34 Ecuaciones simultáneas de primer grado con dos variables: X +

Ecuaciones simultáneas de primer grado con dos variables:
X + 6y = 27
7x – 3y = 9
Los valores de x, de y con los mismos en ambas ecuaciones.
Resolver el sistema de ecuaciones simultáneas es hallar el valor de
cada variable; obviamente se necesitan 2 ecuaciones.
Hay varios métodos:
1)
Primer método: Eliminación por igualación: Se despeja en
ambas ecuaciones una de las variables y se igualan sus valores.
Ejemplo: Tomemos las ecuaciones 3x + 5 y = 7
2x – y = -4
Despejemos x con ambas ecuaciones e igualemos sus valores:
7 − 5y
3
Resolvamos:
x=
;
x=
2 (7 – 5y) =
3 (y - 4)
14 – 10y
3y – 12
=
26
y−4
2
⇒
7 − 5y y − 4
=
3
2
= 13y
y = 2
Ahora reemplacemos el valor de y con una de las ecuaciones:
3x + 5y
= 7
3x + 5 (2)
= 7
3x
x
Germán Giraldo
= 7 - 10
= -1
Solución =
34
(-1,2)
Ahora podemos hacer la representación gráfica de las 2 ecuaciones
en un solo plano cartesiano. Escribamos como primer punto la
solución (-1,2) y otros dos puntos:
7 − 5y
Primero: 3x + 5y = 7; x =
3
X
Y
Segundo: 2x – y = -4;
X
Y
-1
2
0
2
1
5
y−4
x=
2
-1
2
-3
1
3
5
-2
0
0
4
Ubicamos en un plano cartesiano los tres puntos de la primera
ecuación y al unirlos, obtenemos una recta que se corta en el punto
(- 1,2) con la recta que resulta de unir los tres puntos de la segunda
ecuación. Ese punto (- 1,2) es la solución gráfica del sistema de las
dos ecuaciones.
2) Método eliminación por sustitución.
Ejemplo: 32 x = 25 y + 13
15 y + 16 x = 1
despejamos en una de las ecuaciones una variable y sustituímos su
valor hallado en la otra.
Por ejemplo: en la primera x =
25 y + 13
32
sustituímos la x en la segunda quedando así:
⎛ 25 y + 13 ⎞
15 y + 16 ⎜
⎟ = 1
32
⎝
⎠
Simplificando 16 y 32 queda:
25 y + 13
=1
2
m.c.m. = 2
30 y + 25 y + 13 = 2
55 y = - 11
1
y=Germán Giraldo
5
15 y +
35
De la misma forma que procedimos en el ejemplo anterior, podemos
dibujar la gráfica de este sistema de ecuaciones.
Para encontrar el valor de x, tomamos cualquiera de los valores
hallados para x en una de las ecuaciones y sustituímos la y por el
valor hallado:
⎛ 1⎞
25 ⎜ − ⎟ + 13
35 y + 13
8
1
− 5 + 13
⎝ 5⎠
=
=
=
=
x=
32
32
32
32 4
3) Método de reducción (suma y resta)
7 x – 1 = 15 y
- 8 – x = 6 y:
Ordenamos las ecuaciones a su posición canónica:
7 x – 15 y = 1
-x - 6y=8
Eliminamos una de las variables, multiplicando ambas ecuaciones por
números tales que la variable pueda cancelarse:
(2)(7 x – 15 y) = (1) (2)
- 5 (- x – 6 y) = (8) (- 5)
Quedan así:
14 x – 30 y =
2
5 x +30 y = - 40
19 x
x
x
= - 38
38
= −
19
= - 2
Para hallar el valor de y, despejamos esta incógnita:
-8–x=6y ⇒
−8− x
= y
6
y=-1
S=
− 8 − ( − 2)
= y
6
⇒
{( − 2, − 1)}
Germán Giraldo
36
⇒
−6
= y
6
Podemos después dibujar la gráfica.
Ejercicios:
Resolver los siguientes sistemas por cualquier método y dibujar la
gráfica:
1) 8 m – 5 = 7 n – 9
6m
=3n+6
3) 3(x + 2) = 2 y
2 (y + 5) = 7 x
2) m – 1 =
3n- 7 =
n+1
m+3
4)(b – c) – (6 b + 8 c) = - (10 b + 5 c + 3)
(b + c) – (9 c – 11 b) = 2 c – 2 b
5) 5 (p + 3q) – (7 p + 8 q) = 6
7 p – 9 q – 2 (p – 19 q) = 0
6) 2 (m + 5) = 4 (n – 4 m)
10(n – m) = 11 n – 12 m
7) 3x - 4y - 2(2x - 7) = 0
5(x - 1) – (2y - 1) = 0
8) x (y – 2) – y (x – 3) = - 14
y (x – 6) – x (y – 9) =
5
Resolver los siguientes sistemas por un método, combinando los tres:
3x
+ y = 11
2
9)
y
x + =7
2
11) 12 x + 5 y + 6 = 0
5x 7 y
−
= − 12
3
6
13)
15)
17)
y−3
+ 3x
5
x−2
9+
=3y
7
6=−
x
+ y = 2b
a
x
− y=a−b
b
18
+
x
12
+
x
7
19
=−
y
2
5
13
=−
y
2
Germán Giraldo
5x
− y = 9
12
10)
3y
= 15
x −
4
1 + 5x
12) y = −
4
3y + 3
−
=x
4
y − x 2x + y
17
14)
−
=−
3
2
24
x−2
y−7
=
x+2
y−5
16)
18)
x+b y−b a+b
+
=
a
b
b
x−a y−a
a+b
−
=−
b
a
a
2 2 m+n
+ =
x y
mn
m n
− = 0
x
y
37
4) Método de resolución por determinantes:
Una matriz es una disposición de números en filas y columnas
a12 ⎞
⎛a
⎟⎟ una matriz de 2 x 2. Entonces
Sea A = ⎜⎜ 11
⎝ a 21 a 22 ⎠
DetA = A = a11 a 22 − a12 a 21
Sea el sistema de ecuaciones:
a1 x + b1 y = c1
a2 x + b2 y = c2
Despejamos la x en ambas ecuaciones.
c − b1 y
c − b2 y
x= 1
x= 2
a1
a2
Igualamos los dos valores de x; despejamos la y:
c1 − b1 y c2 − b2 y
=
a1
a2
a2(c1 – b1y) = a1(c2 – b2y)
a2c1 – a2b1y
=
a1c2 – a1b2y
a1b2y – a2b1y = a1c2 – a2c1
y(a1b2 – a2b1)
y =
=
a1c2 – a2c1
a1
c1
a2
a1c2 − a2 c1
=
a1
a1b2 − a2b1
a2
c2
b1
b2
Germán Giraldo
Con el mismo procedimiento obtenemos:
38
c1b2 − c2b1
a1b2 − a2b1
X =
=
c1
b1
c2
a1
b2
b1
a2
b2
Observamos que en el numerador de x la columna
por
c1
c2
y en el numerador de y, la columna
columna
b1
b2
a1
a2
es reemplazada
es reemplazada por la
c1
c2
Resolver por determinantes:
19) 7x + 8y = 29
= - 326
20) 13x – 31y
5x +11y = 26
25x + 37y = 146
21) 8x = - 9y
2x + 5 + 3y =
22) 3x – (y + 2) = 2Y + 1
7
2
5Y – (X + 3) = 3X + 1
x+2 y−3 5
−
=
2
8
6
24)
y − 5 2x − 3
−
=0
6
5
x
y
+ = −4
4
6
23)
x
y
−
=0
8 12
Estos ejercicios han sido tomados del Álgebra de Baldor.
Germán Giraldo
39
Ecuaciones simultáneas de primer grado con tres o más
incógnitas.
4x + 2y + 3z = 8
3x + 4y + 2z =- 1
2x – y + 5z = 3
Tomamos dos ecuaciones cualesquiera y
procedimiento antes visto, una de las variables.
eliminamos
por
el
Por ejemplo, tomemos la primera y la segunda ecuación y eliminemos
la y:
- 2(4x + 2y + 3z) = 8(-2)
3x + 4y + 2z = - 1
8x - 4y + 6z = - 16
3x + 4y + 2z = - 1
11x
+ 8z = -17
Ahora tomemos una de las dos que tomamos anteriormente y la que
faltaba y eliminemos la misma variable:
4x + 2y + 3z = 8
4x + 2y + 3z = 8
2(2x – y + 5z) = (3)(2)
4x - 2y + 10z = 6
8x
+ 13z = 14
Ahora tomamos las dos ecuaciones con dos variables y resolvemos el
sistema como lo hicimos anteriormente. Para calcular el valor de la
variable que falta reemplazamos en una de las ecuaciones iniciales
los valores de las otras dos variables.
Germán Giraldo
40
Ejercicios:
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones y representar
gráficamente el punto solución. (Los 3 primeros por reducción, los
otros 3 por determinantes).
25)
a b c
+ − =3
2 2 3
a b c
+ − =−5
3 3
2
26)
28) 3b + 3a+ 5c
a+
30)
= 24
=
c−
29) m + n =
9
a−7
=b−5
3
1
n +p = -1
c + 2b = 8
2m - p
b+2
=c+4
5
c+4
b−
=a−6
2
27) a −
n− p m+2
=
3
10
a b c
− + =0
6 3 6
2a + 2b + c
m+n
n+4
=
7
5
m− p n−4
=
5
2
p +m= -6
= 14
4m + n –
p
= 41
3m - n + 5p
= 53
Solución de un sistema de tres ecuaciones con tres variables
por determinantes.
Sea el sistema
a1x + b1y +
a2x + b2y +
a3x + b3y +
El valor de
x=
de ecuaciones:
c1z = d1
c2z = d2
c3z = d3
x de acuerdo
con
demostración
d1
b1
c1
d2
b2
c2
d1
b1
c1
d3
b3
c3
d2
b2
c2
d1
b1
c1
d3
b3
c3
d2
b2
c2
a1
b1
c1
a1
b1
c1
a2
b2
c2
a2
b2
c2
a3
b3
c3
a3
b3
c3
a1
b1
c1
a2
b2
c2
x=
41
=
anterior
es:
[ ( d1 )( b2 )( c3 ) + ( d 2 )( b3 )( c1 ) + ( d3 )( b1 )( c2 ) ] − ⎡⎣( d3 )( b2 )( c1 ) + ( d1 )( b3 )( c2 ) + ( d 2 )( b1 )( c3 ) ⎤⎦
⎡⎣( a1 )( b2 )( c3 ) + ( a2 )( b3 )( c1 ) + ( a3 )( b1 )( c2 ) ⎤⎦ − ⎡⎣( a3 )( b2 )( c1 ) + ( a1 )( b3 )( c2 ) + ( a2 )( b1 )( c3 ) ⎤⎦
Problemas de aplicación
1. Dos estudiantes gastan, el uno los 3/7 de sus ahorros, el otro 1/3
de sus ahorros. La suma de los que les queda es $70 000 y la
diferencia de sus gastos es $15 000. ¿Cuánto había ahorrado cada
uno? Respuesta: $70000 y $45000
2. Un pescador afirma que el número de peces cogidos es un número
compuesto de 2 cifras que suman 12 y en el que las unidades son
el triple de las decenas. ¿Cuántos peces cogió? Respuesta: 39
peces
3. El número de libros que poseen 2 estudiantes está en la relación
que forman dos números dígitos. ¿Cuáles son estos números
sabiendo que al agregar 3 al numerador y 1 al denominador da ½
y que si se agrega 1 al numerador y se quita 1 al denominador da
1/3? Respuesta: 1 y 7
4. Encontrar dos números
Respuesta: 22 y 12
cuya suma sea 34 y su diferencia 10.
5. El perímetro de un rectángulo es de 60 metros. Si el largo se
aumenta en 3 metros y el ancho se disminuye en 3 metros, el área
se disminuye en 21 metros cuadrados. ¿Cuáles son las
dimensiones del rectángulo? Respuesta: 13 y 17
6. Una máquina de cambiar monedas cambia los billetes de un dólar
en monedas de 25 y de 5 centavos de dólar. Si usted recibe 12
monedas, después de introducir un billete de 1 dólar, ¿cuántas
monedas de cada tipo recibe? Respuesta: 10 de 5 y 2 de 25
7. Un joyero tiene 2 barras de aleación de oro: una es de 12 quilates
y la otra, de 18 quilates (el oro de 24 quilates es de oro puro; el
12
18
de 12 quilates corresponde a
de pureza; el de 18 a
de
24
24
pureza, y así sucesivamente). ¿Cuántos gramos de cada aleación
se deben mezclar para obtener 10 gramos de oro de 14 quilates?
R.20/3 y 10/3 gr
GGG
42
8. Una caja de cartón contiene 144 paquetes pequeños; unos pesan
¼ de libra cada uno, y los otros ½ libra: ¿Cuántos de cada tipo
hay en la caja si el contenido total pesa 51 libras? Respuesta: 84
de ¼ y 60 de ½ libra
9. Tres hermanos han comprado una casa por $ 100 000 000. El
mediano dice que podría pagarla solo, si el menor le diera la mitad
de su dinero; el menor dice que la pagaría solo, si su hermano
mayor le diera la mitad de lo que posee; el mayor, pide el dinero
del mediano para pagar solo la casa. ¿Cuál es la herencia de cada
uno de los jóvenes?
10. Las ciudades de Barranquilla, Medellín y Bucaramanga están
situadas
en los vértices de un triángulo. La distancia
aproximada en línea recta entre Barranquilla y Bucaramanga,
pasando por Medellín, es de 800 kms; la de Barranquilla a
Medellín, pasando por Bucaramanga, es de 744 kms; la de
Bucaramanga a Medellín, pasando por Barranquilla, es de 976
kms. Calcular las distancia entre estas ciudades.
11. El perímetro de un triángulo es 33 metros. El lado mayor es 5/6 de
la suma de los otros dos lados y a la diferencia de estos le falta 1
metro para igualar a 1/5 del mayor. ¿Cuáles son los lados del
triángulo? Respuesta: 8, 10 y 15 metros
12. Repartir una herencia de $8600000 entre tres personas de manera
que la parte de la primera sea a la de la segunda como 2 es a 3 y
que la parte de la segunda sea a la de la tercera como 5 es a 6.
Respuesta: $2000000, $3000000, $3600000 son las
herencias
13. En un corral hay cerdos y gallinas. Si se cuentan las cabezas hay
5 y si se cuentan las patas hay 14. ¿Cuántos cerdos y gallinas
hay?
14. Se han envasado 20 litros de leche en 15 botellas, unas son de 1l
y otras de 2l. ¿Cuántas botellas de cada clase se han utilizado?
15. En una clase se han regalado 2 bolígrafos a cada chica y un
cuaderno a cada chico por buen comportamiento. En total hay 8
alumnos y se han regalado 13 objetos. ¿Cuántos chicos y chicas
hay?
16. Tenemos dos números que si se suman dan 9 y si se restan dan 3. ¿Cuáles son esos números?
Germán Giraldo
43
17. La suma de dos números nos da 11. Si dividimos el primero por 5
y el segundo por 3 y los sumamos nos da como resultado 3.
¿Cuáles son dichos números?
18. Un amigo le dice a otro: entre los dos tenemos 8€, pero si yo
tuviese el doble, entonces tendríamos 11€. ¿Cuántos euros tiene
cada uno de los dos amigos?
19. Tengo 11€ en monedas de 1 y 2 euros. En total tengo 8 monedas,
¿cuántas monedas de 1€ y 2€ tengo?
20. Dos números suman 40 y su cociente exacto es 4. Hallarlos.
21. Dos números suman doce y sus inversos, 12/35. Hallarlos.
22. Un triángulo rectángulo tiene de hipotenusa 5 cm. Si un cateto se
hace cuatro veces mayor y otro aumenta en una unidad, la
hipotenusa es de 13 cm. Hallar el perímetro del triángulo inicial.
23. Hallar la longitud de la arista de un cubo, sabiendo que un cubo
que mide 2 m más de arista tiene una capacidad superior a la del
primero en 218 m3.
24. Le preguntaron a María su edad y ésta contestó: El triple de la
edad que tenía hace diez años es la edad que tengo más el doble
que la que tenía hace quince años. ¿Qué edad tiene María?
25. Hallar dos números sabiendo que su producto es 15 y que la
suma de sus cuadrados es 34.
26. Hallar dos números sabiendo que la suma de sus cubos es 224 y
que su suma es 8.
27. ¿Cuál es el número natural, n, cuya mitad más tres multiplicada
por su mitad menos tres da 187 como producto?
28. Hallar dos números, sabiendo que la suma de sus cuadrados es 53
y su suma es 9.
29. La edad de un padre de familia es triple que la de su hijo. Dentro
de 16 años será solamente el doble. ¿Qué edad tiene cada uno?
30. Las edades de tres hermanos sumadas dos a dos, dan 11, 14 y 23
años respectivamente. ¿Cuánto son las edades de cada uno de
ellos?
GGG
44
FUNCIONES REALES
Una función f definida de A en B, (f: A → B) es una correspondencia
que asigna a cada elemento x ∈ A, un único elemento y ∈ B
El elemento y ∈ B es el valor de x al aplicarle f y se denota por f(x),
que es la imagen de x
El conjunto A es el dominio de la función y el conjunto B es el
codominio de la función.
El rango o recorrido de la función es un subconjunto de B formado
por todos los y = f(x)
Ejercicios
1. Indique un ejemplo de una relación que cumpla con las condiciones
siguientes:
a) Es una función, tiene dominio {3,-1,1,0} y rango {2,4}
b) No es una función, tiene dominio {5,1,4} y rango {0,2}.
2. Decida si la relación es una función e indique el dominio y el rango
de la relación
a)
b)
(0,6)
(-4,0)
(0,9)
(4,0)
(0,-6)
c)
(-3,0)
9
11
32
47
4
17
14
25
60
d) {(9,12),(0,12),(-1,6)}
Germán Giraldo
45
(3,0)
3)
Hallar el dominio y el rango de las funciones dadas a
continuación:
a) f(x) = 2x + 1
b) f(x) = x2 + 1
c) f(x) =
x
d) f(x) =
1
x−2
e) f(x) =
1
2
x +3
FUNCIÓN LINEAL
Es aquella cuya gráfica es una línea recta.
Su ecuación es f(x) = mx + b, donde b es un número real al que se lo
llama ordenada al origen, y es el punto de corte de la recta con el eje
y ; m es la pendiente.
Sistema rectangular de coordenadas cartesianas
II cuadrante
I cuadrante
x
III cuadrante
IV cuadrante
Una función de un conjunto Ay en un conjunto B, es una regla que
asigna a cada elemento del conjunto A un mismo elemento en el
conjunto B.
Germán Giraldo
46
El dominio de toda función es el conjunto A y el rango está
constituído por los elementos de B que son imágenes de algún
elemento de A.
Veamos algunos ejemplos de funciones lineales.
Ejemplos: F (x) = x
F (x = 2x – 4
F (x) = 8 -3x
F (x) se puede representar como y. Por tanto puedo escribir:
Y =
5x
5x
en lugar de F (x) =
4
4
Hagamos la gráfica de:
F (x) = 2x – 4
Para dibujar la gráfica comenzamos por hallar valores de y en función
de x
X
Y
2
0
0
-4
1
-2
Ubicamos en un plano cartesiano los puntos (2,0); (0, -4); (1, -2).
Al unir los puntos tendremos la recta que es la representación gráfica
de esa función.
En esta función, el dominio son todos los números reales
representados en la recta horizontal (eje x) y el rango está formado
por todos los números reales representados en la recta vertical (eje
y).
.
Germán Giraldo
47
GEOMETRÍA
PERÍMETROS Y ÁREAS:
Perímetro: Es la suma de las medidas de los lados de un polígono.
hm
dam
m
dm
cm
mm
Km
103 m
102 m 101 m
100 m
10-1 m
10-2 m
10-3 m
Área: Es la medida de la superficie de un polígono.
La unidad de medidas de superficie es el metro cuadrado. Tiene múltiplos y
submúltiplos.
Km2
hm2
dam2
106 m2
104 m2
102 m2
m2
100 m2
dm2
10-2 m2
cm2
10-4 m2
mm2
10-6 m2
Área de un cuadrado: L2. Es el cuadrado de su lado. Hay que tener en cuenta
que el área se expresa en unidades cuadradas. Por ejemplo:
El área de un cuadrado que tiene 26 cm de lado es: A = (26 cm)2 = 676 cm2
(centímetros cuadrados).
Área = (5,6 cm)2 = 31,36 cm2
5,6 cm
Área de un rectángulo: Es el producto de la medida del largo por la medida
del ancho.
5,2 cm
2,5 cm
cm2
Área = (5,2 cm) X (2,5 cm) = 13
Área de un triángulo:
Un triángulo equivale a medio rectángulo, por eso, el área del triángulo es la
mitad del producto de la base por la altura.
Germán Giraldo
48
AB = 2,3 cm
BC = 6, 4 cm
El área del triángulo
es igual al producto
A
B
dela base por la altura
divididoentre 2.
C
El área es del triángulo + ABC es:
6, 4 cm × 2,3 cm
2
= 7,36
Área del romboide:
cm2
A
B
Altura:
2,5 cm
Área:
4,2 cm X 2,5 cm =
10,5 cm2
C
E
D
Base: 4,2 cm
El área del romboide es igual al producto de la base por la altura. La base
puede ser cualquiera de sus lados. La altura es una perpendicular trazada
desde un vértice hasta la base.
Área del rombo: Un rombo lo podemos dividir es dos triángulos iguales. Por
tanto hallamos el área de uno de ellos y multiplicamos por dos.
Simplemente, se halla el producto de las dos diagonales y se divide por dos.
M
Diagonal MQ = 4,3 cm
Diagonal NP = 3,4 cm
N
P
7,31 cm2
Q
Germán Giraldo Giraldo
49
Área rombo MNQP:
4,3cm × 3, 4cm
2
=
Área del Trapecio: Un Trapecio se pude descomponer en dos triángulos. De
Altura
ahí se puede deducir su área. Área =
( Base mayor + Base menor )
2
Base menor 3,4 cm
Área
Altura
2,2 cm
2, 2cm
( 3, 4cm + 6,5cm ) = 10,89 cm2
2
Base mayor
6,5 cm
Triángulo rectángulo:
A
El lado AC, opuesto al ángulo recto se llama
hipotenusa.
c
B
Los otros dos lados: AB y BC se llaman
catetos.
b
a
Los lados de un triángulo pueden tomar el
nombre del ángulo opuesto, escrito con
minúscula.
C
El cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados
de la medida de los catetos. Este es el enunciado del teorema de Pitágoras. Un
teorema es una afirmación que debe ser demostrada. Este enunciado se puede
expresar de la siguiente manera, basándonos en el gráfico anterior:
b2 = a2 + c2
Con esta fórmula, dada la medida de dos lados cualesquiera, podemos calcular
el otro lado. Ejemplos:
b = 5,5 cm
a = 2,7 cm
c=?
(5,5 cm)2 = (2,7 cm)2 + c2
b=?
a = 8 cm
c = 6 cm
b2 = (8 cm)2 + (6 cm)2
30,25 cm2 = 7,29 cm2 + c2
b2 = 64 cm 2 + 36 cm2
30,25 cm2 – 7,29 cm2 = c2
b2 = 100 cm2
22,96 cm2 = c2
b = 10 cm.
c = 4,79 cm
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Ejercicios:
1. De acuerdo al gráfico de los ejemplos calcular el lado desconocido en los
siguientes casos:
b = 7,2 cm
b=?
b = 30 cm
a = 5,4 cm
a = 15 cm
a=?
c=?
c = 18 cm
c = 24 cm
2. ¿Cuál será la altura de un trapecio siendo el área 85 cm2, y las bases 22,5
cm y 16 cm respectivamente?
3. Hallar el largo de un rectángulo si su área es 36 cm2 y el ancho 9 cm.
4. Calcular el lado de un rombo cuyas diagonales miden 20 cm y 16 cm
respectivamente.
5. Si uno de los ángulos obtusos de un romboide mide 1100, ¿cuánto miden los
otros tres ángulos? (No olvidar que la suma de los cuatro ángulos de cualquier
cuadrilátero es 3600.
6. ¿Cuál es el área de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 cm y 8
cm respectivamente?
Área de polígonos regulares.
Polígono regular es el que tiene sus lados congruentes (igual medida) y sus
ángulos igualmente congruentes.
Área de un polígono regular.
Es igual al perímetro del polígono por el número de lados del polígono.
A=
Apotema × lado
× N º de lados
2
Germán Giraldo
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Radio
Apotema
Lado del exágono
7. Hallar el área de un triángulo equilátero de 8 cm. de lado.
8. Hallar el área de un exágono regular de 12 cm. de lado.
9. La apotema de un exágono regular mide 6 cm. Hallar su área.
10. Hallar el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de 8
cm. de radio.
11. La base menor de un trapecio es un tercio de la mayor. Si su área es igual
a 56 m2, hallar las bases sabiendo que su altura mide 4 m.
12. La mayor de las diagonales de un rombo mide 32 cm. y su lado mide 20
cm. Hallar la otra diagonal.
13. Hallar el área de un círculo cuya circunferencia mide 43,77 cm.
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14. Hallar el área de un exágono regular inscrito en un círculo cuya área es
508,68 cm2.
15. Hallar la longitud de la circunferencia y el área del círculo de radio 3,81 cm.
16. Hallar el área de un círculo cuya circunferencia tiene una longitud de 50,24
cm.
17. Hallar el diámetro de un círculo cuya área es 254,34 cm2
18. Calcular el área de un círculo inscrito en un cuadrado cuyo perímetro es 30
cm.
19. Calcular el área de un exágono regular inscrito en un círculo cuya área es
1.017,36 cm2.
20. Hallar el área de la porción de plano limitada por dos circunferencias
concéntricas de 15 cm. y 9 cm. de radio respectivamente.
Volúmenes y áreas totales:
Volumen: Es la medida del espacio ocupado por un cuerpo.
La unidad de las medidas de volumen es el metro cúbico (m3). Tiene múltiplos
y submúltiplos.
Km3
109 m3
hm3
dam3
m3
dm3
cm3
mm3
106m3
103 m3
100 m3
10-3 m3
10-6 m3
10-9 m3
Área total del cubo = área de una cara x 6
Volumen del cubo = (arista)3
Volumen de un prisma: Área base X altura
Área base de un cilindro = π R2
Área lateral de un cilindro = 2 π rh (h es altura del cilindro)
Volumen de un cilindro = área de la base por altura = π R2.h
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Volumen de una pirámide =
Volumen del cono =
área de la base × altura
3
área de la base × altura
π R2 × h
=
3
3
Área lateral del cono = 2 π .Generatriz
Generatriz
Este triángulo rectángulo al girar sobre uno de los catetos genera un cono. Uno
de los catetos es la altura del cono y el otro es el radio de la base del cono. La
hipotenusa es la generatriz del cono.
Volumen de la esfera =
4
π R3
3
Área de la esfera = 4 π R2
Poliedros: Son sólidos cuyas caras son polígonos congruentes.
Son 5 clases de poliedros:
Tetraedro regular: Sus 4 caras son triángulos equiláteros. (Una pirámide
triangular regular de caras congruentes)
Exaedro regular o cubo: Sus 6 caras son cuadrados.
Octaedro regular: Sus 8 caras son triángulos equiláteros.
Dodecaedro regular: Sus 12 caras son pentágonos.
Icosaedro regular: Sus 20 caras son triángulos equiláteros.
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Problemas:
21. Hallar el área de un tetraedro regular cuya arista vale 10 cm.
22. Hallar la longitud de la arista de un octaedro regular cuya área total es 72
cm2
23. Calcular la arista de un cubo cuya área total es 96 cm2
24. Hallar la diagonal de un cubo cuya arista mide 8 cm.
25. Hallar el área total de un prisma hexagonal regular cuyo lado de la base
mide 10 cm. y la arista lateral 30 cm.
26. Hallar el área total de un prisma triangular regular cuya base tiene 12 cm.
de lado y la altura del prisma es 20 cm.
27. Hallar el área lateral de una pirámide pentagonal regular cuya base tiene 8
cm. de lado y la apotema de una cara de la pirámide mide 16 cm.
28. Hallar el área total de una pirámide hexagonal regular si el lado de la base
mide 6 cm y la apotema de una cara de la pirámide mide 8 cm.
29. Hallar la apotema de una cara lateral de una pirámide hexagonal regular
de 12 cm. de altura y 4 cm de lado de la base.
30. Hallar el área total de un prisma que tiene por base un triángulo rectángulo
cuya hipotenusa mide 10 cm. y uno de los catetos mide 6 cm. y la altura del
prisma es 16 cm.
31. El volumen de un prisma cuadrangular es 1200 cm3 y dos de sus
dimensiones son 25 cm. y 6 cm. Hallar la otra dimensión.
32. Hallar el volumen de un prisma triangular regular cuyo lado de la base mide
8 cm. y la altura del prisma 10 cm.
33. Hallar el volumen de una pirámide cuadrangular regular cuyo lado de la
base mide 4 cm. y la apotema de una cara lateral es 5 cm.
34. Hallar la arista de un cubo cuya área es equivalente a la de un prisma de
dimensiones 8 cm., 4 cm. y 16 cm.
35. La diagonal de un cubo mide 24 cm. Hallar su volumen.
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36. El área total de un cubo es 48 cm2. Hallar el volumen.
37. Hallar el volumen de una pirámide hexagonal regular si la apotema de la
base mide 8 cm., y la apotema de una cara de la pirámide mide 30 cm.
38. Hallar el área total y el volumen de un sólido formado por un cubo y una
pirámide cuadrangular regular. Los vértices de la base de la pirámide coinciden
con los puntos medios de los lados de una de las caras del cubo. El área de la
base de la pirámide mide 256 cm2 y la apotema de una cara lateral de la
pirámide mide 30 cm.
39. Una base de un cilindro coincide con la base de una semiesfera y la otra
base está inscrita en una de las bases de un prisma cuadrangular regular; la
altura del cilindro mide 80 cm. y la del prisma 30 cm. y el área lateral de la
semiesfera es 6000 cm2. Calcular el área total y el volumen del sólido formado.
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