Subespacios Definición: Sea H un subconjunto no vacío de un

Subespacios
Definición: Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga
que H mismo es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y
multiplicación escalar definidos en V, entonces H es un subespacio de V.
Teorema: Un subconjunto H no vacío del espacio vectorial V es un subespacio de
V si satisface estas dos condiciones de clausura:
 si x,y є H entonces x + y є H
 si x є H, entonces α·x є H para todo α
Nota: Este teorema señala que para demostrar que H es un subespacio de
V es necesario que:
 x + y y α·x están en H cuando x, y están en H, α es un escalar
 todo subespacio de un espacio vectorial V debe contener el vector cero.
Esto es, si un subconjunto no contiene el vector cero, entonces no es
subespacio.
Ejemplos (para discusión):
1. Para cualquier espacio vectorial V, el subconjunto {0} que consiste del
vector cero solamente es un subespacio, ya que 0 + 0 = 0 , α·0 = 0 para
todo α. A este subespacio se le conoce como el subespacio trivial.
2. V es un subespacio de sí mismo.
Nota: Estos dos primeros ejemplos ilustran que todo espacio vectorial V
contiene dos subespacios: {0} y V. A los subespacios distintos de V y {0} se les
llama subespacios impropios.
3. Sea H = {(x, y)│y = mx} y V = ℝ2 = {(x, y)│x, y є ℝ }. Entonces H es un
subespacio de ℝ2. Esto es, todas las rectas que pasan por el origen son un
subespacio de ℝ2.
4. Si Pn representa el espacio vectorial de polinomios de grado ≤ n, si 0 < m <
n, entonces Pm es un subespacio propio de Pn.
5. Sea Mmn el espacio vectorial de matrices de orden m x n con componentes
reales y sea H = {A є Mmn│ a11 = 0}. Por la definición de adición de matrices
y el producto escalar, y que ambas clausuras se cumplen, H es un
subespacio de Mmn.
6. Sea V = Mnn (matrices cuadradas n x n) y H = {A є Mnn│A es invertible}.
Entonces H no es subespacio de V = Mnn, ya que la matriz cero n x n no
está en H, porque no es invertible.
7. Sea Pn[0, 1] subconjunto de C[0, 1] donde Pn[0, 1] es el conjunto de
polinomios definidos en el intervalo [0, 1] de grado ≤ n, y C[0, 1], el conjunto
de funciones continuas en el intervalo [0, 1]. Porque todo polinomios es
continuo y Pn es un espacio vectorial para todo entero n, tenemos que P n[0,
1] es un subespacio de C[0, 1].
8. Sea C’[0, 1] el conjunto de funciones definidas en [0, 1] con la primera
derivada continua. Como toda función diferenciable es continua, tenemos
que C’[0, 1] es subconjunto de C[0, 1]. Además, como la suma y el producto
escalar de dos funciones diferenciables es diferenciable, entonces C’[0, 1]
es subespacio de C[0, 1].
9. Sea
f  C [ 0 ,1 ]
1
1
entonces ∫0 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 existe y sea H = {𝑓𝜖 𝐶[0,1]: ∫0 𝑓(𝑥) = 0}
Entonces para f,g  H:
1
1
  f (x) 
g ( x )  dx 
0

0
1
1
f ( x ) dx 
 g (x)
dx  0  0  0
0
1
   f ( x ) dx     f ( x ) dx    0  0
0
0
Así que, f + g y α·f están en H para todo α en los números reales.
Entonces H es subespacio propio de C[0, 1].
10. Los siguientes conjuntos de puntos no son subespacios de R2:



las rectas en ℝ2 que no pasan por el origen
el círculo
la parábola
Teorema: Sean H1 y H2 subespacios del espacio vectorial V, entonces H1 ∩ H2 es
subespacio de V.
Ejercicios:
1)
2)
3)
4)
Sea V = ℝ3. Determina para las siguiente si H es o no es subespacio de ℝ3.
a. H = {(a, b, 0)│a, b є ℝ}
b. H = {(a, b, c)│a + b + c = 0}
c. H = {(a, b, 1)│a, b є ℝ} (falla clausura de suma de vectores)

 a
H   
0


b
c
0
 donde

d 


a , b , c , d  R .


Sea V = M23 y
Determina si ℝ3 es
subespacio de M23.
Demuestra que P2 es subespacio de Pn. (Suma y multiplicación por una
constante de dos polinomios de grado 2 es un polinomio de grado 2 o
menos )
Sea V el espacio vectorial de todas las funciones de los reales a los reales.
Determina si H es un subespacio de V cuando H = {f│f(3) = 0}. Esto es, si H
está formado por todas las funciones que al evaluarla para x = 3 su valor es
cero.