08 Características Externas y Regulación

Transformador
CARACTERÍSTICAS EXTERNAS y REGULACIÓN
Norberto A. Lemozy
1 CARACTERÍSTICAS EXTERNAS
Se denomina variable entre a una magnitud que está determinada entre dos puntos, tal como
una diferencia de potencial o una velocidad, mientras que una variable a través es aquella
magnitud que se manifiesta a través de un conductor o un eje, como ser la corriente, una cupla o
una fuerza.
La característica externa de una máquina es la curva que relaciona dos magnitudes de salida,
cuyo producto da una potencia. En general se representa una variable entre en función de una
variable a través como se muestra en la figura 1.
Variable entre
A
P
0
B
Variable
a través
Fig. 1. Característica externa genérica.
El punto A corresponde a la máquina funcionando en vacío y el punto B a la máquina en
cortocircuito o bloqueada para que no se mueva. En ambos la potencia es nula. Ambos puntos
existen en todas las características externas, pero podrían ser inalcanzables por superar la
capacidad térmica o mecánica de la máquina.
En las máquinas que suministran energía eléctrica, como los transformadores y los
generadores, la característica externa es la tensión en función de la corriente a la salida de la
misma, figura 2a.
En las máquinas que suministran energía mecánica, motores, la característica externa es la
velocidad de rotación en función de la cupla y si es de translación, la velocidad lineal en función
de la fuerza, figuras 2b y 2c respectivamente.
Algunos autores muestran las características externas con los ejes permutados.
Cuando las máquinas son reversibles, es decir se puede invertir el flujo de energía, tal como
ocurre en todas las máquinas eléctricas, las características externas se extienden a los otros
cuadrantes. Por ejemplo en los cuadrantes segundo y cuarto la potencia es negativa es decir la
energía circula desde la salida hacia la entrada, en el caso de un transformador sería desde el
secundario hacia el primario, al revés de lo que ocurre en el primer y tercer cuadrantes. Estos
1
funcionamientos son más frecuentes en los accionamientos con motores eléctricos y no siempre
son deseables.
Ω
U
0
a
v
0
I
b
T
0
c
F
Fig. 2. Características externas.
2 REGULACIÓN
En general interesa conocer la capacidad de la máquina de mantener constante la variable
entre, a medida que cambia la variable a través (carga), para cuantificar esa variación se define la
regulación como la diferencia de los valores de la variable entre en vacío y para un dado estado
de carga, generalmente el nominal, referida al valor nominal de esa variable. La regulación suele
indicarse con la letra griega delta mayúscula ∆ y es una magnitud en por unidad (pu).
∆[01 ] =
Variable entre en vacío - Variable entre en carga
Variable entre nominal
Para el caso de un motor, resulta:
∆=
Ω0 − Ω
Ωn
(1)
(2)
Auque las variables sean magnitudes fasoriales, para el cálculo de la regulación se toman los
respectivos módulos. Por ejemplo en el caso de un transformador, resulta:
∆=
U& 20 − U& 2
U 2n
(3)
La regulación puede dar un número positivo, negativo o cero. Por ejemplo en el caso de un
generador o de un transformador, una regulación positiva significa que al aumentar la carga baja
la tensión, este comportamiento es característico en esas máquinas cuando tienen cargas resistivoinductivas; el caso contrario es característico con cargas capacitivas. Una regulación igual a cero
indica que no hay variación de la tensión entre vacío y carga, cosa muy poco frecuente.
En el caso particular de los transformadores, como su impedancia interna es muy reducida, la
variación de la tensión es muy pequeña y la regulación es próxima a cero. En los generadores
sincrónicos, o alternadores, ocurre todo lo contrario y la regulación es un número grande, que
puede superar el 100 %.
Como en los sistemas de distribución de energía eléctrica, un indicador de calidad del
producto es la constancia de la tensión, conviene que los elementos de dicho sistema tengan una
2
regulación lo más pequeña posible, cosa que los transformadores cumplen muy bien; pero como
se verá oportunamente, en los alternadores, se deben colocar sistemas de control realimentados
que ajustan la corriente de excitación, a fin de mantener constante la tensión de salida y
compensar su mala regulación intrínseca.
3 REGULACIÓN EN TRANSFORMADORES
3.1 Medición directa
La regulación de una máquina se puede determinar en forma directa, por medio de un ensayo
en carga, como se analizó en el capítulo de rendimiento de transformadores, pero como en el caso
del transformador la variación de la tensión de salida es muy pequeña, el error que resulta al
hacer la diferencia de las tensiones en vacío y en carga, puede ser excesivo e invalidar la
medición, con el agregado de los inconvenientes propios de aplicar la carga nominal a una
máquina de gran potencia. Por lo tanto se prefieren las determinaciones indirectas.
3.2 Determinación a partir del circuito equivalente
Como ya se dijo, el circuito equivalente del transformador es un modelo muy exacto y fácil de
determinar, por lo tanto en todos los casos se prefiere calcular la regulación a partir de ese
modelo. Como en este caso interesa la caída de tensión que se origina en la impedancia serie de
dicho circuito y, además, en condiciones de carga próxima a la nominal, la influencia de la
corriente de vacío del transformador es despreciable, se puede trabajar con un circuito
equivalente aproximado, sin rama en paralelo, como se muestra en la figura 3 que simplifica
notablemente el cálculo y brinda resultados muy ajustados a la realidad.
re
xe
I2
U´=
1 U20
U2
Fig. 3. Circuito equivalente aproximado.
Por comodidad conviene trabajar con las magnitudes referidas al secundario, aplicando la
segunda ley de Kirchhoff al circuito de la figura 3, resulta:
U&
U& 20 = 1 = U& 1′ = U& 2 + (re + jxe )I&2
a
(4)
El diagrama fasorial que le corresponde a esta ecuación, considerando una carga resistivoinductiva, es el mostrado en la figura 4, donde, para mayor claridad, las caídas de tensión se han
representado muy ampliadas.
Para el cálculo de la regulación interesan los módulos de las tensiones, por lo tanto la ecuación
(4) se puede reescribir haciendo las proyecciones y aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo
OAB:
U 20 =
(re I 2 + U 2 cos ϕ 2 )2 + (xe I 2 + U 2 sin ϕ 2 )2
3
(5)
ϕcc
U 20 B
j xe I 2
re I 2
U2
ϕ2
I2
0
A
Fig. 4. Diagrama fasorial para carga inductiva.
Como normalmente la alimentación de los transformadores está ajustada para que suministren
su tensión nominal a la salida, se puede suponer:
U 2 = U 2 n = 1 01
(6)
Expresando la regulación definida por la expresión (3) en por unidad y considerando tensión
nominal a la salida, resulta:
U
U
∆ = 20 − 2 = U 20 [01 ] − 1
(7)
U 2n U 2n
Tomando todas las magnitudes de la ecuación (5) en por unidad ya tensión de salida nominal,
resulta:
U 20 [01 ] =
(re I 2 + cos ϕ 2 )2 + (xe I 2 + sin ϕ 2 )2 (todo en pu y a U2n)
(8)
Entonces la regulación queda:
∆[01 ] =
(re I 2 + cos ϕ 2 )2 + (xe I 2 + sin ϕ 2 )2 − 1
(Todo en pu y a U2n)
(9)
Es importante tener en cuenta el signo del ángulo de fase ϕ2 : se debe considerar positivo para
cargas inductivas y negativo para cargas capacitivas y consecuentemente, en este último caso, el
signo del seno de ϕ2 , también será negativo.
Como en esta expresión la regulación aparece como una diferencia entre dos cantidades muy
próximas entre sí, es necesario realizar los cálculos con no menos de seis cifras significativas a
fin de que el resultado resulte suficientemente exacto. Siempre que no se desprecien cifras en
cálculos intermedios, todas las calculadoras actuales brindan con creces esa exactitud.
Si para una corriente de carga dada, por ejemplo la nominal, se representa la regulación en
función del ángulo de fase ϕ2 de la carga, resulta la curva de la figura 5 en la que se tomó:
re = 0,01 = 1%
xe = 0,05 = 5%
Valores típicos de un transformador de distribución.
4
(10)
En la figura 5 se puede observar que para un dado ángulo de fase de una carga capacitiva, la
regulación se vuelve negativa, lo que significa que la tensión aumenta con la carga. Este
fenómeno se suele producir en las redes de distribución eléctrica, en horarios nocturnos, donde se
reduce la carga activa de los transformadores y aumentan su influencia las capacidades de los
cables.
0,06
∆
0,04
0,02
-90
-60
0
-30 -0,02 0
30
60
90
ϕ
-0,04
-0,06
Fig. 5. Regulación en función del ángulo de fase de la carga.
3.3 Valor máximo
En la curva de la figura 5 se puede observar que hay un máximo, en efecto para una corriente
de carga I2 constante, al variar el ángulo de fase de la carga, el extremo de U2 describe una
circunferencia con centro en el punto B, figura 4, y la máxima diferencia entre los módulos de
U20 y U2 y se presenta cuando ambas están alineadas, para lo cual debe se ϕ2 = ϕcc .
Con los datos utilizados en la curva de la figura 5, resulta
tgϕ cc =
xe 0,05
=
= 5 ⇒ ϕ cc = 78,7 º = ϕ 2
re 0,01
(11)
Con las tensiones en carga y en vacío alineadas, la diferencia entre las mismas es igual a la
caída de tensión en la impedancia equivalente.
∆U 2 = U 20 − U 2 = z e ⋅ I 2
(12)
Si la corriente I2 es la nominal, esa caída de tensión es la tensión de cortocircuito del
transformador, por lo tanto se puede decir que la regulación siempre será igual o menor a ese
valor.
∆ ≤ U cc
(13)
3.4 Un poco de historia
Si bien los sistemas de cálculo actuales permiten resolver la ecuación (9) con las cifras
necesarias y sin ningún inconveniente, no siempre fue así. Recién en la década de los años 70
aparecieron en el mercado las primeras calculadoras electrónicas y eran mucho menos elaboradas
que las de hoy en día. Anteriormente los ingenieros realizaban la mayoría de sus cálculos con un
dispositivo analógico denominado regla de cálculo que escasamente daba tres cifras
significativas y por lo tanto la ecuación (9) era inaplicable.
A fin de poder resolver ese problema, el cálculo se encaró de otra forma: primero se
proyectaron las caídas de tensión en la dirección de U2 y de su perpendicular, figura 6, de esa
forma queda un triángulo rectángulo con un cateto mucho OA mayor que el otro AB y luego para
5
resolver la raíz cuadrada que resulta de aplicar el teorema de Pitágoras y obtener U20 , hicieron un
desarrollo en serie de potencias. Como la serie converge con mucha rapidez, es suficiente con
tomar los dos primeros términos, los que además se suman en lugar de restarse como en la
expresión (9), y de esa forma se resolvía el problema de los errores de cálculo.
La ecuación a la que se llega es la siguiente:
2
I
2
∆ = I 2 (re cos ϕ 2 + xe sin ϕ 2 ) + 2 (re sin ϕ 2 − xe cos ϕ 2 ) .(todo en pu y a U2n)
2
(14)
Es probable que esta expresión o alguna variante de ella, se encuentre en algún libro o alguna
norma.
Cuando la carga es inductiva el segundo término de la (14) es mucho menor que el primero y
se lo puede despreciar, resultando la siguiente expresión reducida:
∆ ≅ I 2 (re cos ϕ 2 + xe sin ϕ 2 )
(15)
Con algunas variantes, esta expresión suele emplearse para el cálculo de las caídas de tensión
en líneas.
U 20 B A
j xe I 2
re I 2
U2
ϕ2
I2
0
Fig. 6. Diagrama fasorial para carga inductiva y proyecciones.
4 CARACTERÍSTICAS EXTERNAS DE LOS TRANSFORMADORES
Estas curvas características se pueden obtener mediante ensayos en carga, pero, como ya se
dijo, no es lo usual en el caso de transformadores; en cambio resulta mucho más conveniente
calcularlas a partir del circuito equivalente de la figura 3 y empleando la ecuación (5). En efecto,
si de esta última expresión se despeja la tensión de salida U2 resulta la siguiente ecuación
cuadrática:
[(
)
]
U 22 + 2(re cosϕ 2 + xe sin ϕ 2 )I 2 ⋅ U 2 + re2 + xe2 I 22 − U 202 = 0
(16)
En la figura 7 se muestran características externas de un transformador normal con cargas de
factor de potencia igual a 1; 0,7 inductivo y 0,7 capacitivo obtenidas con la ecuación (16). En las
mismas se puede apreciar la escasa variación de la tensión.
De acuerdo a la ecuación (16) las características externas constituyen a una familia de elipses
que pasan por los puntos de funcionamiento en vacío y en cortocircuito.
6
U °/1
1,1
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0,7 ind
Resistiva
0,7 cap
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
I °/1
Fig. 7. Características externas.
Si se continuasen las curvas de la figura 7 hasta el cortocircuito del transformador, todas
concurrirían al punto:
U2 = 0
I 2 cc =
U 20
r +x
2
e
(17)
2
e
Esa corriente de cortocircuito, con tensión nominal aplicada en el primario, es muy elevada y
los transformadores pueden admitirla solamente unos pocos segundos. Hay un ensayo
normalizado para verificar la capacidad del transformador para soportar esas condiciones
extremas.
Si el ángulo de fase de la carga coincide con el ángulo de fase de la impedancia serie del
transformador, ángulo de cortocircuito, como ya se dijo, las tensiones de salida en vacío y en
carga están alineadas y la diferencia entre las mismas (12) es proporcional a la corriente de carga,
por lo tanto la característica externa es una recta.
En los transformadores de gran potencia y de alta tensión, la resistencia equivalente es
considerablemente menor que la reactancia de dispersión y se podría despreciar su influencia en
la tensión de salida.
Con la premisa anterior y considerando los casos extremos de carga inductiva pura y
capacitiva pura, las características externas se transforman en rectas. Esto se puede demostrar a
partir de la ecuación (16) o de los respectivos fasoriales.
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5 BIBLIOGRAFÍA
EE Staff del MIT: “Circuitos Magnéticos y Transformadores” Editorial Reverté, 1943.
Alberto Ricardo Gray: “Máquinas Eléctricas” Tomo I, EUDEBA, 1965.
Corrales Martín J.: “Teoría, Cálculo y construcción de Transformadores” Editorial Labor,
1945.
Moeller F. y Werr Th.: “Electrotecnia General y Aplicada” Tomo II, primera parte, Editorial
Labor, 1972.
Ing. Norberto A. Lemozy
2009
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