editarse con la utilidad de Windows Bloc de Notas. Si se edita con Microsoft-Word se guardará
en formato de “solo texto con saltos de línea”
Nombre del fichero :
Alumnos MONITORES:
XMy.m,
X: Grupo de prácticas al que pertenece (A...I)
y: Tipo de monitor (1...9)
Ejemplo AM2.m
Alumnos no monitores:
Xy.m,
X: Grupo de prácticas al que pertenece (A...I)
y: Subgrupo de prácticas (1...12)
Ejemplo: B3.m
Contenido
a) Encabezamiento:
% XXXXXXX e-mail: xxxxx
XXXXXXX: Nombre del alumno que ha realizado la práctica
xxxxx : e-mail del alumno
Ejemplo:
% José Miguel Sánchez Ocaña
e-mail [email protected]:
b) Datos que deben incluirse:
Pa=
;
t2=
;
t1=
;
T2=[ Tabla II ] ;
T3=[ Tabla III];
Donde
Pa es el valor de la presión atmosférica expresada en cm Hg.
t2 es la temperatura del termómetro de Hg en ºC.
t1 es la temperatura del baño termostático en ºC.
Tabla II y Tabla III son los datos de las Tablas II y III:
• Dispuestos en filas y columnas y encerrados entre corchetes
• Cada fila terminada en punto y coma (;)
• Longitudes expresadas en cm.
Ejemplo completo del fichero.
NOMBRE DEL FICHERO: AM2.m
% AM2
% José Miguel Sánchez Ocaña
Pa= 76.50 ;
t2=36.0 ;
T2=[40.00
45.00 50.00 55.00
117.90
92.88 74.66 65.01
115.21
87.64 83.35 53.42
112.45
99.61 75.68 57.14
e-mail:
t1= 35.0 ;
60.00 65.00
55.45 37.75
46.02 38.87
52.11 32.80
[email protected]:
70.00
24.91
36.18
31.04
75.00
20.08
20.25
28.38
80.00
17.51
20.36
19.77
85.00;
16.02 ;
14.25;
5.54 ;]
A. Forma de entrega del fichero de datos;
T3=[40.00
0.00003
115 de
3 correo 192
3; a la dirección: [email protected]
Se enviará 0.02500
el fichero adjuntado
a un mensaje
electrónico
45.00
0.02222
0.00003
93
7
170
7;
…….
……….
…..…….
…... …. …… ….
…….
……….
…………
…... …. …… ….
85.00
0.011765
0.000010
12 6
89
6;]
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Práctica 12:
Estudio experimental de los gases ideales
Apéndice C: Práctica comentada y resuelta
1
Medidas experimentales efectuadas en el laboratorio.
En la simulación que desarrollamos a continuación los valores y errores de las medidas en el laboratorio son los de
las magnitudes θ1, θ2, Pa y las contenidas en T2 (Tabla II ) de la página anterior.
2
Errores absolutos asociados a las medidas iniciales ( 2 ) , 3
a.
Caracterización de aparatos de medida
• Rango: Intervalo de medidas que se pueden realizar
• Precisión ó graduación: Medida mínima entre dos señales consecutivas.
b. Errores en las medidas directas
• Temperatura θ:
Termómetro digital del baño termostático: la precisión es 0.1 ºC y al ser una medida discreta el error
coincide con la precisión.
Eθ1 (dig) = 0.1 °C
Termómetro de Hg: el dispositivo utilizado es analógico porque la columna de Hg del termómetro varía
de forma continua, además está graduado en unidades °C. Por ello el error absoluto de su medida es la
mitad de ese valor.
Eθ2 (Hg) = 0.5 °C
c.
•
Longitud hx: La regla graduada en mm con la que se mide las longitudes es de tipo analógico, su medida
es directa y la precisión es la mitad de la medida entre dos señales consecutivas (1 mm).
E hx = 0.5 mm = 0.05 cm
•
Presión atmosférica
El aparato de medida (barómetro aneroide) es analógico y su precisión es 1mm Hg. El error de una
medida directa es la mitad de la precisión
EPa=0.5 mm Hg =0.05 cm Hg
Errores en las medidas de las magnitudes básicas
• Altura del volumen de gas hV.
La medida es indirecta y se obtiene mediante la expresión
hV = h2 − h1 + 1 cm
(12,6)
Donde h2 representa la altura de la división de la zona coloreada y h1 la del nivel de mercurio en el
cilindro del gas. Cada una de estas alturas se miden directamente con la regla graduada en mm.
La incertidumbre de hV se calcula teniendo en cuenta que es una función de dos variables (h1, h2) y viene
dada por (A.35)(3).
2
EhV
⎛ ∂h
⎞ ⎛ ∂h
⎞
= ⎜ V Eh1 ⎟ + ⎜ V Eh 2 ⎟
⎝ ∂h1
⎠ ⎝ ∂h2
⎠
2
Sustituyendo se obtiene: EhV = Eh21 + Eh22 = (0.5 mm ) 2 + (0.5 mm) 2 = 0.5 2 cm = 0.707.... mm
Como las dos primeras cifras significativas redondeadas (71) superan a 25, la expresión en mm se debe
aproximar con una sola cifra decimal
E hv = 0.7 mm = 0.07 cm
2
Cuando las cantidades involucradas en un determinado cálculo están memorizadas en la calculadora, no se han redondeado, sino que se
incluyen completas en el cálculo.
3
Las expresiones que figuran en este anexo del tipo (A.N), son referencias a las fórmulas del apéndice A sobre Teoría de Errores de la
asignatura “Campos Electromagnéticos” de Ingeniero Industrial impartida por el Departamento “Física Aplicada III”.
P12: Estudio experimental de los gases ideales
•
3
Altura de la columna de Hg debida a la presión del gas hP :
Es similar al anterior porque hP , se mide con la misma regla que en el apartado anterior, y además
hV = h '2 − h '1
(12,7)
en consecuencia:
E hp = 0.7 mm = 0.07 cm
Resultados
•
Medida de z = 1/ hV
Cálculo del error
Se trata de una magnitud que depende de la variable hV, su error viene dado por (A. 23)(3)
d (1/ hV )
1
E1/ hV =
EhV , E1/ hV = 2 EhV
d hV
hV
Para todos los valores de hV, EhV=0.07 cm. Sin embargo la cantidad 1/ hV2 cambia en cada medida. En el
caso de hV=40.00 cm
1
0.07 cm = 4.375 ⋅10−5 cm −1
2
( 40 cm )
Las dos primeras cifras significativas redondeadas (44) pasan de 25, por ello se expresará redondeando a
una sola cifra significativa
EhV = 4 ⋅10−5 cm −1
Cálculo del valor
1
= 0.025000 cm −1 debe expresarse hasta la última cifra afectada por el error
40 cm
z (40) = 0.02500 ± 0.00004 cm −1 ó bien z (40) = 2.5 ± 0.004 ⋅ (10−2 cm −1 )
•
Medida de hP (4)
Cálculo del valor
La medida de hP es directa y se repite 3 veces para cada volumen; tomamos como valor de la medida, la
media de los tres valores con su error.
Para los datos de la primera columna del ejemplo de fichero de la página 5
hP (cm)
117.90
115.21
112.45
hP =
117.90 + 115.21 + 112.45
= 115.1866 .... cm
3
Cálculo del error:
Viene dado por el doble de la desviación cuadrática media de la media (A.12 ) (3)
EhP = 2
EhP = 2
(h
P1
− hP
) + (h
2
P2
− hP
) + (h
2
P3
− hP
)
2
3 (3 − 1)
(117.90 − 115.186..) 2 + (115.21 − 115.1866..) 2 + (112.45 − 115.1866...) 2
= 3.146... cm
6
Las dos primeras cifras significativas redondeadas (31) superan la cantidad de 25, en consecuencia se
redondea con una sola cifra significativa Eh = 3 cm . Con lo cual hP debe redondearse a las unidades, que
P
es la última cifra afectada por el error.
hP = 115 ± 3 cm
4
El cálculo numérico puede realizarse con calculadoras científicas, teniendo en cuenta que en estos instrumentos se denomina xi a
las medidas, n al número ellas, x a la media y xσn a la desviación estándar.
n
x=
n
∑x
i =1
n
i
,
xσ n =
∑ (x
i =1
i
− x )2
n
pg.
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P12: Estudio experimental de los gases ideales
•
Medida de la presión soportada por el gas: P
La medida de P es indirecta y se calcula mediante P = hP + Pa ,
Cálculo del error
La magnitud P, depende de dos variables hP y Pa, en consecuencia el error viene dado por (A. 35)(3)
2
2
⎞
⎛ ∂P
⎞ ⎛ ∂P
EP = ⎜
EhP ⎟ + ⎜
EPa ⎟ = Eh2P + EP2a ,
⎝ ∂hP
⎠ ⎝ ∂Pa
⎠
Para el caso de los datos del punto anterior – primera columna del ejemplo de fichero de la página 5–
EhP = 3 cm Hg , EPa = 0.05 cm Hg
32 + 0.052 = 3.0004...
Las dos primeras cifras significativas (30) pasan de 25 se redondea con una sola cifra significativa
Ep = 3 cm Hg
Cálculo del valor
P=115+76.5= 191.5 ….. debe redondearse en las unidades que es la última cifra afectada de error. Como
la cifra a redondear es justamente 0.5 podemos hacerlo por defecto o por exceso:
P=191±3 cm Hg ó P=192±3 cm Hg
•
Resultados de la tabla III
Tabla III: Magnitudes intermedias: 1/hV,
hP , P
P
EP
(cm Hg )
(cm Hg )
3
192
3
93
7
170
7
0.003
78
5
155
5
1.8182
0.0023
59
7
136
7
60.00
1.6667
0.0019
51
6
128
6
65.00
1.5385
0.0017
36
4
113
4
70.00
1.4286
0.0014
31
7
108
7
75.00
1.3333
0.0012
23
5
100
5
80.00
1.2500
0.0011
19.2
1.7
95.7
1.7
85.00
1.1765
0.0010
12
6
89
6
hV ±_0.07
1/hV
(cm)
( 10-2 cm-1)
40.00
E1/ hV
hP
EhP
(10-2 cm-1)
( cm Hg )
(cm Hg )
2.500
0.004
115
45.00
2.222
0.003
50.00
2.000
55.00
• Temperatura de la muestra de gas
Termómetro digital: θ1 = θdig=35.0± 0.1 ºC,
Termómetro de Hg: θ2 = θHg=36.0± 0.5 ºC,
A la muestra de gas se le asigna la media de esas dos magnitudes
θ=
θ1 + θ 2
2
Cálculo del error
θ depende de dos variables θ1 y θ2; su error viene dado por
2
Eθ =
2
⎞ ⎛ ∂θ
⎞
1 ⎛ ∂θ
1
1
Eθ1 ⎟ + ⎜
Eθ2 ⎟ =
Eθ21 + Eθ22 =
0.52 + 0.12 = 0.25495.. º C
⎜
θ
2 ⎝ ∂ θ1
2
2
∂
⎠ ⎝ 2
⎠
pg.
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P12: Estudio experimental de los gases ideales
Como las dos primeras cifras significativas redondeadas (25) no pasan de 25, se expresa con dos cifras
Eθ=0.25 ºC
Cálculo del valor
35.0 + 36.0
= 35.5000...
2
La magnitud se escribe hasta la última cifra afectada por el error, que en este caso son centésimas de ºC ó K
θ= 35.50± 0.25 ºC,
Expresada en la escala Kelvin: θ= 35.5+273.15 ± 0.25 K
θ=T0= 308.65 ± 0.25 K
•
Parámetros de la recta de regresión lineal P = a + b
1
.
hV
Puntos experimentales {1/ hV i , Pi } de Tabla III
Utilización de calculadoras
El cálculo numérico de a, b, y r, los facilitan las calculadoras científicas y vienen dados por las expresiones
(A.93)(3). Sin embargo los errores Ea y Eb se han de calcular aplicando las expresiones (A.94)(3)
Coeficiente de correlación lineal
El valor calculado es r=0.99859232868…
No posee unidades y debe expresarse sin redondear hasta la primera cifra distinta de 9
r=0.998
Pendiente
Valor obtenido b=7829.420….
Cálculo del error mediante la expresión( 5 ) (A.94) (3)
Eb =
2 b 1 − r2
= 294.06....
r n−2
Las dos primeras cifras significativas del error (29) superan 25, por ello debe expresarse con una sola cifra
Eb=300
Expresión del valor
Debe redondearse a la centena que es la última cifra afectada por el error.
b=7800±300
Deducción de las unidades de b
Puede deducirse despejando de la ecuación de la recta. Con las unidades utilizadas en el ejemplo que estamos
desarrollando b debe medirse en cmHg. cm
b=7800±300 cmHg.cm
Ordenada en el origen
Valor calculado a= –3.9118…..
Cálculo del error
Se puede obtener mediante la expresión (5) (A.94)
E a = Eb
S xx
S
n
donde S = n (número de muestras), S xx = ∑ xi2 y xi = 1/ hVi
i =1
Ea=5.127….
Las dos primeras cifras significativas del error (51) superan a 25 con lo cual se redondea a una sola cifra.
Ea= 5
Expresión de la magnitud
Debe escribirse hasta la cifra afectada por el error.
a= –4
Unidades
De la expresión de la recta se deduce que las unidades de a deben coincidir con las de P. En conclusión
a= -4±5 cm Hg
Análisis del resultado.
Del modelo físico dado por (12,2) se espera que a=0 cmHg y se observa que en la expresión anterior está
contenido este valor.
5
Cuando el cálculo de Eb , Ea, se efectúa con la misma calculadora con la que se han determinado a, b, y r, estas últimas magnitudes están
registradas en la memoria y pueden expresarse simbólicamente (sin redondeos) para determinar tanto Eb como Ea.
pg.
9 / 10
P12: Estudio experimental de los gases ideales
•
Número de moles:
Viene dado por (12,3), n =
bS
RT0
Donde:
b es el valor de la pendiente obtenida anteriormente
S es la superficie de la sección recta del cilindro que contiene al gas (S=1.02 cm2)
R es la constante universal de los gases ideales expresada en las unidades que utilizadas en este ejemplo
R = 0.082
atm litro 76 cmHg 1 dm 3 103 cm 3
cmHg . cm 3
= 6232
3
mol . K
mol K
1atm 1litro 1 dm
Cálculo del error
n es una magnitud indirecta que depende de las constantes S ,R (aquí tomadas sin error) y de las variables b y T0.
Su error viene dado por la expresión (A.35) (3)
2
2
2
⎞
⎞ ⎛
⎛ ∂n ⎞ ⎛ ∂n
S ⎛ 1
En = ⎜
Eb ⎟ + ⎜
ET0 ⎟ =
⎜ Eb ⎟ + ⎜
b
T
R
T
∂
∂
⎝
⎠ ⎝ 0
⎠
⎝ 0 ⎠ ⎝
⎞
b
ET ⎟
T02 0 ⎠
2
Sustituyendo valores
2
En =
2
1.02 ⎛ 1
⎞ ⎛ 7800
⎞
300 ⎟ + ⎜ −
0.3 ⎟ = 0.155987913... 10-3 moles
⎜
2
6232 ⎝ 308.7
⎠ ⎝ 308.7
⎠
Las dos primeras cifras significativas (16) no llegan a 25, en consecuencia debe redondearse con dos cifras
significativas.
En=0.16 10-3 moles
Cálculo del valor
Aplicando (12,3)
n=
1.02 ⋅ 7800
= 0.00415179.... moles
6232 ⋅ 308.7
que según el valor de En debe expresarse hasta la quinta cifra decimal redondeada, que es la última afectada por el
error, con lo cual
n= 4.15±0.16 ( 10-3 moles )
•
Dibujo en papel milimetrado de los puntos experimentales {1/ hV i , Pi } (Tabla III) y de la gráfica P = a + b
1
hV
Estudio experimental de una muestra de gas a 35.5 ºC
200
180
160
)
g
H 140
m
c(
P
120
100
80
1
1.5
2
2.5
1/hV *100 (1/cm)
pg.
10 / 10