2 Fuerzas Magnetomotrices Electromotrices y Cupla

FUERZAS MAGNETOMOTRICES, ELECTROMOTRICES Y CUPLA
EN INDUCIDO A COLECTOR
1.- INTRODUCCIÓN
A continuación se analizarán las fuerzas magnetomotrices (fmm) desarrolladas por un inducido a colector, las fuerzas electromotrices inducidas (fem) en el mismo y la cupla que se puede generar. Se suponen conocidas las formas
constructivas de los mismos y que estos temas ya han sido estudiados para los arrollamientos a anillos.
En todos los casos se dibujarán inducidos bipolares por ser más fáciles de representar y además porque en ellos coinciden los ángulos eléctricos y geométricos. Para extender las conclusiones a inducidos de mayor número de polos,
simplemente se deben interpretar los ángulos como eléctricos:
θe = p θg
θe : ángulo eléctrico
θg : ángulo geométrico
2.- FUERZAS MAGNETOMOTRICES
En general y de acuerdo a sus características, se pueden definir tres tipos básicos de fuerzas magnetomotrices, cada
una de ellas producida por un tipo particular de excitación:
Excitación:
Tipo de fmm:
Características:
Corriente continua
Constante
Amplitud constante y fija
Corriente alterna monofásica
Alterna
Amplitud variable y fija
Corriente alterna polifásica
Giratoria
Amplitud constante y giratoria
La expresión amplitud constante, se refiere a la amplitud de cada una de las componentes armónicas de fuerza magnetomotriz y las expresiones fija y giratoria indican si las mismas se mueven respecto al arrollamiento que las está produciendo.
Por ser más simple de analizar se comenzará por el caso de excitación con corriente continua, es decir con fuerza
magnetomotriz constante.
I
2.1 Excitación de corriente continua:
Primero se considerará un inducido a colector alimentado con corriente continua a través de un par de escobillas
diametrales; como es habitual las mismas se representan simbólicamente ubicadas de forma tal que ambas definen el eje
magnético del arrollamiento:
F
Ia
θ
Figura 1: Distribución de corrientes en el inducido
Como estos arrollamientos, salvo en máquinas muy pequeñas, poseen muchas bobinas y están muy distribuidos, se
puede considerar que la corriente está uniformemente distribuida en la superficie del inducido, formando una capa de
corriente, esto da una variación continua de la fuerza magnetomotriz en el entrehierro, dando una onda triangular y no
la clásica forma escalonada.
Para representar la distribución espacial de fuerza magnetomotriz conviene dibujar el inducido desarrollado y para
completar el circuito magnético también se incluye el estator, suponiendo un entrehierro equivalente g constante:
Estator
g
Rotor
F
Fmáx
F1
0
π
2π
-Fmáx
2τp
Figura 2: Distribución de fuerza magnetomotriz
θ
la amplitud de la fmm desarrollada resulta:
Fmáx = Número de conductores por semipolo ⋅ corriente en cada conductor
Fm á x =
I
Z
1 Z
⋅ a =
Ia
2p ⋅ 2 2a 8 a p
[1]
donde:
Z:
p:
a:
Ia :
número total de conductores del inducido
número de pares de polos
número de pares de ramas en paralelo
corriente de inducido
También se puede poner en función del número de espiras en serie, por rama, entre escobillas diametrales Ns :
Ns =
Z
Z
=
2 ⋅ 2a
4a
[2]
o sea:
Fm á x =
N
1 Z
Ia = s Ia
8 ap
2p
La amplitud de las componentes armónicas de la onda triangular de fuerza magnetomotriz se obtiene haciendo el
análisis de Fourier de la misma, el que conduce a:
4 Fm á x
F$ν =
k wν
π
[3]
ν
donde ν es el orden de la armónica y el factor de arrollamiento kwν :
k wν = k pν k dν
es el producto del factor de paso kpν , por el factor de distribución kdν .
Como el arrollamiento está muy distribuido es lícito suponer que para cada conductor con corriente entrante, hay
uno diametralmente opuesto, con igual corriente, pero saliente, lo que conduce a un factor de paso igual a uno. Por el
mismo motivo el factor de distribución de puede obtener como la relación entre la cuerda y el arco correspondiente al
ángulo eléctrico entre escobillas θe :
k dν
r
θe
cu erd a
=
=
a rco
2 r s en ν
r ν θe
θe
2 =
s en ν
ν
θe
θe
2
[4]
2
en este caso, en que las escobillas están diametralmente opuestas, el ángulo eléctrico
entre las mismas es π , es decir corresponde a una semicircunferencia lo que para la
fundamental da:
2
kd1 =
π
y:
kw1 =
2
π
y la amplitud de la componente fundamental queda:
1 Z
4 N sk w1
F$1 = 2
Ia =
Ia
π 2p
π ap
[6]
Si las escobillas no son diametrales disminuye el número de conductores activos por rama y el número de espiras
en serie, por otra parte el factor de devanado crece al disminuir el ángulo entre escobillas, pero el efecto conjunto es
una disminución de la fuerza magnetomotriz desarrollada. Para visualizar lo anterior se representa la distribución de
corrientes en un inducido de doble capa con bobinas diametrales:
F2β
Ia
2β
Figura 3: Distribución de corrientes con escobillas no diametrales
en la figura se puede ver como hay zonas con corrientes iguales y opuestas que no desarrollan fuerza magnetomotriz y
el resultado neto es una reducción de la cantidad de conductores activos. Manteniendo las características de devanado y
la corriente en escobillas, la relación entre las fuerzas magnetomotrices para los dos casos se reduce a la relación entre
conductores activos y factores de distribución:
F2 β
=
Fπ
Z 2β k w 2β
Z π k wπ
como se ha supuesto una distribución uniforme de conductores, los valores de Z , lo mismo que los de Ns son proporcionales a los arcos respectivos y éstos a los ángulos entre escobillas:
Z2β
Zπ
=
N sβ
Ns
=
2β
π
por otra parte los factores de distribución están dados por la expresión [4], reemplazando resulta:
s en β
F2 β
2β
β
=
2
Fπ
π
π
F2 β = Fπ s en β
[7]
o sea que cuando las escobillas no son diametrales, la fuerza magnetomotriz se calcula primero como si lo fueran y
luego se multiplica por el seno de la mitad del ángulo entre las mismas.
2.2 Excitación con corriente alterna monofásica
Si la corriente en las escobillas es variable, la fuerza magnetomotriz desarrollada seguirá las variaciones de la misma, si es alterna de la forma:
i a = 2 I a s en ωt
el valor instantáneo de la componente fundamental de la fuerza magnetomotriz en el eje del arrollamiento, definido por
las escobillas, será:
F1 =
2 Z
4 2 N skw1
I s en ωt =
I a s en ωt
2 ap a
π 2
p
π
[8]
donde:
2
π
2
≅ 0 ,1 4 3 3
4
2
≅ 0 ,9
π 2
el valor de la fuerza magnetomotriz en una dirección θ respecto del eje magnético se obtiene multiplicando el valor
anterior por el coseno de dicho ángulo. Los valores máximos en el tiempo y en el espacio, son:
$
F$1 =
2 Z
4 2 N sk w1
Ia
I =
2 ap a
p
π 2
π
[9]
2.3 Excitación con corriente alterna trifásica
Si se alimenta trifásicamente un inducido bipolar a colector a través de tres escobillas dispuestas simétricamente, se
obtiene un campo giratorio de dos polos. Modificando el arrollamiento se pueden obtener mayor cantidad de polos y
velocidades sincrónicas más bajas, lo que en general implica agregar otros juegos de escobillas.
Para observar como se produce el campo, a continuación se representan las distribuciones de corriente para dos instantes sucesivos:
ic = -0,5
ia =1.0
F
ib = -0,5
Figura 4: Distribución de corrientes para t = 0
ic = 0
ia = 0,866
F
ib = -0,866
Figura 5: Distribución de corrientes para t = T/12
Como era de esperar el ángulo eléctrico girado por el campo es igual al girado por la terna trifásica, lo que da velocidades angulares iguales. Si el inducido fuera de mayor cantidad de polos la velocidad angular del campo sería:
Ωc1 =
ω
p
Igual que en un arrollamiento de fases, los armónicos de fuerza magnetomotriz dan lugar a campos giratorios de distintas velocidades y sentidos.
Desde el punto de vista eléctrico el arrollamiento equivale a una conexión en triángulo, por lo tanto la corriente en
cada rama (fase) será la de escobilla (línea) dividida por √3 . Como la amplitud de una fuerza magnetomotriz giratoria
trifásica es igual a 3/2 de la amplitud de la producida por una fase, para la que se debe tener en cuenta que las escobillas
están a 120 grados entre sí, entonces:
β = 60° =
y
π
3
3 2 Z Ia
π 3 2 Z
F$1 =
s en =
Ia
2
2 π ap 3
3
4 π 2 ap
[10]
compararla con la ecuación [9], o en función del número de espiras entre escobillas Nsβ :
3 4 2 N sβ k w β I a
F$1 =
p
2π 2
3
[11]
donde:
3 4 2
≅ 1,3 5
2π 2
N sβ =
2
Ns
3
k wβ =
s en β
β
=
3
3
≅ 0 ,8 2 7
π 2
Como seguramente el lector ya pudo observar, las fuerzas magnetomotrices en los arrollamientos a colector [6], [9]
y [11], se pueden calcular como en los arrollamientos a anillos, teniendo solamente el cuidado necesario en la elección
del número de espiras en serie y de los factores de devanado. Para evitar confusiones es aconsejable utilizar las expresiones en función de Z que, por ser el número total de conductores del inducido, es independiente de la posición y cantidad de escobillas.
3.- FUERZAS ELECTROMOTRICES INDUCIDAS
Como básicamente un arrollamiento a colector es un arrollamiento a anillos que se conecta a las escobillas a través
de las delgas que forman el colector, la fuerza electromotriz inducida que aparece en las escobillas se pueden obtener a
partir de la que se induce en un arrollamiento a anillos. En efecto si se tiene un único arrollamiento, por un lado con
salida a anillos rozantes conectados a extracciones diametrales y por el otro lado conectado a un colector en el que
apoyan escobillas, también diametrales, la tensión en las escobillas ee será igual al valor instantáneo del la tensión en
los anillos rozantes ea cuando el eje magnético del arrollamiento a anillos, que gira solidario con el mismo, coincida
con el eje magnético definido por las escobillas que está fijo en el espacio, es decir:
ee = ea ⏐
θ = θe
donde:
θ
θe
ángulo del eje magnético del arrollamiento a anillos
ángulo de escobillas
El valor instantáneo de la tensión en anillos se obtendrá como la derivada del flujo concatenado por el arrollamiento λ respecto del tiempo; el campo se supondrá sinusoidalmente distribuido en el entrehierro y se analizará solamente
la componente fundamental de la tensión inducida. Se analizarán tres casos: el inducido girando dentro de campos
constante, alterno y giratorio. En los tres casos se considerará al inducido girando a velocidad ωr constante:
dθ
ωr = p Ω =
dt
donde:
ωr
Ω
p
es la velocidad de rotación en radianes eléctricos por segundo
es la velocidad de rotación en radianes geométricos por segundo
número de pares de polos
entonces:
θ = ωr t + θ 0
[12]
3.1 Inducido en campo constante
Esta es la situación correspondiente a una máquina de corriente continua donde la excitación es constante en el
tiempo y fija en el espacio.
Φ
•
Ia
θ
ωr
θe
•
•
+
-
ea
+
ee
Figura 6: Inducido en campo constante
Como se ha supuesto que la fuerza magnetomotriz de excitación está distribuida sinusoidalmente en el entrehierro,
el flujo concatenado por el arrollamiento a anillos será:
λa = N s k w Φ cos θ
y la tensión en anillos:
ea =
d λa
dt
= −ω r N s k w Φ s en (ω r t + θ 0 )
[13]
que es una tensión alterna de amplitud y frecuencia proporcionales a la velocidad de rotación. La tensión en las escobillas se obtiene simplemente reemplazando el ángulo θ , que es el argumento de la función seno, por el ángulo de las
escobillas θe :
e e = E e = −ω r N s k w Φ s en θ e
[14]
Esta es una tensión constante, de amplitud proporcional a la velocidad de giro y que es máxima cuando las escobillas están a 90º eléctricos del flujo de excitación. Lo anterior muestra como el colector y las escobillas actúan como un
convertidor de frecuencia ya que las tensiones inducidas en las bobinas del arrollamiento son efectivamente alternas de
frecuencia
fr =
ωr
[15]
2π
y en las escobillas se tiene corriente continua.
De la expresión anterior se puede llegar a la comúnmente empleada en el estudio de las máquinas de corriente continua, en efecto reemplazando:
ωr = p Ω
Ns =
Z
4a
kw =
2
π
θe =
π
2
resulta:
E =pΩ
π
Z 2
pZ
Φ s en =
ΦΩ
4a π
2 2 πa
3.2 Inducido en campo alterno
Este es el caso del motor serie de corriente alterna o universal. Si en la situación planteada en la figura 6 el flujo varía armónicamente:
$ s en ωt
φ=Φ
el flujo concatenado por el arrollamiento será:
$ s en ωt co s θ
λa = N s k w Φ
donde el ángulo θ está dado por la [12], derivando respecto del tiempo se obtiene la tensión en anillos:
ea =
d λa
$ cos ωt cos (ω t + θ ) − ω N k Φ
$ s en ωt s en (ω t + θ )
= ω N sk w Φ
r
0
r s w
r
0
dt
Si se desarrollan los productos cosα⋅cosβ y senα⋅senβ en función de la suma y de la diferencia de los ángulos y
se agrupan términos se puede observar que está es una tensión alterna que contiene dos componentes de distintas amplitudes y frecuencias, por extensión denominada “biarmónica”, presente en los rotores de los motores de inducción monofásicos. Para obtener la tensión en escobillas se deben reemplazar los argumentos (ωrt + θo) = θ por θe :
$ cos θ cos ωt − ω N k Φ
$ s en θ s en ωt
ee = ω N sk w Φ
e
r s w
e
[16]
que también posee dos componentes pero, debido a la acción del colector, ambas de la misma frecuencia e igual a la del
flujo de excitación. La primera, denominada de transformación porque existe aunque el inducido no gire, de amplitud
proporcional a la pulsación ω del flujo de excitación y la segunda, denominada de rotación, de amplitud proporcional
a la velocidad de rotación ωr del inducido.
Los valores eficaces de ambas componentes serán:
Et =
Er =
ω
2
ωr
2
$ cos θ = 4 ,4 4 f N k Φ
$ cos θ
N skw Φ
e
s w
e
[17]
$ s en θ = 4 ,4 4 f N k Φ
$ s en θ
N sk w Φ
e
r
s w
e
donde fr es la frecuencia de rotación dada por la [15].
Como estas componentes son ambas de la misma frecuencia, se pueden representar fasorialmente y sumarlas para
obtener la resultante y el valor eficaz de la tensión en escobillas.
La componente de transformación es una función coseno, es decir que adelanta 90º del flujo que es una función seno,
mientras que la componente de rotación es una función
menos seno y queda en oposición al flujo.
E
Et
La suma vale:
E =
E t2 + E r2
[18]
Φ
ésta es la tensión que mediría un voltímetro de corriente
alterna conectado a las escobillas. Si se las representa en
función del ángulo de escobillas se obtiene:
1
0 ,9
0 ,8
0 ,7
0 ,6
0 ,5
0 ,4
0 ,3
0 ,2
0 ,1
0
º/1
Er
º/1
E
E
Er
Er
0
Et
Et
10 20 30 40 50 60 70 80 90
θe
1
ωr = 0,7ω 0 ,9
ωr = ω
θe
0 ,8
0 ,7
0 ,6
0 ,5
0 ,4
0 ,3
0 ,2
0 ,1
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Figura 7: Tensiones en función del ángulo de escobillas
Una forma útil de interpretar lo anterior es suponer al arrollamiento de inducido como “pseudo estacionario” es decir un arrollamiento que gira pero que su eje magnético permanece fijo en el espacio y en la dirección determinada por
las escobillas. Si el ángulo de escobillas es cero, el eje del arrollamiento coincide con el de la excitación y hay máximo
acoplamiento, dando lugar a la máxima tensión de transformación; mientras que si las escobillas están a 90º eléctricos
de la excitación, el acoplamiento es nulo, la tensión de transformación es cero y en cambio hay máxima tensión de
rotación, como con excitación constante. Esta forma de interpretar al inducido también permite justificar porque la
frecuencia de la tensión en escobillas coincide con la del flujo de excitación.
3.3 Inducido en campo giratorio
Esta es la situación correspondiente, por ejemplo, a un motor Schräge. Se supondrá al campo girando a una velocidad:
ωf = 2 π f f = p Ω f
tal que:
θf = ωf t
θf
θ
θe
ωr
Φ
+
-
ea
+
ee
-
Figura 8: Inducido en campo giratorio
y el flujo concatenado por el arrollamiento a anillos será:
( )
Φ cos [(ω − ω ) t − θ ]
λa = N s k w Φ cos θf − θ =
= N sk w
f
r
0
y la tensión en anillos es:
(
= −(ω
)
− ω )N
[(
]
)
e a = − ω f − ωr N s k w Φ s en ω f − ωr t − θ0 =
f
r
sk w
(
Φ s en ω f t − θ
)
que es una tensión alterna cuya amplitud y frecuencia dependen de la velocidad relativa entre el inducido y el campo
giratorio. Reemplazando θ por θe se obtiene la tensión en escobillas:
(
)
(
e e = − ω f − ω r N s k w Φ s en ω f t − θ e
)
[19]
En este caso la tensión en las escobillas es alterna de una amplitud que depende de la diferencia de velocidad entre
el campo giratorio y el inducido y una frecuencia determinada por la velocidad del campo giratorio respecto a una referencia fija, por ejemplo las propias escobillas. Al cambiar la posición de las escobillas solamente se cambia la fase de la
tensión.
Aquí también el concepto de arrollamiento “pseudo estacionario” permite justificar porque la frecuencia depende
de la velocidad de rotación del campo respecto del eje definido por las escobillas y como al cambiar el mismo solamente cambia la fase de la tensión. Por otra parte, como el valor del flujo no cambia en el tiempo, el módulo de la tensión
inducida depende del hecho físico del movimiento relativo entre el campo y los conductores del inducido. Si la amplitud del flujo variase en el tiempo, también aparecería una componente de transformación en la tensión inducida.
Definiendo un resbalamiento s como la diferencia de velocidades en por unidad respecto al campo giratorio:
s =
ω f − ωr
se puede expresar la tensión anterior en función del mismo:
ωf
(
e e = −s ω f N s k w Φ s en ω f t − θ e
)
[20]
y el valor eficaz resulta:
E =
s ωf
2
N s k w Φ = 4 ,4 4 s f f N s k w Φ
[21]
En las expresiones recuadradas [14], [16], [17], [18], [19], [20] y [21] se utilizó el número de espiras en serie Ns y
el factor de devanado kw para destacar la equivalencia de las mismas con las utilizadas en los arrollamientos a anillos,
pero como corresponden a escobillas diametrales, los mismos se pueden reemplazar por las expresiones [2] y [5] respectivamente.
Si bien las tensiones dadas por las expresiones anteriores fueron obtenidas suponiendo que las escobillas eran diametrales, en realidad se pueden aplicar para cualquier ángulo entre las mismas, siempre que se tome la precaución de
usar el número de espiras en serie y el factor de devanado correspondiente. Sin embargo se presta menos a confusión y
es más cómodo calcular primero la tensión inducida como si las escobillas fueran diametrales y luego multiplicar el
resultado por el seno de la mitad del ángulo entre las mismas:
e e 2 β = e e π s en β
[22]
de la misma forma que se hizo para las fuerzas magnetomotrices.
4.- CUPLA
En una máquina de entrehierro constante, con fuerzas magnetomotrices estatórica y rotórica sinusoidalmente distribuidas y en la que se supone toda la energía magnética almacenada en el entrehierro (µFe = ∞), la cupla electromagnética desarrollada, en Newton-metro, se puede obtener como la derivada de dicha energía respecto de la posición y resulta
la siguiente expresión:
Te =
π
2
p 2 Φ f F$a s en θ
[23]
donde:
p:
número de pares de polos
Fa :
amplitud de la componente fundamental de la fmm de armadura
ángulo eléctrico entre el flujo y la fmm de armadura
Φf : flujo por polo
θ:
y de acuerdo al “principio de alineación”, el sentido de esta cupla es tal que tiende a alinear la fuerza magnetomotriz de
armadura con el flujo de excitación.
Una condición necesaria para que el valor medio de esta cupla no sea nulo es que el flujo y la fuerza magnetomotriz permanezcan estacionarias entre sí, es decir que ambos estén fijos en el espacio o que ambos giren en la misma
dirección y con la misma velocidad. En la práctica los casos de interés son:
1:
2:
3:
ambos fijos en el espacio y constantes (máquina de corriente continua)
ambos fijos en el espacio y pulsantes (motor serie monofásico)
ambos giratorios (motor Schräge)
4.1 Ambos fijos en el espacio y constantes en el tiempo
Suponiendo escobillas diametrales podría ser:
Φf
θe
Fa
Te
Ia
Figura 9: Flujo de excitación y fuerza magnetomotriz de armadura
donde el ángulo entre el flujo de excitación y la fuerza magnetomotriz de armadura está determinado por la posición de
las escobillas. Si como ya se dijo esta situación es la correspondiente a una máquina de corriente continua, el eje magnético del inducido estará en cuadratura con el de la excitación. Reemplazando la fuerza magnetomotriz de armadura
por la expresión [6]:
1 Z
F$a = 2
Ia
π ap
y
θ = θe =
[6]
π
2
queda:
Te =
pZ
Φf I a
2πa
[24]
que es la expresión usualmente empleadas en estas máquinas, la que si se deseara también se puede poner en función
del número de espiras en serie Ns , dado por la expresión [2] e introducir el factor de devanado [5] como en la ecuación
[6], pero como ya se dijo se presta menos a confusión trabajar con el número total de conductores Z especialmente si
las escobillas no son diametrales; en este caso, es aconsejable obtener la cupla multiplicando la expresión [24] por el
seno del semiángulo eléctrico entre las mismas.
4.2 Ambos fijos en el espacio y pulsantes con la misma frecuencia
Como en el caso anterior el ángulo entre el flujo de excitación y la fuerza magnetomotriz de armadura está determinado por la posición de las escobillas, que normalmente es de 90º. Si:
θ = θe
$ s en ωt
φf = Φ
f
ia = 2 I a s en (ωt − ψ )
teniendo en cuenta la fuerza magnetomotriz dada por expresión [6] y reemplazando en la [23]
Te =
π
2
$ s en ωt
p 2Φ
f
1 Z
π2 ap
(
)
2 I a s en ωt − ψ s en θe
si luego de simplificar y ordenar se desarrolla el producto de senos como:
s en α s en β =
[
]
1
co s (α − β ) − co s (α + β )
2
resulta:
Te =
$
pZ Φ
f
I co s ψ − co s 2ωt − ψ s en θe
2πa 2 a
[
(
)]
[25]
que es la suma de un valor constante y otro pulsante con frecuencia doble a la de excitación. En general interesa la
cupla media, es decir la componente constante:
Te =
$
p Z Φf
I a cos ψ s en θ e
2πa 2
[26]
para que esta componente sea máxima el flujo de excitación y la corriente de inducido deben estar en fase, ψ = 0 , y el
ángulo de escobillas debe ser 90º eléctricos Las dos condiciones se cumplen en un motor serie de corriente alterna: en
efecto como el flujo de excitación está producido por la misma corriente que desarrolla la fuerza magnetomotriz de
armadura, ambos quedan prácticamente en fase en el tiempo y por otra parte las escobillas se ubican de forma tal que
los ejes magnéticos de la excitación y de la armadura queden en cuadratura.
Las mismas razones justifican los inconvenientes del motor derivación de corriente alterna donde, debido a las disímiles relaciones inductancia/resistencia de los circuitos de excitación y de inducido, no es posible lograr que el flujo
de excitación y la fuerza magnetomotriz de armadura queden en fase.
Comparando las expresiones de la cupla en corriente continua [24] y en corriente alterna [26], para iguales condiciones de saturación máxima y pérdidas en el cobre, esta última es √2 veces menor. Esta es una razón más a favor del
motor de corriente continua respecto del de alterna a colector y, junto a la reducción de las caídas de tensión, contribuye
a la mayor velocidad que desarrolla un motor universal, (motor serie para corriente alterna y continua) cuando se lo
utiliza en corriente continua.
Igual que antes, las expresiones [25] o [26], se pueden poner en función del número de espiras en serie Ns e introducir el factor de devanado kw pero si las escobillas no son diametrales, no es aconsejable hacerlo por la posibilidad de
confusión, en ese caso la cupla conviene obtenerla multiplicando dichas expresiones por el seno del semiángulo eléctrico entre las mismas.
4.3 Ambos giratorios
En las máquinas trifásicas que funcionan en condiciones de alimentación equilibrada, se puede suponer que el
campo giratorio y la fuerza magnetomotriz del inducido poseen amplitudes y giran a velocidades constantes, por lo
tanto permanecerán estacionarias entre sí formando un ángulo que dependerá de las condiciones de funcionamiento y
no exclusivamente de la ubicación de las escobillas.
Fa
Te
θ
Φf
Figura 10: Flujo y fuerza magnetomotriz de armadura giratorios
La cupla estará dada por una expresión como la [23] obtenida en el primer caso, donde la fuerza magnetomotiz de
armadura corresponde a un campo giratorio como el dado por la expresión [10], reemplazando queda:
Te =
π
2
p 2 Φf
3
2 Z
4 π 2 ap
I a s en θ
simplificando y ordenando:
Te =
3 p Z Φf
I a s en θ
2 2πa 2
[27]
al introducir la fuerza magnetomotriz en esta ecuación ya se tuvo en cuenta que las escobillas se encuentran a 120º
eléctricos entre sí.