1. Introducción. 2. Estimaciones de la profundidad máxima de erosión.

Estudio experimental de la influencia del estrato rocoso en la forma del foso de erosión producida por jet en salto de esquí.
1. Introducción.
La mayor parte de los estudios de los foso de erosión aguas debajo de
caídas de agua han sido motivados por la necesidad de evaluar la erosión
máxima posible aguas abajo de los vertederos de las grandes presas. Todos
estos estudios consideran que el material erosionable es no cohesivo y cuyo
espesor es infinito. Muy pocos estudios abarcan otras características
geométricas del foso (como longitud y anchura del foso) de erosión y sólo un
estudio trata sobre la evolución temporal de la profundidad del foso de erosión.
No existe ningún estudio en que se trate la influencia de un lecho rocoso en la
geometría del foso que se produce en el material aluvial situado sobre él, en
otras palabras, ningún artículo trata sobre la erosión sobre un lecho bifásico.
En la actualidad existe otra línea de investigación en el mundo de los
fosos y es la erosión que se produce las caídas de agua en estratos rocosos.
Estos estudios no serán tratados en esta tesina ya que consideramos que
nuestro lecho rocoso es no erosionable. Por tanto, estos estudios quedan fuera
de nuestro marco de estudio.
El siguiente capítulo trata básicamente sobre las diferentes fórmulas que
existen para determinar la profundidad máxima de un foso de erosión en un
lecho de espesor infinito de material no cohesivo. Este problema ha sido
ampliamente estudiado a lo largo de la historia reciente de la hidráulica. En
Mason et al. (1985) y del Agua (1993) podemos ver un resumen histórico de los
diferentes autores y teorías.
La longitud del foso de erosión producido por un jet horizontal ha sido
ampliamente estudiada y existen muchas formulaciones al respecto. En
cambio, sólo hemos encontrado dos formulaciones sobre la longitud y la
anchura del foso de erosión producido por una caída de agua.
2. Estimaciones de la profundidad máxima de erosión.
Existe una coincidencia histórica importante en cuanto a las variables
que intervienen en el proceso, apareciendo únicamente discrepancias en los
coeficientes de ajuste de los datos experimentales. Como problema endémico
de estos estudios veremos que casi todos ellos se basan en datos tomados a
nivel de modelo en laboratorio, por lo tanto se ajustan con variables escaladas,
y si bien existe un acuerdo generalizado sobre la semejanza a aplicar para la
modelización hidráulica (semejanza de Froude), la semejanza a aplicar en el
caso de la granulometría no es tan sencilla, ya que las fuerzas preponderantes
en el fenómeno de erosión / sedimentación son diferentes.
Todo ello conduce a dos problemas: en primer lugar hay muchas
formulaciones que dimensionalmente no son correctas ya que los exponentes
de ajuste obligan a utilizar constantes de corrección de unidades
dimensionales, y por otra parte la mayor parte de fórmulas no resisten la
aplicación de la semejanza de Froude, lo que en principio no las valida ni
descarta, pero que obliga a emplearlas con las variables adaptadas a la escala
de experimentación con que se ajustaron (modelo-prototipo).
11
Estudio experimental de la influencia del estrato rocoso en la forma del foso de erosión producida por jet en salto de esquí.
2.1. Bases teóricas.
Las bases teóricas de la erosión por chorro de agua no son muy
diferentes a las usadas en el resto de fenómenos relacionados con el
transporte de sedimentos. Se trata de compensar fuerzas. El primer caso que
veremos es el resultado de compensar la velocidad ascensional del chorro con
la velocidad de caída de la partícula. En el segundo caso veremos que el
enfoque que se le da es ligeramente diferente, se trata de compensar las
tensiones de fondo con las tensiones de inicio de movimiento. El primer caso
sería más típico del transporte en suspensión mientras que el segundo sería
característico del transporte de fondo. El tercer caso que veremos es el
resultado de aplicar directamente la segunda ley de Newton, aplicando el
equilibrio horizontal de fuerzas específicas. Finalmente veremos la influencia
que tiene la aireación en la profundidad de los fosos de erosión
En primer lugar veremos la teoría desarrollada en Mirtskhulava (1967),
que a pesar de estar algo anticuada resulta ilustrativa. Se basa en el equilibrio
entre la velocidad de salida del foso y la velocidad de caída de las partículas,
más allá de este punto no es posible el acarreamiento de partículas por el flujo.
Un detalle importante es que compensa las velocidades a la salida del foso no
en el fondo.
Dos puntos resultan fundamentales en su cálculo, por una parte la
velocidad de caída de partícula, por otra parte la fórmula de cálculo de la
velocidad de salida del flujo del foso.
La velocidad de caída se calcula según la expresión 1 dada en
es la velocidad de caída de la partícula (m/s),
Goncharov (1954), donde
es el diámetro característico (m), γ es el peso específico del agua (N/m3),
γ es el peso específico del sedimento (N/m3) y g es la gravedad (m/s2).
Evidentemente el valor 1.75 está relacionado con la fuerza de drag que actúa
sobre la partícula.
γ −γ
γ
=
(1)
La parte más cuestionable de la teoría es la fórmula de donde
obtenemos la velocidad del chorro dentro del foso, se descompone en dos
partes, en la primera obtenemos las velocidades axiales durante el descenso
del chorro, en la segunda obtenemos las velocidades en el ascenso, tal como
vemos en la figura 2.
La expresión 2 determina la expansión del chorro dentro del foso, donde
B es el espesor del chorro (m) a una determinada distancia x (m) del punto de
entrada, b es el espesor en punto de entrada (m).
=
+
(2)
12
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Figura 2. Esquema del foso según Mirtskhulava.
Esta fórmula es análoga a la que define la difusión de un jet, por tanto
ahora para definir la nueva velocidad media del chorro dentro del foso bastaría
con realizar la conservación de caudal para el nuevo ancho del chorro, tal como
muestra la expresión 3, donde B es el espesor del chorro (m) a una
determinada distancia x (m) del punto de entrada, b es el espesor en el punto
de entrada (m),
es la velocidad media en el fondo del foso (m/s),
es la
velocidad media de entrada del chorro en el colchón de agua.
=
+
(3)
Sin embargo, a efectos de cuantificar la capacidad erosiva del chorro
sobre el foso la velocidad que nos interesa es la máxima del flujo, por tanto
teniendo en cuenta la distribución de velocidades dentro de un jet, la fórmula
que debemos es la expresión 4, donde
es ahora la velocidad máxima en el
fondo del foso (m/s),
es la velocidad de entrada del chorro en el colchón de
agua (m/s),
es la longitud que recorre el chorro a la entrada hasta llegar a la
cota original del terreno,
es la distancia que recorre el chorro hasta llegar
hasta el fondo y b es el espesor del chorro a la entrada en el colchón de agua
(m).
=
(4)
+
+
En la expresión 4 se tienen en cuenta la diferencia que existe entre el
tramo recorrido a través del colchón ( ) y el recorrido dentro del foso
propiamente dicho ( ).
13
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Una vez que el chorro ha impactado contra el fondo su difusión se
modifica notablemente, de manera que para determinar la velocidad de salida
del foso de utiliza la expresión 5, donde Ua es la velocidad (m/s) a la salida del
foso, Um es la velocidad (m/s) en el punto inferior del foso, z es la distancia
recorrida (m) desde el punto más bajo del foso hacia la salida y B el ancho del
jet en ese punto (m).
=
(5)
+
Con las expresiones 4 y 5 ya es posible determinar la velocidad de
salida del foso combinando ambas. Si no utilizamos ninguna otra hipótesis
tendríamos dos incógnitas, que serían la longitud del recorrido de estrada y la
longitud del recorrido de salida. Para simplificar esta situación se hace una
nueva hipótesis, el ángulo de salida del foso es el mismo que el ángulo
incidente de entrada del chorro α ≡ β , con lo que la longitud de entrada se
iguala con la longitud de salida, es decir, = + .
Con todos estos elementos determinados ya solo falta igualar la
velocidad de salida del foso con la velocidad de caída del sedimento (fall
velocity). Al igualar se aplica un factor de seguridad η =
÷ , tal como
nuestra la expresión 6.
η
=
(6)
Por otra parte para tener en cuenta el efecto del ángulo de
incidencia del chorro se incluye un factor de corrección de la profundidad total
del foso, este factor sólo se aplica para ángulos de entrada menores de 30
grados. Este factor se obtiene tal como muestra la expresión 7, donde β es el
ángulo de entrada del chorro, x es la longitud total recorrida por el chorro y t es
la profundidad del foso (m).
=
β
(7)
β
−
Con todos estos elementos ya podemos establecer equilibrio obtenido
con un cierto fundamento teórico, tal como muestra la expresión 8, donde β es
es el
el ángulo de entrada del chorro, t es la profundidad del foso (m),
colchón de agua disponible (m), b es el espesor del chorro en el punto de
entrada (m),
es la velocidad de entrada del chorro en el colchón de agua
(m/s), η es un factor de seguridad y
es la velocidad de caída de la partícula
(m/s).
=
η
−
β
−
β
+
(8)
14
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De hecho si eliminamos la influencia del ángulo de entrada la
expresión 8 se reduce a la expresión 9, donde t es la profanidad del foso (m), q
es el caudal unitario (m2/s),
es el colchón de agua disponible (m), b es el
espesor en punto de entrada (m),
es la velocidad de caída de la partícula
(m/s) y K es una constante.
=
−
+
(9)
Uno de los elementos más interesantes de esta formulación es que es
dimensionalmente correcta, además de admitir la aplicación de la semejanza
de Froude. Por otra parte obtienen los coeficientes a partir de datos de
prototipo y de modelo, lo que garantiza un amplio rango de aplicabilidad.
La segunda teoría que vamos a analizar de modo ilustrativo es la
recogida en Bormann et al (1991). En este caso el criterio de determinación de
fosos de erosión se basa en el equilibrio entre las tensiones de drag del flujo y
las tensiones de inicio de movimiento del sedimento. La idea global es que al
incrementarse el tamaño del foso se reducen las tensiones superficiales que
ejerce el flujo sobre el contorno del foso, llegando el equilibrio cuando las
tensiones son inferiores al inicio de movimiento del sedimento.
Quizás uno de los puntos ambiguos de la teoría es que no tiene en
cuenta el transporte del sedimento, sino únicamente su resuspensión, a
diferencia de Mirtskhulava que consideraba la capacidad de arrastre del flujo de
sedimento fuera del foso.
La primera parte va a consistir en determinar las tensiones de fondo en
función del tamaño del foso.
Figura 3. Esquema de las variables que intervienen en la teoría de Bormann et al.
15
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Para determinar las tensiones generadas por el chorro es necesario
conocer las velocidades asociadas al mismo. Se distinguen dos zonas, el
núcleo del jet y la zona de difusión. Albertson et al (1950), ya determino el
comportamiento de ambas, la zona de difusión se ve afectada por la interacción
entre el jet y el colchón de agua, en el núcleo del jet las velocidades se ven
inalteradas, es decir se mantienen constantes axialmente con el chorro. El
núcleo tiene una longitud determinada, según muestra la expresión 10, donde
es la longitud del núcleo del chorro (m),
es el espesor a la entrada en el
es el coeficiente de difusión del jet. La representación de las
colchón (m) y
variables la podemos encontrar en la figura 3.
=
(10)
Dentro de esta longitud las velocidades serían las asociadas al chorro de
entrada. Los coeficientes de difusión fueron determinados por múltiples autores
(Albertson, Rajaratnam, Beltaos, Yuen...) dando valores que oscilan de 2 a 2.4.
En general el foso de erosión se prolonga más allá de la longitud del núcleo
con lo que las velocidades en el eje del chorro, es decir en principio las
máximas, se ven modificadas según nuestra la expresión 11, donde
es la
velocidad de entrada del chorro (m/s) ,
es la velocidad en fondo del foso, Je
es la longitud total del foso en la dirección del chorro (m), esta longitud debe
ser mayor que la correspondiente al núcleo
,
es el espesor del chorro a la
entrada en el colchón (m) y
es el coeficiente de difusión del jet.
=
>
(11)
Si suponemos un coeficiente de difusión del jet de 2.47 (Bormann),
podemos rescribir esta última ecuación de una manera algo parecida a la
presentada por Mirtskhulava, según muestra la expresión 12, donde
es la
velocidad de entrada del chorro (m/s) ,
es la velocidad a una determinada
distancia J del punto de entrada (m), esta distancia debe ser mayor de la
correspondiente a
longitud del núcleo,
es el espesor a la entrada en el
colchón (m).
=
(12)
Podemos comparar la expresión 12 con la fórmula propuesta por
Mirtskhulava para las velocidades máximas en el tramo descendente del
chorro, renombrando las variables, a las usadas por Bormann. El resultado se
puede ver en la expresión 13.
16
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=
(13)
+
Vemos diferencias entre ambas, estando más generalizada la
aceptación de la utilizada por Bormann. Podemos realizar una gráfica, ver
figura 4, donde se vean las relaciones existentes para las velocidades del
chorro para los dos autores.
Comparación de anchos de velocidades de chorro
1
Ub / U0
0.8
0.6
0.4
Mirtskhulava
Bormann
0.2
0
6
6.5
7
7.5
8
J / Y0
8.5
9
9.5
10
Figura 4. Velocidades máximas de chorro fuera del núcleo del chorro.
Mirtskhulava obtiene velocidades de chorro algo menores, por lo que en
principio debería tener valores de erosión algo menores. Una vez determinada
la velocidad en función de la longitud del chorro, buscamos las tensiones de
fondo provocadas por estas velocidades de chorro. En general se definen las
tensiones de drag que actúan sobre las partículas según la expresión 14,
donde τ es la tensión de fondo (N/m2),
es el coeficiente de fricción local,
ρ es la densidad y
es la velocidad del chorro (m/s) .
τ =
ρ
(14)
La expresión 15 muestra la determinación de los coeficientes de fricción
utilizando las formulaciones propuestas por Bogardi (1974), donde
es el
diámetro característico de las partículas (m),
es el ancho del chorro en el
fondo del foso (m), ϑ es el parámetro de Shields, que en general podemos
considerar con un valor de 0.047. B y x son dos parámetro que en función de
17
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los diferentes autores tienen valores de B 2.9-2 y x 0.19-0.33, Straub (1953),
Bogardi (1974) y Neill (1968).
=
ϑ
(15)
Una vez determinadas las tensiones de inestabilización falta determinar
las de resistencia, en este caso podemos utilizar el criterio de inicio de
movimiento de Shields, en el que las tensiones críticas de inicio de movimiento
en (N/m2) se calculan por medio la expresión 16, donde ϑ es el parámetro
de Shields, que en general podemos considerar con un valor de 0.047,
2
diámetro característico de las partículas (m), g es la gravedad (m/s ) y ρ
son las densidades del sediento y del agua (kg/m3).
τ
=ϑ
ρ −ρ
es el
ρ
(16)
Ahora se trata de igualar las dos tensiones, tal como muestran las
expresiones 17, 18 y 19.
τ =τ
ϑ
ϑ
(ρ
− ρ)
(ρ
− ρ)
=
(17)
=
ϑ
ρ
(18)
ρ
(19)
Podemos modificar la expresión 19 para obtener algo más ordenado, tal
como muestran las expresiones 20 y 21. Finalmente obtenemos la expresión
22, donde C es una constante,
es el diámetro característico de las partículas
2
ρ son las densidades del sediento y del
(m), g es la gravedad (m/s ) y ρ
3
es el ancho del chorro en el fondo del foso (m). B y x son dos
agua (kg/m ),
parámetros constantes,
es la velocidad del chorro (m/s) y w es la velocidad
de caída de una partícula tal como aparecía en las formulaciones de
Mirtskhulava.
ρ −ρ
=
ρ −ρ
ρ
=
=
ρ
(20)
(21)
(22)
18
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Reordenando la expresión 22 obtenemos la expresión 23 que muestra
una nueva formulación de la teoría de Bormann que recuerda a las hipótesis de
Mirtskhulava, ver expresión 24, donde C es una constante,
es el diámetro
característico de las partículas (m),
es el ancho del chorro en el fondo del
foso (m). B, x y η son dos parámetros constantes,
(m/s) y w es la velocidad de caída de una partícula.
=
η=
es la velocidad del chorro
(23)
(24)
En esta formulación vemos que el equilibrio de las tensiones de arrastre
y de las de inicio de movimiento puede conducir a un resultado similar a
equilibrar las velocidades de salida y las velocidades de caída.
Ahora la teoría de Bormann al igual que la de Mirtskhulava recibe
una corrección debido al ángulo de entrada del chorro, tal como muestra la
expresión 25, donde φ es el ángulo de reposo del sedimento sumergido, α
ángulo del talud del foso, τ son tensiones críticas de inicio de movimiento
(N/m2) y τ es la tensión de fondo (N/m2).
τ
φ +α
=
φ
τ
(25)
Evidentemente para un ángulo de 90 grados el factor de corrección vale
1. De todas las alternativas que existen para determinar el exponente x se
adopta el valor de 0.5. Combinando todos estos elementos llegamos finalmente
a la expresión 26 propuesta por Bormann para el cálculo de erosiones por
chorros, donde φ es el ángulo de reposo del sedimento sumergido, α ángulo
del talud del foso,
es el diámetro característico de las partículas (m), g es la
2
ρ son las densidades del sediento y del agua (kg/m3), B
gravedad (m/s ) y ρ
es un parámetro de valor 2-2.9,
es la velocidad de entrada del chorro (m/s) ,
es el espesor a la entrada en el colchón (m),
es el espesor del colchón
del agua (m),
es la profundidad de la erosión del foso (m) y β es el ángulo
que forma el chorro.
=
(φ )
(φ + α ) (ρ
− ρ)
β −
(26)
Esta fórmula se puede reordenar adoptando el estilo más
extendido para fórmulas de erosión, tal como muestra la expresión 27, donde q
es el caudal unitario (m2/s).
19
Estudio experimental de la influencia del estrato rocoso en la forma del foso de erosión producida por jet en salto de esquí.
+
β
=
(27)
Ahora hemos agrupado todos los términos del corchete de la expresión
26 en una K, para conseguir un formato comparable al estandarizado por
Mason et al (1985), tal como muestra la expresión 28, donde q es el caudal
unitario (m2/s), h el espesor del chorro (m), H la altura de la caída de agua (m),
d el diámetro característico de las partículas (m), g la gravedad (m/s2) y K una
constante.
=
(28)
Existe una relación evidente entre U y q / h . Quizás la ecuación de
Bormann no sea la ecuación que mejor ajuste los datos, sin embargo sigue una
deducción física para llegar a una formula del tipo Mason et al (1985), de
manera que de alguna manera justifica la validez teórica de ese tipo de
ecuaciones empíricas.
La tercera teoría que vamos a ver consiste en la aplicación directa de la
segunda ley de Newton. La concepción es bien sencilla, se trata de realizar el
equilibrio horizontal de fuerzas específicas, de manera parecida a como se
hace en los resaltos hidráulicos en la ecuación de Belanger.
Fundamentalmente se considera que la fuerza ejercida por el chorro es inercial
y la fuerza ejercida dentro del foso es esencialmente de presión hidrostática, tal
como se representa en la figura 5.
Figura 5. Esquema de fuerzas que interviene en el equilibrio de la 2ª ley de Newton.
Es evidente que esta hipótesis es inadecuada en muchos casos, ya que
las presiones en el foso distan mucho de ser hidrostáticas. Por otra parte se
descartan las presiones aguas arriba del chorro, así como las fuerzas inerciales
20
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ejercidas en la salida del foso. Esto es debido a que en general las velocidades
de salida son mucho menores que las de entrada, siendo el caudal el mismo.
Así que podemos escribir el equilibrio de fuerzas tal como muestra la
expresión 29, donde las fuerzas inerciales del chorro son igual a las fuerzas de
presión. Operando llegamos a la expresión 30, donde g es la gravedad (m/s2),
K una constante adimensional, α es el ángulo que forma el jet medido según la
Figura 5 y Y es la profundidad total del foso (m).
ρ
ρ
α=
α
=
(29)
(30)
Esta fórmula la obtiene Fahlbusch (1994) ajustando para la constante un
valor de 2.79 resultado de 104 experimentos a nivel de modelo. Un valor de
2.83 lo encontró Veronese en 1937 y además encontramos estudios de
Hoffmans (1998) que tratan de relacionar la constante con el diámetro de la
partícula, que de otra forma no aparece en la ecuación.
Continuando con la descripción de conceptos teóricos de influencia en la
evaluación de erosión por chorros podemos describir el efecto que causa la
aireación del chorro. La influencia de la aireación en la suspensión y posterior
transporte de los sedimentos no cohesivos viene impuesta por una capacidad
de arrastre diferente (coeficientes de drag). Desde el punto de vista de la
turbulencia la influencia del aire dentro del foso de erosión es importante ya
que modifica la disipación turbulenta del flujo, por tanto la energía disponible
para el acarreamiento y transporte de los sedimentos.
Las formulaciones de concentración de aire en los chorros de caída son
de origen experimental, la primera proviene de Ervine (1976) y corresponde
con la expresión 31, donde β es la aireación en tanto por uno del volumen,
y son la velocidad mínima de aireación de un flujo (1.1 m/s) y la velocidad de
entrada del chorro en el colchón de agua. H es altura de la caída (m) y t el
espesor del chorro a la entrada (m).
β =
−
(31)
Posteriormente el propio Ervine en 1987 propuso una fórmula alternativa
que parece ajustarse mejor a los datos, tal como muestra la expresión 32,
donde β es la aireación en tanto por uno del volumen, D es la profundidad del
foso (m). K una constante entre 0.1 y 0.4, t es el espesor del chorro a la
entrada en el colchón de agua (m).
β =
(32)
21
Estudio experimental de la influencia del estrato rocoso en la forma del foso de erosión producida por jet en salto de esquí.
En 1997 el propio Ervine corrige su fórmula volviendo a incluir la
corrección por la velocidad mínima de aireación, tal como se ve en el expresión
33, donde β es la aireación en tanto por uno del volumen, D es la profundidad
del foso (m). K una constante entre 0.1 y 0.4,
y son la velocidad mínima
de aireación de un flujo (1.1 m/s) y la velocidad de entrada del chorro en el
colchón de agua y t es el espesor del chorro a la entrada en el colchón de
agua (m).
β =
−
(33)
Finalmente Bohrer y Abt complementaron estas formulaciones con un
análisis en función del grado de desarrollo del jet, tal como muestran las
expresiones 34 y 35, donde β es la aireación en tanto por uno del volumen,
es la velocidad de entrada del chorro en el colchón de agua, g es la gravedad
(m/s2), t es el espesor del chorro a la entrada en el colchón de agua (m) y l es
el ancho del jet (m).
β=
β=
+
Parcialmente desarrollado
+
(34)
Completamente desarrollado (35)
Para ver como se pueden incluir la aireación en el cálculo del foso de
erosión utilizamos la metodología propuesta por Mason (1989).
La
metodología escogida por Mason para determinar la influencia del aire es
sencilla, ensayos sin aire primero y posteriormente ensayos con aire. La teoría
combina unos ciertos fundamentos teóricos con otros de origen empírico. Así el
punto de partida para la evaluación de la influencia del aire es la expresión 36
que es la ecuación genérica de erosión en fosos, donde las variables tienen el
sentido y unidades definidas anteriormente.
=
(36)
En un primer momento aplica esta ecuación a una serie de ensayos en
los que no hay entrada de aire en el flujo, a partir de estos ensayos se ajustan
los coeficientes correspondientes a la altura de caída y al caudal unitario. La
única pega que se puede poner a estos ensayos es que se hacen con
granulometría única, gravas de 5-10 mm. Esto hace que no se puede ajustar la
influencia correspondiente a la granulometría, ni en cuanto al diámetro
característico de una granulometría ni sobre el exponente de ajuste.
Un resultado sorprendente de estos ajustes es la independencia del foso
con respecto al desnivel de la caída. Con lo que finalmente Mason llega a la
expresión 37, donde q es el caudal unitario (m2/s), D la erosión desde el nivel
de la lámina de agua (m) y K una constante.
22
Estudio experimental de la influencia del estrato rocoso en la forma del foso de erosión producida por jet en salto de esquí.
=
(37)
Sorprende por otra parte que el exponente asociado al caudal unitario
sea 1. Al realizar los ensayos con la incorporación de aire la fórmula resultante
da la expresión 38, donde si que aparece influencia del salto de agua, aunque
con un exponente pequeño 0.1, estos coeficientes se parecen más a los
históricamente obtenidos en hidráulica.
=
(38)
Todo ello hizo pensar a Mason que la diferencia en coeficientes de
ajuste de las diversas fórmulas podía provenir de la influencia del aire.
Este punto de partida de Mason es puramente empírico, ahora para
ponderar la influencia del aire hace una serie de consideraciones teóricas,
supongamos que con aire o sin aire la fuerza necesaria para desplazar una
partícula es la misma, sabemos que la fuerza de drag se puede obtener según
es el coeficiente de drag asociado a la
la expresión 39 en newtons, donde
partícula, A es el área de la partícula (m2), ρ es la densidad (kg/m3) y v es la
velocidad del flujo de arrastre (m/s).
ρ
=
(39)
Ahora hacemos otra hipótesis, si el tamaño total del foso es D,
dimensionalmente es correcto suponer que la velocidad media del flujo dentro
del foso será del orden, del caudal q dividido por la profundidad del foso D, por
una constante k, tal como muestra la expresión 40.
=
(40)
!
Sustituyendo la expresión 40 en la 39 obtenemos la expresión 41.
ρ
=
!
(41)
Para el caso del flujo aireado el caudal unitario en volumen se
incrementa, y la densidad disminuye, con lo que la fórmula del drag sobre la
partícula se calcula según la expresión 42, donde todas las variables tienen el
significado y las unidades definidas anteriormente, y además β es la aireación
en tanto por uno del volumen, el tamaño del foso tiene el subíndice “a” porque
se trata del foso aireado.
=
ρ
+β !
+β
(42)
23
Estudio experimental de la influencia del estrato rocoso en la forma del foso de erosión producida por jet en salto de esquí.
Ahora ya tenemos las dos fuerzas de arrastre que actúan sobre el grano
y deben ser iguales para caso aireado y no aireado, tal como muestra las
expresiones 43, 44 y 45.
=
ρ
(43)
+β
+β !
=
=
+β
ρ
!
(44)
(45)
De la expresión 45 podemos sacar una expresión general para fosos
que aplica la corrección debida a la presencia de aire, la expresión 46, donde D
la erosión desde el nivel de la lámina de agua (m) y K una constante, q es el
caudal unitario (m2/s) y β es la aireación en tanto por uno del volumen.
+β
=
(46)
En general la corrección será muy pequeña ya que el tanto por ciento de
aire suele ser pequeño. Se puede realizar un desarrollo análogo para un jet
tridimensional en lugar de bidimensional y se llega a la expresión 47, donde las
variables son las mismas que en el caso anterior. La ecuación tiene sentido ya
que el coeficiente de aireación incluye el efecto asociado a la longitud de la
caída y por otra parte dentro de la constante K se introducen el efecto de la
granulometría.
=
⋅
⋅ +β
(47)
2.2. Clasificación global de las fórmulas hasta 1985.
Para obtener una visión general y conjunta de la investigación realizada
sobre el tema de la erosión en caídas con fondo granular no cohesivo podemos
recurrir a la clasificación que se encuentra en Mason et al (1985), donde se
concentra toda la dispersión presente en el estado del arte en unos pocos
grupos, demostrando por otra parte que las ideas de fondo de la mayoría de
teorías eran las mismas en la mayoría de casos. Además unificaron el sistema
de unidades de todas ellas al S.I. para lo que tuvieron que reajustar las
constantes de muchas de ellas.
Después de la recopilación de datos realizada para su trabajo, ajustaron
los coeficientes de una nueva fórmula propuesta por ellos que era la que mejor
reproducía todo el conjunto de datos recopilados.
Se recogen 31 autores con fórmulas para el calculo de fosos de
erosión la mayoría de ellos , concretamente 17, usan una formulación del tipo
la expresión 48, donde q es el caudal unitario (m2/s), H la altura de la caída de
agua (m), d el diámetro característico de las partículas (m) y K una constante.
24
Estudio experimental de la influencia del estrato rocoso en la forma del foso de erosión producida por jet en salto de esquí.
=
(48)
La única diferencia entre los diversos autores proviene de los
exponentes x, y , z. De todos ellos únicamente Damle (1966) utilizó datos de
prototipo, el resto eran datos de modelo. Los clasificaremos como Grupo I. En
la tabla 1 podemos ver los exponentes utilizados.
Autor
Año
K
x
y
z
d
Schoklitsch
1932
0.521
0.57
0.20
0.32
d90
Veronese (a)
1937
0.202
0.54
0.225
0.42
dm
Veronese (a)
1937
1.90
0.54
0.225
0
--
Eggenburger
1944
1.44
0.60
0.50
0.40
d90
Hartung
1959
1.40
0.64
0.36
0.32
d85
Franke
1960
1.13
0.67
0.50
0.50
d90
Damle (a)
1966
0.652
0.50
0.50
0
--
Damle (b)
1966
0.543
0.50
0.50
0
--
Damle (c)
1966
0.362
0.50
0.50
0
--
Chee y Padiyar
1969
2.126
0.67
0.18
0.063
dm
Bisaz y Tschopp
1972
2.76
0.50
0.25
1
d90
Chee y Kung
1974
1.663
0.60
0.20
0.10
dm
Martins (b)
1973
1.50
0.60
0.10
0
--
Taraimovich
1978
0.633
0.67
0.25
0
--
Machado
1980
1.35
0.50
0.3145
0.0645
d90
SOFRELEC
1980
2.30
0.60
0.10
0
--
INCYTH
1981 1.413 0.50
0.25
0
-Tabla 1. Valor de la constante, los exponentes y diámetro a utilizar en la expresión 48 para los
diferentes autores
Destaca un valor medio para la x de 0.5, un valor para la y de 02-0.3 y
una cierta dispersión para los exponentes del diámetro. Esto puede ser
consecuencia de varios factores, entre ellos está la dificultad de caracterizar
25
Estudio experimental de la influencia del estrato rocoso en la forma del foso de erosión producida por jet en salto de esquí.
una granulometría con un solo valor, la consideración o no del acorazamiento,
etc.
En el segundo grupo, Grupo II, se incluyen las fórmulas que consideran
la influencia del colchón de agua presente en el foso, en este grupo
encontramos dos autores: Jaeger (1956) y Martins (1973), donde las
expresiones 49 y 50 son sus fórmulas de erosión respectivamente. En estas
expresiones q es el caudal unitario (m2/s), H la altura de la caída de agua (m), d
el diámetro característico de las partículas (m), h es el colchón de agua (m) y Q
es el caudal total (m3/s).
=
(49)
"
=
−
+
(50)
"
El Grupo III, en el que aparecen varios autores que utilizan fórmulas
simplificadas. El primer de estos autores es Cola cuya fórmula es que la
profundidad del foso de erosión es igual a cuarenta veces el espesor del chorro
de agua. En segundo lugar encontramos a Davis y Sorensen cuya fórmula es
que la profundidad del foso de erosión es igual a dos tercios la altura de la
caída de agua. Finalmente tenemos a Hartung y Haustler cuya fórmula para un
chorro circular es que la profanidad del chorro de erosión es igual a veinte
veces el diámetro del jet.
En el Grupo IV aparecen los autores soviéticos que aportaban fórmulas
de mayor complejidad, entre ello aparecen tres importantes: Mirtskhulava,
Mikaley y Rubinstein. La expresión 51 corresponde a la fórmula dada por
Mirtskhulava en el año 1967 y cuyo desarrollo hemos visto en el apartado
anterior. La expresión 52 corresponde a la fórmula obtenida por Mikaley en el
año 1960 y que podemos encontrar en Levy (1961). La expresión 53
corresponde a la fórmula de Rubinstein obtenida en el año 1965 y que
podemos encontrar en Gunko (1965). En todas estas expresiones β es el
ángulo de entrada del chorro, D es la profundidad del foso desde la lámina de
agua (m), b es el espesor del chorro en el punto de entrada (m), h es el colchón
de agua disponible (m), q es el caudal unitario (m2/s), η es un factor de
seguridad,
es la velocidad de caída de la partícula (m/s), H es la caída del
chorro (m) y d es el diámetro de las partículas.
=
=
η
β
−
β
−
−
−
+
(51)
β
β
(52)
26
Estudio experimental de la influencia del estrato rocoso en la forma del foso de erosión producida por jet en salto de esquí.
+
= +
(53)
Los autores soviéticos consideran la influencia del ángulo de entrada del
chorro en el colchón de agua.
Finalmente se consideran los autores que dan una descripción temporal
del fenómeno y que Mason clasifica como grupo V. Introduciendo en estas
fórmulas un tiempo suficientemente grande podemos obtener el valor de la
profundidad del foso de erosión. Esto fue lo que hizo Thomas, obteniendo la
expresión 54, donde D es la profundidad del foso (m), h el espesor del colchón
de agua (m), H la diferencia de cota entre la superficie del colchón de agua y la
superficie del agua a la salida del salto en metros, q es el caudal unitario (m2/s)
y Wn es la velocidad de caída del sedimento (m/s).
#
= +
(54)
#
Un resultado interesante se obtiene del análisis dimensional de las
diferentes formulaciones, como habíamos comentado con anterioridad. Si se
trata de aplicar la semejanza de Froude a las diferentes fórmulas resulta que la
mayoría de ellas no la verifican, sin embargo se observa que el error que
aparece en estas fórmulas a medida que nos acercamos a escalas cercanas al
prototipo es proporcional a lo que se desvían de la semejanza de Froude, lo
que hace pensar que la fórmula correcta para modelar el fenómeno debe
verificar dicha semejanza.
Esto no debería ser estrictamente cierto ya que resulta muy dudoso que
en fenómenos de transporte de sedimentos la semejanza correcta sea la de
Froude. Con todas estas consideraciones Mason et al buscan el ajuste óptimo
de todos los datos disponibles para esta clasificación y obtienen dos
expresiones, la 55 y 56.
La expresión 55 se ha obtenido utilizando los datos correspondientes a
modelos a escala, siendo este su rango de aplicación. En la expresión 55 D es
la profundidad del foso desde la lámina de agua (m), h es el colchón de agua
disponible (m), q es el caudal unitario (m2/s), H es la caída del chorro (m), g es
la gravedad (m/s2) y d corresponde al diámetro medio de las partículas. Esta
fórmula verifica los requisitos de ser dimensionalmente correcta y cumplir la
semejanza de Froude.
=
(55)
La expresión 56 se ha obtenido utilizando datos de prototipos y modelo.
El significado de las variables es el mismo que en la expresión 55, excepto el
valor de d que se considera que es constante e igual a 0.25m. El valor de las
27
Estudio experimental de la influencia del estrato rocoso en la forma del foso de erosión producida por jet en salto de esquí.
=
constante y los coeficientes es:
=
−
,
=
+
=
y
−
,
=
,
=
,
.
=
(56)
2.3. Fórmulas de los autores no clasificados.
En este apartado presentaremos las fórmulas que hemos encontrado en
la bibliografía y no se encuentran clasificadas según Mason et al (1985).
Todas estas fórmulas se encuentran en Del Agua (1993). A pesar de realizar
una búsqueda exhaustiva en la bibliografía e internet, estamos seguros que
existen muchísimas más fórmulas que las citadas en este apartado.
Bisaz y Tschopp obtienen en el año 1972 la expresión 57 donde H es la
diferencia de niveles entre aguas arriba y aguas abajo en metros (m), D es la
profundidad de erosión en metros (m) medida desde el nivel aguas abajo y d90
diámetro en metros m.
=
⋅
⋅
−
⋅
(57)
Esta fórmula la podemos encontrar en Mason (1995) y en Del Agua
(1993), pero en ambos trabajos no aparece el valor de la constante K’.
Chian Min Wu obtuvo la expresión 58 en el año 1973 utilizando datos de
modelo y de prototipos de presas de Taiwan. Las variables que intervienen en
la fórmula son: H carga total en metros (m) desde el nivel de aguas abajo hasta
la línea de energía aguas arriba, S profundidad de erosión en metros (m)
medida desde el nivel de agua de aguas debajo de la estructura, q caudal
unitario en m2/s y g aceleración de la gravedad en m/s2.
$
=
⋅
( 58)
⋅
Altinbilek y Okyay obtuvieron la expresión 59 en 1973, donde ST
profundidad final de la fosa de erosión, medida desde el nivel del lecho
original, b espesor del chorro, U velocidad del agua a la salida de la tobera, Dg
diámetro medio geométrico, W velocidad de caída de las partículas de diámetro
Dg , Fr número de Froude tomado como
⋅
y h profundidad del colchón
de agua aguas abajo. La fórmula sirve para calcular la erosión terminal
generada por un chorro bidimensional.
28
Estudio experimental de la influencia del estrato rocoso en la forma del foso de erosión producida por jet en salto de esquí.
$%
=
⋅
⋅
#
(59)
⋅
Elvíro García, en el año 1989, no llega a obtener una fórmula para
evaluar la erosión local, pero lo que sí obtiene son unos ábacos de los que se
puede extraer la profundidad de erosión. Estos ábacos se pueden ver en las
figuras 6, 7, 8 y 9 donde H diferencia de niveles entre aguas arriba y aguas
debajo de la estructura en dos puntos suficientemente separados de la misma,
f profundidad de la fosa de erosión medida del nivel del lecho original y q
caudal unitario en m2/s.
Estos ábacos han sido obtenidos en ensayos en modelo reducido a
escala 1:10 en el laboratorio de hidráulica del CEDEX por encargo de la
Confederación Hidrográfica del Tajo. El ámbito de aplicación de los ábacos es
para caudales unitarios entre 1 y 6 m2/s, para saltos de altura entre 1 y 6
metros y para los cuatro tipos de escollera ensayados.
Los tipos de escollera son:
1. Escollera comprendida entre 30 y 50 cm,
2. Escollera comprendida entre 20 y 40 cm
3. Escollera comprendida entre 10 y 30 cm
4. Escollera comprendida entre 20 y 50 cm.
Las granulometrías de estas escolleras pueden verse en la figura 10.
El rango de las variables a estudiar, se escogió para que la
experimentación reflejara de la mejor manera posible las condiciones
existentes en las subcuencas del río Tajo. Es por esto que los resultados
obtenidos por García en el CEDEX, son indicativos para el proyecto de
pequeñas estructuras de corrección de cauces de gran pendiente en pequeñas
cuencas de montaña.
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Estudio experimental de la influencia del estrato rocoso en la forma del foso de erosión producida por jet en salto de esquí.
Figura 6. Profundidad de erosión para la escollera entre 30 y 50 cm.
Figura 7. Profundidad de erosión para escollera entre 20 y 40 cm.
30
Estudio experimental de la influencia del estrato rocoso en la forma del foso de erosión producida por jet en salto de esquí.
Figura 8. Profundidad de erosión para escollera entre 10 y 30 cm.
Figura 9. Profundidad de erosión para escollera entre 20 y 50 cm.
31
Estudio experimental de la influencia del estrato rocoso en la forma del foso de erosión producida por jet en salto de esquí.
Figura 10. Curvas granulométricas de los 4 tipos de escollera ensayadas por García.
Ramírez et al obtuvieron la fórmula (60) en el año 1990, donde v1
velocidad de entrada del agua en la lámina de agua, q caudal unitario, g
aceleración de la gravedad y S profundidad de la fosa medida desde el nivel
del agua aguas abajo.
$=
⋅
⋅
⋅
(60)
La fórmula está desarrollada a partir de un análisis teórico basado en la
teoría de los chorros turbulentos y en el criterio del esfuerzo cortante crítico. Se
supone como mecanismo básico para alcanzar un estado de socavación límite
independiente del tiempo es el de la disminución de la velocidad de un chorro
sumergido en la dirección de su movimiento medio. Así, el chorro excava el
material del fondo hasta que su velocidad ha decrecido lo suficiente como para
que las tensiones tangenciales en el lecho alcancen un valor crítico en el
sentido de Shields.
3. Longitud y anchura del foso de erosión.
Definimos longitud del foso L como la longitud máxima entre extremos
del foso de erosión en la dirección principal del flujo en la caída de agua.
Definimos anchura del foso A como la longitud máxima entre extremos del foso
en la dirección transversal a la dirección principal del flujo en la caída del agua.
La longitud y la anchura del foso se representan gráficamente en la figura 11.
32
Estudio experimental de la influencia del estrato rocoso en la forma del foso de erosión producida por jet en salto de esquí.
Figura 11. Esquema de la definición de longitud L y anchura A de un foso de erosión.
La longitud del foso formado aguas abajo de una traviesa o debido a un
jet horizontal ha sido ampliamente estudiada. El flujo que se forma en estas
estructuras no corresponde al flujo que genera una caída de agua, no pudiendo
aplicar estos estudios en nuestro caso.
Solamente hemos encontrado un estudio que aborda las características
geométricas del foso para una caída de agua, concretamente Martins (1973).
Martins realizó una serie de ensayos tridimensionales utilizando como material
no cohesivo pequeños cubos de mortero.
La expresión 61 fue la que obtuvo Martins para la longitud del foso (L),
donde
profundidad del foso de erosión (m), medida des del lecho original, α
ángulo de impacto del chorro con respecto a la horizontal y
espesor del
chorro de agua.
&=
+
α
+
(61)
La expresión 62 fue la que obtuvo Martins para la anchura del foso A en
metros, donde las variables tienen el mismo significado que en la expresión 61.
=
+
(62)
33