Diferenciciación en Rn: Derivadas de orden

Diferenciciación en Rn : Derivadas de orden
superior
R. Álvarez-Nodarse
Universidad de Sevilla
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Diferenciciación en Rn : Derivadas de orden superior
Derivadas de orden superior
Supongamos que f : A ⊂ Rn → Rm , A es un abierto de Rn tiene
∂f (x)
derivadas parciales Di f =
en A, i = 1, . . . , n.
∂xi
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Derivadas de orden superior
Supongamos que f : A ⊂ Rn → Rm , A es un abierto de Rn tiene
∂f (x)
derivadas parciales Di f =
en A, i = 1, . . . , n. Supongamos
∂xi
que dichas derivadas parciales Di f : A ⊂ Rn → Rm admiten a su
vez derivadas parciales Dj (·) en A. Dichas derivadas parciales se
denominan derivadas parciales de segundo orden y se denotan por
Dj (Di f )(x) = Dj,i f (x) =
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∂ 2 f (x)
,
∂xj ∂xi
i, j = 1, 2, . . . , n.
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Derivadas de orden superior
Supongamos que f : A ⊂ Rn → Rm , A es un abierto de Rn tiene
∂f (x)
derivadas parciales Di f =
en A, i = 1, . . . , n. Supongamos
∂xi
que dichas derivadas parciales Di f : A ⊂ Rn → Rm admiten a su
vez derivadas parciales Dj (·) en A. Dichas derivadas parciales se
denominan derivadas parciales de segundo orden y se denotan por
Dj (Di f )(x) = Dj,i f (x) =
∂ 2 f (x)
,
∂xj ∂xi
i, j = 1, 2, . . . , n.
Si las funciones Dj,i f : A ⊂ Rn → Rm admiten derivadas parciales
entonces podemos definir las derivadas parciales de orden 3
Dk (Dj (Di f ))(x) = Dk,j,i f (x) =
∂ 3 f (x)
,
∂xk ∂xj ∂xi
i, j, k = 1, 2, . . . , n.
Y ası́, sucesivamente.
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Diferenciciación en Rn : Derivadas de orden superior
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Una pregunta natural es cuando las derivadas cruzadas son iguales,
i.e.,
∂ 2 f (x)
∂ 2 f (x)
=
.
∂xj ∂xi
∂xi ∂xj
Veamos un ejemplo. Sea f : R2 7→ R definida por
(
x
y
x 2 arctan − y 2 arctan , si xy 6= 0,
x
y
f (x, y ) =
0,
si xy = 0.
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Theorem (Schwarz)
Sea f : A ⊂ Rn → Rm con A abierto, y sea x0 ∈ A. Si en A existen
∂f (x) ∂f (x) ∂ 2 f (x)
,
y
y la derivada
las derivadas parciales
∂xi
∂xj
∂xj ∂xi
∂ 2 f (x)
∂ 2 f (x)
es continua en x0 , entonces en A existe la derivada
∂xj ∂xi
∂xi ∂xj
∂ 2 f (x)
∂ 2 f (x)
=
.
y
∂xj ∂xi
∂xi ∂xj
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Theorem (Schwarz)
Sea f : A ⊂ Rn → Rm con A abierto, y sea x0 ∈ A. Si en A existen
∂f (x) ∂f (x) ∂ 2 f (x)
,
y
y la derivada
las derivadas parciales
∂xi
∂xj
∂xj ∂xi
∂ 2 f (x)
∂ 2 f (x)
es continua en x0 , entonces en A existe la derivada
∂xj ∂xi
∂xi ∂xj
∂ 2 f (x)
∂ 2 f (x)
=
.
y
∂xj ∂xi
∂xi ∂xj
Corolario (Bonnet)
Sea f : A ⊂ Rn → Rm con A abierto, y sea a ∈ A tal que existen
∂ 2 f (x) ∂ 2 f (x)
las derivadas parciales
y
en un entorno de a ∈ A y
∂xj ∂xi
∂xi ∂xj
∂ 2 f (a)
∂ 2 f (a)
ambas son continuas en a. Entonces
=
.
∂xj ∂xi
∂xi ∂xj
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Theorem (Heffter-Young)
Sea f : A ⊂ Rn → Rm , A abierto y sea a ∈ A. Supongamos que
∂f (x)
∂f (x)
existen las derivadas parciales
,y
en un entorno de a
∂xi
∂xj
∂ 2 f (a)
∂ 2 f (a)
=
.
y son diferenciables en a. Entonces
∂xj ∂xi
∂xi ∂xj
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Theorem (Heffter-Young)
Sea f : A ⊂ Rn → Rm , A abierto y sea a ∈ A. Supongamos que
∂f (x)
∂f (x)
existen las derivadas parciales
,y
en un entorno de a
∂xi
∂xj
∂ 2 f (a)
∂ 2 f (a)
=
.
y son diferenciables en a. Entonces
∂xj ∂xi
∂xi ∂xj
Tanto el Teorema de Schwarz como el de Heffter-Young dan
condiciones suficientes. Para comprobarlo escojamos la función
(
f (x, y ) =
1
x 2 y cos , si x =
6 0,
x
0,
si x = 0.
Esta función cumple con las condiciones de ambos teoremas en
todo R2 \ {(0, y ), ∀y ∈ R}. Veamos que ocurre (0, 0).
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Definición
Diremos que f ∈ C (k) (A) si f admite todas las derivadas parciales
hasta orden k y estas son continuas en A.
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Definición
Diremos que f ∈ C (k) (A) si f admite todas las derivadas parciales
hasta orden k y estas son continuas en A.
Supongamos que la función f : A ⊂ Rn → Rm es diferenciable en
A. Entonces podemos definir la función derivada de f en A,
Df : A ⊂ Rn → L(Rn , Rm ), donde L(Rn , Rm ) denota al espacio de
todas las aplicaciones lineales de Rn en Rm .
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Definición
Diremos que f ∈ C (k) (A) si f admite todas las derivadas parciales
hasta orden k y estas son continuas en A.
Supongamos que la función f : A ⊂ Rn → Rm es diferenciable en
A. Entonces podemos definir la función derivada de f en A,
Df : A ⊂ Rn → L(Rn , Rm ), donde L(Rn , Rm ) denota al espacio de
todas las aplicaciones lineales de Rn en Rm .
Diremos que f es dos veces diferenciable en un punto a ∈ A si la
función Df anterior es diferenciable en a y denotaremos a la
derivada segunda de f en a por D 2 f (a). Nótese que de lo anterior
se sigue que D 2 f (a) es una aplicación lineal de Rn en L(Rn , Rm ).
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Definición
Diremos que f ∈ C (k) (A) si f admite todas las derivadas parciales
hasta orden k y estas son continuas en A.
Supongamos que la función f : A ⊂ Rn → Rm es diferenciable en
A. Entonces podemos definir la función derivada de f en A,
Df : A ⊂ Rn → L(Rn , Rm ), donde L(Rn , Rm ) denota al espacio de
todas las aplicaciones lineales de Rn en Rm .
Diremos que f es dos veces diferenciable en un punto a ∈ A si la
función Df anterior es diferenciable en a y denotaremos a la
derivada segunda de f en a por D 2 f (a). Nótese que de lo anterior
se sigue que D 2 f (a) es una aplicación lineal de Rn en L(Rn , Rm ).
Este procedimiento se puede extender obteniéndose la derivada
tercera D 3 f (a) que es una aplicación lineal de Rn en
L(Rn , L(Rn , Rm )), y ası́ sucesivamente.
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Veamos que ocurre en el caso especial (y de gran importancia en
las aplicaciones) de la segunda derivada. Asumiremos que
f ∈ C 2 (A) y a ∈ A.
Como ya hemos mencionado D 2 f (a) es una aplicación lineal de Rn
en L(Rn , Rm ), i.e., D 2 f (a) ∈ L(Rn , L(Rn , Rm )), pero el espacio
L(Rn , L(Rn , Rm )) es isométrico al espacio de las aplicaciones
bilineales L(Rn × Rn , Rm ).
Por tanto, dados
x, y ∈ Rn tenemos D 2 f (a)(x) ∈ L(Rn , Rm ) y
D 2 f (a)(x) (y ) ∈ Rm . Es decir, D 2 f (a) se puede considerar como
la aplicación bilineal D 2 f (a) definida en Rn × Rn por
D 2 f (a)(x, y ) = D 2 f (a)(x) (y ).
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En el caso particular f : A ⊂ Rn → R, la derivada segunda en un
punto se puede representar mediante una matriz cuadrada n × n,
que se denomina matriz hessiana.
En efecto, si f es dos veces diferenciable en a, hemos visto que
D 2 f (a) puede ser interpretada como una aplicación bilineal B(x, y )
de Rn × Rn en R. Pero las aplicaciones bilineales B(x, y ) de
Rn × Rn en R se identifican con las matrices cuadradas n × n
mediante la expresión B(x, y ) = xBy t . Puesto que D 2 f (a) se
obtiene derivando la función Df entonces la matriz asociada a
D 2 f (a) tiene por entradas las segundas derivadas parciales de f :



D 2 f (a) = 
···
..
.
D1n f (a) · · ·
D11 f (a)
..
.
∂ 2 f (a)

Dn1 f (a)
 ∂ 2 x1
  ..
..
= .
.
 2
 ∂ f (a)
Dnn f (a)

∂x1 ∂xn
···
..
.
···

∂ 2 f (a)
∂xn ∂x1 

..  := H (a).
f
. 

2

∂ f (a)
∂ 2 xn
Es conveniente mencionar que al ser f ∈ C 2 (A), todas las
derivadas cruzadas son iguales.
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Por inducción es posible probar que si f es k veces diferenciable en
a entonces la derivada k-ésima de f aplicada a un vector h ∈ Rn se
expresa por
k
D f (a)(h) =
n
X
i1 =1
=
···
n
X
ik =1
∂ k f (a)
hi · · · hik =
∂xi1 · · · ∂xik 1
∂
∂
+ · · · + hn
h1
∂x1
∂xn
k
f (a),
donde hemos usado la notación D k f (a)(h) := D k f (a)(h, h, . . . , h)
(recuérdese que D k f (a) es una aplicación multilineal (k-lineal
concretamente).
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Ejemplo: Sea f : A ⊂ Rn 7→ R, f ∈∈ C k (A). Sea la función
l : R 7→ Rn , l(x) = x + th, t ∈ R, h ∈ Rn . Definamos la función
compuesta φ : R 7→ R, φ(t) = (f ◦ l)(t). Como f y l son
diferenciables con todas sus derivadas hasta orden k continuas
entonces φ ∈ C k ([0, 1]). Calculemos las derivadas sucesivas de φ,
n
X
∂f (x + ht)
hi
φ (t) = Df (x + ht) · h =
∂xi
0
i=1
" n
#
" n
#
n
X ∂f (x + ht)
X
X ∂f (x + ht)
∂
d
φ00 (t) =
hi =
hi hj =
dt
∂xi
∂xj
∂xi
i=1
j=1
i=1
n
X
∂ 2 f (x + ht)
hi hj
∂xj ∂xi
i,j=1
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..
.
φ(k) (t) =
n
X
i1 ,··· ,ik =1
∂ k f (x + ht)
hi · · · hik =
∂xi1 · · · ∂xik 1
∂ k
∂
+ · · · + hn
f (x + ht).
h1
∂x1
∂xn
El cálculo de la derivada k-ésima arbitraria es muy engorroso, es
por ello conveniente usar un paquete de cálculo simbólico (por
ejemplo Maxima CAS).
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..
.
φ(k) (t) =
n
X
i1 ,··· ,ik =1
∂ k f (x + ht)
hi · · · hik =
∂xi1 · · · ∂xik 1
∂ k
∂
+ · · · + hn
f (x + ht).
h1
∂x1
∂xn
El cálculo de la derivada k-ésima arbitraria es muy engorroso, es
por ello conveniente usar un paquete de cálculo simbólico (por
ejemplo Maxima CAS).
Definición
Dado un a ∈ A y h ∈ Rn definiremos al intervalo (cerrado)
[a, a + h] como el conjunto (intervalo)
[a1 , a1 + h1 ] × [a2 , a2 + h2 ] × · · · × [an , an + hn ].
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Theorem (de Taylor con resto de Lagrange)
Sea f : A ⊂ Rn 7→ Rm , f ∈ C k (A); a ∈ A; [a, a + h] ⊂ A para
cierto h 6= 0:
f (a + h) = f (a) +
k−1
X
1 l
D f (a)(h) + rk (a, h),
l!
l=1
rk (a, h) =
1 k
D f (a + ξh)(h),
k!
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ξ ∈ (0, 1).
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Theorem (de Taylor con resto de Lagrange)
Sea f : A ⊂ Rn 7→ Rm , f ∈ C k (A); a ∈ A; [a, a + h] ⊂ A para
cierto h 6= 0:
f (a + h) = f (a) +
k−1
X
1 l
D f (a)(h) + rk (a, h),
l!
l=1
rk (a, h) =
1 k
D f (a + ξh)(h),
k!
ξ ∈ (0, 1).
Corolario (Teorema local de Taylor)
En las mismas condiciones del Teorema anterior:
k
X
1 l
f (a + h) = f (a) +
D f (a)(h) + o(khkk ).
l!
l=1
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El corolario anterior nos indica otra manera de entender la
diferenciabilidad en Rn . Por sencillez, lo mostraremos en el caso de
una función dos veces diferenciable. Si f tiene derivadas parciales
de orden dos y estas son continuas entonces
1
f (a + h) − f (a) − Df (a)(h) − D 2 f (a)(h) = o(khk2 ),
2
(∗)
donde D f (a)(h) es la forma bilineal
n X
n
X
∂ 2 f (a)
D f (a)(h) =
hi hi = hT Hf (a)h.
∂xi1 ∂xi2 1 2
2
i1 =1 i2 =1
Ası́ pues f es dos veces diferenciable si existen la apliación lineal
Df (a) y la bilineal D 2 f (a) tales que (*) sea cierta.
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Lo anterior es fácilmente generalizable para cualquier k ≥ 3.
Lo anterior nos indica que podemos restringirnos por simplicidad al
caso cuando las funciones f ∈ C k (A).
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Lo anterior es fácilmente generalizable para cualquier k ≥ 3.
Lo anterior nos indica que podemos restringirnos por simplicidad al
caso cuando las funciones f ∈ C k (A).
Ası́ pues diremos que f : A ∈ Rn 7→ R, es k veces diferenciable en
a si f es C k (A) siendo A un abierto tal que a ∈ A, de forma que,
por el teorema de Taylor tenemos asegurado que f es k veces
diferenciable en A en el sentido antes explicado.
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Lo anterior es fácilmente generalizable para cualquier k ≥ 3.
Lo anterior nos indica que podemos restringirnos por simplicidad al
caso cuando las funciones f ∈ C k (A).
Ası́ pues diremos que f : A ∈ Rn 7→ R, es k veces diferenciable en
a si f es C k (A) siendo A un abierto tal que a ∈ A, de forma que,
por el teorema de Taylor tenemos asegurado que f es k veces
diferenciable en A en el sentido antes explicado.
Veamos algunos ejemplos.
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