Química Cuántica I

Química Cuántica I
Átomos hidrogenoides
Prof. Jesús Hernández Trujillo
Facultad de Química, UNAM
Átomos hidrogenoides/Jesús Hernández Trujillo– p. 1/1
z
θ
nucleo
carga:+Ze
r
electron
carga: −e
y
φ
x
El estudio del átomo H es importante porque:
En este caso, la ecuación de Schrödinger es soluble
analíticamente
Átomos hidrogenoides/Jesús Hernández Trujillo– p. 2/1
z
θ
nucleo
carga:+Ze
r
electron
carga: −e
y
φ
x
El estudio del átomo H es importante porque:
En este caso, la ecuación de Schrödinger es soluble
analíticamente
Ilustra el uso de los postulados y teoremas de la
mecánica cuántica
Átomos hidrogenoides/Jesús Hernández Trujillo– p. 2/1
z
θ
nucleo
carga:+Ze
r
electron
carga: −e
y
φ
x
El estudio del átomo H es importante porque:
En este caso, la ecuación de Schrödinger es soluble
analíticamente
Ilustra el uso de los postulados y teoremas de la
mecánica cuántica
Constituye el punto de partida para sistemas complejos
Átomos hidrogenoides/Jesús Hernández Trujillo– p. 2/1
La ecuación de Schrödinger es separable en coordenadas
esféricas:
−
(1)
(2)
~2
2me
1 ∂
r2
∂r
r
2 ∂ψ
∂r
+
1
∂
∂ψ
sen θ
+
sen θ ∂θ
∂θ
#
1
Ze2
∂ 2ψ
−
ψ=Eψ
2
2
2
r sen θ ∂φ
r
r2
ψ(r, θ, φ) = R(r)Y (θ, φ)
Átomos hidrogenoides/Jesús Hernández Trujillo– p. 3/1
Se obtiene:
(3)
d
dr
(4)
r
2 dR
dr
sen θ
∂
∂θ
+
2me
r2
Zer 2
~2
sen θ
r
∂Y
∂θ
+
+E−β
∂ 2Y
∂φ2
~2
2me
r2
!
R=0
+ β sen2 θ Y = 0
donde
(5)
β = `(` + 1)
` = 0, 1, . . . ,
Átomos hidrogenoides/Jesús Hernández Trujillo– p. 4/1
Además:
(6)
Y (θ, φ) = Θ(θ)Φ(φ)
Por lo tanto, a partir de (4):
(7)
sen θ
d
dθ
sen θ
dΘ
dθ
2
+ β sen θ − m
(8)
dΦ
dφ
2
Θ = 0
+ m2 Φ = 0
La solución normalizada de (8)
(9)
1 ımφ
Φ(φ) = √ e
, m = 0, ±1, ±2, . . . , ±`
2π
Átomos hidrogenoides/Jesús Hernández Trujillo– p. 5/1
Las soluciones de (7) son los polinomios asociados de
Legendre:
(10)
Θ(θ) =
|m|
P` (cos θ)
Algunos polinomios asociados de Legendre:
|m|
P` (x)
` m
0 0 1
1 0 x
1 1 (1 − x2 )1/2
2 0 12 (3x2 − 1)
2 1 3x(1 − x2 )1/2
2 2 3(1 − x2 )
Átomos hidrogenoides/Jesús Hernández Trujillo– p. 6/1
Las soluciones angulares normalizadas, (6), de la ecuación
de Schrödinger de los átomos hidrogenoides se llaman
armónicos esféricos
(11) Y`m (θ, φ)
=
2` + 1 (` − |m|)!
4π
(` + |m|)!
|m|
P`
(cos θ)eımφ
y forman un conjunto ortonormal:
Z 2π Z π
m
? m0
Y` (θ, φ) Y`0 (θ, φ) sen θ dθ dφ = δ``0 δmm0
0
0
Átomos hidrogenoides/Jesús Hernández Trujillo– p. 7/1
Algunos armónicos esféricos:
` m Y`m (θ, φ)
0 0 1/(4π)1/2
1 0 (3/4π)1/2 cos θ
1 ±1 (3/8π)1/2 sin θ e±ıφ
2 0 (5/16π)1/2 (3 cos2 θ − 1)
2 ±1 (15/8π)1/2 sin θ cos θ e±ıφ
2 ±2 (15/32π)1/2 sin2 θ e±2ıφ
Átomos hidrogenoides/Jesús Hernández Trujillo– p. 8/1
Soluciones normalizadas de la ecuación radial:
Rn` = −
(12)
(n − ` − 1)!
2n[(n +
`)!]3
1/2 2Z
nao
`+2/3
` −Zr/nao
r e
2`+1
Ln+`
2Zr
nao
donde
(13)
0≤`≤n−1
2`+1
Ln+`
(x) son los polinomios asociados de Laguerre
Las funciones radiales son ortonormales:
Z ∞
Rn` (r)? Rn0 `0 (r)r 2 dr = δnn0 δ``0
0
Átomos hidrogenoides/Jesús Hernández Trujillo– p. 9/1
Algunos polinomios asociados de Laguerre:
2`+1
` m Ln+`
(x)
1 0 L11 (x) = 1
2 0 L12 (x) = −2(2 − x)
2 1 L33 (x) = −6
Átomos hidrogenoides/Jesús Hernández Trujillo– p. 10/1
Algunos polinomios asociados de Laguerre:
2`+1
` m Ln+`
(x)
1 0 L11 (x) = 1
2 0 L12 (x) = −2(2 − x)
2 1 L33 (x) = −6
Dado que Ĥ es un operador Hermitiano, las funciones de
onda (orbitales hidrogenoides),
(15)
ψn`m (r, θ, φ) = Rn` (r)Y`m (θ, φ) ,
son ortonormales:
Z
∞
Rn` (r)? Rn0 `0 (r)r 2 dr = δnn0 δ``0
0
Átomos hidrogenoides/Jesús Hernández Trujillo– p. 10/1
Algunos polinomios asociados de Laguerre:
2`+1
` m Ln+`
(x)
1 0 L11 (x) = 1
2 0 L12 (x) = −2(2 − x)
2 1 L33 (x) = −6
Dado que Ĥ es un operador Hermitiano, las funciones de
onda (orbitales hidrogenoides),
(16)
ψn`m (r, θ, φ) = Rn` (r)Y`m (θ, φ) ,
son ortonormales:
Z
∞
Rn` (r)? Rn0 `0 (r)r 2 dr = δnn0 δ``0
0
Ejercicio: Obtén R21 (r).
Átomos hidrogenoides/Jesús Hernández Trujillo– p. 10/1