Los hadrones y el modelo de quarks

Los hadrones y
el modelo de quarks
Introducción
Conceptos básicos de Teoría de Grupos
El grupo SU(2)
El grupo SU(3)
El modelo de quarks
Bariones
Mesones
Masas y momentos magnéticos de los hadrones
Los quarks pesados
José Ignacio Illana
Departamento de Física Teórica y del Cosmos
[email protected]
Introducción
– En la década de 1960 se descubrieron un gran número de hadrones.
Sus propiedades pudieron entenderse al postular que no eran elementales sino
compuestos de quarks lo que permitió su clasificación
– Los hadrones forman multipletes de una simetría aproximada SU(m) de sabor
* Los bariones están compuestos por tres quarks
* Los mesones están compuestos por un quark y un antiquark
– Los quarks (antiquarks) viven en la representación m (m∗ ) de SU(m)
– Los quarks son fermiones de espín
1
2
bajo rotaciones SU(2)
– Las interacciones fuertes no distinguen el sabor: partículas idénticas
– Para respetar el postulado de simetrización se introduce el grupo SU(3) de color
– Nos centraremos en m = 3 sabores: u, d, s
Introducción
2
Conceptos básicos de Teoría de Grupos
• Grupo
↔ Simetrías
Espaciotemporales:
Internas:
Bajo permutaciones:
Ejemplo:
Modelo de quarks
• Representaciones (irreps):
Transformaciones de simetría
Sistema físico
Continuas
traslaciones, rotaciones, Lorentz, . . .
Discretas
paridad, inversión temporal, . . .
Globales
conservación de la carga, . . .
Gauge
interacciones fundamentales
Intercambio
partículas idénticas, . . .
↔ Simetría interna global y bajo permutaciones
↔ Operadores
↔ Espacio vectorial (invariante e irreducible)
• El grupo Sn = {permutaciones de n elementos}
[ciclos: e, (12), (132), . . . ]
• Grupos de Lie (continuos): Generadores (Ja ) y álgebra de Lie [ Ja , Jb ] = i f abc Jc
• El grupo SU(m) = {matrices m × m complejas unitarias con det. unidad}
Teoría de Grupos
Conceptos básicos
3
• Representación fundamental de SU(m):
=m
(sobre Vm )
• Representación producto directo (sobre Vmn ) descomponible gráficamente en irreps
(tanto de SU(m) como de Sn ) mediante Tableros de Young de n casillas
|ii ∈ base de Vm ,
|αi = |i1 i2 . . . in i ∈ base de Vmn ,
ik = 1, . . . , m
F
• Cada Tablero de Young
tiene asociado una irrep λ de SU(m) de dimensión
H
Al Tablero de Young Normal θλ se asocia el simetrizador irreducible eλ

1 2 θ : e = [e + (12)][e − (13)]


λ
λ
 3
Ejemplo con n = 3, m = 2:


 1 3 θλp , p = (23)
2
n!
F
2×3×1
Hay 2 =
de dimensión 2 =
=
H
H
3×1×1
p
θλ
• Los siguientes subespacios vectoriales de Vmn son invariantes e irreducibles
F
p
′
n
Tλ ( a) = { peλ |αi ; |αi ∈ Vm , p ∈ θλ fijo} ≡ |λαai ; α = 1, . . . ,
bajo SU(m)
H
Teoría de Grupos
Conceptos básicos
4
El grupo SU(2)
22 − 1 = 3 generadores
:
Ji = 21 σi
i = 1, 2, 3
2 − 1 = 1 generador diagonal : J3




0 1
0 −i




Matrices de Pauli σi : σ1 =
σ2 =
1 0
i 0
Álgebra de SU(2): [ Ja , Jb ] = iǫ abc Jc

σ3 = 
1
0
0 −1
(ǫ abc = símbolo de Levi-Civita)


⇒ SU(2) es isomorfo a SO(3) = rotaciones en 3D
– Los vectores base | j, j3 i de una irrep son propios de J =
J 2 | j, j3 i = j( j + 1) | j, j3 i ,
j ∈ {0, 21 , 1, 23 , . . . } ,
3
∑
i =1
Ji2 y de J3
J3 = j3 | j, j3 i
j3 ∈ { j, j − 1, . . . , − j}
Operador escalera J± = J1 ± iJ2 : sube/baja j3 en 1 unidad, ya que [ J3 , J± ] = ± J±
– Cada irrep se caracteriza por j y tiene dimensión d = 2j + 1
– Las irreps de SU(2) son reales (equivalentes a sus complejo-conjugadas)
Teoría de Grupos
El grupo SU(2)
5
El grupo SU(3)
32 − 1 = 8 generadores
3 − 1 = 2 generadores diagonales
:
Fi = 21 λi
:
F3 , F8 (conmutan entre sí)
i = 1, . . . , 8
Matrices de Gell-Mann λi :

0 1 0

λ1 = 
 1
0

0

λ4 = 
 0
1

0

λ6 = 
 0
0
Teoría de Grupos
0
0
0
0
0
0
0
1


0 

0

1

0 

0

0

1 

0

0 −i 0

λ2 = 
 i
0

0

λ5 = 
 0
i

0

λ7 = 
 0
0


0 0 

0 0

0 −i

0 0 

0 0

0 0

0 −i 

i 0

1
0 0




λ3 =  0 − 1 0 

0
0 0
λ8 =
√1
3
El grupo SU(3): generadores

1 0
0
⇐ SU(2) ⊂ SU(3)



 0 1
0 


0 0 −2
6
Álgebra de SU(3): [ Fa , Fb ] = i f abc Fc . Las constantes de estructura no nulas son:
f 123
= 1,
f 458
=
f 678
=
√
3
2 ,
f 147 = f 156 = f 246 = f 247 = f 345 = − f 367 =
Los vectores base | I, I3 , Y i de una irrep son propios de I =
1
2
y perm. cícl.
3
∑ Fi2 , I3 = F3 , Y = √23 F8
i =1
Hay tres operadores escalera (tres subgrupos con simetría SU(2)):
I± = F1 ± iF2 : sube/baja I3 en 1 unidad y no cambia Y
U± = F6 ± iF7
V± = F4 ± iF5
:
baja/sube I3 en
:
sube/baja I3 en
1
2
1
2
unidad y sube/baja Y en 1 unidad
unidad y sube/baja Y en 1 unidad
∆Y
U+
[ I3 , I± ] = ± I±
[ I3 , U± ] = ∓ 12 U±
[ I3 , V± ] =
± 21 V±
[Y, I± ] = 0
[Y, U± ] = ±U±
I−
[Y, V± ] = ±V±
I+
−1
V−
Teoría de Grupos
V+
1
El grupo SU(3): álgebra de Lie
− 12
−1
1
2
1
∆I3
U−
7
Notación de pesos:
Cada irrep se caracteriza por dos números naturales ( p, q)
( p + 1)(q + 1)( p + q + 2)
.
2
La irrep complejo-conjugada de la ( p, q) es la (q, p) y no son equivalentes, en general.
Cada irrep ( p, q) está generada por los estados dados por los puntos en el plano
( I3 , Y ) cuya frontera son el hexágono o triángulo siguientes:
La dimensión de la irrep es d =
Y
p
p
q
q
I3
p
Y
Y
p
p
I3
q
q
I3
p
q
q
( p, q)
Teoría de Grupos
( p, 0)
El grupo SU(3): notación de pesos
(0, q)
8
Puede haber más de un estado con los mismos ( I3 , Y ) (tienen distinto I).
Los estados del borde exterior de ( p, q) tienen ocupación 1, los de la capa siguiente
( p − 1, q − 1) ocupación 2, y así sucesivamente hasta que se alcanza un nivel en el que
la ocupación permanece q + 1 si p > q o p + 1 si p < q:
Imáx =
p+q
2
24 = (3, 1)
Teoría de Grupos
El grupo SU(3): notación de pesos
9
Ejemplos:
Y
Y
1
1
0
0
−1
I3
− 21
0
1
2
3 = (1, 0)
Teoría de Grupos
−1
I3
− 21
0
1
2
3∗ = (0, 1)
El grupo SU(3): notación de pesos
10
Ejemplos:
Y
1
Y
1
0
0
−1
−1
−2
I3
I3
−1 − 21
0
1
2
1
− 32
−1 − 21
8 = (1, 1)
Teoría de Grupos
0
1
2
1
3
2
10 = (3, 0)
El grupo SU(3): notación de pesos
11
Relación entre la notación de pesos ( p, q) y los tableros de Young:
p es el número de casillas de la primera fila que sobrepasan a las de la segunda fila y
q es el número de casillas de la segunda fila que sobrepasan a las de la tercera fila.
Ejemplos:
Teoría de Grupos
= 3 = (1, 0)
= 8 = (1, 1)
= 3∗ = (0, 1)
= 10 = (3, 0)
= 6 = (2, 0)
= 6∗ = (0, 2)
El grupo SU(3): tableros de Young
= 1 = (0, 0)
12
El modelo de quarks
[Gell-Mann ’62, Neeman ’61, Zweig ’64]
– Los quarks (u, d, s) son base de la representación fundamental de SU(3)
Sus números cuánticos (isospín I e hipercarga Y) son:
[Se toma: I3 = 12 λ3 = diag{ 21 , − 12 , 0}, Y =
√2 1 λ8
32
= diag{ 13 , 31 , − 23 }]
= 3∗ = (0, 1)
= 3 = (1, 0)
Quark
u
d
s
Q
I
I3
Y
2
3
− 31
− 31
1
2
1
2
1
2
− 12
1
3
1
3
− 23
0
0
Y
Y
1
1
d
s̄
u
0
0
ū
d̄
s
Q = I3 + 12 Y
[Q = carga eléctrica/(e > 0)]
−1
I3
− 21
0
−1
1
2
I3
− 21
0
1
2
Los antiquarks (u, d, s) tienen todas las cargas opuestas
– Cada quark tiene espín
El modelo de quarks
1
2
bajo el grupo SU(2) de las rotaciones
13
Bariones
SU(2): Tres quarks de espín
×
4S
2 MS
Mixtas
{↑, ↓}
×
= 2 ⊗ 2 ⊗ 2 = 4 S ⊕ 2 MS ⊕ 2 M A
{|λαai} Bases ortonormales
λ
Simétrica
1
2
2 MA #
es |↑↑↑i
χS (+ 23 ) = |↑↑↑i
es |↓↓↑i
χS (− 21 ) =
es |↑↑↓i
χS (+ 21 ) =
√1 (|↑↑↓i + |↑↓↑i + |↓↑↑i)
3
√1 (|↓↓↑i + |↓↑↓i + |↑↓↓i)
3
es |↓↓↓i
χS (− 23 ) = |↓↓↓i
em |↓↓↑i
χ MS (− 12 ) =
em |↑↑↓i
χ MS (+ 12 ) =
(23)em |↑↑↓i χ M A (+ 21 ) =
(23)em |↓↓↑i χ M A (− 21 ) =
#
√1 (2 |↑↑↓i − |↓↑↑i − |↑↓↑i)
6
√1 (2 |↓↓↑i − |↑↓↓i − |↓↑↓i)
6
√1 (|↑↓↑i − |↓↑↑i)
2
√1 (|↓↑↓i − |↑↓↓i)
2
Con |1i ≡ em |αi y |2i ≡ (23)em |αi se construye el vector unitario
El modelo de quarks
Espín S
Bariones en SU(3)
3
2
1
2
| 2 i − h1 | 2 i |1 i
⊥ |1 i
k | 2 i − h1 | 2 i |1 i k
14
SU(3): Tres quarks q1 q2 q3 con sabores qi ∈ {u, d, s}
×
λ
Simétrica
10S
= 3 ⊗ 3 ⊗ 3 = 10S ⊕ 8 MS ⊕ 8 M A ⊕ 1 A
{|λαai}
Base ortonormal
es |uudi
ψS (uud) =
es |uuui
ψS (uuu) = |uuui
es |ddui
ψS (ddu) =
es |uusi
ψS (uus) =
es |dddi
es |udsi
es |ddsi
es |ssui
es |ssdi
es |sssi
El modelo de quarks
×
√1 (|uudi + |udui + |duui)
3
√1 (|ddui + |dudi + |uddi)
3
ψS (ddd) = |dddi
√1 (|uusi + |usui + |susi)
3
ψS (uds) = √16 (|udsi + |dusi + |usdi + |sdui + |sudi + |dsui)
ψS (dds) = √13 (|ddsi + |dsdi + |sdsi)
ψS (ssu) = √13 (|ssui + |susi + |ussi)
ψS (ssd) = √1 (|ssdi + |sdsi + |dssi)
3
ψS (sss) = |sssi
Bariones en SU(3)
15
{|λαai}
λ
em |uudi
8 MS
em |ddui
em |uusi
Mixtas
em |ddsi
em |udsi
em |usdi
em |ssui
em |ssdi
(23)em |uudi
8 MA #
(23)em |ddui
(23)em |uusi
(23)em |ddsi
(23)em |udsi
(23)em |usdi
(23)em |ssui
(23)em |ssdi
El modelo de quarks
Bases ortonormales
√1 (2 |uudi − |duui − |udui)
6
ψMS (ddu) = √1 (2 |ddui − |uddi − |dudi)
6
ψMS (uus) = √1 (2 |uusi − |suui − |usui)
6
ψMS (dds) = √1 (2 |ddsi − |sddi − |dsdi)
6
ψMS (uds) = 21 (|udsi + |dusi − |sdui − |dsui)
1
√
ψ⊥
MS (uds) = 2 3 (2 |usdi + 2 |sudi − |udsi
ψMS (ssu) = √1 (2 |ssui − |ussi − |susi)
6
ψMS (ssd) = √1 (2 |ssdi − |dssi − |sdsi)
6
ψMA (uud) = √1 (|udui − |duui)
2
1
ψMA (ddu) = √ (|dudi − |uddi)
2
ψMA (uus) = √1 (|usui − |suui)
2
ψMA (dds) = √1 (|dsdi − |sddi)
2
1
ψMA (uds) = √
(2 |usdi − 2 |sudi + |udsi − |dusi + |dsui − |sdui)
2 3
1
ψ⊥
M A (uds) = 2 (|udsi − |dusi + |sdui − |dsui)
ψMA (ssu) = √1 (|ussi − |suui)
2
ψMA (ssd) = √1 (|dssi − |duui)
2
ψMS (uud) =
Bariones en SU(3)
16
Estados simetrizados
Decuplete J P =
Barión
3+
2
ψS ( q 1 q 2 q 3 ) χ S ( m J )
m J ∈ {+ 32 , + 21 , − 21 , − 23 }
Quarks Función de onda
∆++
uuu
∆+
uud
∆0
udd
∆−
ddd
Σ∗+
uus
Σ ∗0
uds
Σ∗−
dds
Ξ ∗0
uss
Ξ∗−
dss
Ω−
sss
El modelo de quarks
|uuui χS (m J )
√1 (|uudi + |udui + |duui) χ S ( m J )
3
√1 (|ddui + |dudi + |uddi) χ S ( m J )
3
|dddi χS (m J )
√1 (|uusi + |usui + |susi) χ S ( m J )
3
√1 (|udsi + |dusi + |usdi + |sdui + |sudi + |dsui) χ S ( m J )
6
√1 (|ddsi + |dsdi + |sdsi) χ S ( m J )
3
√1 (|ssui + |susi + |ussi) χ S ( m J )
3
√1 (|ssdi + |sdsi + |dssi) χ S ( m J )
3
|sssi χS (m J )
Bariones en SU(3)
17
Octete
JP
=
1+
2
Barión
p
n
Σ+
Σ−
El modelo de quarks
√1
2
ψ MS ( q 1 q 2 q 3 ) χ MS ( m J ) + ψ M A ( q 1 q 2 q 3 ) χ M A ( m J )
m J ∈ {+ 12 , − 21 }
Quarks Función de onda (m J = + 12 )
↑ ↑ ↓ ↓ ↑ ↑ ↑ ↓ ↑ 1
√ 2 u u d + d u u + u d u
uud
3 2
↓ ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↑ ↑ ↓ − u u d + d u u + u d u
↑ ↓ ↑ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↑ − u u d + d u u + u d u
↑ ↑ ↓ ↓ ↑ ↑ ↑ ↓ ↑ 1
√
2 d d u + u d d + d u d
udd
3 2
↓ ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↑ ↑ ↓ − d d u + u d d + d u d
↑ ↓ ↑ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↑ − d d u + u d d + d u d
↑ ↑ ↓ ↓ ↑ ↑ ↑ ↓ ↑ 1
√
uus
2 u u s + s u u + u s u
3 2
↓ ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↑ ↑ ↓ − u u s + s u u + u s u
↑ ↓ ↑ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↑ − u u s + s u u + u s u
↑ ↑ ↓ ↓ ↑ ↑ ↑ ↓ ↑ 1
√ 2 d d s + s d d + d s d
dds
3 2
↓ ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↑ ↑ ↓ − d d s + s d d + d s d
↑ ↓ ↑ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↑ − d d s + d s d + d s d
Bariones en SU(3)
18
Octete
JP
=
1+
2
(cont.)
Nota: Σ0 y Λ0 elegidas para dar isospín correcto
Barión Quarks
Función de onda (m J = + 12 )
Σ0
1
6 {(|usdi + |sdui)(2 |↑↑↓i − |↓↑↑i − |↑↓↑i)
uds
(|dusi + |usdi)(2 |↓↑↑i − |↑↓↑i − |↑↑↓i)
Λ0
uds
1
√
(|sdui + |dusi)(2 |↑↓↑i − |↑↑↓i − |↓↑↑i)}
2 3
{(|usdi − |sdui)(|↑↓↑i − |↓↑↑i)
(|dusi − |usdi)(|↑↑↓i − |↑↓↑i)
Ξ0
uss
Ξ−
dss
El modelo de quarks
(|sdui − |dusi)(|↓↑↑i − |↑↑↓i)}
↑ ↑ ↓ ↓ ↑ ↑ ↑ ↓ ↑ 1
√ 2 s s u + u s s + s u s
3 2
↓ ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↑ ↑ ↓ − s s u + u s s + s u s
↑ ↓ ↑ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↑ − s s u + u s s + s u s
↑ ↑ ↓ ↓ ↑ ↑ ↑ ↓ ↑ 1
√ 2 s s d + d s s + s d s
3 2
↓ ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↑ ↑ ↓ − s s d + d s s + s d s
↑ ↓ ↑ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↑ − s s d + d s s + s d s
Bariones en SU(3)
19
– El estado fundamental tiene momento angular orbital L = 0. Por tanto el
momento angular total del barión (su espín) J coincide con la suma vectorial de
los espines de los tres quarks S. Su paridad es P = (−1) L
– La total simetría del estado fundamental [espacial] × [espín] × [sabor] ocasiona
un conflicto con el postulado de simetrización: esperamos que bajo el intercambio
de fermiones idénticos la función de onda debe ser antisimétrica.
Para solucionar este problema se supone que los quarks son la representación
fundamental de una simetría SU(3) de color que, a diferencia de la SU(3) de
sabor, es exacta: los quarks puden tener color rojo (R), verde (G) o azul (B). Se
postula que los hadrones son neutros de color, es decir, pertenecen a la
representación singlete de SU(3) de color.
Así los bariones pertenecen a la representación antisimétrica 1 A de SU(3) de color:
1
ea |RGBi = √ (|RGBi − |GRBi − |RBGi − |BGRi + |BRGi + |GBRi)
6
de modo que la función de onda [espacial] × [espín] × [sabor] × [color] es en
efecto antisimétrica.
El modelo de quarks
Bariones en SU(3)
20
Los números cuánticos de los multipletes de bariones
Y
ddd
udd
uud
uuu
1
Y
dds
1
d
uds
uus
0
u
3×3×3
0
=⇒
s
dss
uss
−1
sss
−1
I3
− 21
0
−2
1
2
I3
− 32
El modelo de quarks
Bariones en SU(3)
−1 − 21
0
1
2
1
3
2
21
Decuplete
Y
JP
=
3+
2
∆−
(L = 0, S = 32 )
∆0
∆+
∆++
1
Σ
∗−
Σ
∗0
Σ
∗+
0
∗−
∗0
Ξ
Ξ
−1
Ω
−
−2
I3
− 32
El modelo de quarks
−1 − 21
0
1
2
1
3
2
Quarks
I
I3
Y
M [MeV]
∆++
uuu
1232
uud
1
1232
∆0
udd
1
1232
∆−
ddd
1
1232
Σ∗+
uus
1
3
2
1
2
− 12
− 32
1
∆+
3
2
3
2
3
2
3
2
1
0
1383
Σ ∗0
uds
1
0
0
1384
Σ∗−
dds
1
0
1387
Ξ ∗0
uss
dss
−1
1530
Ξ∗−
1
2
1
2
−1
Ω−
sss
0
−2
1672
Bariones en SU(3)
1
2
− 12
0
−1
1530
22
Octete
JP
=
1+
2
Y
(L = 0, S = 21 )
p
n
1
Σ−
Σ0 Λ0
Σ+
0
Ξ−
Ξ0
−1
I3
−1 − 21
El modelo de quarks
0
1
2
1
Quarks
I
I3
Y
M [MeV]
p
uud
938
udd
1
939
Λ0
uds
0
1
2
− 12
1
n
1
2
1
2
0
0
1115
Σ+
uus
1
1
0
1189
Σ0
uds
1
0
0
1192
Σ−
dds
1
0
1197
Ξ0
uss
dss
−1
1314
Ξ−
1
2
1
2
−1
Bariones en SU(3)
1
2
− 12
−1
1321
23
Mesones
SU(2): Un quark y un antiquark, ambos de espín
×
Antisimétrica
El modelo de quarks
= 2 ⊗ 2 = 3S ⊕ 1 A
{|λαai} Base ortonormales
λ
Simétrica
1
2
3S
1A
es |↑↑i
χS (+1) = |↑↑i
es |↓↓i
χS (−1) = |↓↓i
ea |↑↓i
χ A (0) =
es |↑↓i
χ S (0) =
Espín S
√1 (|↑↓i + |↓↑i)
2
1
√1 (|↑↓i − |↓↑i)
2
0
Mesones en SU(3)
24
SU(3): Un quark q y un antiquark q de sabores q ∈ {u, d, s}, q ∈ {u, d, s}
= 3 ⊗ 3∗ = 8 ⊕ 1
×
– Nota: El grupo SU(3) de sabor posee un subgrupo SU(2) de isospín I. Los
multipletes de isospín de las antipartículas deben ser definidos con cuidado
(deben transformarse igual y tener I3 opuesto). Así, por ejemplo:


u′
d′
Por tanto:


0 −1
|
{z
=
1
0
π
e−i 2 σ2


u
d
}
⇒



−d
I
I3
Estado
1
1
1
0
−ud
1
0
El modelo de quarks

u
′
′


=
0 −1
1
0


−d
u


√1 (uu − dd)
2
−1 du
0
√1 (uu + dd)
2
Mesones en SU(3)
25
λ
Base ortonormal
|C i ≡
| Bi ≡
| Ai ≡
I
I3
Y
(No hay simetría de intercambio)
0
0
0
0
0
0
1
0
0
← Este deber ser el singlete
)
−ud
1
1
0
du
1
−1
0
us
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
− 12
1
2
− 12
1
√1 (uu + dd + ss)
3
√1 (uu + dd − 2ss)
6
√1 (uu − dd)
2
ds
sd
su
Ortogonales a |C i con I3 = Y = 0
↓ Los seis estados restantes
1
−1
−1
– Los estados | Bi (octete) y |C i (singlete) no se mezclan bajo transformaciones de
SU(3) pero tienen los mismos I = Y = 0. Pueden superponerse. Por ejemplo:
L = 0, S = 0 :
L = 0, S = 1 :
El modelo de quarks
√1 (uu + dd − 2ss),
6
≈ √1 (uu + dd),
2
|η i ≈
|ω i
Mesones en SU(3)
|η ′ i ≈
√1 (uu + dd + ss)
3
|φi ≈ ss
26
Los números cuánticos de los multipletes de mesones
– El espín J del mesón es la suma vectorial de L y S del sistema quark-antiquark S.
La paridad es el producto de la paridad intrínseca y la extrínseca P = −(−1) L
– Un mesón neutro es autoestado de conjugación de carga con C = (−1) L+S
Y
1
d
u
Y
0
s
1
I3
0
s̄
us̄
1
−1
Y −1
2
ds̄
1
2
3 × 3∗
=⇒
dū
0
sū
0
ū
sd̄
−1
d̄
I3
−1
I3
− 12
El modelo de quarks
ud̄
uū, dd̄, ss̄
0
−1 − 21
1
2
Mesones en SU(3)
0
1
2
1
27
Nonete J P = 0− (L = 0, S = 0)
(octete y singlete casi no se mezclan)
π0
Y
K0
π+
K+
1
π−
π−
π 0 , η, η ′
η
π+
0
K+
K−
K̄ 0
−1
I3
−1 − 21
0
1
2
1
Función de onda∗
I
I3
Y
M [MeV]
√1 (uu − dd)
2
1
0
0
135
−ud
1
1
0
140
du
1
0
140
√1 (uu + dd − 2ss)
6
0
−1
0
0
547
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
− 12
− 12
1
2
1
493
−1
493
1
498
−1
498
0
0
0
958
us
K−
su
K0
ds
K
0
η′
−sd
√1 (uu + dd + ss)
3
∗ [multiplicar por
χ A (0)]
Nota: π 0 , η y η ′ tienen J PC = 0−+
El modelo de quarks
Mesones en SU(3)
28
Nonete J P = 1− (L = 0, S = 1)
(octete y singlete se mezclan)
Función de onda∗
I
I3
Y
M [MeV]
√1 (uu − dd)
2
1
0
0
775
−ud
1
1
0
775
du
1
0
775
ω
√1 (uu + dd)
2
0
−1
0
0
782
K ∗+
us
892
su
ds
−1
892
K ∗0
1
2
− 12
− 12
1
2
1
K ∗−
1
2
1
2
1
2
1
2
1
892
892
0
0
−1
ρ0
Y
K ∗0
ρ+
K ∗+
1
ρ−
ρ−
ρ0 , ω, φ
ω+
0
K̄ ∗0
K ∗−
−1
I3
−1 − 21
0
1
2
1
K
∗0
−sd
ss
φ
∗ [multiplicar
0
1020
por χS (m J )]
Nota: ρ0 , ω y φ tienen J PC = 1−−
El modelo de quarks
Mesones en SU(3)
29
Masas y momentos magnéticos de los hadrones
Diferencias de masa en multipletes de isospín
Atribuirlas a la interacción eléctrica entre quarks constituyentes y mu 6= md 6= ms .
Por ejemplo, para los hiperones Σ:
Σ+ (1189) = uus
Σ0 (1192) = uds
Σ− (1197) = dds
tendríamos, suponiendo interacción eléctrica entre pares de quarks,
MΣ+ = M0 + ms + 2mu + ( Q2u + Qu Qs + Qu Qs )δ
MΣ0 = M0 + ms + md + mu + ( Qu Qd + Qu Qs + Qd Qs )δ ,
1 e2
δ=
4πǫ0 r
MΣ− = M0 + ms + 2md + ( Q2d + Qd Qs + Qd Qs )δ
de donde
1
md − mu = [ MΣ− + MΣ0 − 2MΣ+ ] = 3.7 MeV
3

que confirma la similitud entre los quarks del doblete de isospín 
Hadrones
Diferencias de masa en multipletes de isospín
u
d

.
30
Masas de los bariones
Las masas de los hadrones de un mismo multiplete no son iguales. Suponer que el
hamiltoniando de la interacción fuerte H contiene un término H ′ que rompe SU(3):
H = H0 + H ′
donde H ′ conmuta con los generadores diagonales I3 e Y.
[vid. valores tablas]
Fórmula de Gell-Mann–Okubo (empírica, consistente con lo anterior)
2
Y
para bariones:
M = M0 + M1 Y + M2 I ( I + 1) −
4
⇒ Decuplete de bariones
JP
=
3+
2 ,
cumplen Y = 2( I − 1):
[ A ≈ 1380 MeV,
M = A + BY
⇒ Octete de bariones
JP
=
1+
2 :
3MΛ0 + MΣ0 = 2Mn + 2MΞ0
Hadrones
B ≈ −150 MeV]
[se cumple con una precisión del 5h]
Masas de los bariones
31
Masas de los mesones
Suponer que la relación entre masas es cuadrática.
Fórmula de Gell-Mann–Okubo
para mesones:
M2 = M02 + M12 Y + M22
Y2
I ( I + 1) −
4
⇒ Octete de mesones psedoescalares J P = 0− :
2
2
2
3Mη2 + Mπ
0 = 2MK 0 + 2M 0
K
y como MK0 = MK0 se obtiene finalmente
2
2
3Mη2 + Mπ
0 = 4MK 0
que se cumple con una precisión del 8%.
Hadrones
Masas de los mesones
32
Momentos magnéticos de los bariones
El operador momento dipolar magnético de un fermión sin estructura, de espín 21 ,
carga Q y masa m es:
eh̄
~µ = Q ~σ ≡ µ~σ
2m
Para un barión constituido por tres quarks i = 1, 2, 3 el modelo de quarks predice
~µ = ∑ ~µi
i
=⇒
µbarión = hψ| ∑ µi σ3i |ψi
i
donde ψ es su función de onda en el estado de m J = J.
Teniendo en cuenta que sólo se están considerando las contribuciones de los quarks
de valencia (quarks constituyentes), el éxito del modelo es bastante bueno, como
muestra la siguiente tabla.
Hadrones
Momentos magnéticos de los bariones
33
p
n
Λ0
Σ+
Σ0
Σ−
Ξ0
Ξ−
Ω−
Modelo de quarks
µ/µ N
Experimento µ/µ N
1
3 (4µu − µd )
1
3 (4µd − µu )
—
+2.792 847 351 ± 0.000 000 028
µs
1
3 (4µu
− µs )
1
3 (2µu + 2µd − µs )
1
3 (4µd − µs )
1
3 (4µs − µu )
1
3 (4µs − µd )
3µs
—
—
+2.67
+0.79
−1.913 042 7 ± 0.000 000 5
−0.613 ± 0.004
+2.458 ± 0.010
—
−1.09
−1.160 ± 0.025
−0.49
−0.6507 ± 0.0025
−1.43
−1.84
−1.250 ± 0.014
−2.02 ± 0.05
donde se ha usado como unidad el magnetón nuclear µ N ≡
Nota: Si suponemos mu = md , el modelo de quarks predice
eh̄
2m p
µn
2
= − ≈ −0.667,
µp
3
µn
bastante de acuerdo con el valor experimental
= −0.685
µp
Hadrones
Momentos magnéticos de los bariones
34
Los quarks pesados
El quark c (mesón J/ψ: SLAC y Brookhaven, 1974; mc ≈ 1.5 GeV)
Se introduce un cuarto sabor, ampliándose la simetría a SU(4).
El quark b (mesón Y: Fermilab, 1977; mc ≈ 4.5 GeV)
Se introduce un quinto sabor, ampliándose la simetría (aún más aproximada) a SU(5).
El quark t (pp → tt̄ + X: Fermilab, 1994; mt ≈ 170 GeV)
Tan pesado que puede decaer débilmente: t → Wb antes de hadronizarse.
Números cuánticos (conservados en interacciones fuertes).
Quark
d
u
s
c
b
t
Los quarks pesados
Y
Q = I3 +
2
Y = B+S+C+B+T
Q
I
I3
S
C
B
T
− 13
1
2
1
2
− 12
0
0
0
0
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
S = strangeness
0
0
−1
0
1
0
0
C = charm
0
0
0
0
0
B = beauty o bottomness
0
0
0
0
−1
1
T = topness
2
3
− 13
2
3
− 31
2
3
0
c, b y t
B = número bariónico =
1
3
35
Ξ cc+
SU(4)
+
Ωcc
(a)
Σc
0
ddc
Ξ c0
SU(3)
n
Σ−
++
Ξ cc
dcc ucc
scc
Λ+c, Σ c+
uuc
udc
dsc
0 usc
Ω
ssc c
Ξ c+
n
udd
dds
uud
uds
Λ ,Σ
dss
0
Ξ
Ds+
Σc++
p
uus
K0
Σ
+
π
–
0
K
Σ c0
ddc
Ξc
∆
SU(3)
+
Ωcc
ddd
Σ
∆
udd
uds
− dds
Ξ
−
+
Ξ
c
Ωc0 ∆+
Σ0
uss
dss
sss
Ω−
uud
uus
Ξ0
++
uuu
∆
dc− −
sc
ds−
π+
K0
uc−
D0
−
− cs cd−
cu
−
du
−
ud
Ds−
Ds* +
D* −
dc− −
sc
o
SU(3)
(b)
D* +
K *+
ρ 0 ω us− − +
− J/
ψ φ sd− ud ρ
su
K *−
Σ+
K *0
uc−
D*0
o
SU(3)
Ds* −
Bariones
Los quarks pesados
ρ
−
D+
+
K
π η
ηc η ′ sd−
D*0
K *0
Σ c++
(a)
us−
0
Y
usc
ssc
–
I
uuc
udc
0
++
Ξ cc
Σ c+
dsc
0
−
(
dcc ucc
scc
−
su
D–
C
(b)
ds−
−
du
Ω ++
ccc
+
Ξ cc
−
− cs cd−
cu
D0
uss
Ξ−
u,d,s,c
Mesones
SU(4)
36