Tema 1. Introducción a las señales y los sistemas

SISTEMAS LINEALES
Tema 1. Introducción a las señales y
los sistemas
22 de septiembre de 2010
F. JAVIER ACEVEDO
[email protected]
TEMA 1
Contenidos.
•Definiciones. Clasificación de señales.
•Transformaciones de la variable independiente. Reflexión.
Cambio de escala y desplazamiento.
•Señales básicas en tiempo continuo y discreto: Función
exponencial.- Escalón, impulso y sinc.
•Potencia y energía.
•Definición de sistema.
•Propiedades de los sistemas. Interconexión de sistemas.
ITT Sistemas Telecomunicación
SISTEMAS LINEALES.
DEFINICIONES. CLASIFICACIÓN DE SEÑALES.
Señal: Magnitud física o detectable mediante la que se puede transmitir mensajes o
información. Matemáticamente una señal es una función de una variable
independiente.
Ejemplo:
x(t) = 3sen (2t)
En el ejemplo anterior t es la variable independiente.
•Señal de audio obtenida de un micrófono.
•Tensión o corriente medidas en un circuito.
Ejemplos reales:
•Flujo de bits proporcionados por un ordenador.
•Imagen
•Secuencia de vídeo.
Dominio: Conjunto de valores que puede tomar la variable independiente.
Rango: Conjunto de valores que puede tomar la señal.
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DEFINICIONES. CLASIFICACIÓN DE SEÑALES.
Una primera clasificación:
Señales Deterministas: Para todo valor de la variable independiente es posible
conocer el valor de la señal. Pueden ser expresadas mediante una relación
matemática.
2
Ej: x (t) = 5t + 2t + 1
Señales Aleatorias: El valor que puede tomar la señal para cada valor de la variable
independiente es aleatorio. Como mucho podemos estudiar funciones densidad de
probabilidad.
Ej: Señal de cotización del IBEX35.
Señales definidas en potencia o energía: Relación con los fenómenos físicos. Lo
veremos más adelante.
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DEFINICIONES. CLASIFICACIÓN DE SEÑALES.
Clasificación en función del número de variables independientes:
Funciones de una sola variable.(por ejemplo tiempo)
Señal unidimensional.
Funciones de más de una variable independiente (Ejemplo x,y en imágenes)
x
y
Señal bidimensional.
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DEFINICIONES. CLASIFICACIÓN DE SEÑALES.
Clasificación dependiendo del dominio
Señal Continua:
La variable independiente pertenece al
conjunto de los reales (o un subconjunto
del mismo)
Señal Discreta:
La variable independiente solo puede
pertenecer al conjunto de enteros (o un
subconjunto del mismo).
t∈R
x (t)
n∈Z
x [n]
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Secuencia
TRANSFORMACIONES DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE
DESPLAZAMIENTO.
Un desplazamiento del mismo signo que la variable independiente implica un adelanto.
Un desplazamiento de distinto signo que la variable independiente implica un retardo.
Ejemplo:
x (t)
4
2
-6
-8
-4
2
-2
4
6
8
-2
-4
x (t − 2)
4
2
-8
-6
-4
2
-2
4
6
8
-2
-4
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TRANSFORMACIONES DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE
DESPLAZAMIENTO.
Ejemplo:
x (t)
4
2
-6
-8
-4
2
-2
4
6
8
-2
-4
x (t + 2)
4
2
-8
-6
-4
2
-2
-2
-4
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SISTEMAS LINEALES.
4
6
8
TRANSFORMACIONES DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE
DESPLAZAMIENTO.
x [n]
3
2
2
Ejemplo:
1
1
-8
-6
-4
2
-2
4
6
8
4
6
8
-1
-2
x [n − 1]
3
2
2
-8
-6
-4
1
1
-2
2
-1
-2
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TRANSFORMACIONES DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE
DESPLAZAMIENTO.
x [n]
3
2
2
Ejemplo:
1
1
-8
-6
-4
2
-2
4
6
8
4
6
8
-1
-2
6
2x [n + 1]
4
2
2
-8
-6
4
-4
-2
2
-2
-4
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TRANSFORMACIONES DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE
REFLEXIÓN
Reflexión en torno al origen.
Ejemplo:
x (t)
4
2
-6
-8
-4
2
-2
6
4
8
-2
-4
x (−t)
4
2
-6
-8
-4
2
-2
6
4
8
-2
-4
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TRANSFORMACIONES DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE
Ejemplo: x (t)
4
2
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
2
4
6
8
2
4
6
8
-2
Queremos calcular x (2 − t)
-4
Primero Reflexión: x (−t)
4
2
-8
-6
-4
-2
-2
Segundo desplazamiento:
-4
x (2 − t)
4
2
-8
-6
-4
-2
-2
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TRANSFORMACIONES DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE
Reflexión+Desplazamiento. Ejemplo: Calcular x [−2 − n]
3
x [n]
2
2
1
1
-6
-8
-4
2
0
-2
4
6
8
4
6
8
4
6
8
-1
-2
x [−n]
3
2
2
1
-6
-8
-4
1
2
0
-2
-1
-2
x [−2 − n]
3
2
2
1
-6
-8
1
-4
-2
2
0
-1
-2
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SISTEMAS LINEALES.
TRANSFORMACIONES DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE
CAMBIO DE ESCALA
Compresión de la señal en torno a cero.
x (at) a > 1
¡t¢
Expansión de la señal en torno a cero.
a<1
Ejemplo: x (t)
x
a
4
2
-8
-6
-4
2
-2
4
6
8
-2
-4
x (2t)
4
2
-8
-6
-4
2
-2
-2
-4
ITT Sistemas Telecomunicación
SISTEMAS LINEALES.
4
6
8
TRANSFORMACIONES DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE
CAMBIO DE ESCALA
Compresión de la señal en torno a cero.
x (at) a > 1
¡t¢
Expansión de la señal en torno a cero.
a>1
Ejemplo: x (t)
x
a
4
2
-6
-8
-4
2
-2
6
4
8
-2
x
-4
¡t¢
2
4
2
-6
-8
-4
2
-2
6
4
8
-2
-4
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TRANSFORMACIONES DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE
3
x [n]
2
2
1
1
-6
-8
-4
2
0
-2
4
6
8
4
6
8
-1
-2
x [3n]
2
Diezmado
1
-6
-8
-4
-2
2
0
-1
x
Interpolación
1
-8
£n¤
3
3
2
2
1
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-1
Si hacemos
x2 (t) = x (at)
-2
x3 (t) = x2
¡t¢
a
= x (t) x2 [n] = x [an]
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x3 [n] = x2
£n¤
a
6= x [n]
TRANSFORMACIONES DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE
Ejemplo: x (t)
4
2
-8
-6
-4
2
-2
4
6
8
-2
¡
Queremos calcular x 1 −
t
2
¢
-4
Tenemos que tener cuidado en el orden en el que realizamos los pasos, pues la
solución no es igual. Seguiremos el orden:
1)Reflexión.
2)Desplazamiento.
3)Cambio de escala.
-2
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TRANSFORMACIONES DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE
Ejemplo: x (t)
4
2
-8
-6
-4
2
-2
4
6
8
-2
¡
Queremos calcular x 1 −
t
2
¢
-4
Tenemos que tener cuidado en el orden en el que realizamos los pasos, pues la
solución no es igual. Seguiremos el orden:
1)Reflexión.
2)Desplazamiento.
3)Cambio de escala.
-2
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TRANSFORMACIONES DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE
Primero Reflexión: x (−t)
4
2
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
2
4
6
8
6
8
-2
Segundo desplazamiento:
-4
x (1 − t)
4
2
-8
-6
-4
-2
¢
¡
Tercero cambio de escala: x 1 − 2t
-2
4
2
-8
-6
-4
2
-2
4
-2
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PROPIEDADES DE LAS SEÑALES
1. PERIODICIDAD.
Una señal en tiempo continuo es periódica si: x (t) = x (t + T ) ∀t
T se denomina el periodo de las señales. Para señales continuas no está definido
el periodo.
Para secuencias o señales discretas también se definen como periódicas si:
x [n] = x [n + N ] ∀n N ∈ Z
3
¿Es periódica la siguiente señal?
2
1
0
-1
-2
-3
-40
-30
-20
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-10
0
10
20
30
40
PROPIEDADES DE LAS SEÑALES
3
2
1
0
-1
-2
-3
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
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SISTEMAS LINEALES.
PROPIEDADES DE LAS SEÑALES
2. SIMETRÍA PAR
x (t) = x (−t)
x [n] = x [−n]
4
2
-6
-8
-4
2
-2
6
4
8
-2
-4
x [n]
3
3
2
1
-8
-6
-4
1
-2
-2
2
0
-2
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4
6
8
PROPIEDADES DE LAS SEÑALES
2. SIMETRÍA IMPAR
x (t) = −x (−t)
x [n] = −x [−n]
4
2
-6
-8
-4
2
-2
6
4
8
-2
-4
x [n]
3
-2
1
-8
-6
-4
-2
2
0
4
6
8
-1
-2
-3
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PROPIEDADES DE LAS SEÑALES
Una señal no simétrica se puede descomponer en una parte par y otra impar
x (t) = xp (t) + xi (t)
Siendo :
xp (t) =
1
2
[x (t) + x (−t)]
xi (t) =
1
2
[x (t) − x (−t)]
En secuencias:
x [n] = xp [n] + xi [n]
xp [n] =
1
2
[x [n] + x [−n]]
xi [n] =
1
2
[x [n] − x [−n]]
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SEÑALES BÁSICAS EN TIEMPO CONTINUO
a) Señal Sinusoidal.
x (t) = Asen (ωt + ϕ)
2
Periódica con:
1.5
T =
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
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SEÑALES BÁSICAS EN TIEMPO CONTINUO
b) Señal escalón.
0 t<0
1 t>0
u (t) =
1
-6
-8
-4
2
-2
6
4
8
-1
u (1 − t)
-8
-6
1
-4
2
-2
4
-1
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6
8
2π
ω
SEÑALES BÁSICAS EN TIEMPO CONTINUO
c) Pulso Rectangular.
Π
¡ t−t ¢
o
τ
¡
¡
¢¢
¡
¡
¢¢
= u t − to − τ2 − u t − to + τ2
1
-6
-8
Π
-4
¡ t−3 ¢
4
2
-2
6
4
8
-1
Pulso rectangular centrado en 3 y con anchura 4.
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SEÑALES BÁSICAS EN TIEMPO CONTINUO
d) Delta de Dirac.
-4
δ (t)
2
-2
δ (t + 2)
4
-4
Cumple las siguientes propiedades:
t2
a)
⎧1 ∀ t 1 < 0 < t 2
∀ otros casos
∫ δ( t)dt = ⎨⎩0
Area unidad
t1
b)
⎧0 t ≠ 0
δ( t ) = ⎨
⎩∞ t = 0
Amplitud nula para todo t, excepto en t = 0
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-2
2
4
SEÑALES BÁSICAS EN TIEMPO CONTINUO
d) Delta de Dirac.
δ (t)
x( t ).δ( t ) = x( 0 ).δ( t )
x( t ).δ( t − t 0 ) = x( t 0 ).δ( t − t 0 )
x( t − t 0 ).δ( t − t 0 ) = x( 0 ).δ( t − t 0 )
x( t − t 0 ).δ( t ) = x( −t 0 ).δ( t )
∞
∞
−∞
t
−∞
∫ x( t ).δ( t − t 0 ) dt = ∫ x( t 0 ).δ( t − t 0 ) dt = x( t 0 )
⎧0
δ( τ ).dτ =⎨
⎩1
−∞
∫
t < 0⎫
⎬ = u( t )
t > 0⎭
t
⎧0
δ( τ − t 0 ).dτ =⎨
⎩1
−∞
∫
t < t0 ⎫
⎬ = u( t − t 0 )
t > t0 ⎭
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SEÑALES BÁSICAS EN TIEMPO CONTINUO
e) Función sinc
sinc (t) =
sen(πt)
πt
1
sinc (0) = 1
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
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SEÑALES BÁSICAS EN TIEMPO CONTINUO
e) Función exponencial real
x (t) = Aeat A∈ R, a ∈ R
Si a >0 exponencial creciente
Si a <0 exponencial decreciente
x (t) = 2e−0.3t
x (t) = 2e0.3t
9
9
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
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SEÑALES BÁSICAS EN TIEMPO CONTINUO
e) Función exponencial compleja
x (t) = Aeat A∈ C, a ∈ C
A = |A|ejθ
a = r + jω0
x (t) = |A|ert (cos (ω0 t + θ) + jsin (ω0 t + θ))
Im{x (t)}
Re{x (t)}
6
6
4
4
2
2
0
0
-2
-2
-4
-4
-6
-6
-8
-10
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-8
-5
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-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5