Soluciones a “Ejercicios y problemas”

Soluciones a “Ejercicios y problemas”
PÁGINA 258
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■ Áreas y perímetros utilizando el teorema de Pitágoras
En cada una de las siguientes figuras coloreadas halla su área y su perímetro. Para ello,
tendrás que calcular el valor de algún elemento (lado, diagonal, apotema, ángulo…). Si
no es exacto, halla una cifra decimal.
24
a)
b)
25 m
7m
6m
5m
a = √62 – 2,52 = √29,75 = 5,5 m
a)
a
A = 6 · 5,5 = 13,8 m2
2
P = 2 · 6 + 5 = 17 m
6m
2,5 m
b)
x = √252 – 72 = √576 = 24 m
25 m
7m
A = 24 · 7 = 84 m2
2
x
P = 24 + 7 + 25 = 56 m
25
a)
a)
5 cm
13
53 m
90 m
13 cm
5 cm
x
b)
b)
13 cm
a = √132 – 52 = √144 = 12 m
A = 12 · 5 = 60 cm2
P = 12 · 2 + 5 · 2 = 34 cm
53 m
45 m
x
x = √532 – 452 = √784 = 28 m
A = 2 · 28 · 90 = 2 520 m2
2
P = 53 · 4 = 212 m
26
a)
b)
99 m
Unidad 13. Áreas y perímetros
15 cm
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
x 2 + x 2 = 992 8 2x 2 = 9 801 8 x 2 = 4 900,5 8
a)
99 m
8 x = √4 900,5 ≈ 70 m
x
A = 702 = 4 900 m2
P = 70 · 4 = 280 m
x
b)
x = √152 + 152 = √450 ≈ 21,2 cm
x
15 cm
A = π · 21,22 – π · 152 ≈ 704,7 cm2
15 cm
27
P = 2π · 21,2 + 2π · 15 ≈ 227,3 cm
a)
b) 18 cm
cm
110
89 cm
73 cm
98 cm
x = √732 + 552 = √2 304 = 48 cm
a)
55
cm
A = 110 · 48 · 2 = 5 280 cm2
2
x
73 cm
P = 4 · 73 = 292 cm
x = √892 + 802 = √1 521 = 39
b) 18 cm
A = 18 + 98 · 39 = 2 262 cm2
2
P = 98 + 89 + 18 + 39 = 244 cm
89 cm
x
80 cm
98 cm
28
a)
b)
53 dam
41 dam
41 dam
13
4 dm
8 dm
5,6 dm
71 dam
a)
x = √412 – 92 = √1 600 = 40 dam
53 dam
9 dam
71 dam
b)
2,4 dm
41 dam
x
4 dm
x
5,6 dm
Unidad 13. Áreas y perímetros
A = 53 + 71 · 40 = 2 480 dam2
2
P = 71 + 41 · 2 + 53 = 206 dam
x = √42 – 2,42 = √10,24 = 3,2 dm
A = 8 + 5,6 · 3,2 ≈ 21,8 dm2
2
P = 5,6 + 4 + 8 + 3,2 = 20,8 dm
Pág. 2
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
29
a)
10,2
a)
b)
12 m
m
Pág. 3
48 cm
25 cm
25 cm
x = √10,22 – 62 = √68,04 ≈ 8,2 m
12 m
10,2
A = 12 · 8,2 · 5 = 246 m2
2
m
x
6m
P = 12 · 5 = 60 m
x = √252 – 242 = √49 = 7 cm
b)
24 cm
x
25 cm
25 cm
A = 48 · 7 · 2 = 336 cm2
2
P = 4 · 25 = 100 cm
■ Resuelve problemas
30
Un salón cuadrado tiene una superficie de 50 m2. Hemos de embaldosarlo
con losetas cuadradas de 25 cm de lado (se llaman losetas de 25 Ò 25). ¿Cuántas losetas son necesarias?
A = 25 · 25 = 625 cm2
A = 50 m2 = 500 000 cm2
Para cubrir el salón se necesitan 500 000 = 800 losetas.
625
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Para cubrir un patio rectangular, se han usado 540 baldosas de 600 cm2 cada
una. ¿Cuántas baldosas cuadradas de 20 cm de lado serán necesarias para cubrir el
patio, idéntico, de la casa vecina?
El patio tiene un área de 540 · 600 = 324 000 cm2 = 32,4 m2.
La superficie de una baldosa de 20 cm de lado es 20 · 20 = 400 cm2.
Por tanto, se necesitan 324 000 = 810 baldosas de 20 cm de lado para cubrir el patio.
400
32
En una circunferencia de 24 cm de radio trazamos una cuerda de 34 cm. Halla el área del segmento circular sabiendo que el
ángulo central correspondiente es de 90°.
A = 24 · 24 = 288 cm2
2
34 cm
13
90° O
A = π · 242 ≈ 1 808,64 cm2
A  = 1 A – A = 1 808,64 – 288 = 164,16 cm2
4
4
Unidad 13. Áreas y perímetros
24 cm
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
33
Las medidas de los lados de un trapecio rectángulo son a = 9 m, b = 5 m,
c = 12 m y d = 4 m. Los lados paralelos son a y c. Halla su área.
9m
5m
4m
Área = 12 + 9 · 4 = 42 m2
2
El área del trapecio es 42 m2.
12 m
34
El área de un triángulo es de 66 cm2; sus lados miden a = 20 cm, b = 11 cm y
c = 13 cm. Calcula sus tres alturas y su perímetro.
a13
1m
1
13
a20
m
a11
20 m
35
P = 20 + 11 + 13 = 44 cm
66 = 3,3 cm
66 = 20 · a20 8 a20 = —
20
66 ≈ 5,08 cm
66 = 13 · a13 8 a13 = —
13
66 = 6 cm
66 = 11 · a11 8 a11 = —
11
Observa el triángulo equilátero rojo y el triángulo azul:
12 cm
a) ¿Cuál es la relación entre sus áreas?
b) Basándote en la respuesta anterior, y teniendo en cuenta que tienen bases iguales, ¿cuál es la altura del triángulo azul?
c) ¿Cuál es la distancia del centro del triángulo a cada vértice?
a) El área del triángulo rojo es el triple que la del azul.
b) Como las bases de los dos triángulos son iguales y el rojo tiene un área tres veces mayor que el azul, por la fórmula del área, la altura del triángulo azul es un tercio de la
altura del rojo; luego la altura del triángulo azul es 12 : 3 = 4 cm.
c) Primero hallamos la medida del lado del triángulo equilátero:
2
2
l 2 = l + 144 8 3l = 144 8 l 2 = 192 8
4
4
8 l ≈ 13,86 8 l ≈ 6,63 cm
2
Unidad 13. Áreas y perímetros
l
12 cm
13
l
—
2
Pág. 4
13
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
d = √6,632 + 42 = √59,96 ≈ 7,74 cm
4 cm
d
6,63 cm
La distancia del centro del triángulo a cada vértice es 7,74 cm, aproximadamente.
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La valla de esta parcela tiene una longitud de 100 metros. ¿Cuál es el área de la
parcela?
Si llamamos x al lado del cuadrado que está encima del rectángulo, el perímetro de la
parcela es de 10x. Al igualarlo a la longitud de la parcela, obtenemos:
10x = 100 m 8 x = 10 m
Por tanto, el área de la figura es la misma que la de 4 cuadrados de lado 10 m:
A = 4 · 102 = 400 m2
Unidad 13. Áreas y perímetros
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