05 ligaduras debiles y fuertes

FES. Ligaduras fuertes y débiles.
Potencial periódico débil.
Trataremos a continuación de buscar
soluciones para las energías de los electrones
en el caso de que el potencial periódico que
ven los electrones sea débil.
Comenzaremos el cálculo intentando aplicar
teoría de perturbaciones, usando como
referencia el sistema de electrones libres y
asumiendo que aplicamos un potencial
periódico U(r)
Por tanto el cálculo asociado a la teoría de
perturbaciones no permite calcular las
variaciones de energía en los limites de zona.
FES. Ligaduras fuertes y débiles.
Por tanto y para poder encontrar las energías tenemos
que recurrir a resolver la ecuación de Schrödinger.
Para ello desarrollamos en serie de Fourier el potencial
periódico y también la función de onda monoelectrónica
y sustituimos en la ecuación de Schrödinger, tal y como
se hizo en la demostración de Teorema de Bloch:
Para encontrar soluciones de la ecuación recurrimos a la
ecuación en su forma de conjunto de ecuaciones algebraicas
(que se encontró en al demostración del teorema de Bloch)
FES. Ligaduras fuertes y débiles.
La presencia de un potencial periódico hace aparecer en
los límites de zona (en cualquier dirección g) una banda
de energía prohibida de magnitud 2 |Vg |, donde Vg es la
componente g del potencial de Fourier.
En el resto de la zona la energía de los electrones no
difiere en exceso de lo esperado para los electrones
libres.
FES. Ligaduras fuertes y débiles.
La presencia del potencial da lugar a la
aparición de dos estados que concentran
la densidad electrónica en los átomos o
entre ellos dando lugar a estados de
distinta energía.
FES. Ligaduras fuertes y débiles.
Representación para sistemas 2D
Las bandas de energía van a ser funciones
complejas que presentan gap de energías de
diferente valor en función de la dirección del
espacio recíproco.
2D
FES. Ligaduras fuertes y débiles.
Ejemplo: Estructura de bandas del Silicio (3D)
Las bandas se representan en dirección concretas del espacio recíproco, hasta
el límite de la 1º zona de Brillouin
FES. Ligaduras fuertes y débiles.
Electrones fuertemente ligados
Analicemos ahora una situación totalmente diferente
al caso previo. Supondremos que los electrones
adquieren funciones de onda que son combinaciones
lineales de los orbitales atómicos de los átomos que
conforman el sólido. Calcularemos con esta hipótesis
los niveles de energía del solido asumiendo que
podemos usar teoría de perturbaciones.
FES. Ligaduras fuertes y débiles.
Este modelo ilustra un principio importante.
Supongamos que partimos de un conjunto de
niveles atómicos cuando los átomos están aislados.
Cuando los aproximamos para formar un sólido se
produce el solapamiento que da lugar a estados
combinación lineal de los orbitales atómicos. Esto
hace que cada estado atómico de lugar a una
banda de energía ε(k) en el sólido.
La forma de la banda es análoga a la obtenida en el
caso de electrones débilmente ligados, es decir
sigue la parábola de electrones libres para k
cercanos a cero y se desplaza de estos valores para
k próximos a los límites de zona.
En este caso la presencia de un «gap» de energía
surge al partir de diferentes niveles atómicos para
poder determinar las diferentes funciones εn(k)
FES. Ligaduras fuertes y débiles.
Bandas de energía.
Si bien los cálculos en el caso de electrones débilmente ligados y fuertemente ligados son diferentes, es
interesante mencionar que los resultados, al menos cualitativos son análogos e indican que en lo sólidos
aparecen una serie de bandas de energía. En el interior de la zona los electrones siguen comportamientos
similares a los de los electrones libres y en los límites de zona aparecen «gaps» de energía que están
condicionados por como es el potencial cristalino del sistema.
En la práctica habitual existen procedimientos de cálculo de la bandas más precisos ( métodos celulares,
método de ondas planas aumentadas, método basados en las funciones de Green, método de las ondas planas
ortogonales, pseudopotenciales, etc) que aunque dan valores más precisos no cambian lo observado con los
dos modelos extremos explicados.
Una de las aplicaciones más importantes de los resultados obtenidos hasta ahora es que estamos preparados
para saber a priori que tipo de comportamiento eléctrico se espera de un determinado sólido.
FES. Ligaduras fuertes y débiles.
Tipos de sólidos según la teoría de bandas
Metal
Aislante
Metal
Semimetal
El número de k permitidos en la primera zona de Brillouin coincide con el número de
celdillas del cristal. Además cada estado puede acomodar 2 electrones.
El número de electrones que puede acomodar una banda es 2 veces el número de
celdillas del cristal.
1. Los sólidos con un electrón libre por celdilla primitiva son metales, ya que no llenan
la primera banda de energía. Ejemplos: metales alcalinos, Li, Na, K, Rb, Cs, y metales
nobles como Cu, Ag, Au)
FES. Ligaduras fuertes y débiles.
Tipos de sólidos según la teoría de bandas
Metal
Aislante
Metal
Semimetal
2. Los sólidos con un número impar de electrones por celdilla, también son metales, ya
que llena parcialmente una banda. Ejemplos: Al, Ga, In, Tl,
3. Los sólidos con un número par de electrones por celdilla primitiva deberían ser
aislantes, si bien no siempre es así porque puede haber solapamiento de bandas. De
hecho la mayor parte de los elementos divalentes son metales, los intervalos
prohibidos no son lo bastante anchos para que los electrones queden contenidos en
una sola banda. Algunos de ellos como (Sr, Ba) son malos conductores, probablemente
porque existe un bajo grado de solapamiento.
FES. Ligaduras fuertes y débiles.
Tipos de sólidos según la teoría de bandas
Metal
Aislante
Metal
Semimetal
4. Los elementos tetravalentes son o metales o semiconductores. Una progresión
interesante se produce en el grupo IV de la tabla periódica, empezando por el C que en
su fase diamante es un semiconductor con un intervalo prohibido tan ancho que en la
práctica es una aislante. El Si y el Ge son semiconductores, el Sn que puede ser metal o
semiconductor en función de sus estructura cristalina y el Pb que es un metal
FES. Ligaduras fuertes y débiles.
Ejemplo de bandas de energías en las que existe solapamiento
2V100
2V100