T - U-Cursos

Ec. Diferenciales
Ec
Ordinarias
Gonzalo Hernández
UChile - CMM
CMM - G. Hernández
MA-2601 Presentación
1
Descripción EDO: Objetivos
1) Resolver edo y sistemas lineales edo usando métodos clásicos.
2) Interpretar
I t
t geométricamente
ét i
t ell problema
bl
de
d valor
l inicial
i i i l en
términos de curvas integrales.
3) Aplicar el teorema de existencia y unicidad y conocer ejemplos
donde no hay unicidad o existencia global.
4) Conocer y aplicar los métodos numéricos de Runge
Runge-Kutta
Kutta de
orden 2 y su implementación en Matlab, Maple o Scilab.
5) Estudiar el comportamiento cualitativo de sistemas no lineales.
6) Comprender el rol de las edo en la modelación de fenómenos de
la vida real; péndulo no-lineal, sistemas lineales de vibraciones
mecánicas, modelos de dinámica de poblaciones.
CMM - G. Hernández
MA-2601 Presentación
2
Programa EDO
0)
Motivación: Modelación utilizando EDO
1)
EDO de primer orden (3 semanas)
2)
EDO lineales de orden n (4 semanas)
3)
Transformada de Laplace (2 semanas)
4)
Sistemas lineales de EDO (3 semanas)
5)
Sistemas no lineales de EDO (3 semanas)
CMM - G. Hernández
MA-2601 Presentación
3
Programa EDO
0) Motivación: Modelación utilizando EDO
1)) EDO
O de primer orden (3
( semanas))
 Descripción cualitativa edo primer orden. Curva integral
 Ecuaciones de variable separable
separable. Ecuaciones homogéneas
homogéneas.
 Modelación usando EDOs de primer orden.
 Resolución EDO lineales de primer orden homogéneas y no
homogéneas utilizando el factor integrante.
 Ecuación de Bernoulli y de Ricatti.
 Teorema de existencia y unicidad para problema valor inicial.
 Métodos numéricos tipo Runge-Kutta.
CMM - G. Hernández
MA-2601 Presentación
4
Programa EDO
2) EDO lineales de orden n (4 semanas)
 Existencia de base soluciones de edo lineales homogéneas de
orden n. Wronskiano.
 Edo lineales homogéneas orden 2. Fórmula Abel. Problema
vibraciones mecánicas.
 Edo lineales no homogéneas orden 2. Fórmula de variación de
parámetros Función de Green
parámetros.
Green.
 Edo lineales de orden 2 con condiciones de borde.
 Series de potencia para edo no homogéneas de orden 2 con
puntos singulares. Método de Frobenius.
 Edo lineales homogéneas orden n. Polinomio característico.
Ecuación de Euler – Cauchy.
 Edo lineales no homogeneas orden n. Met. coef. indeterminados.
CMM - G. Hernández
MA-2601 Presentación
5
Programa EDO
3) Transformada de Laplace (2 semanas)
 Definición
Definición, ejemplos y fórmulas básicas.
básicas Fórmula de convolución.
convolución
 Resolución de edo lineales usando transformada de Laplace.
 Función de Heaviside y delta de Dirac. Resolución de edo lineales
con lados derechos generalizados.
4) Sistemas lineales de EDO (3 semanas)
 Problema valor inicial para un sistema lineal
lineal. Matriz fundamental
fundamental.
 Problema de valor inicial para un sistema lineal a coeficientes
constantes. Cálculo de la matriz exponencial.
 Análisis del comportamiento asintótico de las soluciones en
función de los valores propios.
 Diagramas
g
de fase p
para el caso 2x2.
 Fórmula de variación de parámetros para sist. Lineales no homog.
CMM - G. Hernández
MA-2601 Presentación
6
Programa EDO
5) Sistemas no lineales de EDO (3 semanas)
 Sistemas
Si t
hamiltonianos
h ilt i
y conservación
ió d
de energía.
í A
Análisis
áli i d
de
algunos casos simples.
 C
Clasificación
as cac ó de puntos
pu os críticos.
c cos Estabilidad
s ab dad asintótica.
as ó ca Uso de
coordenadas polares.
 Análisis de algunos sistemas no-lineales clásicos: Sistema de
Volterra.
 Funcional de Lyapunov y estabilidad. Estudio de sistemas que
provienen de gradientes
gradientes.
CMM - G. Hernández
MA-2601 Presentación
7
Organización de la Sesiones
 2 Clases de cátedra a la semana: Martes y jueves 14:30 hrs.
 1 Clase auxiliar a la semana: Viernes 14:30 hrs.
Francisco Bravo
Pedro Montealegre
 En U-Cursos se publicará el material del curso: Clases +
Notas + Laboratorios + Pautas
CMM - G. Hernández
MA-2601 Presentación
8
Evaluación
1) Tres controles (semanas 4,8,12).
Nota eximición según reglamento: 5.5
2) Ayudantía + Laboratorios Matlab:
 L1: Algebra Lineal Numérica
 L2: Ecuaciones Diferenciales
 L3: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales
3) Cálculo nota final: NF = (NC)*0.75 + (NA)*0.25
CMM - G. Hernández
MA-2601 Presentación
9
Evaluación:
Laboratorio de Matlab para EDO
1) Capacidades básicas de cálculos matemáticos
2) Herramientas
H
i t d
de visualización
i
li
ió d
de resultados
lt d
3) Más de 30 Toolboxes:
 Curve Fitting
Fitting, Splines
Splines, Optimization
Optimization, PDE,
PDE Symbolic,
Symbolic Statistics
 Neural Networks, Genetic Algorithms, etc.
 Signal & Image Processing, Bioinformatics, Control, Financial, etc.
4) Funciones .m y programación
5) Tools: Taylor, Spline, Curve Fiiting, etc
6) Help ! , Libros, Manuales
7) File Exchange, Webminars
8) Cálculos complejos lentos + Traducción a C/C++ deficiente
Gonzalo Hernández
Laboratorio MA-43B
10
Evaluación:
Laboratorio de Matlab para EDO
 Objetivos del Laboratorio:
 Utilizar
Utili
algunos
l
Mét
Métodos
d Numérico
N éi +M
Matlab
tl b como
herramienta para resolver edos no lineales.
Ingeniería
 Conocer algunos modelos en en Ciencias e Ingeniería.
 Algunos links de interés:
 Home Matlab: http://www.mathworks.com/
p
 Documentación Oficial:
http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/helpdesk.ht
ml
 File Exchange:
http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/
Gonzalo Hernández
Laboratorio MA-43B
11
Motivación EDO
 Desde el siglo 18, las leyes físicas del universo han sido
descritas principalmente,
descritas,
principalmente por edo o edp.
edp
 Estas ecuaciones tienen derivadas de funciones que se
desconocen y que representan la fuerza, presión,
temperatura, potencial electromagnético, etc. La edo más
conocida es la segunda ley de Newton:
2x
d
f   m 2
ft
dt
 donde x(t) es la posición de un cuerpo de masa m,
constante que se mueve horizontalmente debido a la acción
constante,
de una fuerza f(t).
 Esta ley que fue publicada en 1687 en la obra "Philosophiae
Naturalis Principia Mathematica".
CMM - G. Hernández
MA-2601 Presentación
12
Motivación EDO
CMM - G. Hernández
MA-2601 Presentación
13
Motivación EDO
 En Ciencia e Ingeniería, las ec. diferenciales representan
(modelan) el comportamiento de un sistema real
real.
 Se obtienen como resultado de un proceso iterativo de
abstracción análisis,
abstracción,
análisis hipótesis,
hipótesis verificación y validación.
validación
 Se pueden clasificar de acuerdo a:





Tipo:
p Ordinaria o p
parcial
Orden: Primer o orden superior
Linealidad o No-Linealidad
Coeficientes: Constantes o Variables
Lado derecho: Homogénea o No Homogénea
 Forma general de una edo lineal:
dn y
d2 y
dy
a
x



a
x

a
x
 a 0 xy  Qx
n
2 MA-2601 Presentación
1
n
CMM - G. Hernández
2
dx
dx
dx
14
Motivación: Modelación con EDO
 Trayectorias de partículas: Caída Libre
y
m
x
g
mx  mg  f R ( x )  mg  cx 2
 Lanzamiento de proyectiles
 Movimiento planetario
CMM - G. Hernández
MA-2601 Presentación
Coeficiente de
viscosidad
15
Motivación: Modelación con EDO
 Trayectorias de partículas: Ecuación del Péndulo Simple:
2
d
m s  −mg sin
dt
d 2   − g sin
i 
dt
l
sin   − 16  3 
1
120
 5  O 7 
d2  ≈ − g 
l
dt
t ≈ c 1 sin
CMM - G. Hernández
MA-2601 Presentación
g
l
t
 c 2 cos
g
l
t
16
Motivación: Modelación con EDO
 Movimiento armónico: Masa colgando de un resorte
k
x<0
L
x>0
2
d
m 2x  mg − kx
dt
 mg − kx − L
x
CMM - G. Hernández
MA-2601 Presentación
17
Motivación: Modelación con EDO
 Movimiento armónico: Ejemplo simple
2
d
m 2x  F E  F R  Ft
dt
 −kx − mg  Ft
CMM - G. Hernández
MA-2601 Presentación
18
Motivación: Modelación con EDO
 Movimiento armónico acoplado: Ejemplo simple
CMM - G. Hernández
MA-2601 Presentación
19
Motivación: Modelación con EDO
 Movimiento armónico acoplado: Masas colgando de
resortes
t
CMM - G. Hernández
MA-2601 Presentación
20
Motivación: Modelación con EDO
 Movimiento armónico: Masas ligadas por un resorte

kL 2 −  1  − mg sin 1   mL  1

− kL 2 −  1  − 2mg sin 2   2mL  2
 Esta edo de segundo orden se puede llevar a un sistema
de edo de primer orden, utilizando las transformaciones:
y 1 t   1 t
CMM - G. Hernández
y 2 t   2 t
y 3 t 
MA-2601 Presentación
d 1
dt
y 4 t 
d 2
dt
21
Motivación: Modelación con EDO
 Movimiento Armónico: Masa ligada a resorte en ángulo
x
µ=0
L0
m
k

Lx00
d2x
 k  

    x 1
2
2
dt
 m  
x2  L0 
CMM - G. Hernández
MA-2601 Presentación
22
Motivación: Modelación con EDO
 Ecuación de Duffing:
E t edo
Esta
d no-lineal
li
l se utiliza
tili para d
describir
ibi dif
diferentes
t
sistemas dinámicos (resortes, transformadores, etc).
La forma más general de esta ec
ecuación
ación es
es:
d 2 x(t )
dx(t )
3
2






x
(
t
)

0 x (t )    cos   t   
2
dt
dt
Por ejemplo, la edo del flujo magnético
de un transformador tiene la forma:

3
2

  b  0   E cos t 
N
CMM - G. Hernández
MA-2601 Presentación
23
Motivación: Modelación con EDO
 Ejemplo Ecuación de Duffing:

x   x    x3  0 2 x    cos t   
  1,   1, 0  1
  1,   1,   0
Ejemplo de caos
“ordenado”
CMM - G. Hernández
MA-2601 Presentación
24
Motivación: Modelación con EDO
 Modelo de Crecimiento Logístico de una Población:
L población
La
bl ió p(t)
(t) de
d EEUU en ell siglo
i l 20 crece
aproximadamente según la edo no lineal logística:
dp
 pt − pt 2 ∀t ∈ t 0 , T
dt
p0  p 0
 Aplicando un proceso de ajuste de parámetros, los
modeladores determinaron que:
α=0.02
β=0 00004
β=0.00004
CMM - G. Hernández
MA-2601 Presentación
25
Motivación: Modelación con EDO
 Modelo de Crecimiento Logístico de una Población:
Año Tiempo t k
pt real [millones de personas] Año
Tiempo t k
pt
  real [millones de personas]
1890
-10.0
62.9798
1900
0.0
76.2122
1880
-20.0
20.0
50.1892
1910
10.0
92.2285
1870
-30.0
38.5584
1920
20.0
106.0215
1860
-40.0
31.4433
1930
30.0
123.2026
1940
40 0
40.0
132 1646
132.1646
1950
50.0
151.3258
1960
60.0
179.3232
1970
70.0
203.3020
1850
-50.0
23.1919
1840
-60.0
17.0634
1830
-70
70.00
12 8607
12.8607
1820
-80.0
9.6384
1980
80.0
226.5422
1810
-90.0
7.2399
1990
90.0
248.7099
1800
-100.0
5.3085
2000
2010
100.0
281.4219
CMM - G. Hernández
MA-2601 Presentación
26
Motivación: Modelación con EDO
 De acuerdo a los datos reales de la transparencia anterior:
 Se
S puede
d afirmar
fi
que ell modelo
d l es adecuado
d
d ?
 Cuál es error entre 1900 y 1980 ?
dp
  p (t )   p 2 (t )
dt
solución
500
p (t ) 
1
4239  50 t
exacta
1+ 761 e


pk 1  pk  h( pk   pk 2 )
pk  p(t  tk ) k  0,...,8  n
CMM - G. Hernández
(T  t0 ) (1980  1900)

 10
h
n
8
tk  hk  10
k k  0,1,...,8
MA-2601 Presentación
27
Motivación: Modelación con EDO
 Modelo de Crecimiento Logístico de una Población:
Añ
Año
Ti
Tiempo
tk
p(t)
(t) reall
p(t)
(t) Edo
Ed
p(t)
(t) Euler
E l
E 1
Error1
E 2
Error2
1900
0.0
76.1
76.1
76.1
0.0
0.0
1910
10.0
92.4
89.9
89.0
2.5
0.9
1920
20.0
106.5
105.6
107.5
0.9
-1.9
1930
30.0
123.1
123.2
123.3
-0.1
-0.1
1940
40.0
132.6
142.7
141.7
-10.1
1.6
1950
50.0
152.3
164.0
152.1
-11.7
11.9
960
1960
60.00
60
180.7
80
186.7
86
173.5
35
-6.0
60
13.2
3
1970
70.0
204.9
210.6
203.8
-5.7
6.8
1980
80.0
226.5
235.3
229.1
-8.8
6.2
1990
90.0
248.7
260.3
253.9
-11.6
6.4
2000
100.0
281.4
MA-2601 Presentación
285.1
278.9
-3.7
6.2 28
CMM - G. Hernández
Motivación: Modelación con EDO
 El modelo de Lotka - Volterra predice la evolución de una
población con especies depredadora x1(t) y presa x2(t).
(t)
 Se supone que la población presa tiene suficiente comida y
que su natalidad es proporcional a la cantidad de presas
vivas: k1x1(t).
 La mortalidad de la población presa depende del número de
presas y depredadores: k2x1(t)x2(t).
 La natalidad de la p
población depredador
p
es: k3x1((t)x
) 2((t)) y su
mortalidad es: k4x2(t).
 Se expresa el cambio en la poblaciones presa y depredador
mediante el sistema de edos:
CMM - G. Hernández
MA-2601 Presentación
29
Motivación: Modelación con EDO
dyy 1
dt
k1
dyy 2
dt
k3
CMM - G. Hernández
 k 1 y1 − k 2 y1 y2
 3 k 2  0. 002 y 1 t 0  1  1000
 k 3 y1 y2 − k 4 y2
 0. 0006 k 4  0. 5 y 2 t 0  1  500
MA-2601 Presentación
30
Motivación: Modelación con EDO
 El proceso químico de decaimiento del ozono (O₃) en la
alta
lt atmósfera
t ó f
debido
d bid all efecto
f t de
d la
l radiación
di ió d
dell soll se
describe mediante la fórmula:
 Donde
dy 1
 −k 1 y 1 y 3  k 2 y 2 y 23 − k 3 y 1 y 2
dt
dy 2
 k 1 y 1 y 3 − k 2 y 2 y 23 − k 3 y 1 y 2
dt
dy 3
 −k 1 y 1 y 3  k 2 y 2 y 23  k 3 y 1 y 2
dt
 k₁,k₂,k₃ son los parámetros cinéticos
 y₁,y₂,y₃
y₁ y₂ y₃ son las concentraciones de O₃
O₃,O,O₂
O O₂
CMM - G. Hernández
MA-2601 Presentación
31
Motivación: Modelación con EDO
 Para simplificar este sistema usualmente se supone que la
concentración
t ió d
de O
O₂ es constante.
t t Dándole
Dá d l valor
l a llas
constantes y re-escalando se obtiene el sistema:
dy 1
 −y 1 − y 1 y 22  294y 2 y 1 0  1
dt
y − y 1 y 2 
dy 2
 1
− 3y 2 y 2 0  0
98
dt
CMM - G. Hernández
MA-2601 Presentación
32
Bibliografía:
1)
Burden, R., J. D. Faires, Análisis Numérico, Séptima
Edi ió Thomson
Edición,
Th
L
Learning,
i
2002
2002.
2)
Gerald, C.F., P.O. Wheatley, Applied Numerical Analysis,
Pearson 2004
Pearson,
2004.
3)
Gilat, A., MATLAB: An Introduction with Applications, John
Wiley & Sons
Sons, 2008
2008.
4)
Kiusalaas, J., Numerical Methods in Engineering with
Matlab Cambridge University Press
Matlab,
Press, 2005
2005.
5)
Yang, W.Y., W. Cao, T.S. Chung, J. Morris, Applied
Numerical Methods Using MATLAB
MATLAB, by
by, Wiley
Wiley, 2005
2005.
CMM - G. Hernández
MA-2601 Presentación
33