Solución numérica de algunas ecuaciones no integrables - UAM-I

Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
Solución numérica de
algunas ecuaciones no
integrables
Martı́n G. Garcı́a A
Georgii A. Omel’yanov
Israel Segundo C.
Universidad de Sonora
Departamento de Matemáticas
Hermosillo, Sonora, México
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Contenido
1
Introducción
2
Ec. tipo KdV
2
Caso m = 4
2
Ec. tipo sine-Gordon
Ec. tipo sine-Gordon
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
Introducción
Consideremos la ecuación KdV
modificada
ut + (um)x + ε2uxxx = 0,
m ∈ N,
donde u = u(t, x, ε), t > 0, x ∈ R;
ε es un parámetro, 0 < ε ≪ 1.
m > 2,
(1)
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
Dinámica de un solitón
Buscamos una solución para (1) de
forma autosimilar
β
(x − vt − x0) .
(2)
u(x, t) = Af
ε
β
(x − vt − x0) y
ε
1
m−1
m+1 2
tomamos v = β 2 y A =
β
.
2
Definimos η =
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
Encontramos que f debe satisfacer
2
df
= f 2 − f m+1.
(3)
dη
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
La ecuación (3) tiene solución en
forma explı́cita para toda m :
2
m−1
m−1
.
η
f(η) = sech
2
(4)
Ası́, la solución de la ecuación (1) es
2
m−1
m−1
β
u(t, x, ε) = A sech
(x − vt − x0 )
2
ε
(5)
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
Interacción de solitones
Consideremos la ecuación tipo KdV
con dispersión pequeña
ut + (um)x + ε2uxxx = 0,
con condición inicial dada por la
superposición de dos ondas solitarias
x − x01
u0 (x, ε) = A1 ω β1
ε
con x02 < x01,
x − x02
+ A2 ω β2
ε
(6)
A2 > A1 > 0.
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
ω(η) está dada por ω(η) = R
Ec. tipo sine-Gordon
f(η)
,
f(η)dη
donde f está dada en (4).
Suponemos que x02 < x01, A2 > A1 > 0.
Entonces existe un instante t∗ en el
que las trayectorias de las ondas
solitarias (6) se intersectan; es decir
v1t∗ + x01 = v2t∗ + x02.
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
Nos interesa considerar la situación en
la que la distancia entre los frentes del
los solitones tiende a cero.
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
Para los casos especiales m = 2 y
m = 3, la respuesta es conocida
(Inverse Scattering Transform):
despues de la interacción, la solución
será de nuevo la superposición de
ondas autosimilares, pero con
corrimientos en fases con respecto a
las ondas antes de la interacción.
A éste se le conoce como escenario de
solitones.
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
De hecho, por ejemplo, para el caso
m = 2, si se toma la condición inicial
ut=0 = u0(x, ε),
la solución exacta para el problema de
la interacción de dos solitones,
obtenida con el método de dispersión
inversa (Inverse Scattering Transform)
es
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
u(x, t) = 6β12(β22 − β12)u1(η1, ρ)
+6β22(β22 − β12)u2(η1, ρ),
u1 = {β1 senh(β1 η1 − µ) − β2 coth(β2 (η1 − ρ) + µ) cosh(β1 η1 − µ)}
u2 = {β2 cosh(β2 η2 + µ) − β1 tanh(β1 (η2 + ρ) − µ) sinh(β2 η2 + µ)}
donde
vi = 4βi2 ,
µ=
1 β2 − β1
ln
,
2 β2 + β1
ηi = (x − ϕi0 (t))/ε, ϕi0 (t) = vi t + x0i ,
ρ = (ϕ20 (t) − ϕ10 (t))/ε.
−2
−2
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
Interacción de solitones
El método de soluciones asintóticas
debiles
Una solución asintótica débil módulo
O(ε2) del problema
(
ut + (um)x + ε2uxxx = 0,
x−x01
x−x02
0
u (x, ε) = A1ω β1 ε
+ A2ω β2 ε ,
es una función u que satisfaga
Introducción
d
dt
Z
Ec. tipo KdV
uψdx −
Z
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
umψ ′(x)dx = O(ε2),
Z
R m+1 ′
d
2m
u
ψ (x)dx
u2ψdx- m+1
dt Z
+3 (εux)2ψ ′(x)dx=O(ε2)
para cualquier ψ(x) ∈ D(R).
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
De acuerdo a este enfoque, se busca
una solución asintótica débil mod
OD′ (ε2) en la forma
x − φ1(t, τ, ε)
u = g1(τ )ω β1
ε
x − φ2(t, τ, ε)
+g2(τ )ω β2
, (7)
ε
donde gi = Ai + Si(τ ),
φi = ϕi0(t) + εϕi1(τ ), τ = β1
ϕ20(t) − ϕ10(t)
.
ε
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
ϕi0(t) = vi(t) + x0i describe la
trayectoria del frente del i-ésimo
solitón, con amplitud Ai, antes de la
interacción.
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
τ se considera como un “tiempo
rápido;” τ (t∗, ε) = 0.
Si y ϕi1 son correcciones a la amplitud
y a las fases, respectivamente, y
satisfacen
lim Si(τ ) = 0,
|τ |→∞
lim ϕi1 = 0,
τ →−∞
lim ϕi1 = ϕ∞
i1 = constante.
τ →+∞
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
Ocurre que, contrariamente a lo que
se observa en el método de
transformada inversa, la construcción
de la solución depende fuertemente de
la relación entre los parámetros β1 y
β2; i.e., del parámetro θ = β1/β2 (y
esta razón puede ser expresada en
términos de las amplitudes).
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
Por ejemplo, para m = 2, ocurre que
puede construirse una solución en la
forma (7) sólo si 0 < θ < 1/2.
Para θ = 1/2 las fórmulas se
degeneran y este caso debe estudiarse
separadamente.
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
Para 1/2 < θ < 1 las funciones que
aparecen en el lado derecho de (7) se
convierten en expresiones complejas, y
para poder realizar el análisis se debe
buscar una solución asintótica en la
forma
2
X
x − φi(t, τ, ε)
+ c.c.
u=
gi(τ )ω βi
ε
i=1
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
El principal resultado obtenido
mediante este enfoque es el siguiente.
Teorema
Existe θ∗(m) ∈ (0, 1) tal que la
interacción de las correspondientes
ondas solitarias en la ecuación tipo
KdV (1) se da bajo el escenario de
solitones para θ = θ1/θ2 ∈ (0, θ∗(m)).
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
Solución numérica
Ec. tipo KdV
Para encontrar la solución numérica
para la ecuación
ut + (um)x + ε2uxxx = 0
con condición inicial
u(x, 0) = f(x),
construimos el siguiente esquema
explı́cito.
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
Para escribir el esquema de diferencias
finitas para la ec. KdV, se deben
discretizar las derivadas.
Nos interesa calcular la solución
numérica en (x, t) ∈ [xmin, xmax] × [0, T]
con xmin < xmax y T > 0.
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
Usamos la siguiente notación:
τ = ∆t, h = ∆x,
M=
xmax −xmin
,
h
xm = xmin + mh, para m = 0, . . . , M,
u(x, t) = u(mh, nτ ) = unm.
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
Con esta notación, los valores en cada
punto (x, t) = (mh, nτ ), de las
derivadas que aparecen en la KdV se
pueden discretizar de la manera
siguiente:
Introducción
Ec. tipo KdV
ut =
n+1 −un−1
um
m
,
2τ
ux =
unm+1 −unm−1
,
2h
uxxx =
Caso m = 4
unm−2 +2unm−1 −2unm+1 −unm+2
.
2h3
Ec. tipo sine-Gordon
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
Después de sustituir en (1) y de hacer
simplificaciones algebraicas se obtiene:
n+1
n−1
um
= um
− 6c1unm(unm+1 − unm−1)
+c2(unm−2 − 2unm−1 + 2unm+1 − unm+2),
(8)
donde c1 = mτ /h y c2 = τ ε2/h3.
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
En la siguiente figura se ilustran las
posiciones de cada u(x, t) = unm.
b
b
n+1
bum
n
n
un
bum−2 b m−1 bum
b
b
n−1
u
bm
b
b
n
n
bum+1 bum+2
b
b
Usando (5) (con t = 0) discretizamos
la condición inicial: u0m = f(xm), para
m = 0, 1, . . . , M.
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
Dado que (8) es un esquema de dos
pasos, para inicializar el proceso
iterativo es necesario construir, a partir
de la condición inicial, los valores u1m.
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
Para esto, construimos un esquema
similar a (8) pero usando
n+1
− unm
um
ut =
τ
como discretización de la derivada con
respecto a t.
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
El esquema resultante es
n+1
= unm − 3c1unm(unm+1 − unm−1)
um
c2
+ (unm−2 − 2unm−1 + 2unm+1 − unm+2).
2
(9)
Finalmente, escogemos los extremos
del intervalo [xmin, xmin] de tal manera
que podamos fijar los valores
un0 = un1 = unM−1 = unM = 0 para toda n.
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
Resultados numéricos para
m=4
Caso I: β1 = 0.8, β2 = 1.6 (θ = 1/2)
u(x,0)
2.0
bb
bbb
bbb
bb
bbbb
bbbbbb
bb
bbbb
bbbb
bbbb
bbbb
bb bb
bbb bbb
bb
bb bb
bb bb
bb bb
bb bb
bbb bbb
bb bb
bbb bbb
b b
bb bb
bbb bbb
b b
bb bb
bbb bbb
bb bb
bb bb
bbb bbb
bb bb
bb bb
bbb bbb
bbb
bb bb
bbbbb
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bb bb
bb bb
bbb bbb
bbb bbb
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bb bb
bb bb
bb bb
bb bb
bb bb
bb bbb
bbb bbb
bb
bb
bb
bb bb
bb
bb
bb bb
bb
bb
bb bb
bb
bb
bb bb
bb
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bb bb
bb
bb
bb bb
bb
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bb
bb
bb
bb
bbb
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bb
b
b
bb
bb
bb
bb
bb
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bb
bb
bb
bb
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bb
bb
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b
bb
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bb
bb
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bb
bb
bb
bb
bb
bbb
bb
b
b
bb
bbb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bbb
bb
bb
bbb
bb
bb
b
bb
bb
bbb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
b
bbb
bbb
b
bb
b
bbb
bb
bb
bbb
bb
bbb
bb
bbb
bb
bb
bbb
bbb
bb
b
bbbb
bb
b
b
b
b
bbb
bbbbb
bbbbb
bb
bbbbbbb
bbbb
bbbbbb
bbbbbbbbbbbbbbbb
bbbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbbbbbb
1.5
1.0
0.5
-2
-1
0
1
2
3
4
x
Introducción
Ec. tipo KdV
u(x,0.072169)
u(x,0.144338)
2.0
1.5
1.0
0.5
bbbb
bbbbb
bbbbbb
bbbbbb
bbbb
bb
bbbb
bbbbbbb
b
bbbbb
bbbb
bbbb
bbb
bbbb
bbbb
bb bbb
bb bb
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bb
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bb
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bbb
bb
bbbb
bb
bbb
bbbb
bbbbbbbbbbb
bb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbb
-2 -1 0
1
2
3
bbbbb
bbbbbb
bbb
bbbbbb
bbbb
b
bbbbbbb
bbb
bbbb
bbbbbbb
bbb
bbbb
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bb
bbbb
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bb bb
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bb bb
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b
bb bb
bb bb
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bb
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bb bb
bb
bb
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bb
bb
bbb
bb
bbb
bbbb
bb
bbbb bbbbbbb
bbbbbbbb
bb
bbbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbbb
4 x-2 -1 0
1
2
3
bb
bbbbbb
bbb
bbbb
bbbbb
bbb
bbbb
bbbbb
bb
bbbb
bb bbb
bb b
bb bb
bb
bb bbb
bb b
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bb bb
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b b
bb b bb bb
bb bb bbb bbb
bb
bb bb bb
bb
bb bb bbb
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bb
bb
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b
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bb
bb
bb
bbb
bb
bbb
bb
bbbb
bb
bbbbbbbbb
bbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbbb
4 x-2 -1 0
1
3
4
x-2
1
2
3
4
x-2
-1 0
1
-1 0
1
2
3
4
x
3
4
x
2.0
1.5
1.0
0.5
2
3
4
x-2
b
bbbb
bbbbbb
bb
bbbbbb
bb bb
b
bbb bbbb
bb
bb bb
bbb bbbb
bbb bbbb
b b
bb bb bb
bbb bbbb bbbbbbb
bb bb bb bb
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b b b b
bb bbb bb bbb
bb bb bbb bb
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bb
bb
bb
bb
bb
bbb
bb
bb
bbb
bb
bbbb
bbbbbbb
bbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbbb
-1 0
1
2
u(x,0.649519)
2.0
1.5
1.0
0.5
b
bbb
bbbb
bbb
bbbb
bbbb
bbbb
bbbb
bb b
bb bb
bb bb
bb bb
bb bb
bb b
bb bb
bbb bbb
bb b
bb bb
bb b
bb bb
bb bbb
bbbb
b
b
b
bb bbb
bb bb
bb bb bb bb
bb bb bb bb
bb bb bb bb
bb bb bb b
bb bb bb bb
bb bb bb b
bb bbbb bbb bbb
bb
bb bbb bb
bb
bbbb
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bb
bb
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bb bb
bb bbb
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bb bb
bb b
bb bb
bb bb
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bb bb
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bb bb
bb bb
bb bb
bb b
bb bb
b bb
bb bb
bb bbbb
bb bb
bb
bb b
bb
bb
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b
bb
bb
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bb
bbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbbbb
u(x,0.433013)
u(x,0.577350)
2.0
1.5
1.0
0.5
-2 -1 0
2
2.0
1.5
1.0
0.5
u(x,0.505182)
bbb
bbbb
bbbb
bb bb
bbb bbbb
bb bb
bbbbb bb bb
bb bb bb bb
bb bb bb bb
bb bb bb b
bb bb bb bb
bb bbbb bb
bb b bbb
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bb
bb
bb
b
bbb
b
bbb
bb
bbbbb
bbb
bbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
2.0
1.5
1.0
0.5
u(x,0.360844)
2.0
1.5
1.0
0.5
-2 -1 0
1
Ec. tipo sine-Gordon
u(x,0.216506)
2.0
1.5
1.0
0.5
u(x,0.288675)
b
bbbbb
bbbb
bbbb
bbbb
bbbb
bbbbbb
bbbb
bbbb
bbbb
bbbb
bbbb
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bb
bbbb
bb bb
bb bb
bb bb
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bb bb
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b
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b
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b
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bb
bb bbb
bb
bb
bbbbb
bbb
bb
bbb
bb
bbbb
bb
bbbbbbb
bbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbb
Caso m = 4
2.0
1.5
1.0
0.5
2
3
bb
bbbb
bbbbbb
bbbb
bbbbbb
bbbb
bbb
bbbbbb
b
bbbbb
b bb
bbb bbb
bb bb
bbb bbb
b
bb bb
bbb bb
b bb
bb b
bb bb
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bbbbb
bb b
bb bb
bb bb
bb bb
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bb bb
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b
b
b b
b b
bb b
bb bb
bb bb
bb bbb
bb bb
bb
bb
bb
bb
bb bb
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bb
bb b
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bb
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bb bb bb
b
bb bb bb
bb
bb bb bb
bb
bb bb
bb
b
bb bb
bb
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bb bb
bb
bb
bbbbb
bb
bb
bb
bbb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bbb
bb
bbbb
bb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bbbbb
bbbbbbbbbb
4 x-2 -1 0
1
2
3
4
x
Introducción
Ec. tipo KdV
u(x,0.505182)
u(x,0.577350)
2.0
1.5
1.0
0.5
bb
bbbbb
bbbbbb
bb bbb
b
bbb bbb
bbbb b
bb bbbb
bbbb b
bb bb bb bb
bb bb bb bb
bb bb bb bb
bbb bbbbbb bbbb
bb
bbb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bbb
b
bbb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bbb
bbb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bbb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bbb
bb
bbb
bb
b
bbb
b
bbbbb
bbb
bbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbb
-2 -1 0
1
2
3
bb
bbbb
bbbb
bbbbbb
b
bbbb
bbbb
bb bb
bb b
bbb bbb
bb
bb b
bb bb
bb bb
bb b
bb bb
bb b
bb bb
bb b
bb b
bb bb
bb bbbb
bbbbbbb
b
b
bb
b
bb bb bb bb
bb bb bb bb
bb bb bb bb
bb bb bb b
bb bb bb b
bb bb bb bbb
bb bbbb bbb bbb
bb
bb bbb bb
bb
bbbb
bb
bb
bbbb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bbb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bbb
bb
b
bbbb
bb
bbbbb
bb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bbbbbb
bbbbbb
4 x-2 -1 0
1
1
3
4 x-2 -1 0
2
3
4 x-2 -1 0
1
2
3
4
x-2
-1 0
1
2
3
4
bbb
bbbbbb
bbb
bb
bbbbb
bbb
bbbbbb
bbbbbb
bb
bbbbbb
bbbb
bb
bbbbbb
bbbb
bb
bbbb
bbbbbb
bb
bb bb
bbb bbb
bb
bb bb
bb bb
bb bb
bb bbb
bbb bbb
b
bb bb
bb bb
bb bb
bb bb
bbb bbb
bbbb
bbbb
b b
bb bb
bb b
bb bb
bb bbb
bb bb
bb b
bb bb
bbb bbb
bbb bbb
bb bb
bb bb
bb bbbb
bb bb
bb
bb
bb bb
bb
bb
bb bb
bb
bb
bbb bbb
bb
bb
b
bb
bb
bb bb
bb
bb
bb
bb b
bb
bb
bb bb
bb
bb
bb b
bb
bb
bb bbb
bb
b
b
b
bb
b
bb
bb
bb bbbb
bb
bbb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bbb
bb
bb
bb
bbb
bb
bb
bb
bb
bbbb
bb
bbb
bbbbb
bb
bbbbbbbbbbbbbbbb
bbbb
bbb
bbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbb
bbb
bbbbb bbbbbb
bbbbbbb
3
4 x-2 -1 0
3
4
2.0
1.5
1.0
0.5
2
2
x
2.0
1.5
1.0
0.5
u(x,1.010363)
bb
b
bbbbb
bbbb
bbbb
bbbbbb
bb
bbbbb
bbbb
bb
bbbbbb
bb
bbbb
bbbbbb
bbbb
bb
bbb bbb
bb bb
bb bb
bbb bbb
bb bb
bb bb
bb bb
bb bb
bb bb
bbb bb
bb bb
bb bb
bb bb
bb bb
bbb bbb
bb
b
bbbb
bb bb
bb bb
bb bb
bb bb
bb bb
bb bb
bb bb
bbb bb
bbb bbb
bb bb
bb bbb
bb bb
bb b
bb bbbb
bb bb
bb
bb
bb bbb
bb
bb
b
bbb
b
bb
b
bb
bb bb
bb
bb
bb bb
bb
bb
bb bb
bb
bb
bb b
bb
bb
bb bb
bb
bb
bb bb
bb
bb b
bb
bb
bb bb
bb
bb
bb bbb
bb
bb
bb
bb
bb
bbb
b
bb
bb
bb
bbb
bbb
bbb
b
b
b
bb
bbb
bb
bb
bbbb
bb
bbb
bb
bbb
bbbbbbb
bbb
bbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bbbbbbbb
bbb
bbbbb bbbbbbb
bbbbbbbbb
1
u(x,0.866026)
b
bbbb
bbbbbb
bbbb
bbbbb
bbb
bbbb
bbbbbbb
bbb
bbbb
bbbb
bbbb
bbbb
bbbbbb
bb
bbbb
bb bb
bb bb
bb bb
bbb bbb
bb
bb bb
bb bb
bb bb
bb bb
bbb bbbb
b
bb bbb
bb b
bb bbb
bb bb
bb bb
bb
bbbb
b b
bb bb
bb b
bb bb
bb bbb
bb bb
bb bb
bb bb
bb bb
bb bb
bb bb
b b
bb bb
bb bb
bb bbbb
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bb
bb
bb bb
bb
bb
bb bbb
bb
bb
b
bbb
b
bb
b b
b
bb
bb bb
bb
bb
bb bb
bb
bb
bb b
bb
bb
bb bb
bb
bb
bb bb
bb
bb
bb bb
bb
bb
bb bbb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bbb
bb
bbb
bb
bbbb
bb
bbb
bb
bb
bb
bbbb bbb
bb
bb
bbbbbbbbb
bbb
bbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbb
bbbbbbbbbbbbbb
bb
2.0
1.5
1.0
0.5
-2 -1 0
2
bb
bbbbbb
bbbb
bbbb
bb
bbbbb
bbb
bbbbbb
bbb
bbbbbb
bb bb
bbb bb
bb bbb
bb bb
b bb
bb bb
bbb bb
b b
bb bbb
bb bb
bb b
bbb
bb bb
bbbb
bb b
bb bb
bb bb
bb bb
bb bb
bb bb
bb b
bb bb
bb bb
bb bb
bbb bbb
bbb bbb
bb b
bb bbbb
bb bbb
bb
bb
bb
bb bb
bb
bb
bb b
bb
bb
bb bbb
bb
bb
bb bbbb bbb
bb
bb bb bb
bb
bb bb bb
bb
bb bb
bb
bb
bb bb
bb
bb
bb bb
bb
bbbb
bbb
b
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bbb
bb
bbbbbbbbb
bbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbb
2.0
1.5
1.0
0.5
u(x,0.938194)
bb
bbbb
bbbbbb
b
bbbb
bbbb
bbbb
bbbb
bbbbbb
bb
bbbb
bbbb
bbbb
bbbb
bbbbbb
bb
bbbb
bbbb
bb bb
bb bb
bbb bbb
bb
bb bb
bb bb
bb bb
bb bb
bbb bbb
bb
bb bb
bb bb
bb bb
bb bb
bbb bbb
bbbb
b b
bb bb
bb bb
bb bb
bb bb
bb bb
bb bb
bb b
bb bb
bbb bb
bb bb
b
bb bb
bb bb
bb bbbb
bb b
bb
bb
bb bb
bb
bb
bb
bb bb
bb
bb
bbb bbb
bb
bb
bb
bb bb
bb
bb
bb
bb bb
bb
bb
bb bb
bb
bb
bb b
bb
bb
bb bbb
bb
b
b
bb
b b
b
bb
bb bbb
bb
bbb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bbb
bb
bb
bbb
bbb
bb
bb
bb
bb
bbbb
bb
bb
bbb
bbbbb
bb
bbb
bbbbbbbbbbbb bbbbb
bbb
bbbbbbb
bbbbbbbbb
bbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bbbbbbbb
bbb
bbbbb bbbbbbb
bbbbbbbb
2.0
1.5
1.0
0.5
u(x,0.793857)
2.0
1.5
1.0
0.5
-2 -1 0
1
Ec. tipo sine-Gordon
u(x,0.649519)
2.0
1.5
1.0
0.5
u(x,0.721688)
b
bb
bbbbb
bbb
bbbb
bbb
bbbbbb
bb
bbb
bbbb
bbbb
bbb
bbbb
bbbb
bb bb
bb bb
bb bb
bb bb
bb bb
bb bbb
bb bb
bb bb
bb bb
bb bb
bb bb
bbb bbb
bb bb
bb bbb
bb bb
bb bb
bbbb
bb bb
bb bb
bb bb
bb bb
bb bb
bb bb
bb bb
bb b
bb bb
bb bbb
bbb bbb
bb b
b b
bb bbb
bb bb
bb
bb
bb b
bb
bb
bb bb
b
bb
bb
bb bbb
bb
bb
b
b
b
bb
bb
bb bb
bb
bb
bb bb
bb
bb
bb b
bb
bb
bb bb
bb
bb
bb bb
bb
bb
bb bb
bb
bb
bb bbb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb bbbb
bb
bbb bb
bb
bbb
bbb bbb
bb
bb
bbb
bb
bb
bbb
bbb
bb
bbbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbbb
bb
Caso m = 4
x
1
2
3
4
x
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
Ec. sine-Gordon
Consideremos una clase de funciones
semi-lineales con un parámetro ε
ε2(utt − uxx) + F′(u) = 0.
(10)
Para
1 − cos(2πz)
4π 2
(10) es la ecuación sine-Gordon.
F(z) =
(11)
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
Es conocido que los kinks de la
ecuación de sine-Gordon colapsan sin
cambiar sus formas y el único
resultado de la interacción es la
aparición de un cambio de fases.
A esta situación se le conoce como
escenario tipo sine-Gordon.
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
En esta parte se presenta un esquema
de diferencias finitas para la ecuación
(10) cuando
F(z) = sin4(πz)
(12)
para analizar la solución numérica y si
ésta presenta también un escenario
tipo sine-Gordon.
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
Escenario Lineal
Primero obtenemos un esquema para
la ecuación utt − uxx = 0.
Consideremos la siguiente
aproximación
j+1
j+1
j+1
yij+1 − 2yij + yij−1 yi+1 − 2yi + yi−1
−
=0
τ2
h2
donde yij denota el valor aproximado de
la función u en el punto (x = ih, t = jτ ).
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
Esto nos conduce a resolver un
sistema tridiagonal de la forma
j+1
j+1
= Eji
− Cyij+1 + Byi+1
Ayi−1
2
2
con A = B = hτ 2 y C = 2(1 + hτ 2 ) donde
la aproximación a la solución está
dada por
yi = αi+1yi+1 + βi+1,
i = N − 1, N − 2, . . . , 0.
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
Escenario no lineal
Sea
utt − uxx + F′(u) = 0
con F′(u) 6= 0.
Aproximación por diferencias finitas
j+1
j+1
j+1
yij+1 − 2yij + yij−1 yi+1 − 2yi + yi−1
−
+ F′ (yij+1 ) = 0
2
2
τ
h
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
Sea ϕ(s) → yj+1 cuando s → ∞,
ϕ(0) = yj
y
W(s) = ϕ(s) − ϕ(s − 1).
Denotamos ϕ = ϕ(s − 1).
F′ (ϕ) = F′ (ϕ + W) = F′ (ϕ) + F′′ (ϕ)W + O(W2 )
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
Definimos con ϕ a la solución de la
ecuación lineal
τ2
τ2
τ2
2 ′′
ϕ
−
(1
+
2
+
τ
F
(ϕ
ϕi+1 = Ei
))ϕ
+
i−1
i
i
h2
h2
h2
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
Esto nos conduce a resolver el sistema
tridiagonal
Aiyi−1 − Ciyi + Biyi+1 = Ei
donde
τ2
Ai = Bi = 2
h
τ2
Ci = 1 + 2 2 + τ 2F′′(ϕi)
h
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
2
V1
1.8
t = 0.2
1.6
t = 0.246
t = 0.1
1.4
t=0
1.2
1
0.8
0.6
V2
0.4
0.2
0
1
1.25
1.5
Figure: Evolución de kink - kink antes de la
interacción a diferentes valores de tiempo.
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
2
1.8
V2
t = 0.264
1.6
t = 0.3
t = 0.4
1.4
t = 0.6
1.2
1
0.8
0.6
V1
0.4
0.2
0
1
1.25
1.5
Figure: Evolución de kink - kink después de la
interacción a diferentes valores de tiempo.
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
2
1.8
V2
V1
t = 0.2
1.6
t = 0.1
1.4
t=0
1.2
1
t = 0.24
0.8
1
1.5
Figure: Evolución de kink - antikink antes de la
interacción a diferentes valores de tiempo.
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
1.8
1.6
1.4
t= 0.246
t = 0.26
1.2
1
t = 0.6
0.8
t = 0.3
0.6
0.4
t = 0.4
V1
V2
0.2
0
1
1.5
Figure: Evolución de kink - antikink después de la
interacción a diferentes valores de tiempo.
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Referencias
Ec. tipo sine-Gordon
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
V. G. Danilov, G. A. Omel’yanov, V. M.
Shelkovich, Weak Asymptotics Method
and Interaction of Nonlinear Waves,
Asymptotic methods for wave and
quantum problems, (M. V. Karasev ed.),
AMS Trans., Ser 2, v. 208, AMS,
Providence, R. I., 2003, 33-164.
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
M. G. Garcı́a A., R. Flores E., G. A.
Omel’yanov, Interaction of shock waves in
gas dynamics. Uniform in time
asymptotics, Int. J. of Math. & Math.
Sc., Vol. 2005, No. 19, pp. 3111-3126.
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
M. G. Garcı́a A., G. A. Omel’yanov,
Kink-Antikink Interaction for Semilinear
Wave Equations with a Small Parameter,
Electronic Journal of Differential
Equations, Vol. 2009(2009), No. 45, pp.
1-26.
Introducción
Ec. tipo KdV
Caso m = 4
Ec. tipo sine-Gordon
D. A: Kulagin, G. A. Omel’yanov,
Interaction of kinks for semilinear wave
equations with a small parameter,
Nonlinear Analysis, 2006, Vol. 65, N. 2,
pp. 347-378.