Biocinética y Bioreactores ¿Qué hace a un reactor biológico distinto a un reactor convencional? ¿Cómo trasladamos lo que ya sabemos sobre reactores químicos para ahora entender, analizar, diseñar y optimizar reactores biológicos? Bien, comencemos por decir que, desde el punto de vista de tratamiento formal, no hay diferencias apreciables. Al igual que para el caso de los reactores “convencionales” en el análisis de los reactores biológicos nos valemos de ecuaciones de diseño (derivadas del balance de masa correspondiente) y en ellas introducimos un término de producción (o consumo) que derivamos de leyes cinéticas. Si, el proceso matemático es análogo, y el propósito el mismo (maximizar conversión del producto deseado, si hay más de un producto favorecer la selectividad hacia el producto deseado, optimizar la temperatura de operación, etc. ¿Dónde están entonces las diferencias? Pues en las expresiones cinéticas. Los modelos cinéticos que hemos visto hasta el momento no necesariamente reproducen aceptablemente el comportamiento de reacciones biológicas. Estriba en esto la sutil gran diferencia. Claro que, detrás de esta diferencia en el tratamiento matemático hay una distinción mas fundamental. En un bioreactor trabajamos con organismos vivos o con partes de organismos vivos (enzimas) que poseen características muy particulares. Comencemos por el modelo cinético más característico de una reacción bioquímica, el modelo de Michaelis-Menten para cinética enzimática. ¿Por qué es este el modelo más característico? Todas las reacciones bioquímicas, así sean llevadas a cabo en un bioreactor industrial, dentro de una célula o fuera de ella, dentro de tu cuerpo o en un tejido animal o vegetal, son mediadas por enzimas. Las enzimas son proteínas que actúan como catalizadores. Facilitan el acontecimiento de reacciones que de otra forma, en su ausencia, estarían muy impedidas energéticamente (serían muy lentas o termodinámicamente imposibles a condiciones normales de P y T). Por citar un ejemplo trivial, la combustión de un carbohidrato (azúcar) requiere de altas temperaturas para Ingeniería de Reactores 62 M.Alvarez 2003 ocurrir. Sin embargo, el proceso de respiración celular (que no es más que una combustión) se lleva a cabo de forma muy eficiente y a T = 37°C cuando es mediado por enzimas presentes en nuestras mitocondrias. Las enzimas son moléculas tridimensionales muy complejas y flexibles, que por diversos mecanismos reducen la energía de activación necesaria para una reacción. En verdad son catalizadores, pues posibilitan las reacciones pero no se involucran en ellas como reactivos. Es momento de que introduzcamos aquí un poco de nomenclatura. Sustrato: Es el reactivo o reactivos que la enzima procesará. Producto: No hay mayor problema, es el producto de la reacción. Complejo Enzima-Sustrato: Es el complejo activado de una reacción enzimática. En este estado transitorio, la enzima y el sustrato se encuentran unidos, ya sea por atracciones electrostáticas, o inclusive en algunos casos covalentemente. Este complejo activado es reversible y transitorio. Sitio activo: Localidad de la enzima donde físicamente se lleva a cabo la reacción. Normalmente al sitio activo se une el sustrato (de una forma altamente específica) y es ahí donde se llevan a cabo las transformaciones químicas. La figura 1, esquematiza en forma muy simplista, como actúa una enzima. Este modelo o mecanismo fue propuesto a principios del siglo XX. Está compuesto por tres etapas (aunque luego introduciremos una simplificación). En la primera etapa la enzima y el sustrato se encuentran, uno a uno, y se realiza un acoplamiento. Nótese que esta etapa del mecanismo es reversible, y está mediada entonces por una constante de velocidad en cada dirección (a las que llamaremos k1 y k2). La segunda etapa es aquella en donde se realiza la transformación química. El sustrato pasa a producto en el seno de la enzima, en el sitio activo. En la tercera etapa, la enzima libera al producto, quedando disponible para un posterior encuentro con otra molécula de sustrato. Hagamos algunas simplificaciones y algunas suposiciones. Supongamos que la segunda y tercera etapa pueden ser sintetizadas en una sola. Formulemos entonces que todo el proceso puede ser descrito por los dos pasos ilustrados en la figura 2. Ya con esta simplificación, derivaremos un modelo matemático consistente con ciertas observaciones experimentales. Como primer paso en Ingeniería de Reactores 63 M.Alvarez 2003 la derivación, supondremos que la primera etapa del mecanismo ocurre rápidamente, y rápidamente llega al equilibrio. Es decir: k1[E][S] = k2 [ES] (1) En consecuencia, la segunda etapa del mecanismo es la etapa lenta, y por tanto la limitante. Luego, la velocidad del proceso global (rs) deberá estar correctamente descrito por: rs = k3 [ES] (2) Este es un modelo que correctamente describiría a una reacción enzimática típica bajo las suposiciones que hemos hecho. Hay solo un problema. Como recordarás, es recomendable expresar ecuaciones cinéticas en términos de constantes y concentraciones (o presiones parciales) que podemos calcular o medir. Desgraciadamente, en este modelo sencillo de primer orden en [ES] no se cumple este requisito, pues ES es un complejo transitorio difícilmente medible. Esto nos lleva a la necesidad de buscar substituir la concentración de ES por otras variables que si podamos monitorear. Para lograr esto, recurriremos al siguiente argumento: El intermediario ES, precisamente por su naturaleza intermediaria, no se acumula con respecto al tiempo y por tanto, en estado estacionario podemos escribir este balance: d[ES] = k 1 [E][S] − k 2 [ES] − k 3 [ES] = 0 dt (3) Reagrupando este balance diferencial se puede llegar a la expresión: Ingeniería de Reactores 64 M.Alvarez 2003 Esta expresión por si sola no es muy útil, pues contiene el término de enzima libre [E] que difícilmente puede ser medido durante la reacción. Afortunadamente podemos recurrir a una argucia matemática. Consideremos un balance global de enzima. La enzima inicialmente dispuesta para la reacción será en todo momento igual a la suma entre la enzima libre y la enzima acomplejada con el sustrato. Entonces: [Eo] = [E]+[ES] (4) Substituyendo la ecuación (4) en la ecuación (3) podemos deshacernos de [E]: k1{[Eo] − [ES]}[S] = [ES](k2 + k3) (5) Aún más, en la ecuación 5, convenientemente, podemos despejar [ES] dejándola en función de constantes cinéticas y valores de concentraciones que si podemos medir: [Eo], [S]. k1[Eo][S] − k1[ES][S] = [ES] (k2+k1) k1[Eo][S] = [ES]{(k2+k1)+(k1[S]} [ES] = k 1 [Eo][S] k 2 + k 3 + k 1 [S] (6) Y substituyendo (6) en (2) rs = k 3 k 1 [Eo][S] k 2 + k 3 + k 1 [S] Dividiendo ahora arriba y abajo entre k1 llegamos a la expresión (7) rs = k 3 [Eo][S] (k 2 + k 3 ) / k 1 + [S] (7) Y si a k3[Eo] le llamamos velocidad máxima (rmax), y a (k2+k3)/k1 le llamamos Km, entonces habremos derivado la famosa ecuación típica para cinética enzimática, la ecuación de MichaelisMenten: rs = rmax [S] K m + [S] (8) Ya tenemos entonces una expresión que refleja el mecanismo propuesto en la Figura 2. Son esta expresión y su mecanismo válidos. Bueno, la experiencia ha demostrado que bien reproducen resultados experimentales como el que presentado en la Figura 3. En tal figura, se te presentan datos de concentración de velocidad de la enzima con respecto al tiempo. Nótese que en tal Ingeniería de Reactores 65 M.Alvarez 2003 gráfica se refiere al punto de concentración donde la velocidad alcanza la mitad de rmax como Km. Puedes corroborar matemáticamente que esto es cierto? Pues si ya tenemos nuestra expresión cinética, estamos listos para comenzar a diseñar reactores. Veamos por ejemplo el caso de un reactor enzimático operado en forma batch, donde el sustrato glucosa se convierte en fructosa (como probablemente sabes, los jarabes fructosados son mas dulces y tienen mayor valor comercial que los jarabes de glucosa). La ecuación de diseño para un reactor batch sigue siendo la misma, pues proviene del balance de materia sobre el sustrato en el reactor. Al no entrar ni salir sustrato, el balance, como en un reactor batch convencional, solo incluye los términos de acumulación y producción. − r [S] d[S] = rs = max K m + [S] dt Como siguiente paso en nuestra discusión, mencionaremos como evaluar los parámetros cinéticos de la ecuación (8), rmax y Km. La ecuación de velocidad se puede re-arreglar de varias formas para expresarla como una línea recta. Tres formas de linearización de la ecuación de Michaelis-Menten (M-M) son comunes: [S] K m [S] = + rs rmax rmax K 1 1 1 (b) = + m rs rmax rmax [S] r (c) rs = rmax − K m s [S] (9) (a) (10) (11) Por cualquiera de estas tres formas (cada una presenta sus ventajas y desventajas), es posible encontrar los parámetros cinéticos a través de los valores de la pendiente y la intersección con la abscisa. Por ejemplo, tomemos la segunda ecuación. Según esta, una gráfica de la variable independiente 1/[S] contra la variable dependiente (1/rs) nos daría una línea recta al graficar datos experimentales si en verdad el proceso correspondiera a una cinética M-M. La intersección de esta línea recta con la abcisa sería el inverso del valor de rmax. Ya teniendo este podemos calcular también el valor de Km, puesto que el valor de pendiente de la recta es precisamente Km/rmax. Ingeniería de Reactores 66 M.Alvarez 2003 Consideremos los siguientes datos experimentales. De una serie de corridas en reactores batch a distintas concentraciones de glucosa (sustrato) se han calculado los siguientes datos de velocidad inicial de conversión de glucosa a fructosa: Experimento (R. Batch) 1 2 3 4 5 6 7 8 [So] (mmol/L) 1 2 3 5 7 10 15 20 rso mmol/(L min) 0.20 0.22 0.30 0.45 0.41 0.50 0.40 0.33 Data_Biorxn_clase 5.5 y = 2. 2249 + 3 .0387 x R = 0.884 67 5 4.5 4 1/v 3.5 3 2.5 2 1.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1/ [S]o Así, 1/rmax = 2.2249. Entonces rmax = 0.4494 mmol/(L min). La pendiente de la recta descrita por los datos experimentales es 3.0387. Este valor es igual a Km/rmax, de donde Km = 3.0387×0.4494 = 1.3657 mmol/L El método de cálculo de valores cinéticos basado en experimentos en reactores batch es el más práctico. Aunque hay forma de calcular rmax y Km con experimentos en reactores continuos, el método de velocidades iniciales en batch es el mas simple de operar. Ingeniería de Reactores 67 M.Alvarez 2003 Una vez obtenidos los parámetros cinéticos, podemos dimensionar bioreactores. Por ejemplo, supongamos que queremos calcular el tiempo que deberemos procesar una solución de glucosa de 10 mmol/lt hasta un 90% de conversión en un reactor batch. El balance de materia sería: − r [S] d[S] = max dt K m + [S] (12) Separando variables e integrando: [ S] ∫ K m + [S] − d[S] = [ S ] [ S ]o La solución de esta integral es: K m ln ∫ t rmax dt 0 [S]0 + [S]0 − [S] = rmax t [S] (13) Que es la ecuación que podremos utilizar para calcular el tiempo de residencia de nuestro bioreactor enzimático. ¿Y para un reactor continuo tipo tanque? La ecuación de balance sobre sustrato (suponiendo densidad constante, v0 = v) es: v 0 [S]0 − v 0 [S] − rs V = V d[S] dt (14) Considerando estado estacionario, el término de acumulación se elimina: v0 r [S] ([S]0 − [S]) = rs = max V K m + [S] (15) El factor (v0/V) es el inverso del tiempo espacial (τ), también conocido como velocidad espacial (s), entonces: r [S] 1 ([S]0 − [S]) = max τ K m + [S] (16) que sería la ecuación de diseño para un reactor enzimático continuo. Ahora bien, en muchas situaciones prácticas no utilizamos directamente a una enzima aislada, sino a todo un microorganismo vivo para realizar una reacción biológica. Si este es el caso, entonces nuestro problema de diseño resulta aún más interesante. Ahora el biocatalizador no es una enzima sino toda una célula. Las células se reproducen una vez provistas condiciones de T, pH, concentración de nutrientes adecuadas, lo que significa que la concentración del “biocatalizador” también puede varíar con respecto al tiempo. Para un bioreactor batch donde estamos creciendo células, por ejemplo células de levadura, el balance sobre la biomasa (X) se vería así: Ingeniería de Reactores 68 M.Alvarez 2003 d[X ] = µ[X] dt (17) Este balance es consistente con el hecho de que la velocidad de incremento de biomasa (masa celular) es dependiente de la biomasa celular misma existente en un cierto momento. Nótese que si [X] tiene unidades de g células/mL, y t unidades de s, entonces µ tiene unidades de 1/s (µ es la tasa de crecimiento específico para esa célula). Ahora bien, esa tasa de crecimiento no es constante, sino que depende de la concentración de alimento de que dependa la célula y de parámetros cinéticos propios. Si suponemos que todo el funcionamiento de la célula depende de enzimas, y que es la más lenta de estas la que determina la tasa de crecimiento, entonces podemos pensar en que µ tenga la forma de una ecuación M-M. De hecho, esa suposición es ampliamente utilizada. La ecuación (18) es llamada ecuación de Monod, y es análoga a la ecuación de Michaelis-Menten: µ [S] (18) µ = max K m + [S] Y sustituyendo en (17) llegamos a: d[X] µ max [S][X] = dt K m + [S] (19) Desde luego este es solo uno de los balances pertinentes al análisis de un reactor celular. Podríamos, y en muchas instancias debemos, formular ecuaciones de cambio para el sustrato (o sustratos), el producto (o productos), etc. Esta fue solamente una breve introducción al área de Ingeniería de reactores biológicos, un área más de acción para el ingeniero de procesos. Checar http://216.47.139.198/pensim/ donde se presenta un simulador de procesos biológicos de este tipo. Ingeniería de Reactores 69 M.Alvarez 2003