Fuerza centrípeta

Introducción a la Fı́sica Experimental
Guı́a de la experiencia
Fuerza centrı́peta
Departamento de Fı́sica Aplicada
Universidad de Cantabria
Febrero 14, 2006
Tenga en cuenta que la lectura previa de esta guı́a y la comprobación de
las ecuaciones le llevará del orden de una hora, incluyendo la consulta de
las palabras clave, y que la lectura de la bibliografı́a especı́fica le llevará
entre una y dos horas.
Resumen
Un objeto de masa m se pone en movimiento de rotación uniforme con velocidad angular ω, describiendo una órbita circular de
radio r. Se determinan experimentalmente las caracterı́sticas de la
fuerza que actúa sobre el objeto y es causa de su movimiento.
Introducción
Puede resultar sorprendente que un objeto que se mueve con una velocidad
cuyo módulo es constante, también tenga aceleración.
(b)
(a)
r
∆φ
vf
∆r
vf
m vi
vi
∆φ
∆v
Figura 1: (a) Magnitudes importantes en un movimiento de rotación. (b) Esquema para
demostrar que ~ac = v 2 /r y que está dirigida hacia el centro de la circunferencia.
Esto es posible porque la aceleración mide el cambio del vector velocidad
con el tiempo. Este cambio se puede producir bien porque varı́e la magnitud
1
(el módulo) de la velocidad 1 , bien porque varı́e su dirección. Este último es
el caso del objeto (que consideraremos puntual) que describe una trayectoria
circular con velocidad angular constante, ω. El vector velocidad, ~v , que siempre
es tangente a la trayectoria de la partı́cula, tiene dirección perpendicular al
radio de la órbita circular que describe. La aceleración es perpendicular a
la trayectoria y apunta hacia el centro de la órbita. Una aceleración de esta
naturaleza se denomina aceleración centrı́peta, ~ac , y su módulo viene dado por:
~ac =
v2
.
r
(1)
Utilice la Fig. 1 para demostrar la Ec. (1) [2].
El periodo de la órbita, T , que es el tiempo (en segundos, s) que tarda
el objeto en completar una vuelta, está relacionado con la magnitud de la
velocidad angular, ω (en radianes por segundo, s−1 ), como
T =
2π
2πr
=
= ν −1 ,
ω
v
donde ν es la frecuencia (dada en hertzios, s−1 .).
¿Qué tipo de fuerza provoca esta aceleración ~ac ? La Segunda Ley de Newton proporciona la respuesta:
F~N = m~a ,
donde F~N es la fuerza neta –resultante de todas las fuerzas aplicadas–, ~a es
la aceleración de la masa puntual m. Esa fuerza neta se denomina fuerza
centrı́peta, F~c , porque tiene la misma dirección y sentido que la aceleración
centrı́peta, F~c = m~ac , y su magnitud es:
2
v
F~c = m .
r
(2)
Este resultado es el que se propone sea contrastado experimentalmente.
Reflexiones previas a la realización del experimento
1. ¿Por qué en el movimiento de un objeto que describe una trayectoria circular con velocidad angular constante, ω, la aceleración es perpendicular
a la trayectoria y apunta hacia el centro de la órbita?, es decir, ¿por qué
no hay aceleración en la dirección de la trayectoria?
1
En la literatura en inglés se distingue entre velocity, vector velocidad, con módulo y dirección,
y speed, módulo de la velocidad.
2
(4)
(6)
(2)
(5)
(3)
(1)
Figura 2: Material relacionado con el aparato de fuerza centrı́peta: (1) Aparato de fuerza
centrı́peta, (2) carro, (3) motor, (4) dinamómetro, (5) hilo, (6) puerta fotoeléctrica.
Descripción del material
Para llevar a cabo este tipo de experiencias se utiliza el siguiente material (Fig.
2):
• Aparato de fuerza centrı́peta [(1) en Fig. 2]
• Carro (objeto) [(2) en Fig. 2]
• Motor enchufable-reductor 1:30 [(3) en Fig. 2]
(o bien motor 12V+ fuente de alimentación+2 cables conexion)
• Indicador CM(rojo)
• Correa de trasmisión
• Dinamómetro (2N) (con pinza soporte) [(4) en Fig. 2]
• Mini-mosquetón giratorio
• Hilo [(5) en Fig. 2]
• Pesas(10g, 50g)
• Puerta fotoeléctrica con contador
(+fuente de alimentación 5v DC/0.3A) [(6) en Fig. 2]
3
Modo operativo
Una vez montado el dispositivo como indica la Fig. 2, se debe confirmar, en
presencia del profesor, que todo está correctamente dispuesto. Se debe compruebar, especialmente, la colocación de la correa de trasmisión, del carro en
conexión con el dinamómetro y de la barrera de luz por la que debe pasar la
plataforma giratoria sin chocar contra ella. Se debe observar el dispositivo y
meditar la razón de ser de cada una de sus partes. Se debe comprender perfectamente cómo funciona el dispositivo antes de realizar medida alguna.
Se propone estudiar:
1. la dependencia de F~c con el radio r, manteniendo constante la masa del
objeto y la frecuencia de giro;
2. la dependencia de F~c con la masa m, manteniendo constante el radio de
la órbita que describe el objeto y la frecuencia de giro;
3. la dependencia de F~c con la frecuencia angular ω, manteniendo constante
la masa del objeto y el radio de la órbita que describe el objeto.
Mantener constantes la masa y la frecuencia no presenta dificultad. El
objeto es un carro en el que se pueden acoplar diferentes pesas para modificar
el valor de su masa y poder realizar el experimento con diferentes valores de
la masa del objeto. Esa masa será determinada con la balanza. La frecuencia
se puede modificar eligiendo diferentes posiciones del botón que controla la
potencia del motor que hace girar la plataforma. El valor de la frecuencia se
determina con ayuda de una barrera fotoeléctrica, bien utilizándola en modo
contador de revoluciones y ayudándose de un reloj, bien utilizándola en modo
flecha arriba-flecha abajo, que mide el perı́odo directamente.
Más delicado resulta mantener constante el radio de la órbita. Nótese
que, con este dispositivo, un cambio en la fuerza siempre va acompañado de
un cambio en el radio. Para obtener medidas que puedan ser reproducidas
con relativa facilidad, desplácese hacia arriba el dinamómetro con el motor
parado. Arránquese ahora el motor y, mientras la plataforma está girando,
deslı́cese suavemente hacia abajo el dinamómetro hasta que el carro alcance la
posición deseada. Si se rebasa involuntariamente esta posición, se debe parar el
motor y comienzar de nuevo, desplazando hacia arriba el dinamómetro (léase
el apéndice a este respecto).
se deben repitir los experimentos 1, 2 y 3 varias veces. Elı́janse valores
adecuados para las magnitudes que deben permanecer constantes. Preséntense
las medidas tabuladas y háganse las representaciones gráficas pertinentes que
evidencien las conclusiones que se van a extraer de los resultados. Calcúlense
los errores y elabore el informe correspondiente a este experimento según las
normas.
4
Preguntas adicionales relacionadas con la experiencia
1. Supóngase un movimiento circular uniforme de radio r y velocidad v.
Demuestrese que
2πr
v=
.
T
Llévese el extremo de cada velocidad de este movimiento al centro de
rotación. Ası́ se obtendrá una circunferencia con radio v. Demuéstrese
que para este movimiento
2πv
.
a=
T
Con estas dos ecuaciones, obténgase la ecuación de la aceleración centrı́peta
[3].
2. Descrı́base cómo alcanzar los objetivos de este experimento utilizando un
péndulo simple. Si no se le ocurre cómo, consulte [8].
Apéndice
Ténganse presentes las siguientes técnicas que ayudan a realizar las
medidas en las mejores condiciones:
En los apartados 2 y 3 elija un valor del radio fácil de marcar, por ejemplo
20 ó 30 cm. Marque la posición elegida sobre la plataforma giratoria con una
pegatina de color llamativo. El indicador rojo alojado sobre el carrito señala
su centro de masas que durante el experimento debe señalar la posición correspondiente al radio elegido. Durante la rotación, debido al propio movimiento,
no es fácil determinar la posición del carrito. Por eso, cuando considere estar
muy cerca de dicha posición (siempre acercándose desde valores más pequeños
del radio), haga la lectura del dinamómetro F~c (que será justamente la tensión
del hilo) y pare el motor. Desplace manualmente el carrito hasta que el dinamómetro marque la misma fuerza y haga entonces la lectura de la posición
del carrito con precisión. Si comprueba que todavı́a no señala la posición
deseada, desplace suavemente el dinamómetro hacia abajo (por eso debe empezar colocando el dinamómetro más bien alto, con la pinza de sujeción en el
extremo inferior del dinamómetro). Vuelva a conectar el motor, realice nuevamente la lectura del dinamómetro y repita el procedimiento hasta que consiga
la posición del carro deseada.
Referencias
[1] Tipler P. A., Fı́sica, Ed. reverté S.A., Barcelona (1999), 4a¯ edición, tomo
I.
5
[2] F. Ninio , Acceleration in uniform circular motion Am. J. Phys. 61, 1052
(1993). La velocidad v se descompone en sus componentes vectoriales para
demostrar la ecuación de la aceleración centrı́peta.
[3] K R Brownstein, A simple derivation of centripetal scceleration, American Journal of Physics 62, 946 (1994). Con T = 2πr/v y T = 2πv/a se
demuestra la ecuación de la aceleración centrı́peta.
[4] H. W. Jones y J. S. Wallingford, A simple derivation of centripetal force,
The Physics Teacher 40, 554 (2002). Aplicación conjunta del Teorema de
Pitágoras y la Segunda Ley de Newton.
[5] E Zebrowski, Jr., On the derivation of centripetal acceleration formula, The
Physics Teacher 40, 554 (2002). Una forma curiosa de obtener la ecuación
de la aceleración centrı́peta mediante geometrı́a sencilla.
[6] R Bryan, A Some examples of of centripetal acceleration, The Physics
Teacher 40, 32-34 (2002). Ejemplos interesantes de aplicación del concepto
de fuerza centrı́peta.
[7] C Henderson, Measuring the forces required for circular motion, The
Physics Teacher 36, 118-121 (1998). Descripción de un aparato para contrastar experimentalmente los conceptos de fuerza centrı́peta, velocidad
angular, y perı́odo.
[8] En www.fisicarecreativa.com aparece la descripción de un experimento alternativo para estudiar las caracterı́sticas de la fuerza centrı́peta utilizando
un péndulo.
6