Transformada Z Procesado Digital de Señales.4º Ingeniería Electrónica. Universitat de València. Profesor Emilio Soria. 1 Definición y propiedades. Causalidad y estabilidad Juega elx(n) mismo Definición: La Transformada Z yde unaPDS. señal discreta se papel en procesado digital Definición y uso en Definición y propiedades. Causalidad estabilidad de señales que la Transformada de Laplace efine como la serie de potencias: Dada una Zsecuencia discreta efinición: La Transformada de una señal discretax(n) x(n)se se en el análisis de sistemas continuos. Z-3 ∞ ! fine como la serie de potencias: define su transformada Z como −n Z - 3 X(z) = x(n)z ∞ Usos más comunes. ! sform of a General Signal donde z es una −n x[n]: X(z) = x(n)z nsform of a General Signal n=−∞ x[n]: variable compleja. n=−∞ onde es variable una variable compleja (z ∈ C). nde z esz una compleja (z ∈ C). Obtención de expresiones entrada-salida. omenclaturas: También se denota como X(z) ≡ Z{x(n)} y Nomenclaturas: También se denota como X(z) ≡ Z{x(n)} y Simplificación de estructuras. relación entre x(n) y X(z) se indica con: relación entre x(n) con: zy X(z) se indica Representaciones más usuales x(n) ←→ X(z) z ←→ X(z) onvergencia: Como la TZ esx(n) una serie infinita de potencias, Implementación de estructuras. lo existe cuando se da la convergencia de la serie de potencias → Convergencia: Como la TZ es una serieROC). infinita de potencias, egión de convergencia (“Region of Convergence”, Resolucion de ecuaciones en diferencias efinida por el conjunto de valores de z que hacen X(z) finita. ólo existe cuando se da la convergencia de la serie de potencias → ∞ ! −n = |x(n)z | < ∞ Región deX(z) convergencia (“Region of Convergence”, ROC). n=−∞ Puente entre el diseño analógico y digital efinida por el conjunto de valores de z que hacen X(z) finita. onsecuencia: Siempre que hablemos de una TZ hay que dar su (transformación bilineal e impulso-invariante) OC. Procesado Digital de Señales.4º Ingeniería Electrónica. de València. Profesor Emilio Soria. SignalsUniversitat & Systems Signals & Systems X(z) = ∞ ! NTU-EE NTU-EE |x(n)z −n| < ∞ 2 wS)Y = " SX ("wS)X ( w) x(n) = A "!sin#!(# " nSY+($ ) (wH) =( j H" w)( j " w) 1 RXX (m) = SX ( w)x(n) " e jmw % =dw A "=e#A" n" e# " n 2 " # j" ( w" n + # ) x(n) x(n) = A " e $ # ! ! ! ! ! 2 ! x(n)x(n) = A "=sin " n(# +$ A("# sin " n) + $ ) SY ( w) = H ($ j " w) " SX ( w) $ ! ! j" ( w" nj"+(#w" ) n + #) = A "=e A " e x(n) y n }= A=" e%de x k Convergencia. " hn#x(n) {x(n) Región k & y(n) = % x(k) " h(n # k) #"n ! ! ! ! ! ! ! Ese sumatorio puede converger $ $ k= ! #$ ! $ k= #$ $ En la expresión de la transformada Z x(n) = A " sin(# " n + $ ) { y } = (o"x(k) no!!!) & ky(n) = %=x(k) h(n # k) para = x% " h(n # k) determinados % n { yn } k " hxn# % k k" h n# aparece un ! sumatorio cuyos límites son ± !& y(n) k= #$ k= #$ k= #$ valores de la variable compleja z. k= #$ j" ( w" n +! #) n x(n) = A " e x(n) = a " u(n) Z-5 Definimos la Región de Convergencia, también conocida como R.O.C, de una $ $n n x(n)x(n) = adel =" u(n) aplano " u(n) transformada a la región complejo donde la transformada Z converge { y n } = % x k " hZ n# k & y(n) = % x(k) " h(n # k) ! ! k= #$ $ Ejemplo X (z) = x(n) = a n ! n= #$ % ! n = k= 0 " u(n) " z #n " = ! ! X (z) = !% 1 % r <1 1$ r X (z) = ! 1! 11" a # z "1 %n #n = %( $ #n $ n n= 0 n= 0 $ n "a " z #1 $n a " z #1 ) n n= 0 #n n #n n= 0 $ #1 n #1 n n= 0 "m z-plane 1 1 r <1 r0 = n % n= r < 1 r1 $=r n= 0 % r < 1 k= 0 1$ r ## Unit circle k= 0 1 X (z) = 1 Si X (z) 1y"=asólo # z "1 si 1 " a # z "1 1 " a # z "1 ! #n n n= 0 # R.O.C)1 $ r #r #n n= #$ n= #$ XHay a "(z) =que recordar nn= #$ !1 de que (Condicion k= " 0 n $ n $ n r = ! $ a " u(n) " z = % a " z = % ( a " z ) % X (z)X=(z) " z "=z %=a " za "=z%=( a " z a) " z ! %= a%" u(n) a " u(n) " u(n) ! % %( ) n #n $ $ ! $ k= #$ a 1 !e R.O.C ! Procesado Digital de Señales.4º Ingeniería Electrónica. Universitat de València. Profesor Emilio Soria. ! ! 3 orm e 10.2: ! k= #$ k= #$ x(n) = a n " u(n) ! $ $ $ % % Región de Convergencia. a n " u(n) " z #n = NTU-EE a n " z #n = ! & SystemsX (z) = Signals n= #$ n= 0 n= 0 # Z-5 k= 0 Si x(n) es finita la R.O.C es todo el plano complejo excepto, posiblemente z=0 y z"! 1 X (z) = 1 " a # z "1 "m z-plane z-plane Unit circle Unit circle ! a a 1 Procesado Digital de Señales.4º Ingeniería Electrónica. Universitat de València. Profesor Emilio Soria. Figure 3.4 Pole–zero plot and region of convergence for Example 3.2. © Feng-Li Lian 2004 Signals & Systems 1 !e R.O.C |z|<a ) Propiedades. La R.O.C no contiene ningún polo de la transformada Z. ! Example 10.1: "m n La R.O.C consiste en un anillo centrado en el origen. Hay que destacar que diferentes señales discretas " misma transformada Z pero pueden tener la 1 The z-Transformn Z-6 r = R.O.C. % r <1 diferentes ! 1$ r ! %( a " z #1 R.O.C |z|>a Figure 3.3 Pole–zero plot and region of convergence for Example 3.1. !e Si x(n) es causal, x(n)=0 # n<0, la R.O.C es el exterior de una circunferencia cuyo radio se corresponde con el polo de la transformada Z mayor en valor absoluto. Si es estrictamente anticausal, x(n)=0 # n>0, es el interior (un círculo) de la circunferencia con radio igual al polo de menor valor absoluto de la transformada Z. En otras situaciones se tiene un anillo. 4 Signals & Systems NTU-EE NTU-EE Summary of Properties Propiedades de la Transformada Z. 6/7 elec3600 Time domain z-domain ROC ax1 [n] + bx2 [n] aX1 (z) + bX2 (z) ⊇ Rx1 ∩ Rx2 † x[n − n0 ] z−n0 X(z) Rx z0n x[n] X(z/z0 ) |z0 |Rx dX(z) † Differentiation nx[n] −z Rx dz in z Time-reversal x[−n] X(1/z) 1/Rx ∗ ∗ ∗ Conjugation x [n] X (z ) Rx ∗ ∗ Symmetry Im{x[n]} = 0 X(z) = X (z ) (real) Symmetry Re{x[n]} = 0 X(z) = −X ∗(z∗) (imag) Convolution x1 [n] ∗ x2 [n] X1 (z)X2 (z) ⊇ Rx1 ∩ Rx2 Initial value x[n] = 0, n < 0 ⇒ x[0] = lim X(z) Property Linearity Time-shift Scaling in z ! " # z→∞ $ % Aquí el superíndice !indica que z=0 ò z=! pueden añadirse/eliminarse. 1/Rx hace referencia a & los puntos en los que 1/z pertenece a Rx ' Procesado Digital de Señales.4º Ingeniería Electrónica. Universitat de València. Profesor Emilio Soria. 5 Transformadas Z comunes. z TABLE 3.1 SOME COMMON -TRANSFORM PAIRS Sequence 1. δ[n] 2. u[n] 3. −u[−n − 1] 4. δ[n − m] 5. a n u[n] 6. −a n u[−n − 1] 7. na n u[n] 8. −na n u[−n − 1] 9. [cos ω 0 n]u[n] 10. [sin ω 0 n]u[n] 11. [r n cos ω 0 n]u[n] 12. [r n sin ω 0 n]u[n] 13. ! a n , 0 ≤ n ≤ N − 1, 0, otherwise Transform 1 1 1 − z−1 1 1 − z−1 z−m 1 1 − az−1 1 1 − az−1 az−1 (1 − az−1 )2 az−1 (1 − az−1 )2 1 − [cos ω 0 ]z−1 1 − [2 cos ω 0 ]z−1 + z−2 [sin ω 0 ]z−1 1 − [2 cos ω 0 ]z−1 + z−2 1 − [r cos ω 0 ]z−1 1 − [2r cos ω 0 ]z−1 + r 2 z−2 [r sin ω 0 ]z−1 1 − [2r cos ω 0 ]z−1 + r 2 z−2 1 − a N z−N 1 − az−1 ROC All z |z| > 1 |z| < 1 All z except 0 (if m > 0) or ∞ (if m < 0) |z| > |a| |z| < |a| |z| > |a| |z| < |a| |z| > 1 |z| > 1 |z| > r |z| > r |z| > 0 Procesado Digital de Señales.4º Ingeniería Electrónica. Universitat de València. Profesor Emilio Soria. 6 From Discrete-Time Signal Processing, 2e by Oppenheim, Schafer, and Buck Polos de la Transformada Z-Tipo de señal. Existe una relación directa ) { ( )}los ) ( polos entre de la transformada )} ) ( Z y ) el tipo de { ( señal que da lugar a dicha ) transformada. ) APLICACIÓN DIRECTA EN EL DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL DIGITAL FIGURE 6.4.3 (continued) ( ZI I u nT u nT z ! n = = n=0 1 z = 1 ! z !1 z ! 1 z >1 !1 ZI I !u !nT ! T u !nT ! T z ! n =! n = !( " 0 % = !$ z ! n ! 1' $# n = !( '& ( zn =1! =1! FIGURE 6.4.3 n=0 1 z = 1! z z !1 z <1 FIGURE 6.4.3 (continued) Example Although their Z-transform is identical their ROC is different. Therefore, to find the inverse Z-transform the region of convergence must also be given. The Z-transform of the functions of u(nT) and –u(–nT – T) are Procesado Digital de Señales.4º Ingeniería Electrónica. Universitat de València. Profesor Emilio Soria. © 2000 by CRC Press LLC © 2000 by CRC Press LLC © 2000 by CRC Press LLC 7 Otras peculiaridades: Otras peculiaridades: Transformada Z unilateral. 1. Retardo temporal: Si se designa el par secuencia discreta- Transformada Z unilateral: Esta transformada exige que las señales estén definidas en −∞temporal: < Si1. Retardo Transformada +Z unilateral por la secuencia esencausal; n < ∞ Si permitiendo su uso sistemasesto quees nox(n) están Si en reposo z x(n) ←→ X +(z) # n<0 (condiciones iniciales #= 0).=0 Viene definida por:Otras peculiaridades: + z x(n) ←→ X +(z) ∞ ! 1. entonces Retardo temporal: X +(z) = x(n)z −n Si entonces Se tienen entonces las siguientes k ! k −k z ++ ! x(−n)z n ] propiedades. z + z −k x(nde − k) ←→ [X El lı́mite inferior es la diferencia, siempre nulo, independiente +(z)++ n x(n) ←→ X (z) x(n − k) ←→ z [X (z) + x(−n)z ] Se tiene entonces lo que se conoce n=0 z+ que la señal sea causal (x(n) = 0, para n < 0) o no. n=1 n=1 como Transformada Z unilateral. entonces Retardo temporal. 2. Adelanto temporal: 2. Adelanto temporal: k ! + Si z 1. No contienen información sobre x(n) para n Si < 0. x(n − k) ←→ z −k [X +(z) + x(−n)z n] Algunas propiedades importantes: Hay que destacar cuando se tenga 2. Es única sólo para señales que causales. z+ z+ X + x(n) ←→ x(n) ←→ X +(z) (z)n=1 este tipo de transformadas no hay que entoncestemporal: especificar la R.O.C ya que será 2. Adelanto Adelanto temporal. entonces 4. Como x(n)u(n) es causal, la ROC k siempre el exterior de de unZ{x(n)u(n)} círculo;Si y, por tanto, ! z+ + k + k x(n)z −n ] la ROC de Z {x(n)} es siempre exterior z [X+ (z) − ! + evidentemente ya que sólo aseun cı́rculo. → CONx(n + k)z←→ k z+ −n n=1 x(n)z TRANSFORMADAS UNILATERALES NO ES NECESARIA x(n + k) ←→ z [X −(z) ] x(n) ←→(z) X+ considera la parte causal de x(n) 3. Z +{x(n)} = Z{x(n)u(n)}. LA DEFINICIÓN DE LA ROC. Procesado Digital de Señales.4º Ingeniería Electrónica. Universitat de València. Profesor Emilio Soria. n=1 3.entonces Teorema del Valor Final: Si 3. Teorema del Valor Final: k ! + + z z + X + (z) Si x(n) ←→ x(n + k) ←→ z k [X (z) − x(n)z −n] entonces z+ n=1 x(n) ←→ X +(z) 8 b0 z + b1z + ! + bM z = N in the N !1 form If the poles p1 , p2 , …, pN of a proper function F(z) are all different, thenz we F z z3 expandzit + a z A A+ ! + a N + 1 1 unction = = + 2 z ! 2 z !1 z is always a proper function. z ! 2 z ! 1 () ( () )( ) F Nz! M !1 A1 A2 AN b0 z + b1z + ! + bM z = + +!+ (6.7.4) = ( 6. 7.3) Partial Fraction Expansion z z ! p z ! p z ! p N N !1 1 2 N z + 3 z ! 2 z + 3 z !1 z z + a z + ! + a N 1 Transformada Z inversa. Métodos (I) F z Distinct Poles A2 = !4 A1 = z=+53, A2 = A1 If the poles p1z, p!2 ,2…, zp= function F(z) we expand it in the = z are +! 1 dethen !of1 aesproper ! 2alldentro zdifferent, where all Ai are unknown constants to be determined. N Aquí la integración sobre un contorno la z = 2 z = 1 ction. z by z ! 2 z ! 1 z ! 2 z ! 1 Se puede demostrar que The inverse Z-transform of the kth term of (6.7.4) is given R.O.C de la Transformada ZF yz que contenga al origen. ( ) = A1 A+ A2 A + ! + AN F ( z ) se puede Therefore, z 3 + Esta integración calcular de forma más Expansion z z=! p1 1 z+! p2 2 z ! pN = n # z 2 z 1 z ! ! z 2 z 1 ! ! usando Teoría Compleja usando (causal ) signal # 1 '% % pk u nT sencilla if ROC : z (> de pk )Variable z + 3 z ! 2 z + 3 z(6.!7.5) 1 !1 % NTU-EE Lian 2004 Signals & Systems Z $ = where all A are unknown constants to be determined. n n ( $ i z z residuos; veamos este cálculo de forma mas práctica. n AnT =F!inverse = ,f A == 5signal pN of a proper function F(z) expand in the pk all z !1different, zT =it5 Z-transform !form 4: zof the or5 term nT 2 given ! 4by1 n " 0 = !4 %&1 !are %) %– p thenu we 1The 2(6.7.4) kth of is ! if ROC < p anticausal z ! 2z( z!+z23!) (1z !z 2!)1 k & k Expansión en fracciones (z +z3)!(z2! 1)z ! 1 () F z N !1 N!2 ( ( ( )( ) ( )() ) )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ( ) ( (( )) )( ) ) ( ) A = ( ( ) )( ( ( ) ( ( ) ))(( ) z =1 = 5 n, A2 = 2 – 3z + z2) !#%with 2 z11!!,11!p<'%2 !,!z!#%…, z ! 2case, z !ROC 1all terms F z is causal, If F(z) = z(z + 3)/(z >p 2, following exactly nT In if : z the > pksame causalprocedure signal) If the signal ROC is !z! > p , where p = max{!p !puthen !}. this A1 the (b) A A ) ( max max ! 1 2 N z = 2 ( k ) N( z =1 Z $ = = + + ! + ( 6. 7.4) ( $ n in (6.7.4) result %&1 ! pk z !1 %) %– p u !nT ! T z zin!causal pTherefore, z signal ! p components. z!p if ROC : z < p anticausal signal 1 () 1 2 ( z=2 ) )= !4 )( ) N ( & ( ) ( )( ) ) k k ( Therefore, z z Example Ejemplo F z = 5 ! 4 If the signal is causal, the ROC is !z! > pmax, where pmax = max{!p1 !, !p2 !, …, !pN !}. In this case own constants to be determined. z!2 z !1 2 – 3z + 2) with !z!in>(6.7.4) n n n result in causal signal components. z z (a) If F(z) = z(z + 3)/(z 2 then n sform of the kth term of (6.7.4) is given by z z F Example z = 5F z = 5 ! 4 ! 4 or nT= 5=25 2! 4 1! 4 n1" 0 n " 0 or ff nT However, the pole at z = 2 belongs to the negative-time sequence and the pole at z = 1 be z ! 2 z ! 1 z!2 z !1 con R.O.C |z|>2 to the positive-time n (a) sequence. If F(z) = z(zHence, + 3)/(z2 – 3z + 2) with !z! > 2 then # 2 – 3z + 2) with 1 < !z! > 2, then following exactly the same procedure (b) If F(z) = z(z + 3)/(z '% % pk u nT if ROC : z > pk 2 causal Si+signal la2)R.O.C hubiese sido 1<|z|<2 entonces 1 (b) If F(z) = z(z + 3)/(z – 3z with 1 < !z! > 2, then following exactly the same p = ( 6. 7.5) ( $ n !1 1 ! pk z© 2000 %) by%CRC $!4 1 n – pPress LLC u !nT ! T if ROC : z < pk anticausal signal nz" 0 & F kz A A z +3 & z = = 1 + 2 F z = 5 ! 4 f nT = % © 2000 by CRC Press LLC z z !z2 2n zn!#1z!1 z ! 2 z !1 z ! 2 z !1 ! 5 & the ROC is !z! > pmax, where pmax = max{!p1 !, !p2 !, …, !pN !}. In this case, all F terms z = '5 !4 Procesado Digital de Señales.4º Ingeniería Electrónica. Universitat de València. Profesor Emilio Soria. usal signal components. However, the pole at z = 2 belongs to the negative-time sequence z!2 z ! 1 and the pole at z = 1 belon 9 Example z +3 z ! 2 z + 3to zthe ! 1positive-time sequence. Hence, () () ( ) ( ) ( ( )) ( ( A1 = 2 ( )( ) (z ! 2)(z ! 1) ( ( ) )( ) (( ) ) ( ) ( ) ( ) () ) ) ( () ) () () () ( )( ) = !4 To detrmine of F(z) = 1/(1 – 1.5z + 0.5zsequence ) if (a) ROC: ! > 1, (b) RO However, = 2 belongs to the negative-time and!zthe pole at 2) (the zpole ! 1inverse (z !the ) at zZ-transform = 5 , A2 = z=2 () –1 z =1 n –2 g =& ) % E[ d (n) " d (n # 2)]( ! ! ! ! ! $ E[ d (n) " d (n # 1)] ' g =& ) E d (n) " d (n # 2) [ ] % ( # 1& g = a "% ( $ a' ! # 1& g = a "% ( $ 1 "a' $1' 1 "1 $ a' w = R #g = #& ) # a #se & ) ! introducir de una manera Este método de descomposición en fracciones nos permite 1 que 1 " a 2sencilla %"a lo ( %a( conoce como respuesta natural y forzada de un sistema. Para ello consideraremos un sistema con $ 1 "a $ 1 ' respuesta impulsional del sistema h(n), su correspondiente 1 entrada "1x(n), su transformada Z'es X(z), w = R #g = # # a # Y (z) = H (z) " X (z) & ) & ) transformada es1H(z), salida1y(n) " a 2 y %la"a ( con % a (Y(z) como transformada. n ! "1% 1 h(n) = ( u(n) ) H (z) = $ ' Ak B Descomponemos en #Y2(z) &n = + 1 * 0.5 k( z *1 n Y (z) = H (z) " X (z) " 1! % z1" p H (z ) " 1 %n 1 z " pX (z) fracciones. H (z)) H (z) X (z) h(n) = $ ' ( h(n) u(n) ) ="$1H%'(z) (= u(n) = *1 #2& 1 * 0.5 ( zX # 2 & ( u(n) 1=* 0.5 ( z *11 x(n) = ) (z) $ ' El primer término se corresponde con la respuesta propia y, como indica no depende #"31&%n su nombre Ak Bk " 1 %n 1 *1 1 3 ( z *1 1 = $ ' ( u(n) Yde (z)la=entrada; depende + de las característicasx(n) intrínsecas del) mientras x(n) =sistema ) X (z)que = el segundo, $ X '(z)(=u(n) # 3& z " p H (z ) z " pX (z) 1 * ( 1 3) ( z *1 1 * 1 ( z *1 # 3& ! Transformada Z inversa. Métodos (I) # ! ! ! # ( ) # ( 3) (z) X (z) de X(z), tendrá una relación directa con dicha señal de entrada. queHagrupa a los polos 1 1 A B Y1(z) = # = + Ejemplo 11 A B 11 A "1= "1 B # +="1 !Y (z) = 0.5 # z 1 " 0.5 # z Y (z) # + "1 =1 " 1 "1# z 1 " 1 ""1 1 3 "1 "1 ! "1 0.5 # 3 z "1 11""( 1 11""( 0.5) ## zz"1 11"" 1 # z ! 1 " 0.5 # z 1 ) 0.5 # z 1" ( ) # z 3 3 ( )#z n "1% 1 h(n) = $ ' ( u(n) ) H (z) = #2& 1 * 0.5 ( z *1 " 1 %n 1 ! x(n) = $ ' ( u(n) ) X (z) = # 3& 1 * 1 3 ( z *1 ( ) ! ! # (3 ) Y (z) = ! ! 3 2 33 2 2 " Y (z) " "1== Y (z) " "1 1 "1 1 " 0.5 # z 111""" (0.5 0.53)##z#zz"1 1 "1("1 )1# z "1# z "1 3 3 Y (z) = 3 2 " 1 " 0.5 # z "1 1 " 1 # z "1 ( ) * # 1 &n #* 1 &n - n n # 1 &n - n y(n) = , 3 " % ( ) 2 "*% (## /1"&&u(n) 2 'y(n) =,$, 3 '" % /.1( ) 2 " % #(1 /&" u(n) ,+ $ y(n) = ,+3 " %$ 2 '( ) 2$"3%' /.( / " u(n) ! $ ' $ ' 1 1 A B ! YProcesado (z) =Digital de Señales.4º"1Ingeniería # Electrónica. = + "1 1 # z "1 1 " 0.5 # z 1 de"València. 0.5 # zProfesor Emilio Universitat 1 " Soria. 1 " 1 3 # z "1 3 ( ) 3 ( ) ! ! ! ,+ 2 3 /. 10 ( ! ! ! ! H (z) = e P ( BP(|AA| B)) =" P(A) P ( B | A) " P(A) P(B) P A | B = ! ( ) P ( A | B) = P ( A | Es ) "!P(Es ) f (0) P(B) PP(B) E s | A) = ( f (x) =H$ (z) = e " x ! n! P ( A | E ) " P(E ) ! P( E | A) = # P ( Ek ) "!P( A | Ek ) P ( A | E ) " P(E ) ! Z inversa. Métodos (II) P( E | A) = f (0) Transformada k ! # n n "z "1 s n=0 s # s # Pk(E ) " P( A | E!) k Expansión en potencias de Z. k k P ( A | E ) " P(E )! n f s(x) = $ ! n! n $ e" x = % s s " xn ("1n=0 ) ## xPn (Ek ) " P( A | Ek ) k n! s"z "1 La estrategia consiste en expandir la transformada Z sen una serie de potencias n=0 n $de Z para, "1 ( ) H (z) = e "1 " x n s seguidamente igualar esta=expansión a la definición de Transformada Z"1 e = # x % H (z) e"z "z ! n! H (z) = en=0 !! Ejemplo # Taylor n El teorema nos asegura que n n # de ! n f (0) $ $ n k k f (0) # "1 n n "1 "1 ( ) ( ) n "1 podemos (x)= =descomponer x ! funcione"z = Se pide determinar la f (0) f f(x) " x "cualquier n = # z # f (x) = " x $ n! k n n n! n! $ $ n! sus derivadas n-ésimas en el secuencia discreta que da f(x) usando n=0n=0 n=0 n=0 n! "1 n "1 "1 ( ) ( ) !! ! ! e"z n=0 =% # ( z "1 ) =% origen de la siguiente forma. lugar a la siguiente n! n! n=0 n=0 transformada Z. n $ $ n n $ $ "1 ( ) #n "x n "1 ( ) "1 " x n "1 H (z) = x(n) " z e = # x " x n e = # x $ % !"z ! e = # x ! n! #n n! n=#$ n=0 ! n=0 = % x(n) " ( z ) H (z) n! n=0 ! n=#$ P ( E | A) = # P(E$)$" P( A | E ) %% ( ) H (z) = e Esta función no es racional por lo que no se# puede n aplicar lo visto ! anteriormente f (x) = $ ! n=0 "z n $ "1 "1 "1 n n=0 $ "n n=0 H (z) = n n=0 % x(n) " (z ) #n n=#$ $ H (z) = "z x(n) " z #n nn $ "1 "1 n n=0 n=0 $ ! n ! ! % x(n) " (z11 ) #n n=#$ $ n=0 $ H (z) = ( ( ) % f (0) ("1) # z = ("1) ! ) # z ne x(n) n ("1) # ( zn ) =%!("1 = e " =x% %= n! # u(n) ( ) % n! ) $ $ !( n "1 "1 n! n! ( ) # z "1 = ( ) # z "n "z e = n! % n! ( ) % n! ( ) Procesado Digital de Señales.4º Ingeniería Electrónica. Universitat de València. Profesor Emilio Soria. $ ( ) % % n # H (z) = "1 2 Properties of the z-Transform 1 1 1" p # z ) ( H (z) = H (z) = = "1 21 2 H (z) "1 "1 2 1"(1" p # z1" p # z ! Differentiation in p # )z z-Domain: ( the ) ( Z - 39 ) Transformada Z inversa. Métodos1(III) z G(z) = = "1 1" p =# z 1) 1 ( z1 " =pz) z z ( Otro método muy usado ! para! determinar G(z) = ! G(z) = G(z) = = ! p #)zp # )z("1 z" p #(z1" transformadas Z inversas se debe al uso de la (1"(1" )(zp")(zp") p) propiedad de la derivada de la transformada Z "1 ! Ejemplo dG(z) "1 1 dG(z) = z # p # "1 "1 dG(z) dG(z) 1"1 12 1 "1 ! "z # = z # p # ! The Initial-Value Theorem: ! "z # = z #(1" = #z p# #pz# ) "1 dz# "z dz ! p 2 "z # Determina la secuencia que da lugar a la siguiente Transformada Z dz dz ( ( ) ( ) ) NTU-E ) ( ( ! 2 "1 2 "1 1" p # z ( ) 1" p #(1" z p#z ) Aplicando la propiedad de la derivada se tiene 1 1 n n 1 $ n$#=g(n) =pn=#nu(n) pnn# #pu(n) z "1 # pz#"1 # zp"1# z# "1p ## p 1# 2 $"11n$2# g(n) n # n # g(n) # u(n) n # g(n) = n # p # u(n) 2 H (z) = "1 "1 2 2 1" p # z "1 p # )z ) 1" p1" # z(p #(z1" ! ! (11" p # z "1!) © Feng-Li Lian 2004 Signals & Systems ! H (z) = 2 1 1 Para ello nos en la "1 1" pbasaremos # z "1 "1 1 1 z # $ # pnn"1 #n"1 u(n) "1 n"1n 2 z # $ # p # u(n) "1 n"1 "1 2 z # z # $ n # p # u(n) propiedad de la derivada usando $ n # p # u(n) "1 2 1" p # z ( 1" "1 2p # )z ) Properties of"1 the(z-Transform 1 z ! 1" p # z 1" p # z ! ! la siguiente G(z) =transformada = Z. ! "1 ! Aplicando la propiedad del retardo temporal se tiene (11" p # z ) z (z " p) 1 1 n n $ ($ n +1 # p #pu(n +1)+1) ) 2 n +1 # # u(n G(z) = = 1 ( ) n 1 "1 2 "1 n "1( n +1) # p # u(n +1) p # z2p($ 1" p # z (1" $ ( z " p) n# )z+1 ) ) # p # u(n +1) "1 ! ! 1""1p #2(z1" 1" p # z !1 dG(z) Procesado Digital de Señales.4º Ingeniería Electrónica. "1 ! València. ! Universitat de "z # Profesor Emilio=Soria. z # p# "1 2 dz 12 1" p # z ( ) dG(z) "1 1 ! ! "z # = z # p# 2 "1 1 dz ( ( ! "1 ) ( ( ) ) ) ) Z - 40 1 "1 1 z # p # $ n # g(n) = n # pn n # u(n) "1 ! Time Shifting: 2 z # p # 1" p # z "1 2 $ n # g(n) = n # p # u(n) ( p # z "1 )) (1" !! 1 "1 n"1 1 z # $ n # p # u(n) "1 n"1 Z. Análisis de sistemas L.T.I usandoz la Transformada 2 # # u(n) "1 2 $ n # p (1"pp#la#zz"1Transformada ) Por el momento no hemos aplicado al análisis de sistemas discretos Z. La manera de 1" ( ) ! ! enlazar el análisis de los sistemas discretos con la transformada Z va a venir dado por dos propiedades n 11 $ n +1 # p n # u(n +1) ( ) 2 "1 2 $ ( n +1) # p # u(n +1) "1 1" p # z ( p#z ) 1" "#$%&$'($)*$%!!"" +&%*,--,)./%0$1$00$2%3,%4&%+-5(.&$% 0$&5,)&$ ,1%3#$%6"7%&/&3$-8 LTI system δ[n] 1 h[n] ( !! n n y(n)=x(n)!h(n) 9)%+-5,034)3%50,5$03/%,1%*,):,.(3+,); © Feng-Li Lian 2004 !! Y(z)=H(z)$X(z) !! N N ! Procesado Digital de Señales.4º Ingeniería Electrónica. Universitat de València. Profesor Emilio Soria. P s=o s=o Aplicando la propiedad se tiene (condiciones NTU-EE iniciales=0) N P ( P %% N #k( #s #k * = X(z) " $ b " z #s Y (z) " 1# a " z ' $ Y (z) " '1# $ ak k" z * = X(z) " $ bs s" z k=1 s=o && k=1 )) s=o © Feng-Li Lian 2004 La transformada Z de la respuesta impulsional va a ser el elemento que nos va a servir para analizar los !! sistemas L.T.I discretos. P y(n)== $aak" "yy(n(n##kk) )++$bbs" "xx(n(n##s)s) y(n) $k $s k=1 k=1 Signals & Systems ! 3#$%!"#$" +)%<#+*#%3<,%&$'($)*$&%40$%*,):,.:$2%+&% ()+-5,034)3= ) Una forma usual de describir un sistema discreto es mediante una ecuación en diferencias. P Signals & Systems $b #s " z s H (z) = Y (z) = s=oN ( X(z) % #k '1# $ ak " z * & k=1 ) 13 Análisis de sistemas L.T.I usando la Transformada Z. Causalidad. P P La transformada Z de una señal estrictamente causal, vale #s 0 para bs " z bs " z #s $ n<0, es el exterior de una circunferencia. “Un sistema es causal Y (z) s=o Y (z) s=o H (z) = = H (z) = = N la Transformada es si cumple que h(n)=0 Un sistema es causal si la R.O.C deX(z) %( elN ( % X(z) Z #k #k 1# ' $ ak " z * '1# az=! exterior de una circunferencia; incluyendo # n<0” k "z * &) k=1 ) & k=1 $ $ Estabilidad. Un sistema discreto es estable BIBO si ante cualquier entrada acotada la salida permanece acotada. Se ha visto que Y(z)=H(z)$X(z). Si se factoriza esta expresión!se tiene A k Yk(z) = $ + O(X(z)) A "1 n pk # z ) Y (z) =!$ +(1" O(X(z)) "1 nk k (1" pk # z ) De X(z) no me preocupo (¿?) si me fijo en la parte de H(z) y aplico g(n) = p n " u(n) Transformadas Z inversa (recordando que según los polos sean simples no no g(n) =!p " u(n) g(n) = n s#1 " p n " u(n) se tiene ) ! s#1 n g(n) = n " p " u(n) Así pues si se busca una salida acotada la única forma es que |p|<1 (¿y si |p|=1 que pasaría?). Un sistema es estable si la Transformada Z de la respuesta impulsional tiene ! todos los polos dentro de la circunferencia de radio unidad (cualquiera que sea su orden de!multiplicidad). Procesado Digital de Señales.4º Ingeniería Electrónica. Universitat de València. Profesor Emilio Soria. 14 From Transfer Function to Difference Equation ••InInimplementing a adigital filter inin software on,on, say, a DSP, each digital filter software a each DSP, each element requires execution time or • implementing In implementing aadditional digital filter in software on,memory. say, say, a DSP, element requires additional time memory. element requires additional execution time or memory. element requires additionalexecution execution time orormemory. Computational Elements • An examination of the number of elements provides some meaAnálisis de sistemas L.T.I usando laofthe Transformada Z. provides Estructuras. putational Elements sure of the ‘cost’ ofthe the system.of ••An ofof number elements provides some mea•examination An examination the number ofof elements some meaAn examination number elements provides some mea2/7 3/7 3/7 elec3600 elec3600 requires additional ‘real estate’filter in the • In implementing a digital in design. software on, say, a DSP, each elec3600 elec3600 we were to implement digital filter in VLSI (a(aVery-Large-Scale weIfwere were implement digitalfilter filter VLSI (a Very-Large-Scale IfIfwe totoimplement a adigital in in VLSI Very-Large-Scale 3/7 Circuit) then each adder, multiplier and delay element IfIntegrated we were to implement a digital filter in VLSI (a Very-Large-Scale Integrated Circuit) then each adder, multiplier and delay element Integrated Circuit) then each adder, multiplier and delay element 3/7 requires additional ‘real estate’ in the multiplier design. Integrated Circuit) then each adder, requires additional ‘real inin the design. requires additional ‘realestate’ estate’ the design. and delay element elec3600 elec3600 elec3600 In the design of a discrete-time filter, we will seeanalizada that this can La transformada Z permite la sure La primera en ser es 2/7 labeque se conoce como forma of ‘cost’ of thesystem. system. of the ‘cost’ ofof the •sure Given athe rational transfer function sure of the ‘cost’ the system. done conveniently anwe LTI will system with a rational transfer e design of a discrete-time filter, see that this can belafunction. directa I; aplicando ecuación enb1diferencias tiene implementación deaslos −M b0 + z−1 + · · · + bse • Given a rational transfer function Computational Structures Mz ••Given a aY rational transfer function Given rational transfer function = H(z)X(z), H(z) = , (z) onveniently as an system with a rational transfer afunction. • LTI We already know we can represent difference equation −1 + · · · −N −M sistemas discretos de that a00 + +b a11zz−1 aM b · · · + b Nz −1+−1 −M−M b1b z1 z + ·+· ·· ·+· b+MbzM , Y H(z) = b0b+ (z) = H(z)X(z), + which is initially at rest as an LTI system with a rational transfer 0 −1 + · · · +equation: −N z , ! YY ==H(z)X(z), H(z) == (z) Direct Form I we can write this in the time domain asaa1 zdifference a + a z diferentes formas 0 N H(z)X(z), H(z) (z) −1 −1 −N −N , already know that we can represent a difference equation a0a+ a z + · · · + a z 1 N function. a1 z + ·equation: · · + aN z 0+ "! we acan write this inathe time domain as a+ difference (estructuras). Los elementos y[n] + · · · + y[n − N] = b x[n] · · · + b x[n − M]. 0 N 0 M ch is initially at rest as an LTI system with a rational transfer we can write this in the time domain as a difference equation: From the recursive form of the difference equation, it becomes relawrite this in the time domain as+ a· ·difference equation: #" • In the design of filters, we we firstcan derive the function a + · transfer ·write · + athis − N] =and b0 x[n] · so + bthat básicos en estas estructuras 0 y[n] N y[n M x[n − M]. • We can then as a recursive equation, Elements ction. tively easy to see the system could be constructed from adders, work back to the difference equation. a ++how · ·· ·· + aN y[n −− N]N] == b0b x[n] + ·+··· ·+· b x[n − M]. 0 y[n] Mb 2/7 a y[n] · + a y[n x[n] + x[n − M]. $# son los siguientes 0 N 0 M • We can then write this as a recursive equation, so that 1 multipliers and delay %$ ete-time filter, will seeimplement that this derive can be the equation, (belements. +elements: · · · + bM x[n − M] y[n]we = • To a difference need three 0 x[n] he design ofwe filters, we first transfer function and Sumador ••We can then write this as a recursive equation, so that a 0 1 We can then write this as a recursive equation, so that TI system with a rational transfer function. &% (b bM1is: x[n − − 1] M]−!· · · − aN y[n − N]). y[n] = 0 x[n] + · · · + • The Direct Form I construction k back to the difference xequation. −a y[n [n] 2 1 1a0 '& " t we can represent a difference equation ++ · ····+ bMb x[n −1] M] y[n] == (b(b "· · 0· − aN y[n − N]). 0 x[n] −a y[n − − 1 x [n] x[n] · + x[n − M] y[n] 1/a b a 1 0 0 M ! we need ! ! a0elements: !!!"$ !"! # $ & %'( #+% &'( #+% &'( !!"$ ! ! mplement a difference equation, three + • st as an LTI system with a rational transfer ' a0x[n] •" ! z−1 ! x[n # " x1 [n] +x2 [n] x[n] ax[n] − 1] # # x[n] y[n] −a1 y[n − 1] − · · · − aN y[n − N]). −a1 y[n ! − 1]$ − · ·z·−1− aN y[n − N]). Addition Multiplication z−1 Delay x2 [n] Multiplicador (cte)and s, we " first derive the transfer function b! 1 !!"$ %$ 1 • !"$ #+% &'($ −a #+% & '( these " • • The z-transform offers insight into possible arrangements of x [n] rence equation. a 1 " " !"! # $ %'( ! ! ! ! ! # # +& & z−1 elements. # +x2 [n] x[n] ax[n] x[n] x[n z−1 − 1] z−1 ence equation, we need three elements: ' Addition Multiplication Delay $ ! Retardo. bM−1 " ! !!"$ $ #+% &'($ −aN−1 #+% &'( % !"$ • • a! z-transform offers ! insight into possible arrangements of these ! ! " " z−1 # # # n] ax[n] x[n] x[n − 1] & ments. z−1 z−1 Multiplication Delay $ −a$ N bM Procesado Digital de Señales.4º Ingeniería Electrónica. ' ! % Universitat de València. Profesor Emilio Soria. s insight into possible arrangements of these 15 • However, this not the only possible realisation. & ' 4 ! " # $ % & ' ! " # $ % & ' Integrated Circuit) then adder, multiplier and delay element requires additional ‘realeach estate’ in the design. Ak in the design. requires additional ‘real estate’ $ Y (z)requires = + O(X(z)) element additional "1 sexecution time or memory. elec3600 ! $ • In implementing a digital filter+ in software on, say, a DSP, each Y (z) = O(X(z)) "1 in s software on, say, a DSP, each • element In implementing a digital filter Akpk # z )execution time or memory. (1" requires additional k # z number ) ! • An examination of elements provides some meak (1"ofpkthe • An examination of the number of elements provides some mea- Direct Form II Análisis sure of the the‘cost’ ‘cost’ system. n ofof sure of thethe system. g(n) =lanpTransformada " u(n) de sistemas L.T.I usando Z. Estructuras. •• Given rationaltransfer transfer function Given aa rational function La siguiente es la que se! conoce g(n) = p "s#1 u(n) n −1 + b z −M g(n) = n " p " u(n) b0 +bb01 z +−1b+ ·M · · + bM z−M 1 z· · · + s#1 n Y (z) = H(z)X(z), H(z) = , z−M W (z), . −N W (z) = ( ( elec3600 To see another possible realisation, write ! , Yg(n) (z) = = nH(z)X(z), " p " u(n) 5/7H(z)a= −1 + ·−1 −N −N + a z · · + a z 0 1 N como forma directa II o canónica a + a z + · · · + a z ealisation, 0 1 N ! write " X(z) −M ! 5/7 we can can write this thethe time domain as a difference equation: 1 in . in Y (z) + bM zII W (z), W (z) = we write1 this time domain as a difference equation: 0 + · · · Form " = bDirect −N X(z) a0 + · ·w(n) · + aN=z " x(n) # a " w(n #1) + ...# a " w(n # N ) ) ) elec3600 elec3600 " 1 = #1) # a−1 "N] w(n + ...# " w(n # N−) M]. a0w(n) y[n] = + · · ·"+x(n) aN y[n b0 x[n] + ·a·N· + bMNx[n a a y[n] + · · · + a y[n − N] = b x[n] + · · · + b x[n − M]. a0an + ·intermediate ·· + a 0 0 M a0 0save N To see another possible realisation, Nz # • By calculating w[n] as step,write we can actually 5/7 ! • We can then write this as a recursive equation, so that ! weelements "! onintermediate the number of delay required. $ X(z) s an step, can actually this as a recursive equation, so that −M save• We can then write . Y (z) = b0 + · · · + bM z W (z), W (z) = =1= y(n) b " w(n) + ...+ b " w(n # M ) y(n) b " w(n) + ...+ b " w(n # M ) 0+ 0 M − M] % a0(b · · ++ aN y[n] = M): · ·z·−N +M bM x[n ay• elements 0·x[n] This leadsrequired. to the Direct Form II realisation (here, N= 1 a0 (b0 x[n] + · · · + bM x[n − M] y[n] = & • By calculating as an intermediate step,awe can actually save −a − 1] − · ·utilizar · − aN y[n − N]). ct Form II realisation (here, w[n] N =w[n] M): 1 y[n 0 Esta estructura se basa en ! b! 0! !"! # on the number of elements ! 0 delay ! !"! $ #+% &'( 1/a $+% &'( required. • −a y[n − 1] − · · · − a y[n − N]).' 1 la variable los retardos de " w[n] x[n] $ $ y[n] b! 0 leads • This M): ! II realisation (here, N = ! 0 ! z −1 Form $ #+% &(' 1/a !"! # $+% &'( to the Direct intermedia, w(n) a la hora de • " $ $ y[n] −a b # 1 !1 !"$ #+% &'(# !"! # $ &'( ! w[n] • calcular la salida del sistema y(n). +% −1 " $ $ z 1/a b 0 0 !!"$ ! ! !!"# ! #% &'( $+% &'( • " traduce en un ahorro −1+ Este hecho se " −a b z 1 1 $ $ x[n] y[n] # ! $ #+% &'(# !"! # $+% &'( ! • −1 ! z " $ $ z−1 # $ #+% &'(# −aN−1 $ −a# N • " z−1 • # !"$ #+% &'(# −aN−1 $ bN−1 ! "!! # $+% &'( $ −a# N −a !"$ #+% &'(b # N−1 # 1 ! "!! # $+% &•"'( • $ " $ z−1 z−1 bN ! −a N−1 # !"$ #+& %'(# • $ Procesado Digital de Señales.4º Ingeniería Electrónica. N Universitat de València. Profesor Emilio Soria. ! b −a# N • " z−1 • b! 1 " # $ bN−1 ! % & bN ! ' $+% &'( !!"# $ !!"# $+% &'( $ en el número de retardos # ! necesarios para $ la implementación del sistema% discreto "de tal forma que esta estructura es #la que menos & retardos necesita. $ ' % & ' N 16 Ak + O(X(z)) "1 A s k Y(1" (z) =p$ + O(X(z)) k #z ) "1 s Y (z) = $ ! Cascade Form Cascade Form ! k (1" pk # z ) k Yet ispossible possiblewhen when H(z) is factorised as (again Yetanother anotherrealisation realisation is H(z) is factorised as (again 6/7 assuming M L.T.I usando la Transformada Z. Estructuras. assuming M= = N): N): n Análisis de sistemas g(n) = p " u(n) n g(n) = p " u(n) Yet another realisation is possible when H(z) is factorised as (again ck z−1 b b0 1 −1ck− z−1 Otra posible estructura es en 6/7 assuming M = N): H(z)= = H11(z) HknH = =n . (z), (z) ·····HH . H(z) (z)·! (z), (z) NN ks#1 −1 −1 s#1 a0 1 −"1d a − g(n) = n " p u(n) k zdk z cascada; si la función de b0 1 − ck z−1 H(z) = H(z) H1 (z)se · ·puede · HN (z), . form: ThisH leads to a a cascade k (z) = • •This leads to form: transferencia Aplicando una estructura a0 1 − cascade dk z−1 g(n) = n b0 /a ! 0 !!"$ #+% &'( b0 /a 0 #+% &$ (' HN (z) !!"$ x[n] ! x[n] $ !!"# $% &'( !"$ #% &'( H1 (z) b0 /a ! 0 x[n] Parallel Form Parallel Form !!"$ #+% &'( $ • + " z + $ −1 1 HN (z) w(n) = #bloque a1 " w(nse #1) + ...# a N " w(n HN (z) canonica cada 1 !"$#%&'( a "a( x(n) " ! $ # & % ( ' ! " ! $ # & % ( ' ! ! • w(n) + • " w(n #1) +!"$ + !"! # = " x(n) + " $+% &'( !!"$# #+% &'( 0# a $+ &y[n] % '( ...# a N! " w(n 1 tiene •" • $ $ ! " " y[n] $ a $ $ z−1 !"! # z−1 ! 0 $+% &'( −1 −1 wk (n) =dx#Nk (n)• +zd−ck ! N" wk (n #1) z $ −c1 y[n] ! • H1 (z) factorizar detolaasiguiente forma • This leads cascade form: $ ! • " d #1 " p " u(n) elec3600 ! 6/7 elec3600 Cascade Form H1 (z) −1 Form d −c! 1 zParallel #1 −cN• ( dN −cN • That is, for conjugate pairs of zeros, = ck , andH poles, dk+1 H =k+1 (z)$to Hobtain ∗ k+1 combine d∗ , cwe and k (z) pairs 1 (z) kof • That is, for conjugate of zeros, c = c , and poles, dk+1 = • This leads directly to the parallel form implementation: k+1 k ∗ En estas dos estructuras, en el caso de tener ! • This leads directly to the parallel dk , we combine Hk (z) andform Hk+1of to obtain (z) A" 1 ∗ implementation: #+% &'( $+% &'( % "!"$ • H !"" # • obtain 2 −1 d , we combine Hk (z) and to (z) # + |c | z −2 k+1 1 − 2 Re }z ! ! {c x[n] k k k H (z) 1 polos complejosH1se asocian por pares 2 −2 (z) ! = . k,k+1 (z)1 − 2Re{ck }z−1 + |ckH | z z−1 & −1 2 −2 A 2 1 − 2 Re {d }z + |d | z H = . 1 (z) −1 k d$ 1 }z k,k+1 " #+% &2'( −2 $ &'( "!"# " "!"$ • •− 2A 1 − 2Re{c +k|ck | z−2 +% −1 k conjugados para dar estructuras de orden 2. 1 Re {d }z + |d | z 1 # ' k k #+% &'(H " $+% &'( ! "!"# " "!"$ ! k,k+1 y[n] x[n] = . (z) • • 2 −2 # −1 ! ! ! −1 y[n] x[n] 1 − 2Re{dk }z + |dk | z z De forma “encubierta” estamos aplicando d$ 1z−1 propiedades dedla $ 1 convolución (asociativa y distributiva para ser exactos). HN (z) "!"$ #+% &'( ! • # d$N −1 z • # z −1 HN (z) • # A" N ! z !" d$ "# • Again, complex conjugate poles should be combined. #$ $% −1 N Procesado Digital de Señales.4º Ingeniería Electrónica. Universitat de València. Profesor Emilio H Soria. N (z) "!" $ #+% &'( ! "!" $ #+% &'( ! y[n] " A" N A" N 17 elec3600 d#N −c! 1 elec3600 elec3600 # • " w ! (n #1) y (n) = w (n) # c ! k k k + adrational • • y (n) = x (n) " c # x (n "1) Under certain conditions,kwe have found that can write kzeros k their k wekcomplex k # yk (n !"1) certain conditions, we have found that we can write arational rational • We combine complex and poles with con! UnderUnder certain conditions, we have found that we can write a 7/7 transfer function in a partial fraction expansion: 7/7poles ! 7/7 • We combine complex zeros and with their complex contransfer function fraction expansion: jugate pairs tofactorizar avoid implementing arithmetic in hard! complex " • Wein combine complex zeros and poles their complex contransfer function a in partial fraction expansion: Estructura ena partial paralelo; ahora H(z) sewith puede de la siguiente forma Ak H(z)in =hardH1 (z) + · ·y ·+ HNcomplex =+ d " y −1 (z), ware. jugate pairsarithmetic to implementing arithmetic hard- # = Ak " xHkk(z) (n) (n.in#1) jugate pairs to avoid implementing complex " Akavoid k"(n) 1 −k dk zk ! A k . H(z) = H + · · · + H H = (z) (z), (z) 1 N k ypairs =zeros, Ak "#parallel xck+1 " ypoles, H(z) = ware. H1 (z) + · · · + HN (z), H . leads (z) = kThat •ware. is, for conjugate of =form c+k∗ ,d and dk+1 = 1− d•zkThis z−1 directly to the of k (n) k (n) k implementation: k (n #1) # −1 ! $ 1− d ∗ k d# 1 % & ' ! " # $ % & ' $ % & ' ( ) ( ) ( ) 1" 3 # z # z ) X (z) = 1 * x(n)(=z 1 $ "' (3u(n) 3 *1 ( z # & 3 1* 3 2 3 3 2 Y (z) = " Y (z) = 3 "1 " 2 1 "A0.5 # z "1 1 "B 1 # z "1 Y (z) = "1 " 1 1 #!z "1 1 1 " 0.5Y#(z) z "1 3 = + 1 " 0.5 # z = A 1 " 13"1 ## z "1B1 "1 ! 1 "1 1 ! 1 1 " 0.5 # z 3 1 " 1 " 0.5 # z 1 1 " #z # z "11 ! Y (z) = # = + 3 3 = ! 1 # z "1 Y (z)* = # 1 &n "1 # 1# &n - 1 1 " 0.5 # z "1 1 " 1 * # z "1 n 1 " 0.5 # z "1 "1 n - 1" ! 1 " 0.5 # z 1 " # z 3 * #1& n 3 , / 3 # & 2 y(n) = 3 " %$ 2 (' ) 2 " %$ 3 (' " u(n) & ) 2 " % #11(3&n/-" u(n) , 3," % #Y1( (z) y(n) = , /. = " ! + y(n) ,= 3$"2% ' ( ) 2$" %3 ' ( //"1 " u(n) "1 1 1 "$0.5 # z ! !3 +2,+ $ 2 ' . 1" #z 3 ' /. 3 2 3 Y (z) = " ! "1 Y (z) = " "1 Se puede relacionar el “mundo digital” con el “mundo analógico” relacionando las Transformadas más 1 A 1 " 0.5 # z 1" 3 # z H ( p) = 1 " 0.5 # z "1 1 " 1 # z "1 ! A n n * 3 utilizadas en esos dominios como son la Transformada y la Transformada dos #1& #! & Laplace; existiendo p+b 1de HH ( p)( p) = = AZy(n) , / = 3 " ) 2 " " u(n) % ( % ( ! bson formas de hacer este cambio. *Estas transformaciones n n- p+ p+ b las,+ que $ 2 'se conocen $ 3 ' /. como Transformación ! # & # & 1 1 ! * # 1 &n ! # 1 &n = , 3 " % ( ) 2 " % ( / " u(n) bilineal y Transformacióny(n) impulso-invariante. #b" t ( 0) 2 " % ( / " u(n) h(t)y(n) = A=" e, 3 " % t > $ 3 ' /. ,+ $ 2 ' ! A $ ' $ 3 ' /. 2 #b" t t , #b" + !! h(t) = =A A " e" e H t( p) > 00 Impulso-invariante. h(t) t >= p+b h(n "T ) = A " e#b" n"T " u(n) !! A ! El bloque básico de análisis de=sistemas lineales continuos#b"#b" usando transformadas H ( p) n"T A h(n "T"T ) =) =A A" e" e n"T " u(n) h(n " u(n) H ( p) = p + b de Laplace es el definido por (es análogo a lo que ocurre en procesado digital!!!!). ! p+b ! h(t) = A " e#b" t t > 0 ! ! ! ! A La transformada inversa Si se ! " u(n) H (z) = #b" t h(n "T ) = A " e#b" n"T h(t) = A " e t>0 #b"#t z "1 1 "Ae""b#T AA de H(p) viene ! dada por muestrea h(t) = e tz>"10& # !! H (z) = H (z) = T 1 + "b#T "1"1 "b#T ! 1" 1" ! H (z) = % ( e e # z# z h(n "T ) = A " e#b" n"T " u(n) #b""1 n"T Transformación bilineal. 2 1 " z h(n "T ) = A " e $ '" u(n) A ! H (z) = ! "1 +x(n x(n 1))) Ahora el paso es comparar el operador 1x(n) "(n) e"b#T # z! ( x + ""1) ! ( A(n) = A(n " 1) + #T A(n) = A(n " 1) + #T !y en A “integrador” en!el mundoHanalógico 2 ! (z) = 2 A ! 1 "es e"b#T el digital; en el analógico H(p)=1/p un # z "1 "1 H (z) =# 2 11 " z"b#T& # z "1 ! " e ! integrador; ¿qué sistema digital hace una p= % T " X (z) #1 #1 "1 ( T " X (z) A(z) " 1 # z = " 1 + z #1 #1 T $1 + z ' operación semejante?. Para determinarlo A(z) " 1 # z = ! 2 " 1+ z ! 2 de forma sencilla ! hay que plantearse el significado de la integral: área encerrada T # 1 + z "1 & ! x(n) = $ ' ( u(n) ) X (z) = # 3& 1* 1 ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Análisis de sistemas L.T.I usando la Transformada Z.( ) ( ) (( ( ) )) H (z) = por una curva y el eje de abcisas ! ! Procesado Digital de Señales.4º Ingeniería Electrónica. (( )) % ( 2 $ 1 " z "1 ' ! Universitat de València. Profesor Emilio Soria. 18 ! ( ) 2 # 1 " z "1 & p= % ( (