Soluciones

Master en Economı́a
Macroeconomı́a II
Profesor: Danilo Trupkin
Set de Problemas 2 - Soluciones
1
Solow en Tiempo Discreto
Suponga que Yt = F (Kt , At Lt ), con F (·) teniendo retornos constantes a escala y la forma
intensiva de la función de producción cumpliendo las condiciones de INADA. Suponga
además que At+1 = (1 + g)At , Lt+1 = (1 + n)Lt , y Kt+1 = Kt + sYt − δKt .
1. Encuentre una expresión para kt+1 como función de kt . Recuerde que k ≡
K
AL .
Sabemos que
Kt+1 = sYt + (1 − δ)Kt
(1)
Luego, para convertir esta ecuación a su forma intensiva, dividimos ambos lados por
At+1 Lt+1 , considerando además que At+1 = (1 + g)At y Lt+1 = (1 + n)Lt :
Kt+1
sYt + (1 − δ)Kt
sYt + (1 − δ)Kt
sf (kt ) + (1 − δ)kt
=
=
=
,
At+1 Lt+1
At+1 Lt+1
At Lt (1 + g)(1 + n)
(1 + g)(1 + n)
la cual puede expresarse de la siguiente manera:
kt+1 =
s
(1 − δ)
f (kt ) +
kt
(1 + g)(1 + n)
(1 + g)(1 + n)
(2)
2. Grafique kt+1 como función de kt . Tiene la economı́a un steady state? Si el nivel
inicial de k difiere del valor en el steady state, converge la economı́a?
Para graficar kt+1 como función de kt , notemos que
∂kt+1
∂kt
2
∂ kt+1
∂kt2
s
(1 − δ)
0
=
f (kt ) +
> 0, y
(1 + g)(1 + n)
(1 + g)(1 + n)
s
=
f 00 (kt ) < 0.
(1 + g)(1 + n)
Además, por condiciones de INADA tenemos que:
lim
k→0
∂kt+1
=∞ y
∂kt
lim
k→∞
1
∂kt+1
(1 − δ)
=
< 1.
∂kt
(1 + g)(1 + n)
Esto implica que dicha función tendrá eventualmente una pendiente menor a 1, y
entonces cruzará la recta de 45◦ en algún nivel positivo del capital por trabajo efectivo.
Asimismo, notemos que dicha función se comporta de tal manera que la cruza sólo
una vez. En particular, definamos al steady state como kt+1 = kt = k ∗ . Luego,
(1 − δ)
s
∗
f (k ) +
k∗
k =
(1 + g)(1 + n)
(1 + g)(1 + n)
∗
k
∗
(1 − δ)
s
1−
=
f (k ∗ )
(1 + g)(1 + n)
(1 + g)(1 + n)
Finalmente,
(g + n + δ + gn)k ∗ = sf (k ∗ )
(3)
Notemos que, en tanto k sea mayor que cero y difiera del valor de steady state, la
economı́a convergerá hacia aquel steady state. Por caso, si k < k ∗ , luego tendremos
que kt+1 > kt y en consecuencia k estará creciendo hacia k ∗ . Lo opuesto ocurre si
k > k ∗ (ver Figura 1).
kt+1
45°
k*
kt+1(kt)
k*
kt
Figure 1: Diagrama de Solow en tiempo discreto
3. Encuentre una expresión para el consumo por unidad de trabajo efectivo, en el steady
state, como función del valor de k de steady state. Cuál es el producto marginal del
capital, f 0 (k), cuando k maximiza el consumo por unidad de trabajo efectivo en el
steady state?
En el steady state, c∗ = (1 − s)f (k ∗ ). Por otro lado, sabemos que sf (k ∗ ) = (g +
2
n + δ + gn)k ∗ , de acuerdo con la ecuación (3). En consecuencia, el problema de
maxk∗ c∗ = (1 − s)f (k ∗ ) es equivalente al siguiente problema:
max
c∗ = f (k ∗ ) − (g + n + δ + gn)k ∗
∗
k
el cual implica la siguiente condición de primer orden:
f 0 (kg∗ ) = (g + n + δ + gn).
Es decir, se obtiene una expresión implı́cita para el nivel de capital por trabajo efectivo
de la “golden rule”, kg∗ .
2
Crecimiento sin Retornos Decrecientes
Suponga que la función de producción es Y = AK (el llamado modelo AK ), donde A es
una constante positiva.
1. Cómo queda expresada ahora la ecuación fundamental de Solow, i.e., aquella que
describe el comportamiento de k̇? Cuál es la forma de la función sf (k)?
En primer lugar, notemos que y =
Y
AL
=
AK
AL
= Ak. Por otra parte, la ecuación de
movimiento del capital es lineal en K :
K̇ = sY − δK = sAK − δK = (sA − δ)K,
lo que implica que
· ·
K
K̇AL − (AL)K
K̇
(ȦL − AL̇)k
=
=
−
k̇ =
2
AL
(AL)
AL
AL
(sA − δ)K
=
− nk
AL
= sAk − (n + δ)k.
Luego, el diagrama de Solow queda ahora conformado por 2 rectas: la inversión bruta
(sAk), y la inversión de “break-even” [(n + δ)k]. Ocurre que la forma de la función
f (k) es ahora lineal en k (no se cumple el supuesto de rendimientos decrecientes del
capital). (Noten además que el nivel de la tecnologı́a (A) se asume constante, es decir
g = 0.)
2. Cuáles son las tasas de crecimiento del stock de capital por trabajo efectivo, k̇/k, y
3
del producto por trabajo efectivo, ẏ/y? Son positivas dichas tasas? Se mantiene la
propiedad de convergencia en este modelo?
Tanto k̇/k como ẏ/y son constantes. Es decir, k̇/k = ẏ/y = sA − (n + δ) R 0, lo que
muestra que no se mantiene la propiedad de convergencia en este modelo. Es decir,
la economı́a simplemente crece desde el comienzo en el caso de que sA > (n + δ).
3. Discuta brevemente cómo los resultados se relacionan con el concepto de retornos
decrecientes al capital. Es plausible que los retornos decrecientes no se apliquen?
Los retornos decrecientes son precisamente los que permiten que la curva sf (k) cruce
la recta (n + g + δ)k en Solow; lo que implica que existe un objetivo de largo plazo,
k ∗ , al cual converge la economı́a. Si hubiera sólo capital fı́sico, la posibilidad de
rendimientos no-decrecientes del capital, en realidad, no tendrı́a sentido. Es decir,
uno esperarı́a que en tanto se agrega capital al proceso de producción, dado una cierto
número de trabajadores, los rendimientos comiencen a disminuir eventualmente. Sin
embargo, si el capital incluye capital humano, tal como lo discutimos en clase, este
argumento ya no es válido. Si ambos componentes del capital crecen juntos, entonces
deja de ser obvio que los retornos disminuyan.
3
Modelo de Ramsey con Impuesto al Ingreso
Considere el modelo de crecimiento óptimo de Ramsey con población constante, donde las
preferencias del consumidor representativo están dadas por
Z
0
∞
c1−θ
t
e−ρt dt,
1−θ
donde ct es el consumo per capita, ρ la tasa de preferencia temporal, y θ > 0 el coeficiente de
aversión al riesgo. La función de producción en términos per capita es f (k), la cual cumple
con los requisitos standard vistos en clase. Las decisiones se toman en forma descentralizada,
y existe un gobierno que grava, con un impuesto τ , todo el ingreso recibido por las familias.
Asuma que el gobierno devuelve la recaudación en forma de transferencias per capita “lump
sum”, T . Luego, el consumidor representativo maximiza su “lifetime utility”, sujeto a la
restricción
.
k = (1 − τ )(wt + rt kt ) − ct + Tt ,
donde wt es el salario y rt la tasa de retorno del capital.
1. Plantee el problema de optimización del consumidor representativo. Derive e interprete las condiciones de optimalidad del problema (e.g., la Euler condition).
4
El consumidor representativo maximiza
∞
Z
U=
0
c1−θ
t
e−ρt dt
1−θ
sujeto a
.
k = (1 − τ )(wt + rt kt ) − ct + Tt , k0 > 0 dado.
Planteamos el Hamiltoniano en valor presente:
H=
c1−θ
t
e−ρt + λ[(1 − τ )(wt + rt kt ) − ct + Tt ]
1−θ
(4)
Luego, las condiciones de primer orden son:
−ρt
Hc = c−θ
=λ
t e
(5)
Hk = λ(1 − τ )rt = −λ̇
(6)
Hλ = (1 − τ )(wt + rt kt ) − ct + Tt = k̇
(7)
Diferenciando (5) con respecto al tiempo, y dividiendo sobre la misma condición,
tenemos
λ̇
ċ
− θ−ρ= .
c
λ
(8)
Combinando (8) con (6), y reordenando, encontramos la condición de Euler del problema del consumidor:
1
ċ
= [(1 − τ )rt − ρ] .
c
θ
(9)
Recordemos que tenemos también las siguientes condiciones de optimalidad del consumidor representativo:
.
k = (1 − τ )(wt + rt kt ) − ct + Tt ,
−ρt
lim λt kt = lim c−θ
kt = 0,
t e
t→∞
t→∞
es decir, su restricción presupuestaria y la T V C.
2. Plantee el problema de la firma representativa, y derive e interprete las condiciones
de primer orden.
Recordemos que para las firmas planteábamos un problema estático, ya que no toman
decisiones intertemporales. En particular, las mismas eligen los servicios del capital
5
(Kt ) y del trabajo (Lt ) que maximizan su beneficio
π = F (Kt , Lt ) − Rt Kt − wt Lt ,
donde Rt es el precio del alquiler por los servicios del capital.
Luego, las condiciones de primer orden son
FK (Kt , Lt ) = Rt
FL (Kt , Lt ) = wt
Expresando estas condiciones en términos per capita:
f 0 (kt ) = Rt
f (kt ) − kt f 0 (kt ) = wt .
3. Teniendo en cuenta el equilibrio de la economı́a, obtenga las ecuaciones que describen
.
.
la dinámica del consumo y el capital (c y k). Grafique el diagrama de fase, halle el
steady state, e indique la dinámica de ambas variables fuera de este último.
En equilibrio, la ecuación de Euler queda expresada como:
1
ċ
=
(1 − τ )[f 0 (kt ) − δ] − ρ ,
c
θ
(10)
donde se ha usado el hecho de que, en equilibrio, rt = Rt − δ = f 0 (kt ) − δ. Por otro
lado, la ecuación de movimiento del capital per capita de la economı́a queda expresada
como:
.
k = (1 − τ ){f (kt ) − kt f 0 (kt ) + [f 0 (kt ) − δ]kt } − ct + Tt
= (1 − τ )[f (kt ) − δkt ] − ct + Tt
= f (kt ) − δkt − ct ,
(11)
donde se ha utilizado el hecho de que el gobierno devuelve la recaudación en forma
de transferencias per capita “lump sum”: τ [f (kt ) − δkt ] = Tt .
En consecuencia, las ecuaciones que describen la dinámica del consumo y el capital
(ċ y k̇) son (10) y (11). Tal como vimos en clase del 6/9 (ejemplo donde se gravaba el
.
retorno sobre la inversión), en este caso también se corre solamente la vertical c = 0
hacia la izquierda (si τ > 0), quedando invariante la curva k̇ = 0. De este modo, el
6
steady state implica:
(1 − τ )[f 0 (k ∗ ) − δ] = ρ, o bien
ρ
f 0 (k ∗ ) =
+ δ,
(1 − τ )
c∗ = f (k ∗ ) − δk ∗ .
(12)
(13)
4. Use el diagrama de fase para mostrar la dinámica inducida por un aumento permanente de τ , anunciado al momento t0 para ser efectivo en t1 , comenzando de un steady
state donde τ = 0. Explique brevemente la intuición económica.
Al momento en que se anuncia el futuro aumento del impuesto al ingreso, hay un
ajuste hacia arriba del consumo per capita (por qué?) A partir de ese momento, el
mismo empieza a subir de manera continua, al tiempo que el stock de capital per
capita comienza a caer. Esto último ocurre debido a que se está ahorrando menos
de lo suficente para mantener el capital constante. Una vez consumado el aumento
permanente del impuesto, el consumo comienza a caer junto con el capital (ver figuras
2 y 3). En ese punto, encontramos que el consumidor se halla sobre la trayectoria
estable hacia el nuevo steady state. Dicho steady state implica niveles inferiores tanto
de consumo como de capital.
Figure 2: Diagrama de fase
7
c
c*
c**
k
t0
t1
t
t0
t1
t
k*
k**
Figure 3: Dinámicas del consumo y el capital
8