Prove that in any acute triangle

SOCIETATEA DE ȘTIINȚE MATEMATICE DIN ROMÂNIA
ROMANIAN MATHEMATICAL SOCIETY
Filiala Mehedinți - Mehedinți Branch
www.ssmrmh.ro
Prove that in any acute triangle
+
+
:
+
≥
+
Proposed by Nguyen Viet Hung – Hanoi – Vientnam
Solution by Kevin Soto Palacios – Huarmey – Peru
Probar en un triángulo acutángulo
+
⇒
+
+
≥ (
+
− (
+
+
+
→
⇒(
⇒
+
⇒
+
+
+
+
=
=
+ (
−
)
) + (
+ (
− (
) − (
+
+
= − (
) + (
)
) +
) − (
− (
⇒
≥ (
) − (
) + (
) − (
) + (
) =
=
)
Reemplazando en (A)…
⇒
→
) =( −
+
+
= −
≥
= , se cumple lo siguiente:
+
+
) +
) +
(A)
≥ +
Desde que:
:
) ≥
) +
+
SOCIETATEA DE ȘTIINȚE MATEMATICE DIN ROMÂNIA
ROMANIAN MATHEMATICAL SOCIETY
Filiala Mehedinți - Mehedinți Branch
www.ssmrmh.ro
⇒
⇒
−
+
+
≥ (
) + (
≥ (
) + (
) + (
Dado que es un triángulo acutángulo:
En la desigualdad, dividamos (÷)
sentido no se altere:
+
+
≥
)
+
) + (
,
,
)
>0
⇔ de tal manera que el
+
+
(B)
Ahora bien:
( + )
=
=
+
=
Por lo tanto en (B)…
+
≥
+
+
+
+
+
) ≥
+
⇒
+
+
≥
+
≥
+
⇒
+
+
Aplicando:
(
+
+
≥
≥
≥
≥
+
(M),
(N)
+
→
SOCIETATEA DE ȘTIINȚE MATEMATICE DIN ROMÂNIA
ROMANIAN MATHEMATICAL SOCIETY
Filiala Mehedinți - Mehedinți Branch
www.ssmrmh.ro
+
≥
(P)
Por último, sumando: ( ) + ( ) + ( )
+
≥
+
+
+
+
+
+
+
+
≥
+