81 - licimep.org

El Cálculo. Louis Leithold. Séptima edición en español. ISBN 970-613-182-5.
Ejercicios de repaso para el capítulo 2. Ejercicio 81, página 195.
Un barco zarpó a mediodía y viaja hacia el oeste a 20 nudos. A las 6 P.M., un segundo barcó zarpó del mismo puerto
y navega hacia el noroeste a 15 nudos. ¿Qué tan rapido se alejan los dos barcos cuando el segundo a recorrido 90 milas
náuticas?
Solución:
Un nudo es una medida de la velocidad utilizada en la navegación marítima y aérea. Es igual a una milla naútica por
hora. A su vez, una milla naútica es igual a 1,852 metros.
Para resolver este problema se sugiere revisar el ejemplo 2 (página 185) de la sección 2.10 Tasas de variación relacionadas.
El segundo barco viaja a 15 nudos, así que 90 millas náuticas las recorre en 6 horas; es decir, el segundo barco lleva 90
millas náuticas a la medianoche.
A la medianoche el primer barco lleva ya 12 horas viajando, y como recorre 20 millas náuticas por hora, ya está a 240
millas náuticas del puerto.
En el dibujo vemos la posición de los dos barcos
z
y=90 millas náuticas
A=45 grados
x=240 millas náuticas
Para sacar la distancia z entre ellos, utilizamos la ley de los cosenos. En efecto,
z 2 = x2 + y 2
2xy cos A
Efectuando la diferenciación implicita, tenemos
2z
dz
dx
dy
= 2x
+ 2y
dt
dt
dt
2x
dy
dx
+ 2y
dt
dt
cos A
que despejando nos queda
dz
=
dt
x
dx
dy
+y
dt
dt
dy
dx
+y
dt
dt
z
x
cos A
Susituyendo los valores porporcionados en el problema, se encuentra
p
2
240 20 + 90 15 (240 15 + 90 20)
p
dz
1
2
p
r
=
=
p
p 2700 2
dt
2
30 73 24 2
2402 + 902 2 240 90
2
En resumen, la velocidad relativa es de 12.44 nudos
1
6150 = 12:44