programa de cálculo para el dimensionamiento de losas

PROGRAMA DE CÁLCULO PARA EL DIMENSIONAMIENTO DE LOSAS PERIMETRALMENTE
APOYADAS USANDO EL MÉTODO DE COEFICIENTES DEL REGLAMENTO DEL
DISTRITO FEDERAL
R. Serrano Lizaola y M. Flores Barrios
Universidad de las Américas-Puebla
Departamento de Ingeniería Civil
72820 Cholula, Puebla, México
RESUMEN
Se presenta un programa de cálculo para el dimensionamiento de losas de concreto reforzado perimetralmente
apoyadas para las que los valores de los momentos flexionantes de diseño se obtienen a partir de los coeficientes
contenidos en las Normas Técnicas Complementarias para Diseño y Construcción de Estructuras de Concreto
Reforzado del DDF (NTCDF-93). El paquete de cómputo es propio para computadoras personales y se elaboró en
el lenguaje Visual Basic.
SUMMARY
This paper presents a computer program written in Visual Basic for the design of reinforced concrete slabs. The
corresponding values for the ultimate design bending moments are obtained from the respective coefficients
contained in the 1993 Mexican Building Code (NTCDF-93). This computer program is proper for personal
computers.
INTRODUCCIÓN
El análisis de placas con flexión en dos direcciones, homogéneas, isótropas y constituidas por un material elástico
lineal, conduce a una ecuación diferencial, inhomogénea, lineal de cuarto orden en función de una sola incógnita,
la deformación vertical que sufre el plano medio de la placa. Esta expresión diferencial, conocida como la
ecuación de Lagrange, es válida para cualquier punto del plano medio de la placa debiendo satisfacer las
correspondientes condiciones de frontera.
La solución analítica cerrada de dicha ecuación diferencial se obtiene mediante la aplicación de series dobles de
Fourier y solo se logra para casos muy particulares de placas aisladas como la circular, la anular y la elíptica ante
la solicitación de cargas gravitacionales distribuidas de manera uniforme y variable en ambas direcciones.
Las placas de forma rectangular son las más comúnmente empleadas en la práctica de la ingeniería estructural,
por lo que se han desarrollado distintos procedimientos aproximados para su análisis. Dentro de estos métodos se
tienen, principalmente, el de las series de Fourier, el método aproximado de Marcus y los procedimientos
numéricos modernos como el de las diferencias finitas, el de los elementos finitos y, más recientemente, el de los
elementos de frontera.
Cuando las placas son de concreto reforzado reciben el nombre de losas. El comportamiento de estos elementos
estructurales bidimensionales planos difiere considerablemente del elástico lineal, por lo que los reglamentos de
construcción proponen métodos aproximados para su análisis y posterior diseño.
Si bien mediante los métodos modernos se han desarrollado complejos programas de cómputo que incluyen la
descripción de un comportamiento inelástico del material afín al concreto reforzado, su adquisición resulta ser
muy onerosa y su aplicación compleja y limitada.
Actualmente y desde hace varias décadas, las Normas Técnicas Complementarias para Diseño y Construcción de
Estructuras de Concreto Reforzado del DDF (NTCDF-93) presentan una tabla de coeficientes que permite
calcular los momentos flectores para el diseño de losas de concreto reforzado apoyadas perimetralmente.
El principal objetivo de este trabajo radica en presentar un programa de cálculo para computadoras personales
cuyo manejo sea sencillo, objetivo y amigable al usuario y con el cual puedan dimensionarse, en el menor tiempo
posible, losas de concreto reforzado constituidas por tableros cuyos bordes se encuentran apoyados sobre vigas
coladas o no monolíticamente con la losa.
El paquete de cómputo, motivo de este trabajo, se desarrolló en estricto apego a los criterios definidos por las
Normas Técnicas Complementarias del Reglamento para Construcciones del Distrito Federal (RDF-93). Por esta
razón, aquí no se presentan las expresiones contempladas en ellas, pues las mismas están integradas en la
estructura interna del programa. El lenguaje que se utilizó es el Visual Basic, con lo cual el paquete resulta
compatible para todo tipo de computadora personal.
Evidentemente, la esencia del paquete de cálculo radica en la automatización del procedimiento general arriba
descrito. Para un número considerable de tableros en ambas direcciones, el programa calcula el espesor mínimo
de la losa. Después determina los valores de los momentos flectores en las franjas centrales de los tableros para
los bordes continuos y para los centros de los claros, cuantifica las correspondientes áreas de acero positivas y
negativas, y define la separación del acero requerida para el calibre que automáticamente considera como
apropiado o, bien, para aquél que se le proporcione como dato. También revisa la resistencia de la losa a fuerza
cortante y cuantifica las cargas que los tableros transmiten a sus respectivos bordes de apoyo.
En lo referente a las cargas gravitacionales, éstas pueden ser uniformemente repartidas, lineales o concentradas.
Las cargas lineales y puntuales pueden aplicarse a uno o varios tableros a la vez. La transmisión de las cargas
puntuales puede darse a través de áreas de carga de forma rectangular o circular.
La elección del lenguaje Visual Basic para la elaboración del programa se debe a que éste es un sistema de
desarrollo especialmente diseñado para crear aplicaciones gráficas de forma rápida y sencilla (Ceballos, 1994).
Las herramientas fundamentales de este lenguaje son dos: una que permite realizar los diseños gráficos y otra que
consiste de un lenguaje de elevado nivel. Al estar este lenguaje centrado en ventanas y controles, es posible
diseñar, sin tener que programarse, una interfaz gráfica para una aplicación. Con ello, cada objeto (ventanas y
controles) está ligado a un código que permanece inactivo hasta que se dé el suceso que lo activa.
El programa presenta ventanas con gráficos para facilitar al usuario el ingreso de los datos requeridos y para
hacerle más comprensivos los resultados del cálculo.
ESENCIA Y FUNDAMENTOS DEL PROGRAMA DE CÁLCULO
Los coeficientes de la tabla 4.1 de las NTCDF-93 se obtuvieron mediante métodos elásticos refinados, tal como el
de diferencias finitas. Los valores así obtenidos se modificaron para poder considerar las diferencias esenciales
existentes entre las losas idealmente elásticas y las de concreto reforzado, como, por ejemplo, la influencia del
agrietamiento del concreto en la distribución de esfuerzos y la de la rigidez de las vigas de apoyo, entre otras.
Este método de los coeficientes puede aplicarse únicamente si se satisfacen las condiciones siguientes: los
tableros de la losa son casi rectangulares, la distribución de las cargas que gravitan en cada tablero de la losa es
aproximadamente uniforme, los momentos negativos en el borde común de dos tableros adyacentes no difieren
entre sí más del 50 % del menor de ellos, y si la relación de carga viva a carga muerta no es mayor que 2.5 para
losas monolíticamente coladas con sus apoyos, ni mayor que 1.5 en otros casos.
La secuela que se sigue para dimensionar losas por el método de los coeficientes consiste en la obtención inicial
del peralte mínimo de la losa, cuyo valor permita omitir el cálculo de las deflexiones. Como las expresiones que
delimitan el espesor efectivo de la losa dependen de la carga total que gravita sobre ella, incluyendo su peso
propio, el que a su vez es función directa del espesor total de la placa, debe entonces calcularse nuevamente el
peralte efectivo que satisfaga dichas condiciones.
Conocido el espesor total de la losa, puede determinarse la carga total sobre cada tablero, resultado de la suma de
las cargas muertas con las cargas vivas que actúan sobre cada uno de ellos. Con esto, pueden obtenerse, mediante
el uso de los coeficientes de la tabla 4.1 de las NTCDF-93, los momentos flectores por unidad de longitud en los
bordes y en los centros de los claros de las franjas centrales de los tableros. Los momentos correspondientes a las
llamadas franjas de borde se obtienen multiplicando dichos momentos anteriores por 0.6. Posteriormente se
procede a la obtención del espesor de la losa necesario por flexión, al cálculo de las áreas de acero requeridas con
sus respectivas separaciones y a la disposición del refuerzo.
DESCRIPCIÓN DEL MANEJO DEL PROGRAMA DE CÁLCULO CON APLICACIONES
Con el fin de ilustrar la aplicación de este paquete de cómputo de manera clara y objetiva, éste se aplicará al
diseño de un sistema de piso con losa y vigas, de cuatro claros en una dirección y de tres en la otra. La activación
del programa conduce a una ventana donde deberá indicarse si la losa está colada o no monolíticamente con sus
apoyos, si está expuesta a la intemperie, así como la clase del concreto a emplearse (Fig.1).
FIGURA 1: Ventana de datos iniciales
Después del suministro de esta información, se coloca el puntero sobre la etiqueta “Avanzar”, con lo que aparece
una nueva ventana que solicita los “Datos de Entrada de la Losa”. Para el caso en consideración, se muestra en
la Fig. 2 la información relativa para este ejemplo consistente en el “Número de tableros” en dirección tanto
“Horizontal” como “Vertical”, las “Unidades de longitud” a emplear, y el “Ancho de las vigas” en sentido
“Horizontal” y “Vertical” de la planta del sistema de piso.
FIGURA 2: Ventana de datos de entrada de la losa
Si ahora en esta ventana se pulsa el botón “Aceptar”, se genera un croquis de la planta del sistema de piso, en el
que aparecen los tableros numerados y donde deben anotarse las cotas de los claros c.a.c. en las direcciones X e Y
conforme a lo indicado en la Fig. 3.
FIGURA 3: Datos de entrada para el diseño de la losa
En la parte superior izquierda de esta ventana aparece el letrero “Opciones” con el cual es posible contemplar la
presencia de cargas lineal y concentrada, además de la uniformemente distribuida sobre el sistema de piso, las
cuales pueden aplicarse en uno o varios de los tableros. La colocación del puntero sobre este letrero permite
indicarle al programa la existencia de alguno o ambos tipos de solicitación como se muestra en la Fig. 4
FIGURA 4: Opciones para la consideración de cargas lineal y concentrada
La elección de ambos tipos de carga se logra al pulsar la etiqueta de “Avanzar” en la Fig. 4, creándose las
ventanas en las que debe proporcionarse la posición e intensidad de ellas tal como se ilustra en las Figs. 5 y 6.
FIGURA 5: Ventana para la asignación de cargas lineales
FIGURA 6: Ventana para la asignación de cargas concentradas
Supóngase que se transmiten cargas lineales a través de muros a lo largo del claro corto de los tableros 2, 6 y 10
(dirección del eje Y). Las cargas puntuales se aplican en los centros de los claros de los tableros 4 y 12 a una
distancia de 2.5 metros medidos a partir de los ejes B y C, respectivamente, transmitidas a través de columnas
circulares de diámetro igual a 60 cm. La información correspondiente para considerar estas cargas se muestra en
las Figs. 5 y 6. El paso de una a otra de estas dos ventanas se logra con el botón de “Avanzar”.
Luego de proporcionar la información inherente a estas cargas, aparece la ventana “Datos de Entrada de la Losa
y de los Materiales”. Aquí se asignan los valores de la carga muerta debida a acabados y recubrimientos, sin
incluir el peso propio de la losa, el de la carga viva, la resistencia a compresión del concreto, el esfuerzo de
fluencia del acero de refuerzo, el peso volumétrico del concreto y, si se desea, el número del calibre de la varilla a
usar (Fig. 7). El programa ofrece en este lugar la opción de dar el valor del espesor total de la losa. En caso de
que éste no se asigne, el programa lo determinará previo cálculo del peso propio del sistema de piso.
FIGURA 7: Datos para las cargas y resistencias de los materiales
Si ahora se presiona el botón “Calcular”, aparece la pantalla de ”Resultados” que muestra un corte transversal
de la losa (Fig. 8) indicando su espesor total y los peraltes efectivos positivo y negativo. Además, si aquí se aplica
el puntero sobre la etiqueta “Momentos Equilibrados” se presenta la pantalla de la Fig. 9 donde se muestra un
croquis con los valores de estos momentos en las franjas centrales de los tableros.
FIGURA 8: Espesor total y peraltes efectivos positivo y negativo de la losa
FIGURA 9: Momentos en las franjas centrales de los tableros
Tras la aplicación del puntero en la Fig. 8 sobre las leyendas “Area de acero” y “Acero de refuerzo”, aparecen
los croquis que indican para las franjas centrales de los tableros las áreas de acero calculadas y sus separaciones
correspondientes con base en el calibre de varilla elegido (Figs. 10 y 11).
FIGURA 10: Areas de acero calculadas para las franjas centrales
FIGURA 11: Separaciones del refuerzo en franjas centrales
Cabe señalar aquí que la separación teórica para el refuerzo por flexión, calculada por el programa, es la
estrictamente necesaria. Los ajustes necesarios que deban realizarse para lograr una distribución del acero más
uniforme y adecuada a cantidades de manejo fácil en la práctica constructiva se dejan al criterio del usuario.
Si en esa misma ventana (Fig. 11) se pulsa la etiqueta “Franjas Extremas” se obtiene el acero de refuerzo
requerido en dichas franjas. Al pulsar en ella el botón “Doblado de Varillas”, se muestran los croquis de doblado
del refuerzo para cada “Fila” o “Columna” de tableros según se observa en las Figs. 12 y 13.
FIGURA 12: Doblado del refuerzo en dirección X para los tableros 5 a 8 entre los ejes B y C
FIGURA 13: Doblado del refuerzo en dirección Y para los tableros 2, 6 y 10 entre ejes B y C
En estas pantallas están indicadas la longitud mínima de corte y doblado de varillas y la separación entre claros.
Los números y letras enmarcados son los de los ejes, mientras los que aparecen entre los valores de las longitudes
de corte o doblado corresponden al número asignado a cada tablero según el correspondiente corte transversal.
Finalmente, al señalar en la Fig. 8 “Cargas sobre vigas de apoyo”, aparece un croquis como el de la Fig. 14
donde se muestran los valores de las cargas transmitidas por los tableros a sus correspondientes apoyos.
FIGURA 14: Valores de las cargas transmitidas por los tableros a sus respectivos apoyos
CONCLUSIONES
El diseño de losas de concreto reforzado perimetralmente apoyadas realizado a mano aplicando el método de los
coeficientes del Reglamento del Distrito Federal resulta ser sumamente laborioso.
El paquete de cálculo aquí presentado salva este obstáculo permitiendo soluciones rápidas y precisas, por lo que
su aplicación resulta ser muy útil y práctico para ese fin.
El presente paquete de cómputo puede ampliarse para incluir el diseño de losas nervuradas o aligeradas.
Los resultados que el programa proporciona se verificaron con ejemplos calculados a mano referentes a losas
solicitadas por cargas gravitacionales uniformemente repartidas, incluyendo la presencia de cargas lineales y
concentradas en uno o varios tableros del sistema de piso.
La ventaja que representa el empleo del lenguaje de programación Visual Basic consiste en la transportabilidad
del paquete computacional, pues resulta ser autoinstalable sin necesidad de que dicho lenguaje se encuentre
cargado en la computadora personal.
Es importante señalar aquí, que el éxito en la aplicación de este programa de cálculo radica esencialmente en los
criterios y la experiencia del usuario en los ámbitos tanto del análisis como del diseño estructural.
REFERENCIAS
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Wilmington, Delaware, E.U.A.
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Método de los Coeficientes del RDF”, Tesis, UDLA-P, Puebla, México.
Gaceta Oficial del Departamento del Distrito Federal (1993), “Normas Técnicas Complementarias para
Diseño y Construcción de Estructuras de Concreto”.
González C., O.; Robles F., F. (1995), “Aspectos Fundamentales del Concreto reforzado”, LIMUSA, México,
3ª. Edición.
Instituto de Ingeniería UNAM (1991), “Comentarios, Ayudas de Diseño y Ejemplos de las Normas Técnicas
Complementarias para Diseño y Construcción de Estructuras de Concreto Reforzado, DDF”, No. ES-2,
noviembre.
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Nelson, R., “Guía Completa de Visual Basic para Windows”. McGraw-Hill, México, 2ª. Edición.
Park R.; Gamble, W. L. (1987), “Losas de Concreto Reforzado”, LIMUSA, México, 1ª. Edición.
Serrano L., R. (1997), “Apuntes de Diseño de Elementos de Concreto Reforzado”, no publicados.