y el L

Estructura de la materia
2do cuatrimestre 2009
guia 8: Modelo Estándar II (mecanismo de Higgs y la masa de los fermiones) y el LHC.
Problema 1:
Considere un campo escalar real no masivo φ(x) en presencia de un potencial V
1 2 2 1 4
µ φ + λφ
V =
2
4
con µ2 < 0 y λ > 0, tal que su lagrangiano resulta
L=
1
∂µ φ ∂ µ φ −
2
1 2 2 1 4
µ φ + λφ
2
4
a) Muestre que desarrollando el campo φ(x) alrededor de cualquiera de los mínimos v del potencial según
φ(x) = v + η(x)
donde v ≡ ±
q
−µ2
λ ,
el lagrangiano se reduce al de un campo masivo η de masa m2η = 2 λ v 2 = −2 µ2 .
b) Discuta el origen de la masa del campo η y la pérdida de simetría ante reflexiones (φ(x) = φ(−x)) del campo original.
Problema 2: Repita el ejercicio anterior pero para un campo escalar complejo φ, tal que su lagrangiano
1
LU(1) = (Dµ φ)∗ (Dµ φ) − µ2 φ∗ φ − λ(φ∗ φ)2 − Fµν F µν
4
(Dµ = ∂µ − igAµ ) es invariante ante transformaciones locales del grupo U(1)
φ(x) → ei χ(x) φ(x)
Aµ → Aµ − g1 ∂µ χ(x)
pero desarrollando el campo φ(x) según
1
φ(x) = √ (v + h(x))
2
donde h(x) es real. Muestre que en el lagrangiano resultante tanto Aµ como h cuentan ahora con términos de masa.
Problema 3: Sea el lagrangiano
†
L = (∂µ Φ) (∂ µ Φ) − µ2 Φ† Φ − λ(Φ† Φ)2 ,
donde Φ es un doblete de campos escalares complejos. Suponiendo que Φ adquiere un valor de expectación en el vacío,
a) Muestre que si sólo localiza el grupo de simetría SU (2) del lagrangiano entonces los tres bosones de gauge W adquieren
masa y es la misma para los tres.
b) Muestre que si también localiza el grupo de simetría U (1) del lagrangiano entonces sigue habiendo sólo tres bosones de
gauge masivos (¿por qué no hay uno más?). Halle cuáles son.
1
Problema 4: Muestre que el mecanismo de Higgs aplicado al modelo de Weinberg-Salam predice masas para los bosones
W ± y Z relacionadas entre sí tal que
M2
=1
ρ ≡ 2 W2
MZ cos θW
Problema 5: Verifique que introduciendo un término de interacción entre electrones, neutrinos y el doblete de campos escalares
complejos Φ(x) según
+ ν φ
e
−
0
−ge (ν e , e)L
eR + eR φ , φ
e L
φ0
el mecanismo de Higgs genera un término masa para los electrones y otro de interacción entre los electrones y el campo escalar
h
L =
=
ge
ge v
− √ (eL eR + eR eL ) − √ (eL eR + eR eL ) h
2
2
me
ee h.
−me ee −
v
Muestre que el término añadido al lagrangiano es invariante ante SU (2)L ⊗ U (1)Y , eligiendo adecuadamente la Yφ . Discuta
sobre posibles canales para detectar la existencia del Higgs en el LEP (Large Electron-Positron collider).
Problema 6: Producción del Higgs en el LHC. En el LHC colisionarán dos protones a una energía de centro de masa de
√
s = 14 TeV y, en algunas de estas colisiones, se espera que se produzcan Higgses. La Figura 1 indica (en unidades arbitrarias)
la probabilidad de que se produzca el Higgs en tales colisiones según qué partículas fundamentales son las que entran en la
reacción. Usted ha estudiado el Modelo Estándar, así que se le pide que halle el o los diagramas de Feynman más importantes
encargados de cada uno de los procesos de producción de Higgs de la figura.
Figure 1: Canales de producción del Higgs en función de la masa del Higgs para el LHC.
2
Problema 7: Detección del Higgs en el LHC. Los Higgs que se espera producir en el LHC –ver ejercicio anterior– van a
decaer a través de diferentes canales de decaimiento. Según cuál fuese la masa del Higgs, estos canales serán más o menos
importantes debido a sus anchuras. En la Figura 2 se ve cómo cambia la anchura de los diversos canales según la masa que
tenga el Higgs. (Sepa que a efectos de detección del Higgs no sólo importa la anchura de los canales, sino que también cuánto
background de ruido tienen estos canales.)
a) Dibuje, a orden más bajo posible, los diagramas de Feynman de los procesos posibles indicados en la figura.
b) Dado un Higgs liviano esperamos detectarlo a través del canal H → bb̄. Dado que los quarks no pueden observarse
sueltos, ¿qué partículas finales esperaría observar en el LHC en este canal? (*) ¿Cómo son algunos de los diagramas
posibles que generarían tales partículas finales?
c) Para cada canal de decaimiento diga si las partículas creadas deben o pueden ser físicas o virtuales en cada región de la
figura.
d) ¿Por qué el canal H → tt̄ tiene un ’kink’ en mH ≈ 340 GeV?
e) (*) ¿Por qué el canal H → Z 0 Z 0 tiene una supresión alrededor de mH ≈ 160 GeV y vuelve a recuperarse en mH ≈
180 GeV?
Figure 2: Anchuras de los diferentes canales de decaimiento del Higgs en función de la masa del Higgs.
Problema 8∗ : Violación de CP.
a) Muestre que en el lagrangiano
∆L =
Z
d3 x
X
i=u,c,t j ′ =d,s,b
ψ̄i γ µ (1 − γ 5 ) 1i j ′ ψj ′ + h.c.,
donde 1i i′ es la matriz identidad, se viola C, se viola P , pero se respeta CP .
3
b) Muestre que si en cambio considera el lagrangiano que permite el cambio de sabor a través de una matríz unitaria de
3 × 3, V ,
Z
X
∆L = d3 x
ψ̄i γ µ (1 − γ 5 )Vi j ′ ψj ′ Wµ+ + h.c.,
i=u,c,t j ′ =d,s,b
entonces ahora se viola C, se viola P y, en principio, se puede violar CP .
c) Muestre el resultado general del item anterior: si hay dos o menos familias entonces se debe respetar CP , mientras que
si hay 3 o más familias entonces se puede violar CP . (Este es el paper de Kobayashi y Maskawa que predijo una tercer
generación antes de que fuese descubierta experimentalmente!)
Problema 9∗ : Electro-Weak Precision Tests (EWPT). La asimetría de polarización left-right –medida en el LEP (CERN) en
los 90– se define como la diferencia de anchura de un Z yendo a fermión left y antifermión right y un Z yendo a antifermión
left y fermión right, dividido por su suma,
ALR =
Γ(Z 0 → fL f¯R ) − Γ(Z 0 → fR f¯L )
.
Γ(Z 0 → fL f¯R ) + Γ(Z 0 → fR f¯L )
a) Muestre que según el Modelo Estándar con esta asimetría se puede medir sin2 θW .
b) Muestre que a nivel árbol vale
ALR =
( 12 − |Qf | sin2 θW )2 − (Qf sin2 θW )2 )
,
( 21 − |Qf | sin2 θW )2 + (Qf sin2 θW )2 )
donde Qf es la carga eléctrica del fermión.
c) Halle otra medida, independiente de esta, que se pueda realizar para medir θW . Ver que estas dos medidas independientes
del mismo parámetro concuerdan es un test del modelo electrodébil.
d) ¿Cómo realizaría las medidas experimentales discutidas en éste ejercicio?
Para discutir y reflexionar:
a) En estas últimas dos guías se estudió el Modelo Estándar, basado en el artículo “ A model of Leptons” (S. Weinberg,
Phys. Rev. Lett. 19:1264, 1967), y la violación de CP en Modelo Estándar, basada en el artículo “CP violation in the
renormalizable theory of weak interactions” (M. Kobayashi y T. Maskawa, Prog. Theor. Phys. 49:652, 1973). ¿Sabía
que estos dos son el primer y tercer atículos más citados de la historia de la física? ¿Sabe cuál es el segundo? Se
sorprendería....
b) Muchas veces hallará el lagrangiano electrodébil sintetizado como
L = L(f, G) + L(f, H) + L(G, H) + L(G) − V (H),
donde f, G y H representan los fermiones, los bosones de gauge y el doblete escalar, respectívamente. Usted a esta altura
debería poder visualizar que forma tiene cada término. ¿Puede?
c) ¿Tiene idea de cómo se detectó el bosón Z en el LEP? Lo debería poder razonar a partir de lo que sabe hasta ahora.
d) ¿Por qué es importante estudiar violación de CP?
e) ¿Por qué se buscan rastros de partículas de nueva física en los loops más que en encontrar en efecto las nuevas partículas?
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