Mecánica de Fluidos

Apuntes de Física 1 - Claudia Contreras
Mecánica de Fluidos
Mecánica de Fluidos
Estatica de Fluidos
Problema 1. Calcule la masa de una esfera sólida de hierro que tiene un
diamétro de 3:00cm:
Solución. La masa la calcularemos a partir del volumen de la esfera y la
densidad del hierro, la cual es de 7:86 103 kg=m3 :
m
V
recordemos que el volumen de una esfera es de V =
=
4
3
r3
4
(0:015)3 ) = 0:1111Kg
3
Problema 2. Una mujer de 50Kg se equilibra sobre un par de zapatillas
con tacón de aguja. Si el tacón es circular y tiene un radio de 0:5cm ¿Qué
presión ejerce sobre el piso? Recuerde trabajar en el sistema internacional de
unidades.
Solución. Se tiene que:
m = V = (7:86
103 )(
F
A
En este caso la fuerza es la ejercida por el peso de la mujer de 50kg y el área
es la del tacón circular de 0:5cm (0:005m) de radio. Por lo cual:
p=
p=
F
mg
(50)(9:8)
= 2 =
= 6: 238 9
A
r
(0:005)2
106 P a
Problema 3. Una alberca tiene dimensiones de 30m 10m y un fondo
plano. Cuando la alberca está llena a una profundidad de 2m con agua potable,
a)¿Cuál es la fuerza causada por el agua sobre el fondo? b)¿en cada extremo?
c)¿en cada lado?
Solución. a)La presión varía con con la profundidad de acuerdo a la siguiente expresión.
p = po + gh
en donde para este problema, po corresponde a la presión a una altura de
2m del fondo de la piscina, justo donde empieza el agua, lo cual correspondería
a la presión atmosférica. Ahora bien, como en este problema nos solicitan la
fuerza causada por el agua, la expresión anterior se reduce a:
p = gh
la densidad del agua es agua = 1000kg=m3 y la altura de la columna de
agua desde la super…cie hasta el fondo es de 2m, por lo que la presión en el
fondo de la piscina es:
1
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Mecánica de Fluidos
p = gh = (1000)(9:8)(2) = 19600:0P a
La fuerza causada por el agua sobre el fondo de la piscina el cual tiene un
área de 30m 10m será entonces:
F = pA = (19600)(30)(10) = 5: 88
106 N hacia abajo
b)Calculemos la fuerza causada por el agua en la pared de uno de los extremos de la piscina, la cual tiene w = 30m de ancho. Para este caso podemos
observar que la presión varía con la profundidad por lo que debemos integrar
para resolverlo.
Dividiremos entonces nuestra pared en pequeñas tiras horizontales de alto
dy. Observemos una de éstas tiras, la cual se encuentra ubicada a una distancia
y del fondo de la piscina.
h
dy
H
y
w
La presión sobre cada una de estas tiras se debe sólo al agua y podemos
considerarla uniforme a lo largo de la tira, de tal forma que la presión del agua
sobre una de estas tiras es:
p = g(H
y)
En la expresión anterior H representa la altura hasta la cual se encuentra
llena la piscina (H = 2m). Calculemos el diferencial de fuerza que experimenta
esta tira:
dF = pdA
donde dA es el área de la tira, siendo ésta dA = wdy siendo w el ancho de
la pared. Entonces la fuerza total sobre la pared será:
F =
Z
dF =
Z
0
H
pdA =
Z
H
g(H y)wdy = gw
0
"Z
0
2
H
Hdy
Z
0
H
#
ydy = gw Hy
y2
2
H
0
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H2
H2
= gw
2
2
F = gw H 2
sustituyendo valores para
Mecánica de Fluidos
= 1000kg=m3 , g = 9:8m=s2 y w = 30m
(2)2
= 5: 88 105 N hacia afuera
2
c)Para calcular la fuerza del agua en la pared de la piscina de10m de ancho,
se procede exactamente igual que el literal anterior variando únicamente el ancho
de la pared w:
Entonces,
F = (1000)(9:8)(30)
F = gw
sustituyendo valores para
H2
2
= 1000kg=m3 , g = 9:8m=s2 y w = 10m
F = (1000)(9:8)(10)
(2)2
= 1: 96
2
105 N hacia afuera
Problema 4. En un tubo en U se vierte mercurio como se muestra en la
…gura. El brazo iquierdo del tubo tiene un área de sección transversal A1 de
10cm2 y el brazo derecho tiene un área de sección transversal de A2 de 5cm2 .
A continuación se vierten 100g de agua en el brazo derecho. a)Determine la
longitud de la columna de agua en el brazo derecho del tubo en U. b)Dado que
la densidad del mercurio es 13:6g=cm3 ¿Qué distancia h se eleva el mercurio en
el lado izquierdo?
A1
A2
A2
A1
H2O
h1
l
h2
h2
2
1
Hg
Solución. a)Para determinar la longitud de la columna de agua en el brazo
derecho, utilizaremos la densidad del agua (1g=cm3 );la cantidad de masa de
agua que se vierte y las dimensiones del tubo en el brazo derecho. Sabemos
que:
=
3
m
V
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En este caso V = A2 l, donde A2 es la sección transversal del tubo del lado
derecho y l es la longitud de la columna que ocupa el agua en el tubo en U.
2
1m
Para la sección derecha A2 = 5cm2 100cm
= 0:0005m2 . Sutituyendo
entonces,
=
l=
m
A2 l
m
0:1kg
=
= 0:2m
A2
(1000Kg=m3 )(0:0005m2 )
b)Observemos el nivel del mercurio en el tubo de ensayo antes de vertir el
agua. Debemos tomar en cuenta que lo que descienda de nivel el mercurio por
debajo de su nivel inicial en el lado derecho h2 , hará que el nivel en el lado
izquierdo suba una distancia h1 : Si los tubos fueran de igual sección transversal
lo que baja de un lado sería lo mismo que sube del otro, pero en este caso
por tener áreas distintas no es el caso. Trataremos entonces de encontrar
una relación que nos permita conocer como se relacionan h2 y h1 : Para ello
recordemos que las masa de mercurio que se desplaza hacia abajo en el lado
derecho debe ser la misma que se desplaza hacia arriba en el lado izquierdo, por
lo que:
mizq = mder
Vizq = Vder
A1 h1 = A2 h2
A1 h1
A2
Ahora también sabemos que la presión en los puntos 1 y 2 en la …gura son
las mismas. Entonces,
h2 =
p 1 = p2
po +
agua gl
= po +
Hg g(h1
+ h2 )
A1 h1
)
A2
agua (l)
=
Hg (h1
+
agua (l)
=
Hg h1
1+
A1
A2
despejando h1 y sustituyendo valores
agua (l)
h1 =
Hg
1+
A1
A2
=
1000(0:2)
= 4: 902 0
0:001
(13600) 1 + 0:0005
4
10
3
m ó 0:49cm
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Problema 5. Una pelota de ping pong tiene un diámetro de 3:8cm y
una densidad promedio de 0:0840g=cm3 ¿Qué fuerza requiere para mantenerla
completamente sumergida bajo el agua?
Solución. Analicemos las fuerzas que actúan sobre la pelota: el peso de
la pelota, el empuje provocado por el peso del volumen de agua desplazado y
la fuerza externa que debemos aplicar para mantenerla sumergida. Cuando la
pelota está completamente sumergida se tiene:
B = mg + Fext
agua Vdesplazado g
=
bola V
g + Fext
pero en estas condiciones Vdesplazado = V , entonces,
Fext= V g(
agua
bola )
sustituyendo valores y trabajando en el sistema internacional de unidades:
Fext= V g(
agua
bola )
=
4
(0:019)3 (9:8)(1000
3
84) = 0:257 91N hacia abajo
Problema 6. Un bloque metálico de 10kg que mide 12cm 10cm 10cm
está suspendido en una balanza y sumergido en agua como se muestra en la
…gura. La dimensión de 12cm es vertical y la parte superior del bloque está a
5cm abajo de la super…cie del agua. a) ¿Cuáles son las fuerzas que actúan sobre
las partes superior e inferior del bloque? (Considere po = 101:3KP a ) b)¿Cuál
es la lectura de la balanza de resorte? c) Demuestre que la fuerza de ‡otación
es igual a la diferencia entre las fuerzas sobre las partes superior e inferior del
bloque.
T
h1= 0.05m
B
1
h2 = 0.12m
2
m=10kg
mg
Solución.a)La fuerza sobre la parte superior será:
F = p1 A
5
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en donde p1 = po + agua gh1 siendo h1 la altura desde el nivel del agua hasta
la parte superior del bloque
103 + 1000(9:8)(0:05)) = 1: 017 9
p1 = (101:3
Fsup erior = (1: 017 9
105 P a
105 )A
el área de la parte superior del bloque es A = (0:1m)(0:1m) = 0:01m2 por
lo que al sustituir valores tenemos:
Fsup erior = (1: 017 9
105 )(0:01) = 1017: 9N apuntando hacia abajo
Ahora, la fuerza sobre la parte inferior será:
F = p2 A
en donde p2 = p1 + agua gh2 siendo h2 la altura desde la parte superior a la
parte inferior del bloque
Finf erior = (p1 +
p2 = p1 +
agua gh2
= 1: 017 9
agua gh2 )A
5
10 + (1000)(9:8)(0:12) = 1: 029 7
105 P a
el área de la parte inferior del bloque es A = (0:1m)(0:1m) = 0:01m2 por lo
que al sustituir valores tenemos:
Finf erior = (1: 029 7
105 )(0:01) = 1029: 66N apuntando hacia arriba
b) La lectura de la balanza de resorte nos dará el peso del objeto sumergido
en el agua. La balanza nos da la lectura de la tensión de la cuerda. Haciendo
un diagrama de cuerpo libre sobre el bloque
X
Fy = 0
Bagua + T = wbloque
agua Vdesplazado g
T = (10)(9:8)
T = (10)(9:8)
+ T = (10)(9:8)
agua Vdesplazado g
(1000)(0:1 0:1 0:12)(9:8) = 86: 24N
La lectura de la balanza será entonces 86: 24N
c)El empuje es igual a
6
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Bagua =
agua Vdesplazado g
Mecánica de Fluidos
= (1000)(0:1 0:1 0:12)(9:8) = 11: 76N
Ahora calculando el empuje como la diferencia de fuerzas
B = Finf erior
Fsup erior = 1029: 66
1017: 9 = 11: 76N
Problema 7. ¿Cuántos metros cúbicos de helio se requieren para levantar
un globo con una carga de 400kg a una altura de 8000m? (Considera He =
0:180kg=m3 ). Suponga que el globo mantiene un volumen constante y que la
densidad del aire disminuye con la altura z de acuerdo a la expresión aire =
z
3
o e 8000 , donde z está en metros y o = 1:25kg=m es la densidad del aire a nivel
del mar.
Solución. Realicemos un diagrama de cuerpo libre del globo.
Baire
Wcarga
Whelio
Las fuerzas que actúan sobre el globo cuando este se encuentra en equilibrio
a una altura de 8000m son:
Baire = wc arg a + whelio
Es importante que para calcular el empuje del aire consideremos la densidad
del aire a 8000m :
aire
para z = 8000 !
aire
= 1:25e
8000
8000
aire Vdesplazado g
z
=
o e 8000
= 0:459 85kg=m3 , entonces
= (400)g +
helio V
g
donde Vdesplazado = V es el volumen que nos solicitan en el problema. En
la ecuación anterior podemos eliminar g y tenemos:
(0:459 85)V = (400) + (0:180)V
despejamos V :
7
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(0:459 85
V =
Mecánica de Fluidos
0:180)V = (400)
400
= 1429: 3m3
(0:459 85 0:180)
el volumen que necesitamos de helio es entonces 1429: 3m3 :
Problema 8. Un globo lleno con helio se amarra a una cuerda uniforme
de 2:00m de largo y 0:050kg. El globo es esférico con un radio de 0:400m.
cuando se libera, eleva una longitud h de cuerda y luego permanece en equilibrio.
Determine el valor de h. La cubierta del globo tiene una masa de 0:250kg.
Solución. Analicemos las fuerzas que actúan sobre el globo cuando éste se
encuentra en equilibrio. Hacia arriba se tiene el empuje del aire, hacia abajo se
encuentran el peso de la cubierta del globo, el peso del helio dentro del globo y
el peso de la cuerda de longitud l (note que no es el peso de la cuerda completa,
sólo de la sección que se encuentra levantada)
Baire = wcubiertaGlobo + whelio + wcuerda
longitud h
El empuje es el peso del ‡uido de aire que ha sido desplazado por el globo,
por lo que
aire Vdesplazado g
= (0:250kg)(9:8) +
helio V
g + wcuerda
longitud h
El volumen desplazado es igual al volumen del globo, es decir V = 43 r3 =
(0:4)3 = 0:268 08m3 ; también la aire = 1:29kg=m3 y helio = 1:79 10 1 kg=m3 :
Para calcular el peso de la parte de la cuerda que se levanta, utilizaremos
el hecho que toda la cuerda tiene una longitud de 2m y su masa total es de
0:050kg. Calcularemos entonces la masa por unidad de longitud de la cuerda,
0:050
masa cuerda
= 0:025 kg=m: Este dato es la
la que llamaremos = longitud
total =
2
densidad lineal de masa de la cuerda y si a este valor lo multiplicamos por
4
3
8
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Mecánica de Fluidos
h (longitud de la sección de cuerda levantada), obtendremos la masa de esta
sección.
mcuerda
wcuerda
longitud h
longitud h
= mcuerda
= h
longitud h (g)
= hg
Ahora sustituimos valores y obtenemos
aire Vdesplazado g
= (0:250kg)(9:8) +
helio V
(1:29)(0:268 08)(9:8) = (0:250)(9:8)+(1:79 10
1
g + wcuerda
longitud h
)(0:26808)(9:8)+(0:025)h(9:8)
entonces la longitud de la cuerda que se levanta es:
h=
(1:29)(0:268 08)(9:8)
(0:250)(9:8) (1:79
(0:025)(9:8)
10
1
)(0:26808)(9:8)
= 1: 913 5m
Problema 9. La mitad inferior de un tanque se llena con agua ( H2 O =
1000kg=m3 ) y la mitad superior se llena con petróleo ( petroleo = 850kg=m3 ).
Suponga que un bloque rectangular de madera de 5:5kg de masa, 30cm de
largo, 20cm de ancho y 10cm de alto se coloca en este tanque. ¿Cuán profundo
se sumergirá en el agua la parte inferior del bloque?
h1
h2
petróleo
agua
0.2m
Solución. El bloque se encuentra en equilibrio, analicemos las fuerzas que
actúan sobre el bloque. Hacia arriba se tiene el empuje del agua y el empuje
debido al petróleo, hacia abajo se tiene el peso del cubo. Por lo que:
Bagua + Bpetroleo = Wbloqe
9
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H2 O VdespH2 O g
+
Mecánica de Fluidos
petroleo Vdesppetroleo g
= mbloque g
Denominaremos h1 ; la altura del bloque sumergida en agua y h2 la altura
del bloque sumergida en petróleo. Debido a que el bloque tiene una altura total
de 10cm; h2 = 0:1 h1
De lo anterior se tiene que:
VdespH2 O = Ah1
Vdesppetroleo = Ah2 = A(0:1
h1 )
En donde A es el área de la caras superior e inferior del bloque. Sustituyendo
entonces lo anteriormente encontrado en la primera expresión:
H2 O Ah1
H2 O Ah1
+
+ 0:1
petroleo A(0:1
petroleo A
h1 ) = mbloque
petroleo Ah1
= mbloque
por lo que despejando h1
h1 A(
H2 O
petroleo )
h1 =
= mbloque
0:1
petroleo A
mbloque 0:1 petroleo A
A( H2 O
petroleo )
sustituyendo valores:
h1 =
5:5 0:1(850)(0:2)(0:3)
= 4: 44
(0:2)(0:3)(1000 850)
10
2
m
Entonces, la parte inferior del bloque se sumerge en agua 4:4cm.
Problema 10. Una rana que está en un recipiente semiesférico ‡ota sin
hundirse en un líquido con una densidad de 1:35g=cm3 : Si el recipiente tiene
un radio de 6cm y masa despreciable ¿Cuál es la masa de la rana?
Solución. El sistema recipiente-rana se encuentra en equilibrio estático,
por lo que la sumatoria de fuerzas que actúan es igual a cero. Al hacer un
análisis de fuerza y considerando que la masa del recipiente es despreciable,
tenemos
10
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Mecánica de Fluidos
Bl{quido = Wrana
l{quido Vdesp g = mrana g
l{quido Vdesp = mrana
En este caso el volumen desplazado es el volumen del recipiente semiesférico,
mismo que se encuentra sumergido en el agua.
Vdesp =
4
3
r3
4 3
=
r
2
6
sustituyendo
liquido (
4 3
r ) = mrana
6
la masa de la rana es entonces:
mrana = (1350)(
4
)(0:06)3 = 0:61kg
6
Problema 11. Un cubo de madera tiene una dimesión de arista de 20cm
y una densidad de 650kg=m3 ‡ota en el agua. a)¿Cuál es la distancia desde
la super…cie horizontal más alta del cubo al nivel del agua? b)¿Qué masa de
plomo se debe colocar sobre el cubo, de modo que la parte superior del cubo
esté justo a nivel con el agua?
Solución. a) Denominaremos h1 la altura del cubo que no se encuentra
sumergida en agua, es decir la distancia desde la super…cie horizontal más alta
del cubo y el nivel del agua. Por lo tanto la altura del cubo que se encuentra
sumergida será h2 = 0:2 h1
Existen únicamente dos fuerzas que actúan sobre el cubo, el empuje del agua
y el peso del cubo, por lo que:
BH2 O = mcubo g
H2 O Vdesp g
=
cubo Vcubo g
H2 O Vdesp
=
cubo Vcubo
El volumen desplazado de agua corresponde a la parte del cubo que se encuentra sumergida la cual es igual a: Vdesp = Ah2 = A(0:2 h1 ): Sustituyendo
se tiene:
H2 O A(0:2
h1 ) =
11
cubo Vcubo
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(1000)(0:2)2 (0:2
h1 = 0:2
Mecánica de Fluidos
h1 ) = 650(0:2)3
650(0:2)3
= 0:07m
1000((0:2)2
Por lo tanto la altura del bloque que no se encuentra sumergida es de 7 cm.
b)Al colocar la masa de plomo, el bloque queda con todo su volumen sumergido
en agua, por lo cual el volumen desplazado de agua corresponderá al volumen
del bloque.
BH2 O = Wcubo + Wplomo
H2 O Vdesp g
=
cubo Vcubo g
+ mplomo g
De la expresión anterior Vdesp = Vcubo : Asimismo se cancela la gravedad en
todos los términos de la ecuación.
H2 O Vcubo
mplomo = Vcubo (
H2 O
=
cubo Vcubo
cubo )
+ mplomo
= (0:2)3 (1000
650) = 2: 8kg
Problema 12. Un vaso de precipitados de 1kg que contiene 2kg de aceite
( aceite = 916kg=m3 ) descansa sobre la báscula. Un bloque de hierro de 2:00kg;
suspendido de una balanza de resorte, se sumerge completamente en el aceite,
como se muestra en la …gura. Determine las lecturas de equilibrio de ambas
básculas.
Solución. Analicemos la lectura de la báscula de resorte que cuelga del techo.
Las fuerzas que actúan sobre el bloque de hierro son
12
Mecánica de Fluidos
Baceite
Tensión
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Peso
La lectura de la báscula re‡ejará la fuerza correspondiente a la tensión.
Entonces:
Baceite + T ension = P esobloque
aceite Vdesp g
T = mbloque g
+ T = mbloque g
aceite Vdesp g
= mbloque g
aceite Vbloque g
El volumen del bloque de hierro lo podemos obtener a partir de la densidad
mbloque
2
del hierro (7860kg=m3 ), por lo cual: Vbloque = hierro
= 7860
= 2: 544 5
4 3
10 m
T = (2)(9:8)
(916)(2: 544 5
10
4
)(9:8) = 17: 32N
La lectura de la báscula de resorte es de 17.32 Newtons.
Para la lectura de la báscula inferior analicemos las fuerzas que actúan sobre
el sistema combinado (vaso-aceite-bloque):
T
N
Peso
Bloque
Peso
del vaso de
precipitados
Peso
Aceite
N +T
Wbloque
Waceite
Wvaso = 0
En donde la fuerza T es la que corresponde a la tensión hacia arriba que ejerce
sobre el sistema, la báscula superior y cuyo valor encontramos previamente.
13
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Mecánica de Fluidos
Asimismo, la normal correspondera a la fuerza hacia arriba que ejerce el plato
de la báscula inferior, sobre el sistema:
La lectura de la balanza será la que corresponde a la normal en nuestro
análisis de fuerzas:
N = Wbloque + Waceite + Wvaso
N = (2)(9:8) + (2)(9:8) + (1)(9:8)
T
17:3 = 31:7N
La lectura de la báscula inferior es de 31.7 N.
Dinámica de Fluidos
Problema 13. Un gran tanque de almacenamiento, abierto en la parte superior
y lleno de agua, en su costado en un punto a 16m abajo del nivel de agua se
elabora un ori…cio pequeño. La relación del ‡ujo a causa de la fuga es de
2:5 10 3 m3 = min : Determine a)la rapidez a la que el agua sale del ori…cio b)
el diámetro del ori…cio.
1
16 m
NR
2
Solución. Aplicaremos Bernoulli entre los puntos 1 y 2 de la …gura, tomando
el nivel de referencia en el punto donde se encuentra el ori…cio de la fuga.
1 2
1
v + gh1 = p2 + v22 + gh2
2 1
2
Observemos que los puntos 1 y 2 están abiertos a la átmosfera, por lo que
p1 = p2 = po donde po = presion atmosf erica: Asimismo, debido a que el área
del tanque abierto en la parte superior es mucho mayor que el área del ori…cio
(A1 >>> A2 ), de la ecuación de continuidad podemos decir que v1 = 0:
Por el lugar donde escogimos nuestro nivel de referencia h2 = 0. Lo anterior
hace que nuestra ecuación se nos simpli…que:
p1 +
14
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Mecánica de Fluidos
1 2
v
2 2
despejando v2 , tendremos que la rapidez con la que el agua sale del ori…cio
gh1 =
es:
1
1
v2 = (2gh1 ) 2 = (2(9:8)(16)) 2 = 17: 709m=s
b) Del problema nos indican la rapidez de descarga 2:5
convirtiendo al SI de unidades,
2:5
3
10
m3 1 min
(
) = 4:1667
min 60s
A2 v2 = 4:1667
10
10
5m
10
3
m3 = min,
3
s
3
5m
s
despejando A2
4:1667 10 5
= 2: 352 9 10 6 m2
17: 709
pero A2 = (r2 )2 por lo que el radio del ori…cio es igual a
A2 =
r2 =
A2
1
2
2: 352 9
=
10
6
1
2
= 8:6542
El diámetro del ori…cio es de d2 = 2r2 = 2(8: 654 2
10 3 m
10
10
4
4
m
m) = 1: 730 8
Problema 14. A través de una manguera contra incendios de 6:35cm de
diámetro circula agua a una relación de 0:0120m3 =s. La manguera termina en
una boquilla de 2:20cm de diámetro interior. ¿Cuál es la rapidez con la que el
agua sale de la boquilla?
r1=3.175 cm
Boquilla
r2=1.10 cm
Manguera
Solución.
Debido a que conocemos el caudal de agua a través de la
manguera y sabemos el diámetro de la boquilla, tenemos:
2
Av = 0:0120m3 =s; asimismo para la parte de la boquilla A = rboquilla
=
(0:0110)2 = 3: 801 3 10 4 m2 por lo que despejando v, tenemos que la rapidez
con la cual el agua sale de la boquilla es:
v=
0:0120
3: 801 3 10
15
4
= 31: 568
m
s
Apuntes de Física 1 - Claudia Contreras
Mecánica de Fluidos
Problema 15. Desde el río Colorado se bombea agua para suministrar
a Grand Canyon Village, ubicada a la orilla del cañón. El río está a una
elevación de 564m y la villa está a una elevación de 2096m. Imagine que el
agua se bombea a través de una larga tubería de 15cm de diámetro, impulsada
por una bomba en el extremo inferior. a)¿Cuál es la presión mínima a la que
el agua debe bombearse si ha de llegar a la villa? b) Si 4500m3 de agua se
bombean al día ¿Cuál es la rapidez del agua en la tubería? c) ¿Qué presión
adicional es necesaria para impulsar este ‡ujo?
2
Diámetro
0.15 m
2096 m
NR
564 m
1
Solución. a)la presión mínima es la necesaria para que el agua suba por la
tubería y llegue justo al nivel de la ciudad de Grand Canyon sin que ésta agua
‡uya hacia la ciudad, por encima de esta presión el agua ‡uiría hacia la ciudad
a cierto caudal. Al aplicar Bernoulli en estas condiciones, v1 = v2 de tal forma
que:
p1 +
1 2
1
v + gh1 = p2 + v22 + gh2
2 1
2
p1 + gh1 = p2 + gh2
escogiendo nuestro nivel de referencia a la altura del río, h1 = 0 y considerando que p2 = po ; se simpli…ca aún más la ecuación anterior:
p1 = p2 + gh2
De tal forma que la presión total que debe haber en el punto 1 para que el
agua alcance justo el nivel de la ciudad es:
p1 = po + gh2 = (101325)+(1000)(9:8)(2096 564) = 101325+15:0136 106 = 15:115 106 P a
b)Para lograr el caudal de agua requerido (4500m3 de agua al día), la rapidez
de agua en la tubería de 7:5cm de radio deberá ser:
1hr
m3
=
Convirtiendo el caudal al SI de unidades tenemos: 4500 24hrs
3600seg
3
0:05208 ms
16
Apuntes de Física 1 - Claudia Contreras
m3
s
Asimismo A = r2 = (0:075)2 = 1: 767 1 10
con la que sale el agua de la tubería será:
Mecánica de Fluidos
Av = 0:05208
2
m2 , por lo que la velocidad
0:05208
= 2: 947 2m=s
1: 767 1 10 2
c)Para calcular la presión adicional que hay que aplicar para que el agua
‡uya hacia la ciudad con la rapidez del inciso anterior, consideraremos que el
agua está en estado estacionario en el río (v1 = 0). Aplicando Bernoulli entre
1 y 2, escogiendo nuevamente el nivel de referencia a nivel del río.
v=
p1 +
1
1 2
v + gh1 = p2 + v22 + gh2
2 1
2
1 2
v + gh2
2 2
La presión adicional con respecto a sólo lograr que el agua alcance el nivel
de la ciudad es:
p1 = p2 +
1 2
v = 4:34 103 P a
2 2
Problema 16. La …gura muestra un tanque de agua con una válvula en el
fondo. Si esta válvula se abre ¿Cuál es la altura máxima que logra la corriente
de agua que sale del lado derecho del tanque? Suponga, h = 10m; L = 2m
y = 30 y suponga que el área de la sección transveral A es muy grande
comparada con la de B.
padicional =
1
v2
h
L
2
Lsen
NR
Solución. Cuando el agua sale del tanque por la parte derecha, podemos
considerar que sigue un movimiento de tipo parabólico. De tal forma que lo
primero que calcularemos es la velocidad con la cual sale del tanque. Aplicando Bernoulli entre 1 y 2, considerando que A1 >> A2 y tomando el nivel de
referencia de acuerdo a la …gura:
17
Apuntes de Física 1 - Claudia Contreras
p1 +
Mecánica de Fluidos
1 2
1
v + gh1 = p2 + v22 + gh2
2 1
2
p1 + gh1 = p2 +
1 2
v + gh2
2 2
donde
p 1 = p 2 = po
h1 = h
h2 = Lsen
sustituyendo y despejando v2
po + gh = po +
v2 = (2(gh
1 2
v + g(Lsen )
2 2
1
gLsen )) 2 = (2((9:8)(10)
1
(9:8)(2)(sin 30 ))) 2 = 13:282m=s
Ahora consideremos un movimiento de tipo parabólico, en el cual voy =
v2 sin 30. Asimismo, para hmax , vf y = 0 y la aceleración en "y" es la debida a
la gravedad: ay = 9:8m=s2
Desde el punto donde el agua sale del tanque esta se elevará una altura de:
2
vf2 y = voy
+ 2ay ( y)
y=
2
vf2 y voy
(0)2
=
2ay
((13:282)(sin 30 ))2
= 2:25m
2( 9:8)
Problema 17. Un tubo en U, abierto en ambos extremos está parcialmente
lleno con agua. A continuación en el brazo derecho se vierte aceite que tiene una
densidad de 750kg=m3 y forma una columna de L = 5cm de alto. a)Determinela
diferencia H de alturas de las dos super…cies de los líquidos. b)Luego en el brazo
derecho se cubre de cualquier movimiento del aire mientras el aire sopla a través
de la parte superior del brazo izquierdo hasta que las super…cies de los líquidos
están a la misma altura. Determine la rapidez del aire que sopla a través del
brazo izquierdo. Considere la densidad del aire aire = 1:29kg=m3
18
Apuntes de Física 1 - Claudia Contreras
Mecánica de Fluidos
v
3
4
NR
b
h
L=5cm
L
L
h
NR
2
1
1
Solución. a) La primera parte de este problema la resolveremos utilizando
estática de ‡uidos. Observemos el nivel del agua en el tubo de ensayo antes de
vertir el aceite. Debemos tomar en cuenta que lo que descienda de nivel del
agua por debajo de su nivel inicial en el lado derecho h, hará que el nivel en el
lado izquierdo suba una distancia h:
Ahora también sabemos que la presión en los puntos 1 y 2 en la …gura son
las mismas. Entonces,
p 1 = p2
po +
agua g(2h)
= po +
aceite g(L)
despejando h y sustituyendo valores
h=
aceite (L)
2
agua
=
(750)(0:05)
= 0:01875m
(2) (1000)
La diferencia de alturas entre los niveles de agua y el aceite será entonces
de:
H=L
2h = 0:05
2(0:01875) = 0:012 5m ó 1:25cm
b)Ahora para conocer la velocidad con la cual se sopla a través del brazo
izquierdo, aplicaremos Bernoulli entre los puntos 3 y 4 de la …gura (recordemos
que para aplicar Bernoulli debemos considerar puntos de un mismo ‡uido).
También escogeremos el nivel de referencia a la altura de estos puntos (h3 =
h4 = 0).
En el punto 4, el ‡uido no se encuentra en movimiento por lo que v4 = 0:
Asimismo, la presión en el punto 3, la desconocemos ya que es en este punto
donde se sopla, mientras que la presión en el punto 4 corresponde a la presión
atmosférica.
p3 +
1
2
2
aire v3
+
aire gh3
= p4 +
19
1
2
2
aire v4
+
aire gh4
2
Apuntes de Física 1 - Claudia Contreras
p3 +
1
2
v32 =
Mecánica de Fluidos
2
aire v3
2(po
= po
p3 )
aire
De la expresión anterior, desconocemos el valor de p3 por lo que trataremos
de encontrarlo, ya que conocemos que:
p 1 = p2
p3 +
aire gb
+
agua gL
= p4 +
aire gb
+
aceite gL
donde p4 = po , sustituyendo en la ecuación anterior y despejando p3 :
p3 +
agua gL
p3 = po +
= po +
aceite gL
aceite gL
agua gL
ahora que conocemos p3 , sustituiremos su valor en la expresión que me permite calcular v3 :
v32 =
v32 =
2(po
(po +
aceite gL
2(po
p3 )
aire
agua gL)
aire
=
2gL(
aceite
+
agua )
aire
entonces la velocidad del aire que sopla a través del lado izquierdo del tubo
es:
v3 =
2gL(
aceite
aire
+
agua )
1
2
=
2(9:8)(0:05)( 750 + 1000)
1:29
1
2
= 13: 781m=s
Problema 18. El tanque de la izquierda que se muestra en la …gura,
tiene un área transversal muy grande y está abierto a la atmósfera. Considere, y=0.600m. Las áreas transversales de los tubos horizontales son 1:00cm2 ,
0:50cm2 y 0:20cm2 . El líquido es ideal (viscosidad=0).
20
Apuntes de Física 1 - Claudia Contreras
Mecánica de Fluidos
Tanque abierto
A
y=0.6m
h1
h2
NR
B
C
h3
h4
D
E
h5
F
a)Determine la razón del ‡ujo de volumen de salida del tanque. Aplicaremos
Bernulli entre A y G
1
1
2
2
PA + ρv A + ρghA = PG + ρvG + ρghG
2
2
PA = PG = Po , hG = 0, asimismo v A = 0
1
m2
m
2
ρghA = ρvG ⇒ vG = (2 ghA )1 / 2 = 2(9.8)(0.6) = (11.76 2 )1 / 2 = 3.429
2
s
s
Conociendo la sección transversal en G (en m2 ), la multiplicamos por el
resultado anterior para conocer el caudal:
0.2cm 2 *
3
1m 2
−5 2
−5 m
=
2
×
10
m
⇒
Av
=
6
.
859
×
10
(100cm) 2
s
b)Calcule la rapidez en cada porción del tubo horizontal. Del inciso anterior
conocemos que la rapidez en F es de 3:429m=s y el caudal es de AF vF =
6:859 10 5 m3 =s: Aplicando entonces la ecuación de continuidad encontraremos
las velocidades de las diferentes secciones de la tubería
En C y B el área es de 1cm2
Área = 1cm 2 = 1 × 10−4 m 2 AC vC = AF vF
vC =
AF vF
m
= 0.686
AC
s
21
G
Tubo abierto a
la atmósfera
Apuntes de Física 1 - Claudia Contreras
Mecánica de Fluidos
Rapidez en D y E donde la sección transversal es de 0:5cm2
AD vD = AC vC
vD = 1.37
m
s
c)¿Qué altura tiene el líquido en cada uno de los cinco tubos verticales?
Observemos que el líquido en h5 no subirá debido a que éste se encuentra en
la tubería F, y ésta se encuentra abierta a la atmósfera en su extremos derecho.
También se tiene que h1 = h2 ; aplicando Bernoulli entre C y G:
1 2
1
2
Pc + ρvc + ρghc = PG + ρvG + ρghG
2
2
hc = hG = 0
PG = Po
1
2
2
PC = Po + ρ (vG − vC )
2
1
PC = Po + ρ ((3.429) 2 − (0.686) 2 ) = Po + 5.644 ρ
2
Ahora aplicando estática de ‡uidos en la columna de líquido
PC = Po + ρgh1
Entonces sustituyendo esta última expresión:
Po + ρgh1 = Po + 5.644 ρ
h1 =
5.644
= 0.576m
9.8
Finalmente encontremos la altura a la cual sube el líquido en las columnas
3 y 4. Observe que h3 = h4 :
Aplicando Bernoulli entre D y G
22
Apuntes de Física 1 - Claudia Contreras
Mecánica de Fluidos
1
1 2
2
PD + ρ (vD ) + ρghD = PG + (vG ) ρ + ρghG
2
2
PG = Po
1
1
2
2
PD = Po + ρ (vG − vD ) = Po + ρ ((3.429) 2 − (1.37) 2 )
2
2
PD = Po + 4.94 ρ
También aplicando estática de ‡uidos a la columna de líquido por encima
del punto D y combinándolo con el resultado anterior:
PD = P o + ρgh3 ⇒ Po + 4.94 ρ = Po + ρgh3
h3 =
4.94
= 0.504m
g
Problema 19 Para la situación de la …gura calcular: a)presión en el punto
3; b)velocidad en el punto 2 en (m/s) y c)presión en el punto 1
1
3
2
b
c
a
d
x
z
Datos: Fluidos: agua, mercurio ( Hg = 13:6 103 kg=m3 ), a = 0:254m,
b = 0:1016m, c = 0:508m, radio 1 = 7:62cm
radio 2 = 5:08cm, radio 3 =2:54cm, p2 = 170207:7P a
Solución. a)Debido a que conozco las longitudes b y a, adicionalmente
se observa que el tubo en U de la derecha está abierto a la atmósfera en uno
de sus extremos, aplicaremos estática de ‡uidos entre dos puntos, los cuales
denominaremos x y z, que se muestran en la siguiente …gura:
23
Apuntes de Física 1 - Claudia Contreras
1
Mecánica de Fluidos
3
2
b
a
c
d
z
x
px = p z
px = po +
Hg g(a
p z = p3 +
b)
agua ga
igualando y despejando p3
po +
Hg g(a
p3 = po +
p3 = 101325 + (13600)(9:8)(0:254
b) = p3 +
Hg g(a
b)
0:1016)
agua ga
agua ga
(1000)(9:8)(0:254) = 1: 19
105 P a
b)Ya que conocemos la presión en el punto 2, aplicaremos Bernoulli entre 2
y 3 para conocer la velocidad en el punto 2.
p2 +
1
2
2
agua v2
+
agua gh2
= p3 +
1
2
2
agua v3
+
agua gh3
Escojamos nuestro nivel de referencia de tal forma que h3 = h2 = 0:También
sabemos por la ecuación de continuidad que
v3 =
A2 v2
=
A3
(r2 )2
(0:0508)2
v2 =
v2 = 4v2
2
(r3 )
(0:0254)2
sustituyendo en la ecuación de Bernoulli entre 2 y 3.
p2 +
1
2
1
2
2
agua v2
2
agua v2
= p3 +
16
2
1
2
2
agua v2
24
2
agua (4v2 )
= p3
p2
Apuntes de Física 1 - Claudia Contreras
v2 =
2(p3
15
1
2
p2 )
1
2
105 170207:7)
15(1000)
2(1: 19
=
Mecánica de Fluidos
agua
= 2:61m=s
c) Aplicaremos Bernoulli entre 1 y 2, para conocer el valor de p1
p1 +
1
2
2
agua v1
+
agua gh1
= p2 +
1
2
2
agua v2
+
agua gh2
sabemos que
v1 =
A2 v2
=
A1
(0:0508)2
(r2 )2
v
=
(2:61) = 1:16m=s
2
(r1 )2
(0:0762)2
despejando
p 1 = p2 +
1
2
2
agua v2
1
p1 = 170207:7 + (1000)(2:61)2
2
1
2
2
agua v1
1
(1000)(1:16)2 = 1:73
2
105 P a
Problema 20 Considere la corriente de agua en ‡ujo estable, desde el grifo
de una cocina. En el grifo el diámetro de la corriente es 0:960cm: La corriente
llena un contenedor de 125cm3 en 16:3s: Encuentre el diámetro de la corriente
13cm abajo de la abertura del grifo.
Solución. En este problema conocemos el ritmo o caudal con el cual se
está entregando el agua:
3
cm3
Av = 125cm
16:3s = 7: 668 7 s es decir
Av = 7:67
cm3
s
1m3
= 7: 67
(100cm)3
10
6m
3
s
Sabemos que el caudal es el mismo a todo lo largo de la corriente de agua.
Por lo tanto en el grifo la velocidad del agua es:
Agrif o vgrif o = 7:67
(
10
0:00960 2
) vgrif o = 7:67
2
vgrif o =
6
10
6
7:67 10 6
= 0:105 97m=s
( 0:00960
)2
2
Ahora aplicaremos Bernoulli …jando un punto 1, en el grifo y un punto 2,
13cm por debajo de la apertura del grifo:
p1 +
1 2
1
v + gh1 = p2 + v22 + gh2
2 1
2
25
Apuntes de Física 1 - Claudia Contreras
Mecánica de Fluidos
Observemos que la corriente de agua está expuesta a la atmósfera, por lo
cual p1 = p2 = po . También …jemos nuestro nivel de referencia en el punto 2,
de tal forma que h1 = 0:13m y h2 = 0: Por lo tanto:
po +
1 2
1
v + gh1 = po + v22
2 1
2
en donde v1 = vgrif o = 0:10597m=s, entonces:
+
v2 =
"
1 2
1 2
v + gh1 =
v
2 1
2 2
# 12
v12 + 2gh1
1
2
v12 + 2gh1
=
v2 = (0:106)2 + (2)(9:8)(0:13)
1
2
= 1:6m=s
Recordando que el caudal debe ser constante entonces 13cm debajo del grifo
el área es:
A2 v2 = 7:67
10
(r2 )2 v2 = 7:67
7:67
10
(1:6)
6
6
10
6
1
2
= 1:24
10
El diámetro de la corriente es 2r2 = 2(1: 235 3
10
r2 = :
4
3
m
) = 2: 470 6
10
3
m
Problema 21. Un tubo Venturi se puede usar como medidor de ‡ujo. Al
tomar la diferencia en presión como p1 p2 = 21kP a, encuentre la relación de
‡ujo de ‡uido en m3 =s, dado que el radio del tubo de salida es de 1:00cm y
el radio del tubo de entrada es 2cm y considerando que el ‡uido es gasolina
= 700kg=m3 :
Solución. Aplicando Bernoulli entre los puntos 1 y 2 se tiene:
26
Apuntes de Física 1 - Claudia Contreras
Mecánica de Fluidos
1 2
1
v + gh1 = p2 + v22 + gh2
2 1
2
Si …jamos el nivel de referencia en una línea horizontal situada en donde se
encuentran ubicados los puntos 1 y 2, tendremos que h1 = h2 = 0: Asimismo
por la ecuación de continuidad A1 v1 = A2 v2 , por lo que:
p1 +
r12 v1 = r22 v2
v1 =
(0:01)2 v2
r22 v2
=
= 0:25v2
r12
(0:02)2
Sustituyendo en la ecuación de Bernoulli:
1 2
1
v = p2 + v22
2 1
2
1
2
p1 p2 =
(v2 (0:25v2 )2
2
21000 = (0:5)(700)(0:9375v22 )
p1 +
v2 =
21000
(0:5)(700)(0:93759
1
2
= 8m=s
Entonces el caudal será:
A2 v2 = (0:01)2 (8) = 2: 513 3
10
3
m3 =s
Problema 22. El agua se fuerza hacia afuera de un extintor de incendios mediante presión de aire como se muestra en la …gura. ¿Cuánta presión
manométrica con aire en el tanque, se requiere para que el chorro de agua tenga
una rapidez de 30m=s cuando el nivel del agua está 0:500m abajo de la boquilla?
Solución. Para resolver este problema aplicaremos Bernoulli entre dos
puntos, uno lo ubicaremos dentro del tanque, justo en el nivel del agua y el otro
en el extremo derecho de la boquilla abierto a la atmósfera, por donde sale el
agua del extintor. Asimismo, …jaremos nuestro nivel de referencia en donde se
27
Apuntes de Física 1 - Claudia Contreras
Mecánica de Fluidos
encuentra el nivel del agua dentro del tanque (h1 = 0) y consideraremos que el
diámetro de la boquilla es muy, muy pequeño, comparado con el diámetro del
extintor, por lo que v1 = 0, entonces
p1 +
1 2
1
v + gh1 = p2 + v22 + gh2
2 1
2
1 2
p1 = po + v2 + gh2
2
1 2
p 1 po =
v + gh2 = (0:5)(1000)(30)2 + (1000)(9:8)(0:5) = 4:55
2 2
El resultado anterior es la presión absoluta en el punto 1, al cual se le ha
restado la presión atmosférica, por lo cual es la presión manométrica en el punto
1.
28
105 P a