El proceso estocástico de muerte. Diferentes estrategias para la

ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Vol. 45, Núm. 153, 2003, págs. 253 a 274
El proceso estocástico de muerte.
Diferentes estrategias para la
elaboración de tablas recargadas.
Análisis de sensibilidad
por
JOSÉ MANUEL PAVÍA MIRÁLLES (*)
Departamento de Economía Aplicada
Universidad de Valencia
ROBERTO ESCUDER VALLÉS
Departamento de Economía Aplicada
Universidad de Valencia
RESUMEN
En la determinación de la prima de cualquier seguro la probabilidad de materialización del riesgo juega un papel primordial. En poblaciones reales se producen fluctuaciones en la siniestralidad. Las entidades de seguro tratan de protegerse ante tales desviaciones. Para
ello, en seguros de vida, las aseguradoras construyen tablas de mortalidad recargadas. Este artículo propone distintas estrategias para
recargar las tablas y realiza un análisis comparativo de los resultados
que se derivarían de seguir cada una de ellas.
(*)
Este trabajo ha sido parcialmente financiado a través del proyecto PB98-1460 de la
DGICYT.
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ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Palabras clave: tablas de mortalidad, tantos de mortalidad, intervalos
de confianza, proceso estocástico de muerte.
Clasificación AMS: 62P05, 62Q05, 65D20, 60G99.
1. INTRODUCCIÓN
El cálculo de las primas de cualquier seguro de vida está basado, principalmente, en las probabilidades de supervivencia o fallecimiento que los individuos
tienen en cada edad. Tal información viene reunida en lo que se denomina una
tabla de mortalidad, en la que se recoge —entre otras funciones biométricas— el
número de supervivientes, lx (o de fallecidos, dx), que procedentes de un colectivo
inicial de tamaño prefijado alcanzan (o perecen a) determinada edad. Las tablas de
mortalidad se suelen elaborar a partir del estudio y el análisis de la intensidad y el
ritmo con el que la mortalidad afecta a cada edad. Para su elaboración se emplean,
fundamentalmente, informaciones de censos de población y de listas de fallec imientos, en colectivos generales, y datos de las compañías de seguros, en poblaciones de asegurados. En particular, y una vez seleccionado el periodo muestral, la
comparación entre el número de expuestos al riesgo y el número de fallecidos
permite al actuario obtener estimaciones iniciales para las probabilidades de fallecimiento a cada edad, qx (y, por tanto, también de las de supervivencia px). Dichas
probabilidades son sometidas a los correspondientes procesos de graduación o
ajuste (ver, por ejemplo, Forfar et al, 1988) a fin de suavizar el perfil del proceso
estocástico asociado; para, finalmente, y a partir de un tamaño de población inicial
ficticio, l0 —en general de 10.000 o 100.000—, elaborar las correspondientes
tablas.
Ocurre, sin embargo, que los valores de la tabla se corresponden con valores
medios o esperados del proceso estocástico asociado. En efecto, es conocido que,
como consecuencia del proceso de elaboración de las tablas de mortalidad, los
valores lx que aparecen en las mismas coinciden con las medias o valores esperados de las variables aleatorias {£x}, —donde £x representa el número de individuos
que procedentes de un colectivo inicial de tamaño l0 alcanza la edad x. Por lo que,
si el actuario basase los cálculos de las probabilidades de los distintos seguros de
vida en las cantidades lx, tendría que las probabilidades derivadas sólo serían
válidas en media. Es decir, únicamente tendrían validez para intervalos temporales
suficientemente amplios y/o poblaciones de un tamaño importante, —y ésto, además, siempre y cuando se pudiese mantener durante el periodo correspondiente la
hipótesis de estacionariedad del proceso estocástico de muerte asociado a la
población.
EL PROCESO ESTOCÁSTICO DE MUERTE. DIFERENTES ESTRATEGIAS PARA LA ELABORACIÓN DE TABLAS …
255
Así, cuando se toman intervalos temporales de no demasiada amplitud o poblaciones de un tamaño reducido es posible que se produzcan ciertas fluctuaciones.
Desviaciones que, de acuerdo con la AAA (American Academy of Actuaries, 2002)
pueden ser debidas a diversas causas, entre ellas: a) utilizar una información no
suficientemente adecuada o una base de datos limitada en el cálculo de los px y qx
iniciales; b) que las carteras de las distintas compañías aseguradoras presenten
una significativa variabilidad en su experiencia de mortalidad; c) que se produzcan
fluctuaciones aleatorias dentro del proceso estocástico de muerte; o, d) que se
originen variaciones imprevistas: que pueden ser puntuales como una epidemia de
gripe inusualmente fuerte, o que pueden tener un carácter más permanente como
el SIDA o un futuro remedio para el cáncer. De modo que, para poder garantizar la
estabilidad y solvencia de la empresa aseguradora, en general, las primas de riesgo
asociadas a los distintos seguros se suelen incrementar con el denominado recargo
de seguridad (ver, por ejemplo, Latorre, 1992, pp. 217-247).
En seguros de vida, este recargo se puede realizar aumentando directamente
las probabilidades de riesgo. Para lo cual, los actuarios construyen, a partir de las
tablas base, otras tablas —denominadas con margen de seguridad o recargadas—
que protegen a la compañía ante las fluctuaciones, de dónde se derivarían las
probabilidades a aplicar en los seguros de supervivencia, fallecimiento o mixtos. En
esencia, la construcción de unas tablas recargadas consiste en considerar —en
seguros de vida de supervivencia— que el número de individuos que alcanzan
cada edad x es superior al número esperado lx, o en admitir
—para el caso de
seguros de vida de fallecimiento— que el número esperado de fallecidos de edad x,
dx = lx – lx+1, es superior al esperado o que, equivalentemente, el número de supervivientes que alcanzan la edad x + 1 es inferior al valor medio, lx+1.
Para determinar estas cantidades máxima y mínima del número de supervivientes en cada edad, un procedimiento consiste en tomar los límites superior e
inferior del intervalo de confianza (o de probabilidad si se admite que lx no es una
estimación) para las medias del proceso estocástico {£x} (Prieto y Fernández,
1994). Los límites superiores para seguros de vida de supervivencia, y los inferiores
para seguros de fallecimiento. Este problema, aparentemente sencillo, encierra, no
obstante, cierta dificultad, pues cuando el actuario se enfrenta al problema de la
construcción de las tablas recargadas se encuentra con la posibilidad de seguir
diferentes estrategias para la construcción de las mismas. Por lo que, será la
estrategia por la que opte cada empresa aseguradora lo que en último término
puede determinar, incluso partiendo de la misma información de base y asumiendo
el mismo riesgo, el precio de la prima. El manuscrito que aquí se presenta trata de
explicitar algunas de estas estrategias, de analizar las consecuencias de tomar
cada una de ellas y de ver —tomados niveles de riesgo aparentemente iguales—
cuales son las alternativas más conservadoras y cuales las menos.
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ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
En concreto, el resto del documento está estructurado como sigue. En el apartado segundo se analizan las diferentes estrategias. En el tercero se realiza un
análisis de sensibilidad de las mismas tomando como base de comparación las
Tablas PEF del año 1990 de la población española que aparecen en Prieto y
Fernández (1994). Finalmente en el punto cuatro se recoge un resumen y las
conclusiones más sobresalientes. El trabajo se completa con dos anexos donde se
muestran los valores para las tablas recargadas derivadas bajo las distintas estrategias analizadas.
2. ESTRATEGIAS A CONSIDERAR: TABLAS POSIBLES
Como se ha comentado en la introducción el número de supervivientes a la
edad x puede ser contemplado como una variable aleatoria £x, variable aleatoria
que representa el número de individuos que procedentes de un colectivo inicial L
alcanzan la edad x. Desde ese punto de vista, si se admite el supuesto de independencia y la hipótesis de homogeneidad —es decir, se acepta que todos los elementos de la población están expuestos a igual riesgo, q, de fallecimiento—, es
inmediato razonar que la variable aleatoria £x sigue una distribución binomial con
parámetros L y p —£x ∼ Bi(L , p)—, donde p = 1 – q, representa la probabilidad de
que un individuo del colectivo inicial alcance la edad x. Distribución binomial que,
gracias a que habitualmente los tamaños poblacionales L son elevados se puede
aproximar adecuadamente por una distribución normal de media µ = Lp y varianza
σ2 = Lpq.
De manera que, a partir de esta aproximación, es relativamente sencillo calcular
un intervalo de probabilidad o de confianza —según se esté ex-ante o ex-post—
para el número de individuos que alcanzan la edad x. De hecho, si se fija en 1 – α
el nivel de probabilidad o confianza y se denota mediante zα/2 al valor que deja por
encima de sí una probabilidad de α/2 en una distribución de probabilidad normal
tipificada se tendría, para el número de individuos que alcanzan la edad x, el intervalo:
[Lp − z
α/2
] [
]
Lp(1− p) , Lp + z α / 2 Lp(1 − p) = L− , L+ ,
(1)
que implícitamente generaría un intervalo(1) de probabilidad para p dado por:
(1) Aparentemente p es una constante y, por tanto, no tiene sentido construir sobre el
mismo un intervalo de confianza o de probabilidad. Sin embargo, en este contexto, este valor
se obtiene a partir del estudio del comportamiento biométrico de una muestra de individuos,
por lo que, en último término, representa una estimación del verdadero parámetro poblacional y tiene asociado en consecuencia una variable aleatoria o estimador.
EL PROCESO ESTOCÁSTICO DE MUERTE. DIFERENTES ESTRATEGIAS PARA LA ELABORACIÓN DE TABLAS …

p(1 − p)
p(1 − p) 
,p + zα/2
p − z α / 2

L
L 

257
(2)
Intervalo que, no obstante, no necesariamente genera —como se pondrá de
manifiesto más adelante— las probabilidades de fallecimiento y supervivencia que
el actuario utiliza para el cálculo de las primas. Las cuales, como es conocido, se
determinan para cada edad x, a partir de la secuencia de valores lx de la tabla de
mortalidad, mediante las expresiones: px = lx+1/lx y qx = (lx - lx+1)/lx.
En cualquier caso, los intervalos y valores extremos anteriores dependen de los
parámetros L y p, por lo que será la elección que de éstos se realice lo que, en
último término, dará lugar a las distintas posibilidades de cálculo para las tablas
recargadas. De manera, que dos compañías de seguro partiendo de los mismos
datos, analizando las tablas base con criterios similares y asumiendo niveles de
riesgo iguales pueden derivar tablas recargadas diferentes, al haber realizado
consideraciones distintas acerca de cuales son los parámetros L y p más adecuados para la distribución binomial.
Pero, ¿en qué consiste esta posibilidad de elección? Para responder a esta pregunta, a continuación, se ilustrará, a través de un ejemplo, la problemática que
aparece. Considere, a fin de fijar ideas, que el problema que debe resolver está
relacionado con la determinación de la probabilidad asociada a un seguro de vida
para el caso de supervivencia. De manera que su objetivo será calcular los límites
superiores del intervalo de confianza para el número de supervivientes a cada
edad. Imagínese que el individuo a asegurar tiene edad x – 1, de modo que tratará,
en primer término, de obtener estimaciones para los valores lx+ o px-1+. Para ello,
usted podría realizar inicialmente, al menos, el siguiente par de razonamientos. En
primer término, podría partir del colectivo inicial l0 —que se tomó para dar origen a
la tabla de mortalidad— y suponer que £x es una variable aleatoria cuyos parámetros son l0 y xp0 —la probabilidad que un individuo de edad 0 alcance la edad x—,
es decir, £x ∼ Bi(l0 , xp0). Alternativamente, podría partir del número de individuos
que, supuestamente, han alcanzado la edad x – 1, lx-1, y admitir que £x sigue una
distribución binomial de parámetros lx-1 y px-1, es decir, £x ∼ Bi(lx-1 , px-1).
Una vez calculados estos valores para límites superiores de £x, usted podría
continuar con el proceso para obtener los correspondientes límites superiores de
£x+1. De forma que, de nuevo, puede repetir los dos razonamientos anteriores para
lograr sendas posibilidades para lx+1+ o px+. No obstante, ahora usted podría,
además, realizar un razonamiento adicional. En efecto, dado que con el cálculo
anterior se trató de cubrir ante un exceso de supervivencia y que, de hecho, tomará
tales valores para la determinación de las primas, puede considerar este exceso
como efectivamente consolidado —el caso más desfavorable a la compañía en
258
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
seguros de supervivencia— y partir, en el razonamiento realizado anteriormente en
segundo lugar, de un tamaño poblacional de lx+ para la variable aleatoria £x+1,
suponiendo, por tanto, que £x+1 ∼ Bi(lx+ , px). De este modo, dispondría de tres
posibles alternativas para la determinación de los límites, que utilizando en cada
edad le generaría una secuencia diferente de número máximo de supervivientes.
Sus posibilidades, sin embargo, aparentemente no se agotarían en los razonamientos anteriores, sino que, usted podría implementar otros mecanismos para la
obtener límites superiores de lx. Por ejemplo, recordando que en estadística actuarial el número esperado de individuos que alcanzan la edad x, procedentes de un
colectivo de tamaño l0, se obtiene de la igualdad lx = l0 p0 p1 ... px-1, usted podría
plantear un método no basado directamente en la distribución de probabilidad de la
variable aleatoria £x para obtener un límite superior de lx+. En efecto, si usted tiene
que pk+ —para k = 0, 1, 2, …— son las probabilidades máximas que tiene cada
individuo de alcanzar la edad k + 1 una vez ha logrado la edad k, podría proponer
como número máximo de individuos que alcanzan la edad x el dado por la expresión: lx+ = l0 p0+ p1+ ... px-1+, recogiendo de esta manera la idea de que a cada edad
se maximiza el número posible de supervivientes.
De tal forma que, usted, finalmente, dispondría de, al menos, tres posibles combinaciones para los parámetros L y p, que junto con la estrategia de cálculo basada
en el último razonamiento le permitirían disponer de cuatro conjuntos de tablas
recargadas. En concreto, estas cuatro alternativas aplicadas de manera sistemática
desde la edad 0 a la edad ω - 1 —donde ω representa la edad máxima que no
puede superar un individuo—, se rec ogen en los siguientes puntos.
Alternativa o Estrategia I
Consiste en considerar que las variables aleatorias(2) £1, £2, … , £x , … , £ω-1
asociadas al proceso estocástico de supervivencia siguen las siguientes distribuciones de probabilidad:
£1 ∼ Bi(l0 , p0),
£2 ∼ Bi(l0 , p0 p1),
£3 ∼ Bi(l0 , p0 p1 p2),
……
£x ∼ Bi(l0 , p0 p1 p2 … px-1)
……
(2)
Obsérvese que £0 no es, en esencia, una variable aleatoria dado que £0 = l0.
EL PROCESO ESTOCÁSTICO DE MUERTE. DIFERENTES ESTRATEGIAS PARA LA ELABORACIÓN DE TABLAS …
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De hecho, esta es la estrategia de cálculo utilizada por Prieto y Fernández
(1994) —pioneros en análisis de este problema en España— para la elaboración de
las tablas recargadas para la población española editada por UNESPA, organización que aglutina a las entidades aseguradoras españolas. Y, en este caso y dado
que l0 xp0 = l0 x-1p0 px-1, las probabilidades de supervivencia y fallecimiento que se
derivarían de las tablas de mortalidad recargadas de acuerdo con las distribuciones
anteriores serían las dadas por las siguientes expresiones:
p+x −1 =
l 0 xp 0 + zα / 2 l 0 x p0 (1 − x p 0)
p +z
p (1 − x p0 ) / l x−1
l +x
=
= x −1 α / 2 x −1
(3)
l +x −1 l 0 x −1p0 + z α / 2 l 0 x −1p0(1 − x −1p0 )
1 + z α / 2 (1 − x−1p0 ) / l x −1
q−x −1 =
l −x −1 − l −x
l −x − 1
= 1−
px −1 − z α / 2 p x −1(1 − x p0 ) / l x −1
1− z α / 2 (1 − x −1p 0) / l x −1
(4)
Alternativa o Estrategia II
Esta estrategia consiste en considerar que las distribuciones de probabilidad para variables aleatorias £1, £2, … , £x , … , £ω-1 vienen dadas por:
£1 ∼ Bi(l0, p0),
£2 ∼ Bi(l1 , p1),
£3 ∼ Bi(l2 , p2),
……
£x ∼ Bi(lx-1 , px-1)
……
donde, l1 = l0 p0 ; l2 = l1 p1 = l0 p0 p1, … , y, en general, lx = lx-1 px-1, o alternativamente, lx = l0 p0 p1 p2 ... px-1. De donde, utilizando que lx-1 = lx-2 px-2, se obtienen
para la edad x las siguientes probabilidades de vida y muerte recargadas:
p+x −1 =
l +x
l +x−1
=
l x−1px −1 + z α / 2 l x −1p x−1(1 − p x−1)
l x−2p x−2 + z α / 2 l x −2p x−2 (1 − p x −2 )
q−x −1 =
l −x −1 − l −x
l −x−1
= 1−
=
p x−1 + z α / 2 px −1(1 − px −1) / l x −1
1 + z α / 2 (1 − p x −2) / l x−1
p x−1 − z α / 2 p x −1(1 − p x −1) / l x−1
1 − z α / 2 (1 − p x−2 ) / l x−1
(5)
(6)
260
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Alternativa o Estrategia III
Por su parte, la tercera opción supondría admitir que las distribuciones para, £1,
£2, … , £x , … , £ω-1, en el caso de seguros de supervivencia, serían:
£1 ∼ B(l0 , p0),
£2 ∼ B(l1+ , p1),
£3 ∼ B(l2+ , p2)
……
£x ∼ Bi(lx-1+ , px-1)
……
Mientras que en el caso de seguros de fallecimiento supondría admitir que:
£1 ∼ Bi(l0 , p0),
_
£2 ∼ Bi(l1 , p1 ),
_
£3 ∼ Bi(l2 , p2)
……
_
£x ∼ Bi(lx-1 , px-1)
……
Con(3)
l +x = l +x −1p x−1 + z α / 2 l +x −1p x−1(1 − p x−1) y l −x = l −x −1p x−1 − z α / 2 l −x−1px −1(1 − p x−1) . Lo
que daría como resultado para las probabilidades de vida y muerte que habitualmente se originan en un intervalo de confianza para una proporción —ver ecuación
(2)—. En concreto se tendría que:
p+x −1 =
l +x
l +x −1
=
l +x−1p x −1 + z α / 2 l +x−1px −1(1 − px −1)
l +x−1
q−x −1 =
l −x −1 − l −x
l −x−1
= p x−1 + z α / 2 px −1(1 − px −1) / l +x −1 (7)
= 1 − px −1 − z α / 2 p x−1(1 − p x−1) / l −x−1
_
(8)
(3) Obviamente, otras alternativas aparecerían si los valores lk + y lk se tomasen de la
estrategia I. No obstante, estos son los valores, para los límites de £k, que se derivan al
aplicar secuencialmente esta tercera estrategia.
EL PROCESO ESTOCÁSTICO DE MUERTE. DIFERENTES ESTRATEGIAS PARA LA ELABORACIÓN DE TABLAS …
261
Alternativa o Estrategia IV
Por último, esta alternativa consiste
en considerar, para la determinación de lx+
_
+
y lx , que las probabilidades px y px representan los mínimos y máximos para las
probabilidades
que tiene un individuo de edad x de alcanzar la edad x + 1 y obtener
_
lx+ y lx de manera análoga a como se obtendría lx a partir de las probabilidades px,
de forma que se tendría que:
_
lx+ = l0 p0+ p1+ ... p x-1+
_
_
_
_
lx = l0 p0 p1 ... p x-1
_
donde los pk+ y pk son los valores extremos de los intervalos para pk que se cons eguirían siguiendo la segunda estrategia(4).
Obsérvese, sin embargo, que esta cuarta estrategia no es en realidad una nueva estrategia, sino que de hecho sirve para contemplar los valores que se logran en
la _segunda estrategia —o en cualquier otra de la que se tomen los valores pk+ y
pk — desde una perspectiva diferente. Así es, es evidente que, por ejemplo, el
cociente entre lx+1+ y lx+ generaría, por propia construcción, el px+ de la estrategia II.
3. COMPARACIÓN DE LAS ESTRATEGIAS. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
Con el objetivo de comparar y analizar los resultados que se derivan de seguir
cada una de las estrategias apuntadas en el apartado anterior, se ha procedido a
aplicar las mismas a una tabla real. En concreto, se ha tomado como tabla base de
cálculo la tabla PEF90 (Prieto y Fernández, 1994)(5) y partiendo de una población
de tamaño inicial 100.000, se han construido intervalos de probabilidad al 95% para
el número máximo y el número mínimo de supervivientes a cada edad siguiendo
cada una de las alternativas. Los resultados, en términos de probabilidades de vida
y de muerte, de aplicar las diferentes opciones, se ofrecen en los Anexos 1 y 2.
(4) De nuevo, otras opciones son aquí posibles, pues además de las cantidades pk + y pk_
de la segunda estrategia, también es factible tomar los correspondientes valores de la
primera y de la tercera estrategia.
(5) El lector interesado, podría constatar que, aunque —como se señaló— la estrategia I
coincide con la empleada por Prieto y Fernández (1994), los valores obtenidos en este trabajo
no concuerdan con los de aquellos. Ello es debido a que Prieto y Fernández tras obtener los
límites correspondientes realizan un ajuste a una función de Makeham de los mismos
(excepción de los diez primeros datos sobre los que ajustaron una función potencial). En este
trabajo, no se ha realizado ningún ajuste. Con ello se evitan distorsiones, y las diferencias
que se encuentran pueden ser atribuidas completamente al efecto estrategia.
262
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Las comparaciones entre las distintas series de probabilidades de supervivencia
y muerte obtenidas se han realizado tanto en términos absolutos como en términos
relativos y han tenido como principal objetivo el tratar de identificar un orden de
dominancia o grado de conservadurismo entre las alternativas estudiadas. En tal
sentido, se entiende por estrategia más conservadora aquella que genera probabilidades de supervivencia y fallecimiento mayores, dado que ello se traduce neces ariamente en primas de riesgo más elevadas y, por consiguiente, en una asunción
de riesgo de cartera inferior y en una actitud, por ende, más conservadora.
En primer término, hay que destacar que, como ya era conocido, las estrategias
II y IV coinciden. No representan más que razonamientos alternativos para llegar a
los mismos resultados. Mientras, por su parte, la comparación edad a edad entre
las estrategias I y II revela que existe una enorme similitud entre ambas opciones,
con diferencias poco significativas. De hecho, hay que esperar hasta la edad de 87
años para encontrar una diferencia que afecte al cuarto dígito. Esta enorme semejanza, no obstante, es compatible —salvo para la edad de doce años y sólo por una
discrepancia en el octavo dígito— con la existencia de un patrón constante de
dominancia o grado de conservadurismo entre las alternativas. La estrategia I es
más conservadora que la estrategia II.
Un rápido análisis de los anexos, sin embargo, muestra que la estrategia III es,
con mucho, la más dispar de las alternativas implementadas —lo cual, en cierto
modo, ya se podía intuir a la vista de las expresiones (3) a (8)—, y que es, con
diferencia, la opción más conservadora de las analizadas. Esa diferencia, sin
embargo, es algo asimétrica, pues se manifiesta más fehacientemente cuando se
analizan las tablas recargadas para las probabilidades de muerte que cuando se
estudian las correspondientes tablas recargadas de supervivencia, debido al menor
valor que suelen tener en casi todas las edades las probabilidades de fallecimiento.
Ello no es óbice, sin embargo, para que la magnitud del recargo de la opción III
respecto a las opciones I y II sea muy similar tanto en las probabilidades de vida
como en las de muerte. La comparación con las probabilidades derivadas de la
tabla base refuerza el razonamiento anterior y muestra, asimismo, que el recargo
es relativamente mayor en las probabilidades de muerte. Así, por ejemplo, la estrategia II tiene un recargo medio de un 2.58% en las probabilidades de muerte, por
sólo un 0.72% en las de vida.
Por otro lado, centrándose en las probabilidades de fallecimiento, se observa
que todas las estrategias muestran, si bien la opción III con una nitidez muy superior, que —como suele ser habitual en tablas de muerte recargadas (AAA, 2002)—,
para las edades relevantes en los contratos de seguro, se produce un incremento
monótono (en este caso, desde la edad de 9 años) en las diferencias absolutas
entre los valores de qx y las correspondientes probabilidades de muerte recargadas
EL PROCESO ESTOCÁSTICO DE MUERTE. DIFERENTES ESTRATEGIAS PARA LA ELABORACIÓN DE TABLAS …
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q −x . Este crecimiento monótono en valores absolutos se traduce, no obstante,
—también como es costumbre— en términos relativos en una serie descendente,
aproximadamente monótona (hasta la edad de 102 años, donde se produce, en
términos absolutos y relativos, un cambio de tendencia hasta el final de la tabla). En
efecto, como se puede observar en la Figura 1, dónde se muestran los valores de
D(q x) = 100 q_x − q x
qx y T(q x) = 10000 (qx_ − qx ) para la estrategia III en las
edades de 0 a 105 años, las diferencias absolutas muestran un perfil monótono
creciente, mientras las diferencias relativas dibujan un contorno predominantemente decreciente.
Figura 1
PORCENTAJE DE RECARGO, T(qx), Y DIFERENCIA POR DIEZ MIL DE
RECARGO, D(qx), PARA LAS PROBABILIDADES DE FALLECIMIENTO
EN LA ESTRATEGIA III
º/o
70
60
T(qx)
50
D(qx )
40
30
20
10
0
0
10
20
30
40
50 60
Edad
70
80
90
º/ooo
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
100
Fuente: Elaboración propia a partir de datos del Anexo I.
Por último, y a fin de mostrar de una forma más sencilla y clara el esquema de
dominancia expuesto en los párrafos precedentes, se presentan a modo de ejemplo
algunas probabilidades temporales de supervivencia y fallecimiento. En concreto,
en la Tabla 1 se ofrecen: la probabilidad que tiene un individuo de 40 años de edad
de no alcanzar los 65 años, 25q40; la que tiene de alcanzarlos, 25p40; la probabilidad
que un individuo de 50 años viva 25 años más, 25q50; y, la probabilidad que una
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ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
persona de 50 años alcance los 65 años y fallezca antes de los 75 años , 15/10q 50.
Como se puede deducir de los valores que aparecen en la Tabla 1, la estructura de
dominancia expuesta se manifiesta con nitidez. Las probabilidades deducidas con
las estrategias I y II son relativamente parecidas, siendo más conservadoras las
obtenidas con la estrategia I; mientras, las probabilidades derivadas con la estrat egia III son más distantes de las dos opciones anteriores y sensiblemente más
conservadoras.
Tabla 1
EJEMPLOS DE PROBABILIDADES TEMPORALES DE VIDA Y MUERTE
25q 40
25p 40
25p 50
15/10q 50
V. Esperado
0.01799626
0.98200374
0.96195942
0.02379472
Estrategia I
0.01951405
0.98351173
0.96454346
0.02530387
Estrategia II
0.01855946
0.98256647
0.96294259
0.02440048
Estrategia III
0.03480897
0.99867029
0.98578776
0.03681745
Estrategia IV
0.01855946
0.98256647
0.96294259
0.02440048
Fuente: Elaboración propia a partir de tablas recargadas con un 1% de riesgo y l0 = 10.000.
4. CONCLUSIONES
En este artículo se proponen varios procedimientos que permiten derivar a partir
de una tabla de mortalidad base diferentes tablas recargadas. En particular se
proponen tres posibilidades diferentes para la construcción de las mismas. Del
análisis de los correspondientes resultados cabe destacar los siguientes puntos:
i) La estrategia III es, con mucho, la más conservadora de las propuestas; con
especial énfasis en seguros de fallecimiento. Por otro lado, y respecto a las otras
dos alternativas, se observa que, en general, domina la estrategia I, más conservadora, a la estrategia II, menos conservadora.
ii) La estrategia II, que es la que se podría ajustar mejor a la realidad al partir en
cada edad x del valor más verosímil para el tamaño poblacional o número de
individuos al inicio del periodo, lx, conlleva, no obstante, un mayor nivel de riesgo al
ser la menos conservadora.
iii) Estas estrategias proporcionan a las empresas aseguradoras argumentos para
construir tablas con distintos niveles de riesgo. De modo que poco se podría reprochar a una empresa que utilizase una estrategia más conservadora, suponiendo
acertadamente que tendría un riesgo de quiebra inferior, salvo, quizás, que tendría
EL PROCESO ESTOCÁSTICO DE MUERTE. DIFERENTES ESTRATEGIAS PARA LA ELABORACIÓN DE TABLAS …
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menos opciones de luchar, por esta vía, en un entorno competitivo como es el
mercado de los seguros de vida.
iv) Asimismo, es preciso subrayar la dependencia que presentan los extremos de
los intervalos del número de supervivientes a cada edad al tamaño inicial l0
—arbitrariamente elegido—. De hecho, cuanto mayor es dicho valor inicial, menor
es, ceteris paribus, la amplitud del intervalo de probabilidad para £x o para px, y con
ello, los límites superiores e inferiores que se obtienen. A la vista de ello, lo ideal
quizás sería que las compañías y los actuarios tuviesen en cuenta lo anterior a la
hora de construir las tablas recargadas. Así, posiblemente una buena medida
podría ser tratar de partir de los propios datos de las compañías y de ajustar lo más
posible los tamaños lx a los verdaderos tamaños de población asegurada con que
la empresa cuenta en su cartera.
El trabajo que aquí se presenta pretende destacar y señalar un aspecto del problema de la determinación y recargo en las primas de los seguros al que se ha
dedicado, hasta ahora, no demasiada atención, al no cuestionarse las tablas recargadas y la fundamentación lógica de su elaboración. Las alternativas que aquí se
presentan no pretenden cubrir todas las posibles, sino tan sólo indicar la existencia
de opciones cuya exploración es conveniente abordar. Así, por ejemplo, otra estrategia que podría ser implementada, en el seno de las empresas aseguradoras,
sería la de determinar los valores máximos y mínimos para px y qx, a partir de los
datos básicos, mediante la construcción de intervalos de confianza durante el
propio proceso de obtención de las estimaciones iniciales para tales probabilidades.
De este modo, por ejemplo, se dispondría —tras el correspondiente proceso de
graduación o ajuste— de unas probabilidades recargadas que no dependerían para
nada del tamaño inicial l0 seleccionado. O, por ejemplo, otra opción, muy conservadora para seguros de fallecimiento, —basada en la combinación del número
máximo y mínimo de supervivientes— consistiría en considerar como expuestos al
riesgo a la edad x el número máximo lx+ de individuos que pueden alcanzar la edad
x y_ como supervivientes tras un periodo de t años el número mínimo de individuos
lx+t que alcanzarían la edad x + t.
REFERENCIAS
AMERICAN ACADEMY OF ACTUARIES (2002). «Report of the American Academy of
Actuaries’ Commisioners Standard Ordinay Task Force», papel presentado a
National Association of Insurance Commissioners’ Life and Health Actuarial
Task Force, Filadelfia, Junio 2002.
266
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
FORFAR, D.O, MACCUTCHEON, J.J. Y W ILKIE, A.D. (1988). «On Graduation by Mathematical Formula». Journal of the Institute of Actuaries, 115, 1-149.
LATORRE LLORENS, L. (1992). «Teoría del Riesgo y sus Aplicaciones a la empresa
aseguradora». Madrid: Mapfre.
PRIETO, E. Y FERNÁNDEZ, M.J. (1994): «Tablas de mortalidad de la población española de 1950 a 1990. Tabla proyectada del año 2000». Madrid: UNESPA.
EL PROCESO ESTOCÁSTICO DE MUERTE. DIFERENTES ESTRATEGIAS PARA LA ELABORACIÓN DE TABLAS …
267
ANEXO 1
ESTIMACIÓN DE PROBABILIDADES PARA SEGUROS DE FALLECIMIENTO
CON UN 5% DE RIESGO Y UN L0 = 100.000
_
qx
Edad
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
0.00715511
0.00056450
0.00040267
0.00026055
0.00024275
0.00019132
0.00016806
0.00014634
0.00011797
0.00010558
0.00010890
0.00011921
0.00013475
0.00014496
0.00014698
0.00015451
0.00017379
0.00019736
0.00020899
0.00021986
0.00021400
0.00021803
0.00020275
0.00020749
0.00021094
0.00020969
0.00022197
0.00023840
0.00024011
0.00025489
0.00024810
0.00024520
qx
Estrategia I
0.00767751
0.00058488
0.00041676
0.00026949
0.00025095
0.00019771
0.00017362
0.00015113
0.00012181
0.00010900
0.00011240
0.00012302
0.00013903
0.00014954
0.00015158
0.00015931
0.00017915
0.00020339
0.00021531
0.00022645
0.00022035
0.00022444
0.00020866
0.00021349
0.00021698
0.00021564
0.00022821
0.00024505
0.00024674
0.00026187
0.00025483
0.00025180
Estrategia II
0.00767751
0.00018619
0.00037972
0.00023614
0.00023927
0.00018045
0.00016267
0.00014094
0.00011029
0.00010194
0.00010990
0.00012222
0.00013905
0.00014766
0.00014751
0.00015643
0.00017849
0.00020275
0.00021154
0.00022218
0.00021277
0.00021890
0.00019948
0.00020854
0.00021170
0.00020943
0.00022458
0.00024179
0.00024046
0.00025783
0.00024678
0.00024464
Estrategia III
0.00767751
0.00071229
0.00052754
0.00036103
0.00033975
0.00027746
0.00024881
0.00022169
0.00018564
0.00016960
0.00017393
0.00018724
0.00020710
0.00022001
0.00022255
0.00023200
0.00025598
0.00028495
0.00029914
0.00031234
0.00030526
0.00031016
0.00029160
0.00029739
0.00030160
0.00030009
0.00031499
0.00033482
0.00033689
0.00035462
0.00034651
0.00034306
Estrategia IV
0.00767751
0.00018619
0.00037972
0.00023614
0.00023927
0.00018045
0.00016267
0.00014094
0.00011029
0.00010194
0.00010990
0.00012222
0.00013905
0.00014766
0.00014751
0.00015643
0.00017849
0.00020275
0.00021154
0.00022218
0.00021277
0.00021890
0.00019948
0.00020854
0.00021170
0.00020943
0.00022458
0.00024179
0.00024046
0.00025783
0.00024678
0.00024464
268
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
_
qx
Edad
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
0.00022782
0.00021472
0.00022681
0.00025945
0.00026293
0.00025972
0.00026572
0.00026223
0.00030128
0.00028731
0.00032848
0.00034424
0.00036166
0.00040305
0.00040198
0.00043126
0.00043749
0.00051435
0.00057629
0.00063807
0.00065108
0.00074675
0.00077362
0.00081580
0.00082859
0.00090726
0.00097497
0.00102860
0.00112718
0.00119695
0.00129442
0.00134267
0.00143867
0.00158658
0.00171839
0.00185446
0.00200716
0.00221288
0.00239805
qx
Estrategia I
0.00023390
0.00022039
0.00023276
0.00026621
0.00026971
0.00026636
0.00027246
0.00026883
0.00030879
0.00029442
0.00033652
0.00035259
0.00037034
0.00041262
0.00041142
0.00044127
0.00044754
0.00052602
0.00058918
0.00065214
0.00066522
0.00076272
0.00078989
0.00083267
0.00084544
0.00092540
0.00099412
0.00104844
0.00114851
0.00121916
0.00131796
0.00136660
0.00146379
0.00161370
0.00174712
0.00188477
0.00203921
0.00224737
0.00243450
Estrategia II
0.00022431
0.00021197
0.00022936
0.00026600
0.00026361
0.00025911
0.00026688
0.00026157
0.00030857
0.00028479
0.00033583
0.00034695
0.00036458
0.00040969
0.00040183
0.00043577
0.00043846
0.00052542
0.00058463
0.00064597
0.00065273
0.00075815
0.00077674
0.00082056
0.00083006
0.00091572
0.00098199
0.00103402
0.00113673
0.00120350
0.00130325
0.00134700
0.00144694
0.00159875
0.00172883
0.00186486
0.00201841
0.00222735
0.00241061
Estrategia III
0.00032216
0.00030631
0.00032097
0.00036017
0.00036434
0.00036052
0.00036770
0.00036356
0.00040991
0.00039342
0.00044195
0.00046043
0.00048078
0.00052883
0.00052762
0.00056143
0.00056864
0.00065659
0.00072689
0.00079659
0.00081127
0.00091837
0.00094838
0.00099534
0.00100962
0.00109678
0.00117154
0.00123061
0.00133877
0.00141512
0.00152145
0.00157406
0.00167837
0.00183849
0.00198079
0.00212730
0.00229129
0.00251153
0.00270930
Estrategia IV
0.00022431
0.00021197
0.00022936
0.00026600
0.00026361
0.00025911
0.00026688
0.00026157
0.00030857
0.00028479
0.00033583
0.00034695
0.00036458
0.00040969
0.00040183
0.00043577
0.00043846
0.00052542
0.00058463
0.00064597
0.00065273
0.00075815
0.00077674
0.00082056
0.00083006
0.00091572
0.00098199
0.00103402
0.00113673
0.00120350
0.00130325
0.00134700
0.00144694
0.00159875
0.00172883
0.00186486
0.00201841
0.00222735
0.00241061
EL PROCESO ESTOCÁSTICO DE MUERTE. DIFERENTES ESTRATEGIAS PARA LA ELABORACIÓN DE TABLAS …
_
qx
Edad
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
0.00267807
0.00293708
0.00331270
0.00369728
0.00413949
0.00465649
0.00525198
0.00586050
0.00657922
0.00750610
0.00893409
0.01036781
0.01227586
0.01473626
0.01741696
0.02024779
0.02382475
0.02770711
0.03250606
0.03825834
0.04191684
0.05096008
0.06187212
0.07575987
0.09263745
0.11314185
0.13805113
0.16831477
0.20552671
0.24837941
0.30806800
0.32917600
0.35076500
0.37281900
0.39533100
0.41830500
0.44175600
0.46898100
0.49788400
269
qx
Estrategia I
0.00271773
0.00297942
0.00335913
0.00374759
0.00419410
0.00471598
0.00531687
0.00593045
0.00665501
0.00758946
0.00902951
0.01047409
0.01239639
0.01487451
0.01757282
0.02042056
0.02401855
0.02792211
0.03274695
0.03852952
0.04220249
0.05129434
0.06226371
0.07622427
0.09319078
0.11380612
0.13885723
0.16930737
0.20677483
0.24997358
0.31021437
0.33183439
0.35413322
0.37717879
0.40109399
0.42608813
0.45251061
0.48430461
0.52047062
Estrategia II
0.00269609
0.00295306
0.00333462
0.00371863
0.00416280
0.00468234
0.00528020
0.00588804
0.00661014
0.00754368
0.00898756
0.01041839
0.01233844
0.01481105
0.01749370
0.02032525
0.02391692
0.02780355
0.03261946
0.03838869
0.04201065
0.05114892
0.06209275
0.07603125
0.09296422
0.11354192
0.13855042
0.16895172
0.20636532
0.24948013
0.30969490
0.33081311
0.35291527
0.37568537
0.39921395
0.42365905
0.44928591
0.47999226
0.51437489
Estrategia III
0.00300739
0.00328244
0.00368002
0.00408598
0.00455152
0.00509438
0.00571808
0.00635412
0.00710371
0.00806806
0.00954922
0.01103317
0.01300319
0.01553738
0.01829356
0.02120034
0.02486724
0.02884330
0.03375178
0.03962911
0.04337816
0.05259968
0.06371753
0.07785457
0.09502742
0.11588677
0.14123019
0.17203561
0.20994310
0.25369219
0.31463944
0.33725513
0.36084318
0.38559265
0.41180809
0.43998084
0.47091573
0.50926666
0.55550239
Estrategia IV
0.00269609
0.00295306
0.00333462
0.00371863
0.00416280
0.00468234
0.00528020
0.00588804
0.00661014
0.00754368
0.00898756
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0.02391692
0.02780355
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0.03838869
0.04201065
0.05114892
0.06209275
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0.11354192
0.13855042
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0.20636532
0.24948013
0.30969490
0.33081311
0.35291527
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0.39921395
0.42365905
0.44928591
0.47999226
0.51437489
270
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
_
qx
Edad
110
111
112
113
114
115
0.52856800
0.56114300
0.59572500
0.63243900
0.67141600
1.00000000
qx
Estrategia I
0.56332410
0.61791140
0.69762872
0.85332655
1.00000000
1.00000000
Estrategia II
0.55423368
0.60320370
0.67019672
0.78406170
1.00000000
1.00000000
Estrategia III
0.61485001
0.69935433
0.84500029
1.00000000
1.00000000
1.00000000
Estrategia IV
0.55423368
0.60320370
0.67019672
0.78406170
1.00000000
1.00000000
EL PROCESO ESTOCÁSTICO DE MUERTE. DIFERENTES ESTRATEGIAS PARA LA ELABORACIÓN DE TABLAS …
271
ANEXO 2
ESTIMACIÓN DE PROBABILIDADES PARA SEGUROS DE SUPERVIVENCIA
CON UN 5% DE RIESGO Y UN L0 = 100.000
px+
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Edad
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1
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22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
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0.99973945
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0.99980868
0.99983194
0.99985366
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0.99989442
0.99989110
0.99988079
0.99986525
0.99985504
0.99985302
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0.99978014
0.99978600
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0.99979725
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0.99977803
0.99976160
0.99975989
0.99974511
0.99975190
0.99975480
0.99977218
0.99978528
Estrategia I
0.99336728
0.99945585
0.99961140
0.99974837
0.99976544
0.99981505
0.99983748
0.99985845
0.99988586
0.99989783
0.99989459
0.99988460
0.99986952
0.99985960
0.99985761
0.99985028
0.99983156
0.99980867
0.99979733
0.99978672
0.99979234
0.99978837
0.99980315
0.99979849
0.99979509
0.99979625
0.99978427
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0.99976652
0.99975208
0.99975862
0.99976138
0.99977824
0.99979096
Estrategia II
0.99336728
0.99905758
0.99957439
0.99971504
0.99975377
0.99979780
0.99982654
0.99984827
0.99987434
0.99989077
0.99989210
0.99988380
0.99986955
0.99985773
0.99985354
0.99984740
0.99983090
0.99980804
0.99979356
0.99978247
0.99978477
0.99978283
0.99979398
0.99979355
0.99978981
0.99979005
0.99978065
0.99976499
0.99976025
0.99974805
0.99975058
0.99975423
0.99976866
0.99978255
Estrategia III
0.99336728
0.99958320
0.99972212
0.99983985
0.99985417
0.99989473
0.99991259
0.99992893
0.99994961
0.99995835
0.99995603
0.99994873
0.99993748
0.99992996
0.99992846
0.99992284
0.99990825
0.99989008
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0.99987243
0.99987706
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0.99988590
0.99988219
0.99987949
0.99988047
0.99987081
0.99985775
0.99985639
0.99984455
0.99985001
0.99985234
0.99986621
0.99987658
Estrategia IV
0.99336728
0.99905758
0.99957439
0.99971504
0.99975377
0.99979780
0.99982654
0.99984827
0.99987434
0.99989077
0.99989210
0.99988380
0.99986955
0.99985773
0.99985354
0.99984740
0.99983090
0.99980804
0.99979356
0.99978247
0.99978477
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0.99979355
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0.99979005
0.99978065
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0.99976025
0.99974805
0.99975058
0.99975423
0.99976866
0.99978255
272
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
px+
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Edad
34
35
36
37
38
39
40
41
42
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61
62
63
64
65
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67
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71
72
73
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0.99974028
0.99973428
0.99973777
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0.99918420
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0.99880305
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0.99856133
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0.99828161
0.99814554
0.99799284
0.99778712
0.99760195
0.99732193
0.99706292
0.99668730
Estrategia I
0.99977913
0.99974729
0.99974385
0.99974692
0.99974102
0.99974436
0.99970622
0.99971978
0.99967955
0.99966409
0.99964700
0.99960650
0.99960745
0.99957874
0.99957254
0.99949729
0.99943659
0.99937597
0.99936304
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0.99924262
0.99920104
0.99918823
0.99911084
0.99904413
0.99899119
0.99889410
0.99882522
0.99872907
0.99868121
0.99858640
0.99844049
0.99831028
0.99817578
0.99802482
0.99782153
0.99763832
0.99736150
0.99710515
0.99673359
Estrategia II
0.99977574
0.99974709
0.99973775
0.99973968
0.99973545
0.99973711
0.99970600
0.99971016
0.99967887
0.99965846
0.99964126
0.99960359
0.99959788
0.99957326
0.99956347
0.99949671
0.99943205
0.99936982
0.99935058
0.99926464
0.99922950
0.99918896
0.99917288
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0.99903204
0.99897681
0.99888236
0.99880961
0.99871440
0.99866166
0.99856960
0.99842559
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0.99815594
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0.99761451
0.99733995
0.99707890
0.99670920
Estrategia III
0.99986702
0.99984091
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0.99984071
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0.99980691
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0.99972307
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0.99969300
0.99962715
0.99957352
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0.99936265
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0.99917203
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0.99901965
0.99893093
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0.99879914
0.99866329
0.99854181
0.99841602
0.99827444
0.99808303
0.99791026
0.99764803
0.99740479
0.99705077
Estrategia IV
0.99977574
0.99974709
0.99973775
0.99973968
0.99973545
0.99973711
0.99970600
0.99971016
0.99967887
0.99965846
0.99964126
0.99960359
0.99959788
0.99957326
0.99956347
0.99949671
0.99943205
0.99936982
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0.99871440
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0.99829205
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0.99780159
0.99761451
0.99733995
0.99707890
0.99670920
EL PROCESO ESTOCÁSTICO DE MUERTE. DIFERENTES ESTRATEGIAS PARA LA ELABORACIÓN DE TABLAS …
px+
px
Edad
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
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0.99586051
0.99534351
0.99474802
0.99413950
0.99342078
0.99249390
0.99106591
0.98963219
0.98772414
0.98526374
0.98258304
0.97975221
0.97617525
0.97229289
0.96749394
0.96174166
0.95808316
0.94903992
0.93812788
0.92424013
0.90736255
0.88685815
0.86194887
0.83168523
0.79447329
0.75162059
0.69193200
0.67082400
0.64923500
0.62718100
0.60466900
0.58169500
0.55824400
0.53101900
0.50211600
0.47143200
0.43885700
0.40427500
0.36756100
273
Estrategia I
0.99635287
0.99591495
0.99540281
0.99481269
0.99420921
0.99349631
0.99257695
0.99116097
0.98973804
0.98784416
0.98540136
0.98273816
0.97992409
0.97636799
0.97250664
0.96773332
0.96201099
0.95836672
0.94937153
0.93851610
0.92470014
0.90791012
0.88751470
0.86274442
0.83266301
0.79569988
0.75318238
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0.65247550
0.63133299
0.61008332
0.58887326
0.56791081
0.54429739
0.52065954
0.49771251
0.47651785
0.45848237
0.44505310
Estrategia II
0.99632404
0.99588381
0.99536933
0.99477621
0.99416701
0.99345167
0.99253144
0.99111933
0.98968271
0.98778663
0.98533841
0.98265965
0.97982952
0.97626724
0.97238913
0.96760707
0.96187167
0.95817671
0.94922819
0.93834775
0.92451046
0.90768787
0.88725615
0.86244514
0.83231758
0.79530459
0.75270942
0.69353663
0.67243118
0.65133578
0.62996311
0.60840401
0.58678058
0.56526908
0.54102752
0.51652279
0.49251283
0.47012507
0.45100225
0.43713057
Estrategia III
0.99668720
0.99626792
0.99577631
0.99520850
0.99462694
0.99393846
0.99304827
0.99167239
0.99028779
0.98844031
0.98605200
0.98344487
0.98068788
0.97719828
0.97340671
0.96871371
0.96308215
0.95951021
0.95063864
0.93992422
0.92627518
0.90967929
0.88951207
0.86501319
0.83525880
0.79869633
0.75667322
0.69813871
0.67838456
0.65855694
0.63882082
0.61939384
0.60057152
0.58276559
0.56329882
0.54520785
0.52969703
0.51844224
0.51358135
0.51740987
Estrategia IV
0.99632404
0.99588381
0.99536933
0.99477621
0.99416701
0.99345167
0.99253144
0.99111933
0.98968271
0.98778663
0.98533841
0.98265965
0.97982952
0.97626724
0.97238913
0.96760707
0.96187167
0.95817671
0.94922819
0.93834775
0.92451046
0.90768787
0.88725615
0.86244514
0.83231758
0.79530459
0.75270942
0.69353663
0.67243118
0.65133578
0.62996311
0.60840401
0.58678058
0.56526908
0.54102752
0.51652279
0.49251283
0.47012507
0.45100225
0.43713057
274
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
px+
px
Edad
114
115
0.32858400
0.00000000
Estrategia I
0.43676612
0.00000000
Estrategia II
0.42990638
0.00000000
Estrategia III
0.53153029
0.00000000
Estrategia IV
0.42990638
0.00000000
DEATH STOCHASTIC PROCESS. DIFFERENT STRATEGIES FOR
LEADING LIFE TABLES. A SENSITIVITY ANALISYS.
SUMMARY
To calculate the premiums of any insurance policy the risk probability plays a principal rol. In real populations fluctuations in the number
of accidents or deaths are usual. The insurance companies attempt to
protect themselves in front of stochastic variations. To do that, in life
insurances, the industry build loading life tables. This paper suggests
different strategies to load life tables and containts a comparative
analysis of the survival and mortality loaded probabilities that are obtained following these strategies.
Keywords: life tables, mortality rates, confidence intervals, death stochastic process
AMS Classification: 62P05, 62Q05, 65D20, 60G99.