LA VISIÓN DEL OJO Y EL MÁXIMO DE WIEN DEL ESPECTRO SOLAR James M. Overduina) Astrophysics and Cosmology Group, Department of Physics, Waseda University, Okubo, Shinjuku-ku, Tokyo 169-855, Japan (Am. J. Phys. 71(6), 519 (2003), Traducción de G. Fuster) Se dice que los humanos vemos mejor a longitudes de onda amarillo-verde porque hemos evolucionado bajo un Sol cuyo espectro de cuerpo negro tiene su máximo en la parte verde del espectro. Sin embargo, el espectro solar en función de la frecuencia tiene su máximo en el infrarrojo. ¿Por qué el ojo humano no evolucionó para tener su sensibilidad máxima en este último rango, siendo que el ojo es un eficiente detector de fotones? El misterio puede resolverse si suponemos que la selección natural actuó de modo de maximizar la energía total detectada por la retina en un rango de longitudes de onda (cuyos límites máximo y mínimo están determinados por restricciones biológicas). De este modo se puede demostrar que nuestros ojos están en realidad perfectamente adaptados para vivir bajo un sol del tipo G2. Extendiendo este razonamiento podemos hacer conjeturas razonables acerca del tipo de visión que puede haber evolucionado en otros sistemas planetarios, como por ejemplo, el recientemente descubierto sistema alrededor de la enana roja Gliese 876. I. INTRODUCCIÓN Los libros de Astronomía nos enseñan que el ojo humano tiene su máxima sensibilidad en el rango óptico (con su máximo entre 500 y 560 nm) porque ha evolucionado para tomar ventaja del espectro de cuerpo negro del Sol. Cuando se evalúa en función de la longitud de onda, el máximo de Wien ocurre a 502 nm, de modo que este argumento aparece lógico a primera vista. La realidad sin embargo puede ser más complicada que esto, porque el espectro solar evaluado en función de la frecuencia tiene su máximo a ν≈3,39⋅1014 Hz. Esta frecuencia corresponde a una longitud de onda de 884 nm. Si el ojo es un eficiente detector cuántico de fotones: ¿no debería haber evolucionado hacia este último máximo, donde podría recolectar el máximo número de fotones? ¿Por qué entonces somos incapaces de ver en el infrarrojo? Esta pregunta ha sido planteada por Brecher1, quien llega a la conclusión de que otros factores (tales como la disponibilidad de pigmentos adecuados) debió haber jugado un rol más importante que la forma del espectro de la luz solar en la determinación del máximo de sensibilidad del ojo humano. Aunque muchos factores complejos, tanto bioquímicos como de otra naturaleza, deben ciertamente haber estado involucrados, me gustaría interpretar los hechos de otra manera. Supongamos que alguna vez la naturaleza hubiera experimentado con formas de vida cuya visión estaba finamente sintonizada para una sensibilidad máxima precisamente en el máximo de Wien. Tales criaturas habrían sucumbido frente a competidores capaces de funcionar en un amplio rango de condiciones de iluminación, en vez de tener una agudeza visual limitada a un rango estrecho en torno a un máximo. En otras palabras, en un medio ambiente complejo y siempre cambiante, la selección natural habría operado para producir el mejor balan- ce posible entre un máximo de sensibilidad a una determinada longitud de onda λp, y un rango de longitudes de onda, ∆λ, dentro del cual la retina fuera capaz de responder. En el caso del ojo humano este rango se extiende aproximadamente desde 400 nm a 700 nm, de modo que ∆λ ≈ 300 nm. El mejor balance posible podrá estar influenciado por muchos factores, pero desde el punto de vista de la luz solar, podemos suponer que la cantidad relevante es la energía total a disposición del ojo. Esta cantidad no es proporcional al espectro de radiación del cuerpo negro (ni en función de la longitud de onda ni en función de la frecuencia), sino a su integral respecto a una u otra variable. Si suponemos que la sensibilidad es aproximadamente simétrica, la integral debe evaluarse desde λ p – ∆ λ / 2 hasta λ p + ∆ λ / 2 . Siguiendo este razonamiento, encontraremos que la visión humana, evolucionando bajo la luz de una estrella G2 tal como el Sol, debería tener un máximo de sensibilidad cerca de λ p ≈ 5 6 0 n m , exactamente como se observa en la realidad. II. LA FUNCIÓN DE CUERPO NEGRO DEL SOL La función de Planck que describe el espectro de la radiación emitida por un cuerpo negro a una temperatura T puede escribirse ya sea en función de la longitud de onda λ o de la frecuencia ν: 2hc / λ 2 Bλ (T ) = exp( hc / kT λ ) − 1 2hν / c 3 Bν (T ) = 5 , (1a) 2 exp( hν / kT ) − 1 . (1b) Estas expresiones tienen dimensiones de intensidad por unidad de rango de longitud de onda en el primer caso, y por unidad de rango de frecuencia en el segundo. La sustitución de ν= c/λ en Bν (T) no resulta 1 igual a Bλ(T). Es la integral de cualquiera de estas funciones (con respecto a λ o ν según corresponda), la que debe dar la misma intensidad a una temperatura dada. Para graficar las dos funciones Bλ(T) y Bν (T) para la luz solar, necesitamos estimar la temperatura de cuerpo negro del Sol. El Sol es generalmente modelado con un cuerpo negro con una temperatura efectiva de 5800 K. (Esto corresponde en realidad a la temperatura de un cuerpo negro cuya potencia total radiada es la misma que la del Sol). Sin embargo, el espectro de la luz solar que recibimos sobre la superficie de la Tierra es modificado por la atmósfera terrestre. Los efectos más importantes son el scattering de Rayleigh y el continuo de absorción por el ozono; ambos efectos desplazan el espectro hacia longitudes de onda más largas. La absorción producida por moléculas de oxígeno, vapor de agua y otros gases generan una larga serie de estrechas líneas de absorción que modifican aún más la forma del espectro, especialmente hacia el costado de longitudes mayores que la del máximo de Wien. Para las mediciones hechas en dirección hacia el Sol, estos procesos se combinan para reducir la temperatura de cuerpo negro efectiva a unos 5200 K, en una gran variedad de condiciones climáticas3. La luz diurna ambiental (es decir, la luz solar medida en otras direcciones) tiene una temperatura efectiva más alta, porque el scattering de Rayleigh dispersa preferentemente la luz de longitudes de onda más cortas. (Esta es la razón de por qué el cielo se ve azul.) En resumen, el espectro promedio que recibimos sobre la superficie de la Tierra puede ser modelado aproximadamente como el de un cuerpo negro a una temperatura ubicada en algún valor entre 5 2 0 0 K y 5 8 0 0 K . Tomemos esta temperatura como T S O L = 550 0± 300 K . Las dos funciones Bλ(TSOL) y Bν (TSOL) están graficadas en la Fig. 1. La sensibilidad espectral aproximada del ojo humano también se muestra en la Fig. 1 para comparación (línea punteada delgada). Para la visión adaptada a la luz diurna, o fotópica, la curva es aproximadamente de forma gaussiana y está centrada en 555 nm. He tomado ∆λ /2 igual a 3σ, tres desviaciones estándar, de modo que σ ≈ 50 nm. Este modelo es, por supuesto, muy simplificado. Los detalles son muchos más complicados y también mucho más interesantes. La visión fotópica en los primates es debida a tres tipos diferentes de células cónicas cuyas sensibilidades individuales tienen sus máximos aproximadamente a 430 nm (violeta – azul), 535 nm (verde), y 562 nm (amarillo).4 Esta configuración particular puede haber evolucionado para ayudar en la detección de frutas5 u hojas tiernas6 en contraste con un trasfondo predominantemente verde. La presencia de células sensibles al color rojo podría en principio haber permitido una mejor discriminación de los colores pero puede que no se haya producido debido a la menor energía de los fotones a esas longitudes de onda.7 (Este es un punto relevante al presente artículo). La visión adaptada a la oscuridad o escotópica, por otra parte, está basada en células cilíndricas cuya sensibilidad es máxima a los 550 nm. Estas parecen haber evolucionado después de las células cónicas.8 Muy pocos fotones de longitudes de onda menores que 400 nm alcanzan la retina. Aquellos en el rango 3 1 5 < λ < 4 0 0 nm son absorbidos por el cristalino (en donde causan cataratas), mientras que aquellos con λ < 315 nm no logran traspasar la córnea. Restricciones similares deben operar para las demás formas de vida, proporcionando la base biológica para la cantidad ∆λ. Fig.1. The Planck blackbody spectrum, evaluated as a function of wavelength λ (solid line) and as a function of frequency ν, where λ=c/ν (dashed line). The spectral sensitivity of the human eye (dotted line) is shown for comparison. Comparemos a continuación la longitud de onda en el máximo de sensibilidad del ojo humano (555 nm para visión fotópica) con la ubicación de los dos máximos de radiación de cuerpo negro en la Fig.1. Podemos obtener aproximaciones analíticas a estos máximos de la siguiente forma. Diferenciamos cualquiera de las dos expresiones en Ec. (1) e igualamos el resultado a cero (para el máximo a λ = c / ν = λB) obteniendo la ecuación: 1 − hc / mkT λ B = exp( − hc / kT λ B ) (2) en donde m=5 para Bλ(T) y m= 3 para Bν(T). Ambos lados de la Ec. (2) son pequeños. Si llamamos al lado izquierdo ε, el lado derecho queda exp[-m (1 ε)] y la Ec. (2) puede escribirse como ε exp( m ) = exp( ε m ) (3) Si expandimos exp(εm) en serie de Taylor y conservamos hasta los términos de orden ε2, obtenemos la ecuación cuadrática m ε / 2 − ( e − m )ε + 1 = 0 2 2 m (4) Resolviendo la Ec. (4) para ε encontramos que el máximo del espectro de cuerpo negro ocurre a la longitud de onda 2 λB = = hc m(1 − ε )kT hc (5) 1 ⋅ kT ⎡ (e m / m − 1)2 − 2 − ( e m − 1) + m ⎤ ⎣ ⎦ Para m= 5 Ec. (5) se reduce a la conocida fórmula de 2,9 [ mm ⋅ K ] Wien λ Bλ = ; para m = 3 el máximo se T 5,1[ mm ⋅ K ] . Para la luz del Sol encuentra en λ Bν = T recibida en la superficie de la Tierra ( T S O L = 550 0± 300 K) estas expresiones dan longitudes de onda de 5 5 0 ± 3 0 n m y 9 3 0 ± 3 0 n m , respectivamente, en concordancia con las ubicaciones de los máximos en la Fig. 1. Estos valores están suficientemente cerca de 555 nm para darnos algún grado de certeza de que la forma del espectro de cuerpo negro de la radiación solar tuvo algún efecto en la evolución de la visión humana. Si esto es así, entonces: ¿cuál de los dos máximos del espectro de cuerpo negro es el relevante? (Si es que alguno lo es). III. LA INTENSIDAD Y EL OJO ÓPTIMO De hecho, ninguno de los dos máximos del espectro de cuerpo negro de la Fig. 1 es particularmente relevante en sí mismo. Lo razonable es suponer que el ojo humano ha evolucionado a través del tiempo de forma de recolectar la máxima cantidad de energía posible de luz solar, sujeto a las restricciones biológicas de un rango finito (y no cero) de longitudes de onda ∆λ, centrado en una longitud λp. En términos de Bλ(T) esta suposición significa maximizar la cantidad: I B ( ∆λ , λ p ) = ∫ λ p + ∆λ / 2 λ p − ∆λ / 2 Bλ (T )d λ tener retinas con un rango de longitudes de onda tan amplio como ∆λ=2000 nm, la Fig. 2 nos demuestra que la selección natural nos habría llevado a centrar este amplio rango en el infrarrojo lejano, cerca de λp=1210 nm (la curva de mayor intensidad). En la realidad, la sensibilidad espectral humana está caracterizada por ∆ λ ≈ 3 0 0 n m . La curva que corresponde a este valor en la Fig. 2 (línea continua) tiene alcanza su máximo a λ p ≈5 60nm. No es sorprendente entonces, que la visión fotópica en los humanos alcance su máxima sensibilidad a los 555 nm. Esto responde a la interrogante acerca de cuál de los máximos de Wien es el relevante: Lo importante no es la función del espectro solar en sí misma sino su integral, cuyo valor resulta siempre el mismo sin importar si integramos usando Bλ(T) o Bν (T). La conclusión puede extenderse a otras situaciones en física en la que uno tiene una función de distribución o de densidad que es esencialmente de naturaleza diferencial, (como por ejemplo, Bλ que es intensidad por unidad de rango de longitud de onda; otros ejemplos en astronomía son: la densidad de masa por unidad de distancia radial en un cascarón esférico en el interior de una estrella, y la sección transversal de absorción por unidad de masa en el medio interestelar). Es una regla general que las cantidades integradas (por ejemplo la masa total de la estrella, y la fracción de absorbida a lo largo de la línea de visión) son físicamente más significativas que las densidades en sí mismas. (6) Esta integral tiene unidades de energía por unidad de tiempo y por unidad de área, es decir de intensidad. Los resultados están graficados en la Fig.2 como una función de λp para el rango 100 nm < λp < 2200 nm y para siete diferentes valores de ∆λ. [La integración de Bν(T) sobre el correspondiente intervalo de frecuencias ∆ν=c/∆λ produciría exactamente el mismo gráfico]. Supongamos que la biología hubiera dictado que el ojo fuera sensible a un rango muy estrecho de longitudes de onda, ∆λ=10nm. Dicha situación estaría representada en la Fig. 2 por la curva de más baja intensidad (punteada doble), que tiene su máximo a λ p = 5 3 0 n m , valor que corresponde al máximo de Wien para la luz solar medida en la superficie de la Tierra. (De hecho, el máximo de Wien es precisamente el límite cuando ∆ λ → 0 del valor óptimo de λp, tal como hemos definido esta última cantidad). Por otra parte, si hubiéramos sido tan afortunados de Fig. 2. The intensity of solar radiation emitted between wavelengths λp–∆λ/2 and λp+∆λ/2, plotted as a function of λp for seven values of ∆λ. Los resultados que hemos obtenido hasta ahora pueden ser presentados en otra forma que es más compacta y más sugestiva. Encontremos numéricamente el valor máximo de lB(∆λ,λp) como función de ∆λ y de λp, y grafiquemos los resultados como contornos en el espacio de fase definido por estas dos variables. Siguiendo este procedimiento obtenemos (para el caso de la luz solar en la superficie de la Tierra, con TSOL≈5500 K) el diagrama mostrado en la Fig. 3. La línea sólida corresponde a los valores de (∆λ, λp) para los cuales IB alcanza su máximo valor, 3 IB,máx. Los otros contornos corresponden a combinaciones de (∆λ, λp) para los cuales IB es igual a 0,95 IB,máx, 0,8 IB,máx , y 0,5 IB,máx respectivamente. La cruz marca la ubicación en espacio de fase correspondiente al ojo humano (300 nm, 555 nm), y se observa de inmediato que éste está en realidad adaptado perfectamente para la vida bajo una estrella del tipo G2. Por supuesto que otros factores deben también haber jugado un rol. El espectro de la luz solar filtrado por la atmósfera terrestre no es en realidad idéntico en forma al de un cuerpo negro.3 La absorción y el scattering característicos de la atmósfera pueden haber variado significativamente a lo largo de la evolución humana. La supervivencia requiere una agudeza visual no sólo bajo la luz del día, sino además bajo la luz de la Luna, de las estrellas, e incluso bajo luz artificial. Las reflectividades de las superficies individuales en nuestro medio ambiente producen espectros muy diferentes que los de la luz solar. Y la sensibilidad de la retina depende de la longitud de onda en una forma no trivial. Consideraciones de este tipo podrían ser tomadas en cuenta, multiplicando Bλ(T) en el integrando de la integral (6) por funciones de λ que pesaran las diferentes longitudes de onda de forma apropiada. Sin embargo, no hay razones para pensar que dichos efectos sean más importantes que el espectro de cuerpo negro del Sol en sí mismo. En realidad, es admirable que hayamos podido predecir tan precisamente las verdaderas características del ojo humano sin tomar en cuenta los refinamientos mencionados. dres con una amplia variedad de propiedades. Entre estos sistemas, uno de los más interesantes es Gliese 876, una estrella enana roja de la clase M4 ubicada a 15 años luz de la Tierra en la constelación de Acuario. Al igual que el Sol, esta estrella pertenece a la secuencia principal, pero es mucho más pequeña, más débil y más fría que nuestra estrella madre. La masa, diámetro y luminosidad de Gliese 876 han sido estimadas como 1/3, 1/5 y 1/800 de las del Sol, respectivamente. Dos grupos de investigación descubrieron independientemente un planeta orbitando a esta estrella en 1998,9,10 y un segundo planeta fue detectado tres años más tarde.11 Ambos planetas son gigantes gaseosos, con masas de alrededor de 1,9 y 0,6 veces la masa de Júpiter. Ellos orbitan su estrella madre en tan sólo 61 y 30 días, respectivamente. Aun cuando es muy poco probable que la vida tal como la conocemos haya evolucionado en alguno de estos dos planetas, podría ocurrir que las condiciones necesarias estuvieran presentes en algún planeta similar a la Tierra muy cercano a la estrella, o quizás en alguna de las lunas de los gigantes gaseosos. La Figura 4 muestra una vista del sistema Gliese 876 como podría verse desde una de tales lunas. Fig. 4. A view of Gliese 876 and its two gas-giant planets, as seen from a rocky moon. Figure Lynette Cook, reproduced by permission. Contact the artist at [email protected] to license and obtain-resolution color files depicting this and other extrasolar systems. To see more of the artist´s work, go to (http://extrasolar.spaceart.org). Fig.3. Contours of equal solar intensity in the phase space defined by the parameters ∆λ and λp. We would expect the human eye to evolve to the solid line, where it is sensitive to the greatest amount of energy from the Sun. This does in fact seem to have occurred (location of cross). IV. ¿CÓMO HABRÍA EVOLUCIONADO LA VISIÓN BAJO LA LUZ DE OTRAS ESTRELLAS? Como una aplicación de nuestro razonamiento, preguntémonos ahora cómo habría evolucionado la visión bajo la luz de una estrella diferente. Más de cien planetas extrasolares han sido descubiertos recientemente, orbitando alrededor de estrellas ma- A partir de las diferencias en los colores de sus bandas V- (óptica), y de las I-, y K-, (infrarrojas), la temperatura efectiva en la superficie de Gliese 876 ha sido estimada entre 3100 K y 3250 K.10 Si suponemos, sólo para aplicar nuestro argumento, que los demás planetas con vida tiene atmósferas similares a la de la Tierra, entonces la temperatura de cuerpo negro efectiva de la luz de Gliese 876 recibida en la superficie de uno de tales mundos podría ser aproximadamente TG876 = 2900 K ± 300 K. Los máximos de las funciones Bλ( TG876) y Bν (TG876), calculados mediante la Ec. (5) serían λ Bλ = 1000 ± 120nm y λ Bν = 1760 ± 120nm . Reemplazando TG876 en vez de 4 TSOL y repitiendo el procedimiento de optimización descrito en la Sec. III, podemos construir el diagrama de la Fig. 5. Tal como antes, este es un gráfico en el espacio de fase definido por las características visuales ∆ λ y λ p . La posición del ojo humano está marcada de nuevo por una cruz. Se puede observar claramente a partir de este diagrama que los humanos estaríamos muy pobremente adaptados a la vida en Gliese 876. Si fuéramos transportados repentinamente a este sistema, encontraríamos que seríamos sensibles a menos del 50% de la luz estelar potencialmente disponible. ces podemos fácilmente explicar el por qué podemos ver mejor en el rango amarillo del espectro. Alrededor de otras estrellas, un razonamiento similar nos lleva a conclusiones diferentes, y hemos demostrado a manera de ejemplo, que formas de vida en el sistema extrasolar alrededor de Gliese 876 habrían evolucionado probablemente hacia un máximo de sensibilidad en el infrarrojo. VI. AGRADECIMIENTOS El autor ha sido apoyado por la Sociedad Japonesa para la Promoción de la Ciencia (JSPS). a) Correo electrónico: [email protected] 1. Fig. 5. The same diagram as in Fig. 3, but now assuming a class M4 star like Gliese 876 in place of the Sun. The human eye would be poorly adapted to life around this star (location of cross). Based on this diagram, we would expect life-forms whose range of vision was comparable to ours (∆λ≈300 nm) to evolve to a peak sensitivity of λp≈1000nm. Supongamos que alguna otra forma de vida hubiera evolucionado sobre alguno de los planetas o lunas de este sistema, y aún más supongamos que las restricciones biológicas allá fueran comparables a las de la Tierra, de modo que la sensibilidad de la retina se hubiera desarrollado aproximadamente en el mismo rango de longitudes de onda, ∆ λ ≈ 3 0 0 n m . Trazando una vertical hacia arriba desde la ubicación de la cruz en la Fig. 5, podemos ver que la selección natural habría llevado a las criaturas a evolucionar hacia un máximo de sensibilidad en la vecindad de λ p ≈ 1 0 0 0 n m . Si nosotros hubiésemos evolucionado en las cercanías de Gliese 876, probablemente seríamos capaces de ver en el infrarrojo. K. Brecher, “Why dont´we see in the infrared?”, Bull. Am. Astron. Soc.193,34.01(1999). 2. B. W. Carroll and D.A. Ostlie, An Introduction to Modern Astrophysics (Addison-Wesley, Reading, MA,1997). 3. M. L. Biermann, D. M. Katz, R. Aho, J. Diaz Barriga, and J. Petron, “Wien´s law and the temperature of the Sun,” Phys. Teach. 40, 398 – 401 (2002). 4. G. H. Jacobs and J. F. Deegan II, “Uniformity of colour vision in Old World monkeys,” Proc. R. Soc. London, Ser B 266, 2023-2028 (1999). 5. D. Osorio and M. Vorobyev, “Colour vision as an adaptation to frugivory in primates,” Proc. R. Soc. London, Ser. B 263, 593-599 (1996). 6. N. J. Dominy and P.W. Lucas, “Ecological importance of trichromatic vision to primates,” Nature (London) 410, 363-366 (2001). 7. P. Gouras, “Color vision,” Webvision: The Organization of the Retina and Visual System (online textbook at (http://webvision.med.utah.edu/)). 8. J. K. Bowmaker, “Evolution of colour vision in vertebrates,” Eye 12, 541-547 (1998). 9. G. W. Marcy, R. P. Butler, S. S. Vogt, D. Fischer, and J. J. Lissauer, “A planetary companion to a nearby M4 dwarf, Gliese 876,” Astrophys. J. Lett 505, L147-L149 (1998). 10. X. Delfosse, T. Forveille, M. Mayor, C. Perrier, D. Naef, and D. Queloz “The closest extrasolar planet,” Astron. Astroplys. 338, L67-L70 (1998). 11. G. W. Marcy, R. P. Butler, D. Fischer, S. S. Vogt J. J. Lissauer, and E. J. Rivera, “A pair of resonant planets orbiting GJ 876,” Astrophys. J. 556, 296-301 (2001). V. CONCLUSIONES El ojo humano ha evolucionado para sacar provecho de la forma del espectro de cuerpo negro de la luz solar. Sin embargo, no es la curva en sí misma la que importa (ya sea en función de longitud de onda o de frecuencia) sino su integral, que es proporcional a la intensidad de la luz del Sol. Al tomar en cuenta este hecho, junto con la observación de que la visión humana está caracterizada no sólo por una longitud de onda en el máximo del espectro λp, sino además por un rango finito de longitudes de onda ∆λ, enton- 5