Elementos de Probabilidad y Estadística Problema Semanal 8 Pasajero Distraído

Elementos de Probabilidad y Estadística
Problema Semanal 8
Pasajero Distraído
Problema:
Un avión con capacidad para 100 pasajeros va a efectuar un vuelo con todos los asientos
ocupados. El primer pasajero ha perdido su ticket para abordar pero lo dejan entrar y escoge
un asiento al azar. De ahí en adelante los demás pasajeros se sientan en el asiento que
tienen asignado, si está libre, o en un asiento escogido al azar, si su asiento está ocupado.
¿Cuál es la probabilidad de que el último pasajero se siente en el asiento que tenía
asignado?
Solución:
Observemos que si para algún k < 100 los primeros k pasajeros como un grupo ocupan sus
lugares, entonces los pasajeros restantes, incluyendo al último, ocupan el lugar que tenían
asignado. Por otro lado, si alguno de los primeros k pasajeros ocupa el lugar del último,
entonces el último pasajero no puede ocupar su asiento.
Si para k-1 ninguna de estas situaciones es cierta, entonces la decisión del k-ésimo pasajero
tiene tanta probabilidad de llevar al primero de estos eventos como al segundo: Si su
asiento no está ocupado, le corresponde sentarse en él y ninguno de los eventos anteriores
ocurre. Si su asiento está ocupado entonces hay exactamente un asiento desocupado, el que
corresponde al primer pasajero, que lleva al primer evento, y exactamente un asiento
desocupado que lleva al segundo evento, el que corresponde al último pasajero. Por lo tanto
la probabilidad de que el último pasajero ocupe su asiento es 1/2.
Este problema aparece en los libros The Art of Mathematics. Coffee Time in Memphis, de
Béla Bollobás, Cambridge 2006, y Mathematical Puzzles. A Connoisseur’s Collection, de
Peter Winkler, A. K. Peters, 2004. Ambos libros son colecciones de problemas
matemáticos.