Problemas de Funciones

Problemas de aplicación de funciones:
Profesor Juan Diego Moreno
Febrero 28 de 2.015
Ejemplo resuelto:
1) Una librería puede obtener un atlas de la editorial a un costo de US$10 por ejemplar y estima que
si vende el atlas a X dólares la unidad, se venderán aproximadamente 20(22 – X) copias cada
mes.
a) Exprese la utilidad mensual de la librería por la venta del atlas como una función del precio.
b) Dibuje la gráfica de esta función y utilícela para encontrar el precio óptimo de venta.
c) Estime gráficamente la utilidad máxima
d) Calcule el nivel de ventas para obtener la utilidad máxima.
e) Determine el nivel de ventas para obtener una utilidad de US$500 mensuales
f) Determine el intervalo de nivel de ventas que genera ganancias para la compañía
g) Determine el intervalo de nivel de ventas que generan pérdidas para la compañía
h) Demuestre matemáticamente que para un precio de venta de US$30 por unidad, la compañía
genera una pérdida y calcúlela.
Solución:
Datos:
Costo unitario = 10 US$/und
Precio de venta = X US$/und
Cantidad = 20(22 – X) und
a) Sea:
U = f(X) = ? Utilidad mensual como una función del precio X
V = Ingreso por ventas
C = Costo total de fabricación
U=V–C
V = Precio de venta x Cantidad = X . 20(22 – X) = 20X(22 – X)
C = Costo unitario x Cantidad = 10 . 20(22 – X) = 200(22 – X)
U = 20X(22 – X) – 200(22 – X)
U = 440X – 20X2 – 4.400 + 200X
Ley distributiva
Simplificando términos semejantes y organizando obtenemos:
U = -20X2 + 640X – 4.400
Utilidad como una función del precio
b)
U [US$/mes]
X [US$/und]
El precio óptimo de venta es el que genera la utilidad máxima.
De la gráfica se observa que el precio óptimo de venta es 16 US$/und que es el que genera el
punto más alto de la parábola:
Po = 16 US$/und
c) De la gráfica se estima que la utilidad máxima es el punto más alto de la parábola y corresponde
aproximadamente a:
Umax = 720 US$/mes
d) Cantidad para Umax?
Ejemplos propuestos:
2) El precio de un producto en el mercado está dado como una función de la
cantidad semanal
demandada asi: P = f(Q) = 1.200 – 3Q, en donde P es el precio unitario y Q es la cantidad.
a) Determine los ingresos totales del fabricante como una función de la cantidad demandada.
b) Calcule el nivel de producción que maximiza los ingresos totales del fabricante y determine el
ingreso máximo.
c) Dibuje la función de ingresos totales, hallada en el numeral “a”
d) Calcule el ingreso semanal que genera un nivel de ventas de 150 unidades e indíquelo sobre
la gráfica
3) En una empresa de correo, el número de horas-trabajador necesarias para distribuir los nuevos
directorios a x% de viviendas en cierta comunidad rural está dada por la siguiente función:
( )=
600
300 −
a) Determine el dominio de la función
b) ¿Para que valores de x, tiene f(x) una interpretación práctica en este contexto? justifique
brevemente su respuesta
c) ¿Cuántas horas-trabajador se requieren para distribuir los nuevos directorios al primer 50% de
las viviendas?
d) ¿Cuántas horas-trabajador se requieren para distribuir los directorios a toda la comunidad?
e) ¿Cuántas horas-trabajador se requieren para distribuir los directorios a la 3 a cuarta parte de la
comunidad?
f) ¿Qué porcentaje de viviendas de la comunidad habrán recibido los directorios al cabo de 150
horas-trabajador?
g) Explique intuitivamente como varían las horas trabajador a medida que aumenta el porcentaje
de viviendas.
4) La función de demanda para el producto de un fabricante es P = 1.000 - 2Q, en donde P es el
precio en dólares por unidad cuando existe una demanda semanal Q por parte de los
consumidores.
a) Obtener los ingresos totales del fabricante como una función de la demanda semanal.
b) Trazar la gráfica de los ingresos totales.
c) ¿Cual es el nivel de producción que maximiza los ingresos totales del fabricante?
d) ¿Cuales son los ingresos máximos del fabricante?
e) ¿Cuales son los niveles de producción del fabricante, para los cuales no hay ingresos?
f) Determine los niveles de producción del fabricante, para los cuales los ingresos totales son de
100.000 dólares.
5) Un estudio reciente de los costos de uso de automóviles compactos en Estados Unidos, arrojó
que el costo promedio en centavos de dolar por milla, está dado por la siguiente expresión:
C(x) =
+ 18
donde x denota el número de millas en miles, recorridas por el automóvil en un año.
a) Determine el dominio de la función
b) ¿Para que valores de x, tiene C(x) una interpretación práctica en este contexto? justifique
brevemente su respuesta
c) Determine el costo promedio de uso de un automóvil compacto que recorre 6.000 millas por
año.
d) Determine el número de millas recorridas por año, como una función del costo de uso.
e) Determine el número de millas por año que recorre un automóvil de este tipo, cuyo costo
promedio de uso es de 1 dólar con 30 centavos por milla.
f) Explique intuitivamente como varía el costo promedio de uso del automóvil, a medida que
aumenta el número de millas recorridas por año.
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