1 Si los cuerpos que tienen masa se atraen, ¿por qué no vemos que

1
Si los cuerpos que tienen masa se atraen, ¿por qué no vemos que se atraigan dos pupitres de la clase?
Solución:
Efectivamente, los dos pupitres se atraen, de acuerdo con la ley de gravitación universal, pero en la misma hay un
factor que es muy pequeño, que es el valor de G. Por lo tanto, si las masas de los cuerpos que se atraen son muy
pequeñas, la multiplicación por G es muy pequeña y el módulo de la fuerza será muy pequeño, tanto que es
inapreciable.
2
Enuncia la ley de Gravitación universal. Escribe su expresión matemática y las unidades de cada uno de
sus términos.
Solución:
Dos cuerpos de masa m1 y m2, separados por una distancia d, se atraen con una fuerza directamente proporcional
a las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos.
m ⋅m
F=G 1 2 2
d
F, su unidad es el Newton, las masas su unidad es el kg y la distancia, en metros, donde G es:
N ⋅ m2
G = 6,67 ⋅ 10 -11
kg 2
3
¿Qué es el peso de los cuerpos? Escribe y explica la ley de gravitación universal aplicada al peso de los
cuerpos.
Solución:
El peso de los cuerpos es la fuerza con la que la Tierra los atrae. Es una fuerza dirigida hacia el centro de la Tierra
y aplicada en el centro de gravedad del cuerpo. La intensidad P del peso de un cuerpo situados sobre la superficie
terrestre viene expresada por la ley de gravitación universal:
M ⋅m
P=G T 2
RT
Siendo MT la masa de la Tierra, m la masa del cuerpo y RT es el radio de la Tierra.
4
Calcula la fuerza de atracción entre dos personas de 80 kg y 40 kg, situados a una distancia de 2 m.
Solución:
F=G
Mm
d2
La fuerza es:
F = 6,67 · 10 −11
80 · 40
22
= 5,3 · 10 − 8 N
Sustituyendo:
5
Un explorador espacial de 50 kg de masa llega a un asteroide. Baja de su nave, coloca una báscula en el
suelo y se pesa siendo su peso de 5 N. ¿Cuál es la gravedad del asteroide?
Solución:
El peso en el asteroide es: peso = aast · m
peso
5
a ast =
=
= 0,1 m/s 2
m
50
Por tanto:
6
Calcula el peso de un hombre de 75 kg en la superficie de Marte.
23
6
Datos: masa de Marte = 6,4 · 10 kg; diámetro de Marte = 6,78 · 10 m.
Solución:
F=G
Mm
d2
El peso es:
F = 6,67 · 10 −11
6,4 · 10 23 · 75
(6,78 · 10 6 / 2) 2
= 279 N
Sustituyendo:
7
Calcula el peso de un cuerpo de 60 kg a una altura sobre la superficie terrestre igual al radio de la Tierra.
24
(RT = 6 370 km; MT = 5,98 · 10 kg)
Solución:
F=G
Mm
d2
El peso es:
F = 6,67 · 10 −11
5,98 · 10 24 · 60
(2 · 6,37 · 10 6 ) 2
= 147 N
Sustituyendo:
8
22
Sabiendo que la masa de la Luna es 7,34 · 10
masa de 5 kg en la superficie lunar.
6
kg y el radio lunar 1,74 · 10 m, determinar el peso de una
Solución:
La fuerza de la gravedad sigue la siguiente ecuación:
Mm
7,34 · 10 22 · 5
F = G 2 = 6,67 · 10 −11
= 8,09 N
2
d
1,74 · 10 6
(
9
)
Hallar la atracción gravitatoria entre dos mochilas que tienen una masa de 4 y 5 kg cada una cuando en la
clase están a una distancia de 4 metros.
Solución:
m ⋅ m'
F=G
d2
F = 6,67 ⋅ 10 -11
N ⋅ m 2 4 kg ⋅ 5 kg 6,67 ⋅ 20
=
N = 8 , 33 ⋅ 10 −11N
16
kg 2 ( 4 m ) 2
10 ¿Qué factores hacen que el peso de un cuerpo no sea igual en la Tierra que en la Luna?
Solución:
El peso de un cuerpo no es igual en la Tierra que en la Luna porque la aceleración de la gravedad es distinta. Y
dicha aceleración es distinta porque los factores de los que depende son diferentes: la masa de la Tierra es mayor
que la de la Luna y el radio de la Tierra también es mayor que el de la Luna.
11 Calcular el peso de una persona de 70 kg de masa cuando está subido en un avión a 9000 metros de altura.
Solución:
El peso de un cuerpo a una altura de 9 000 metros será:
MT ⋅ m
5,98 ⋅ 10 24 kg ⋅ 70 kg
4,186 ⋅ 10 26
P =G
=
G
= 6,67 ⋅ 10 −11
N=
2
6
3
2
(R T + 9 000)
(6,37 ⋅ 10 m + 9 . 10 m)
4,069 ⋅ 10 13
6,67 ⋅ 10 −11 ⋅ 1,029 ⋅ 10 13 N = 686 N
12 ¿De qué factores depende el valor de la aceleración de la gravedad en cualquier astro? Deduce su
expresión matemática.
Solución:
El valor de la aceleración de la gravedad depende de la masa del astro y de su radio.
El peso del cuerpo viene dado por la siguiente expresión:
P=m·g
Según la ley de la gravitación universal:
M ⋅m
P=G A 2
RA
De estas dos igualdades:
M ⋅m
M
m ⋅ g = G A 2 → g = G 2A
RA
RA
7
13 Calcula la masa de un planeta, sabiendo que el radio del mismo es de 5,2 · 10 m y que un hombre en la
superficie del mismo tiene un peso de 25 N y en la Tierra tiene un peso de 500 N.
Solución:
F=G
Mm
d2
La fuerza de la gravedad sigue la siguiente ecuación:
La fuerza sobre la Tierra será: FT = g · m
F 500
m= =
= 51 kg
g 9,8
La masa del cuerpo será:
Fp = G
Mp m
Rp
2
La fuerza sobre el planeta será:
Mp =
Fp R p
Gm
2
=
25 · (5,2 · 10 7 ) 2
6,67 · 10 −11 · 51
= 1,99 · 10 25 kg
Despejando la masa del planeta:
14 Calcular la aceleración de la gravedad en un punto situado a 9 000 km de altura sobre la superficie de la
Tierra.
Solución:
g= G
MT
N ⋅ m2
5,98 ⋅ 10 24 kg
= 6,67 ⋅ 10 −11
=
6 2
2
(R T + 9 ⋅ 10 )
kg
(6,37 ⋅ 10 6 m + 9 . 10 6 m) 2
= 6,67 ⋅ 10 −11
5,98 ⋅ 10 24
N = 6,67 ⋅ 10 −11 ⋅ 2,53 ⋅ 1010 m/s 2 = 1,69 m/s 2
2,36 ⋅ 1014
15 ¿A qué distancia de la superficie de la Tierra la aceleración de la gravedad es la tercera parte que a nivel del
mar?
Solución:
g
g ' = = 3,27 m/s 2
3
MT
N ⋅ m2
5,98 ⋅ 10 24 kg
3,27 m/s 2 = G
= 6,67 ⋅ 10 −11
→
2
2
(R T + h)
kg
(6,37 ⋅ 10 6 m + h ) 2
N ⋅ m2
⋅ 5,98 ⋅ 10 24 kg
kg 2
= 121,98 ⋅ 10 12 m 2
3,27 m/s 2
6,67 ⋅ 10 −11
(6,37 ⋅ 10 6 m + h ) 2 =
6,37 ⋅ 10 6 m + h = 121,98 .10 12 m 2 = 11,04 ⋅ 10 6 m
h = 11,04 ⋅ 10 6 m − 6,37 ⋅ 10 6 m = 4,67 ⋅ 10 6 m = 4 670 km
16 Calcula la aceleración de la gravedad a 750 km de Marte.
23
6
Datos: masa de Marte = 6,4 · 10 kg; diámetro de Marte = 6,78 · 10 m
Solución:
a =G
M
d2
La aceleración es:
a = 6,67 · 10 −11
6,4 · 10 23
(6,78 · 10 6 / 2 + 7,5 · 10 5 ) 2
= 2,49 m/s 2
Sustituyendo:
17 Hallar en qué punto situado en la línea que une dos masas que distan 9 metros, la fuerza gravitatoria
ocasionada por las mismas sobre otro cuerpo que se situara allí es nula. La masa de una de ellas, es nueve
veces la masa de la otra.
Solución:
Si situamos un cuerpo de masa M en dicho punto, las fuerzas de atracción de las dos masas deben de ser iguales.
Si situamos un cuerpo de masa M en dicho punto, las fuerzas de atracción de las dos masas
deben de ser iguales.
9m⋅M
m⋅M
9
1
G
=G
→ 2 =
→ 9 ( 9 − x) 2 = x 2
2
2
2
x
(9 − x)
x
(9 − x)
9 ( 81 - 18x + x 2 ) = x 2 → 8 x 2 − 162 x + 729 = 0
x=
162 ± 26244 − 23328 162 ± 54
=
→ x = 16 m; x = 6 ,75 m
16
16
De las dos soluciones 16 m no está entre las dos masas.
La solución es a 6,75 m de la masa más grande y a 2,25 m de la pequeña.
18 ¿Cómo variará el peso de un cuerpo cuando se desplaza a una altura sobre la superficie de la Tierra
equivalente al radio de la misma?
Solución:
Si el peso de un cuerpo de masa m, en la superficie de la Tierra es:
M ⋅m
P =G T 2
RT
El peso de dicho cuerpo a una altura equivalente al radio de la Tierra será:
MT ⋅ m
M ⋅m
M ⋅m P
P'= G
=G T 2 =G T 2 =
2
4
( RT + RT )
( 2R T )
4 RT
19 Calcular la fuerza resultante sobre la masa de 50 kg de la figura.
Solución:
m ⋅m
F=G 1 2 2
d
F1 = 6,67 ⋅ 10 -11
N ⋅ m 2 10 3 kg ⋅ 50 kg
= 3,35 ⋅ 10 -8 N
kg 2
10 2
F2 = 6,67 ⋅ 10 -11
N ⋅ m 2 500 kg ⋅ 50 kg
= 6,67 ⋅ 10 -8 N
kg 2
52
Σ F = F2 − F1 = 6,67 ⋅ 10 -8 N − 3,35 ⋅ 10 -8 N = 3,32 ⋅ 10 -8 N
Estará dirigida hacia la masa de 500 kg.
20 Calcular el período de revolución de un satélite artificial que gira alrededor de la Tierra a 6 000 km de
distancia.
Solución:
g= G
MT
N ⋅ m2
5,98 ⋅ 10 24 kg
= 6,67 ⋅ 10 −11
=
6 2
2
(R T + 6 ⋅ 10 )
kg
(6,37 ⋅ 10 6 m + 6 . 10 6 m)2
= 6,67 ⋅ 10 −11
5,98 ⋅ 10 24
N = 6,67 ⋅ 10 −11 ⋅ 3,91 ⋅ 1010 m/s 2 = 2,61 m/s 2
1,53 ⋅ 1014
Esta es la aceleración centrípeta sobre el satélite:
ac = g
2,61 m/s 2 =
T=
v2
4 π2
= ω 2 ⋅ (RT + h) = 2 ⋅ (R T + h) → T =
(RT + h)
T
4π2 ⋅ (RT + h)
2,61
4 ⋅ 3,142 ⋅ (6,37 ⋅ 106 + 6 ⋅ 106 )
= 13671,75 s.
2,61
21 Calcula el peso de un objeto de 50 kg a 850 km sobre la superficie de la Tierra.
24
(RT = 6 370 km; MT = 5,98 · 10 kg)
Solución:
F=G
Mm
d2
El peso es:
F = 6,67 · 10 −11
5,98 · 10 24 · 50
(6,37 · 10 6 + 8,5 · 10 5 ) 2
= 382 N
Sustituyendo:
22 ¿Cuánto pesará un cuerpo de 70 kg de masa en un planeta de masa 4,87 · 10
Solución:
Según la ley de gravitación universal:
24
kg y de radio 6 052 km?
P=G
MA ⋅ m
R 2A
P = 6,67 ⋅ 10 -11
N . m 2 4,87 ⋅ 10 24 kg ⋅ 70 kg
kg
2
6
( 6,052 ⋅ 10 m)
2
= 6,67 ⋅ 10 -11
3,41 ⋅ 10 26
3,66 ⋅ 10 13
N=
6,67 ⋅ 10 -11 ⋅ 0,93 ⋅ 10 13 N = 621,44 N
23 Hallar el periodo de la Luna cuando gira alrededor de la Tierra.
Datos:
8
24
22
DT-L = 380 000 km = 3,8 · 10 m. MT = 5,98 · 10 kg. ML = 7,34 · 10 kg
Solución:
La fuerza de atracción gravitatoria que actúa sobre la Luna es una fuerza centrípeta, puesto que está dirigida hacia
el centro de la Tierra y es perpendicular a la velocidad.
M ⋅M
ω 2 ⋅ (D T - L ) 2
v2
G T 2 L = ML ⋅
= ML ⋅
= ML ⋅ ω 2 ⋅ (D T - L )
D T- L
D T- L
D T -L
G
G
G
M T ⋅ ML
D
2
T -L
MT
D 2T -L
MT
D 2T -L
T=
= M L ⋅ ω 2 ⋅ (D T - L )
= ω 2 ⋅ (D T - L )
=
( 2 π )2
T2
⋅ (D T - L ) → T 2 =
4 ⋅ 3,14 2 ⋅ ( 3,8 ⋅ 10 8 ) 3
6,67 ⋅ 10 -11 ⋅ 5,98 ⋅ 10 24
4 π 2 ⋅ (D T - L ) 3
G ⋅ MT
= 2,36 ⋅ 10 6 s
24 Dos cuerpos de masas m y m' están situados a una distancia d. ¿Cómo varía la fuerza de atracción cuando
la distancia aumenta al triple?
Solución:
La fuerza de atracción de las dos masa cuando están a la distancia d es:
m ⋅ m'
F=G
d2
La fuerza de atracción de las dos masa cuando están a la distancia 3d es:
m ⋅ m'
m ⋅ m' F
F'=G
=G
=
9
(3 d)2
9d 2
Es decir, al aumentar la distancia al triple, la fuerza disminuye la novena parte.
16
25 ¿Qué distancia hay entre la Tierra y Marte si la fuerza de atracción es 4,31 · 10 N?
Datos:
24
Masa de la Tierra = 5,98 · 10 kg
Masa de Marte = 0,11 MT
Solución:
F=G
M T ⋅ MM
N ⋅ m 2 5,98 ⋅ 10 24 kg ⋅ 0,11 ⋅ 5,98 ⋅ 10 24 kg.
= 6,67 ⋅ 10 -11
=
2
(D T-M )
kg 2
(D T-M ) 2
4,31 ⋅ 1016 N =
2,62 ⋅ 10 38 N ⋅ m 2
→ D T-M =
(D T-M ) 2
2,62 ⋅ 10 38 N ⋅ m 2
= 0,78 ⋅ 1011 m = 0,78 ⋅ 10 8 km
4,31 ⋅ 10 16 N
26 ¿Qué es la energía? Escribe las distintas formas en las que se presenta.
Solución:
Es una propiedad de los cuerpos y sistema físicos que les permite experimentar cambios. Puede presentar
formas diversas y transformarse de una forma a otra.
Las distintas formas en las que se presenta son:
Energía cinética, asociada al movimiento de los cuerpos.
Energía potencial, asociada a la posición.
Energía interna, asociada a la cantidad de materia, constitución química y temperatura.
Energía eléctrica, asociada a los movimientos de las cargas por los conductores.
Energía nuclear, asociada al núcleo de los átomos.
Energía luminosa, asociada a la energía radiante.
27 a) Escribe la expresión de la variación de la energía potencial gravitatoria entre los dos puntos que se
representan en el dibujo, siendo el suelo el sistema de referencia.
b) ¿Cuánto vale la altura inicial cuando la masa está en el suelo? ¿Cómo es entonces la expresión de la
variación de la energía potencial?
Solución:
∆ E p = E P 1 − E P 0 = mgh 1 − mg h 0 = mg ( h 1 − h 0 )
a)
∆E p = E P 1 − 0 = E P 1 = m g h 1
b) Si la masa está en el suelo, h0 = 0 y EP0 = 0. Por tanto,
28 Enumera las cualidades o características de la energía.
Solución:
Son cualidades o características de la energía los siguientes aspectos:
El que se presenta en diversas formas y cuando los sistemas cambian pueden transformarse de unas formas de
manifestarse a otras.
Puede transferirse de unos sistemas a otros. Las posibles transferencias de energía son el trabajo y el calor.
Se puede transportar de unos sistemas a otros.
Se conserva en cualquier proceso. En todo cambio, la energía puede transformarse, pero la cantidad de energía
total permanece constante.
Se degrada. Cuyo significado es que en unas formas es más aprovechable que en otras.
29 Define la unidad de energía en el sistema internacional (S.I.). Escribe otras unidades de energía y su
equivalencia con la anterior.
Solución:
La unidad de energía en el (S.I.) es el julio (J) y se define como la energía necesaria para elevar el peso de
1 newton hasta 1 metro sobre la superficie terrestre.
El kilovatio - hora (kW h), que equivale a 3 600 000 julios.
La tonelada equivalente de petróleo (TEP), que equivale a 41 800 000 000 J.
La tonelada equivalente de carbón (TEC), que equivale a 29 300 000 000 J.
30 ¿Cómo se llama la energía asociada a la posición o los cambios de posición? Escribe dos formas de ella y
pon ejemplos de ambas.
Solución:
Se llama Energía potencial.
Dos formas de ella son, la gravitatoria y la elástica.
Un cuerpo a cierta altura o el agua de un pantano, son ejemplos de energía potencial gravitatoria.
Un muelle comprimido o un arco tensado, son ejemplos de energía potencial elástica.
31 ¿Qué es la energía? Escribe las distintas formas en las que se presenta.
Solución:
Es una propiedad de los cuerpos y sistema físicos que les permite experimentar cambios. Puede presentar
formas diversas y transformarse de una forma a otra.
Las distintas formas en las que se presenta son:
Energía cinética, asociada al movimiento de los cuerpos.
Energía potencial, asociada a la posición.
Energía interna, asociada a la cantidad de materia, constitución química y temperatura.
Energía eléctrica, asociada a los movimientos de las cargas por los conductores.
Energía nuclear, asociada al núcleo de los átomos.
Energía luminosa, asociada a la energía radiante.
32 Indicar si existe energía o no en las siguientes situaciones y, en caso afirmativo, qué forma de energía:
a) Una moto parada en la carretera.
b) Una moto moviéndose por la carretera.
c) Las estrellas.
d) El carbón.
e) Una pelota de tenis moviéndose por el aire.
f) La nieve cuando cae.
g) Agua en un vaso.
h) Un fluorescente encendido.
Solución:
Todas las situaciones tienen energía porque tienen capacidad para producir cambios.
a) Una moto parada en la carretera. Tiene energía interna del combustible.
b) Una moto moviéndose por la carretera. Tiene energía cinética, puesto que está en movimiento.
c) Las estrellas. Tienen energía interna.
d) El carbón. Tiene energía interna.
e) Una pelota de tenis moviéndose por el aire. Tiene energía cinética y potencial gravitatoria.
f) La nieve cuando cae. Tiene energía cinética y potencial gravitatoria.
g) Agua en un vaso. Tiene energía interna.
h) Un fluorescente encendido. Tiene energía luminosa.
33 a) ¿Qué objeto produce más cambios en la nieve al dejarlo caer desde una ventana, uno que tiene una
masa m, u otro, de masa el triple?
b) ¿Qué objeto produce más cambios en la nieve al dejarlo caer desde una ventana, uno de masa m que
cae desde el 2º piso, u otro, también de masa m, que cae desde el 8º piso?
c) Teniendo en cuenta las respuestas anteriores, ¿cómo se llama la energía que tienen los objetos que
están en la ventana? ¿De qué factores depende? Defínela.
Solución:
a) Produce más cambios el que tiene masa triple. Porque tiene más masa.
b) Produce más cambios el que se deja caer desde el piso más alto. Porque cae desde más altura.
c) Energía potencial gravitatoria. Depende de la masa del cuerpo y de la altura a la que se encuentra. Se
denomina energía potencial gravitatoria a la que tiene un cuerpo o un sistema debido a su posición con
respecto al centro de la Tierra.
34 De la energía que proporciona la gasolina se aprovecha en su movimiento el 25 %. ¿Cuántos litros se
aprovechan del depósito de un coche en el que cogen 48 litros? ¿Qué sucede con el resto?
Solución:
25% de 48 litros = 12 litros que se aprovechan.
El resto se disipa por el rozamiento y otra parte se tranforma en otras formas de energía.
35 a) ¿Qué produce más cambios en una pared, un objeto que choca contra ella cuando se mueve con una
velocidad, v, u otro, de la misma masa que se mueve con velocidad doble?
b) ¿Qué produce más cambios en una pared un objeto de masa m, que choca contra ella cuando se
mueve con una determinada velocidad, u otro, que se mueve con la misma velocidad pero tiene
mucha más masa?
c) Teniendo en cuenta las respuestas anteriores, ¿cómo se llama la energía que tienen los objetos
cuando se mueven. ¿De qué factores depende? Escribe su expresión matemática.
Solución:
a) Produce más cambios el objeto que tiene más velocidad.
b) Produce más cambios el objeto que tiene más masa.
2
c) Energía cinética. Depende de la masa y de la velocidad. Su expresión matemática es: EC = 1/2 m v
36 ¿Se puede hablar de calor y trabajo que contiene un cuerpo? ¿Por qué? Escribir ejemplos.
Solución:
No, porque el calor y el trabajo no son formas de energía, sino procesos para transferir energía de unos sistemas
a otros.
El trabajo realizado al aplicar una fuerza sobre un cuerpo para elevarlo a cierta altura aumenta su energía
potencial.
Al sumergir un objeto caliente en un recipiente de agua fría, hay una transferencia de energía del metal al agua
hasta que se igualan sus temperaturas.
37 ¿Qué tipo de energía tiene un objeto de masa m que está cayendo como muestra la figura en el instante
que su posición está a h metros del suelo?
Solución:
Tiene energía potencial por estar a una altura del suelo y cinética por estar moviéndose. La suma de las dos, es
la energía mecánica.
1
Em = m v 2 + m g h
2
En la situación de la figura la energía mecánica es:
38 Una de las cualidades de la energía es que se conserva. Si esto es así, ¿por qué decimos que la energía
que proporciona la gasolina se gasta?
Solución:
La energía se conserva en los cambios, pero tiende a transformarse en formas de energía menos aprovechables.
Así, parte de la energía interna (química) que proporciona la gasolina se transforma en energía interna (térmica) del
ambiente, y ésta no es aprovechable. A está pérdida de energía útil se le llama energía degradada o disipada.
39 Relacionar las dos columnas:
a) Energía cinética
1. Cantidad, constitución química y temperatura
b) Energía potencial
2. Núcleo de los átomos
c) Energía interna
3. Energía radiante
d) Energía eléctrica
4. Movimiento de los cuerpos
e) Energía nuclear
5. Movimientos de las cargas por los conductores
f) Energía luminosa
6. Posición
Solución:
a) - 4. b) - 6. c) - 1. d) - 5. e) - 2. f) - 3.
40 Describe las transformaciones energéticas que se dan en una central hidroeléctrica como la de la figura.
Solución:
En una central hidroeléctrica, la energía original es la potencial del agua, que se transforma en estas etapas:
Energía potencial del agua → Energía cinética del agua → Energía mecánica de la turbina → Energía eléctrica.
41 a) Escribe la expresión de la variación de la energía cinética del objeto que se está moviendo,
representado en el dibujo.
b) ¿Qué sucede cuando el objeto parte del reposo? Escribe su expresión.
Solución:
∆ Ec = E C 1 - E C 0 =
1
1
m v 12 - m v 02
2
2
a) La variación de la energía cinética:
∆ Ec = E C 1 - E C 0 =
1
1
m v 12 - m 0 2
2
2
b) Si parte del reposo, v0 = 0, luego:
1
∆ Ec = E C 1 = m v 12
2
42 Describe las transformaciones energéticas que se dan en una central térmica como la de la figura.
Solución:
Energía química (combustible) → Energía térmica → Energía mecánica → Energía eléctrica
43 ¿Puede tener un sistema, energía potencial negativa? ¿Qué significa? Haz un dibujo que explique el
significado.
Solución:
Si. Depende del sistema de referencia que se haya tomado. Significa que el cuerpo está en una posición en la
que su energía potencial es menor que la que tendría si estuviera en el sistema de referencia.
44 Deduce las unidades de la energía potencial y cinética a partir de sus fórmulas matemáticas.
Solución:
E p = m ⋅ g ⋅ h = kg ⋅ m/s 2 ⋅ m = N ⋅ m = J
Energía potencial:
Ec =
1
m ⋅ v 2 = kg ⋅ ( m/s) 2 = kg ⋅ m/s 2 ⋅ m = N ⋅ m = J
2
Energía cinética:
45 Se deja caer un cuerpo de masa m. Al pasar por el punto 1, está a una altura de h respecto del suelo y
lleva una velocidad v1. ¿Qué velocidad, v2, llevará cuando esté en el punto 2, a h/2 metros respecto al
suelo? Consideramos que sólo actúa la fuerza peso.
Solución:
E m = mgh +
1
mv 12
2
En el punto 1:
E m = mg
h 1
+ m v 22
2 2
En el punto 2:
mgh +
1
h 1
m v 12 = mg + m v 22
2
2 2
La energía se conserva:
2mgh + m v 12 = mgh + m v 22 → v 22 = gh + v 12 → v 2 = gh + v 12
46 En la caída de un cuerpo si no hay rozamiento. Razonar si aumenta o disminuye: la energía mecánica, la
energía cinética, la energía potencial y la velocidad.
Solución:
La energía mecánica se conserva porque no hay fuerzas externas. La energía cinética aumenta porque su
velocidad aumenta al ser un movimiento uniformemente acelerado. La energía potencial disminuye, porque su
altura es menor. La velocidad aumenta al ser un movimiento uniformemente acelerado.
47 a) ¿Qué condición se tiene que dar para que se cumpla el principio de conservación de la energía? ¿Si
no se cumple, ¿qué sucede?
b) Enuncia la ley de conservación de la energía.
Solución:
a) Que no haya fuerza de rozamiento. Si los hay, parte de la energía mecánica se disipa caloríficamente.
b) La energía mecánica se conserva siempre que no se realice un trabajo exterior, como el realizado por las
fuerzas de rozamiento.
48 Desde una altura de 15 metros se lanza verticalmente hacia abajo un objeto de 3 kg de masa, con una
velocidad inicial de 2 m/s. Si despreciamos el rozamiento con el aire. Hallar:
a) La energía cinética a 5 metros del suelo.
b) La velocidad en ese momento y con la que llega al suelo.
Solución:
a) La energía mecánica se conserva porque no hay rozamiento.
E m = 3 kg ⋅ 9,8 m/s 2 ⋅ 15 m + 1/ 2 ⋅ 3 kg ⋅ (2 m/s) 2 = 441 J + 6 J = 447 J
E m = 447 J = 3 kg ⋅ 9,8 m/s 2 ⋅ 5 m + E 'C → E 'C = 447 J - 147 J = 300 J
Ec =
1
mv 2
2
b)
La velocidad a 5 metros del suelo será:
600 J
300 J = 1/2 ⋅ 3 kg ⋅ v 2 → v 2 =
= 200 (m/s)2 → v = 200 ( m/s )2 = 14,14 m/s
3 kg
Al llegar será: Em = EP + EC = 0 + EC = 447 J
894 J
447 J = 1/2 ⋅ 3 kg ⋅ v 2 → v 2 =
= 298 (m/s)2 → v = 298 ( m/s )2 = 17,26 m/s
3 kg
49 Al dejar caer un objeto de 15 kg desde cierta altura se obtiene la siguiente tabla, en la que se ha
considerado nulo el rozamiento del aire. Complétala.
Altura
E.mecánica
E.cinética
0J
E.potencia l
1 470 J
5m
1176 J
0m
Solución:
Altura
10 m
E.mecánica
1 470 J
E.cinética
0J
E.potencial
1 470 J
5m
1470 J
735 J
735 J
2m
0m
1470 J
1470 J
1 176 J
1470 J
294 J
0J
50 En un determinado momento la energía mecánica de una pelota de tenis es de 19,3 J. ¿Cuál será su masa si
lleva una velocidad de 25 m/s y está a 2 m del suelo?
Solución:
La energía mecánica es la suma de la energía cinética y la energía potencial:
EM = EC + EP
2
19,3 = ½ · m · 25 + m · 9,8 · 2
Despejando de esta expresión la masa: m = 0,058 kg
51 Se deja caer una bola por una semiesfera como muestra la figura.
a) ¿Hasta dónde llegará si no hay rozamiento?
b) Describe las variaciones de las energía potencial y cinética en los puntos A, B y C.
Solución:
a) Si no hay rozamiento se conserva la energía mecánica y, por tanto, llegará hasta el punto C que está a la
misma altura que el A.
b) Siendo el suelo el sistema de referencia.
En el punto A, la EP = mgh, EC = 0, ya que está en reposo.
1
2
2
En el punto B, la EP = 0 porque la altura es nula. La EC = mv .
En el punto C, la EP = mgh, porque al no haber rozamiento llega hasta la misma altura.
La EC = 0, porque en ese instante la velocidad es cero.
52 Desde una cierta altura sobre el suelo se deja caer una pelota de goma.
a) ¿Hasta qué altura subirá al botar en el suelo, si consideramos el rozamiento nulo?
b) ¿Con qué velocidad llegará al suelo?
c) ¿Qué formas de energía intervienen en el proceso?
Solución:
a) y b) Si no hay rozamiento, se conserva la energía.
En el punto de donde se deja caer la pelota, la Em = Ep = mgh
1
2
2
En el suelo, la Em = EC = mv
1
mgh = mv 2 → v = 2gh
2
La velocidad con la que llega será:
1
Em = Ec = mv 2
2
La energía mecánica al salir será:
La Em al llegar a una altura h' será: Em = mgh'
2
1
v 2 ( 2gh )
2gh
mv 2 = mgh' → h' =
=
=
=h
2
2g
2g
2g
Se cumple:
Es decir, llega a la misma altura desde la que se dejó caer.
c) Epotencial ⇒ Ecinética ⇒ Eelástica de la goma ⇒ Ecinética ⇒ Epotencial
53 Una bala se dispara hacia arriba con la velocidad del sonido (340 m/s). Calcula la máxima altura que
alcanzará.
Solución:
Por el teorema de conservación de la energía mecánica: EMinicial = EM final
Teniendo en cuenta que la energía potencial inicial y la energía cinética final son cero la expresión anterior queda
2
como: Ec inicial = Ep final ⇒ ½ · m · vi = m · g · hf
Despejando, la altura máxima es: hf = 5 898 m
54 Una piedra de 10 kg cae desde una altura de 40 metros. ¿Con qué velocidad llega al suelo si sólo actúa la
fuerza peso? ¿Y si la piedra pesara 100 kg, con qué velocidad llegaría al suelo? ¿A qué conclusión se
llega?
Solución:
- La Emecánica se conserva, luego: (EC + EP)arriba = (EC + EP)abajo
1
10 kg ⋅ 9,8 m/s 2 ⋅ 40 m + 0 = 10 kg ⋅ v 2 + 0
2
v = 2 ⋅ 40m ⋅ 9,8 m/s 2 = 784(m/s)2 = 28 m/s
- Si la masa es de 100 kg.
100 kg ⋅ 9,8 m/s 2 ⋅ 40 m + 0 =
1
100 kg ⋅ v 2 + 0
2
v = 2 ⋅ 40m ⋅ 9,8 m/s 2 = 784(m/s)2 = 28 m/s
- La velocidad con que llega al suelo es independiente de su masa.
55 Indica la velocidad final que tendrá un coche si se deja caer en punto muerto desde la parte superior del
plano inclinado de la figura. Suponer que no hay rozamiento.
100
m
Solución:
Por el teorema de conservación de la energía mecánica: EMinicial = EM final
Teniendo en cuenta que la energía cinética inicial y la energía potencial final son cero la expresión anterior queda
2
como: Ep inicial = Ec final ⇒ m · g · hi = ½ · m · vf
Despejando, la velocidad final es: vf = 44,27 m/s
56 Indica si las frases son verdaderas (V) o falsas (F).
a) La energía potencial se conserva si no hay rozamiento.
b) Cuando un cuerpo cae, la energía mecánica aumenta.
c) Si no hay rozamiento, cuando un cuerpo cae, lo que pierde en Ep, lo gana en Ec.
d) Al caer un objeto, si hay rozamiento, la energía potencial es igual al trabajo que hace dicha fuerza.
e) Si sólo actúa el peso, al caer un objeto, la suma de la Ec y de la Ep se conserva.
Solución:
a) F. b) F. c) V. d) F. e) V