Mecánica Orbital y Vehıculos Espaciales Duración: 2 horas 30

Mecánica Orbital y Vehı́culos Espaciales
Duración: 2 horas 30 minutos
o
N DNI
Ingenierı́a Aeronáutica
Escuela Técnica Superior de
Ingenierı́a
Curso 14/15
1er Apellido
10/7/15
2do Apellido
Nombre
Universidad de Sevilla
Cuestiones
Valor total:7 puntos
1. (1,25 puntos) Responder a las siguientes preguntas:
a)
b)
c)
d)
e)
Definir (conceptualmente, no con una fórmula) la Hora Solar Aparente.
Definir (conceptualmente, no con una fórmula) el Sol medio y la Hora Solar Media, y explicar su utilidad.
¿Cuál es la relación entre la Hora Solar Media y la Aparente?
Definir dı́a solar medio y dı́a sidéreo. ¿Por qué no tienen la misma duración?
Usando las definiciones, y a partir de la duración del dı́a sidéreo y tomando 1 año=365,25 · 86400 segundos,
demostrar razonadamente que un dı́a solar medio tiene (con precisión de centésimas de segundo) 24 horas.
2. (3 puntos) La NASA desea lanzar una misión interplanetaria a Mercurio ('). Para realizar un análisis preliminar de
la misión, se supone que el lanzador deja la sonda en una órbita geocéntrica de aparcamiento a 200 km de altitud,
contenida en el plano de la eclı́ptica, desde donde comienza la parte de la misión que se quiere diseñar. ¿Cuál serı́a el
coste mı́nimo (en términos de ∆V ) y duración (para dicho coste mı́nimo) de una transferencia directa? Puesto que
una transferencia directa es costosa, se decide realizar una maniobra asistida por gravedad en Venus (♀). Para llegar
a Venus, se aplica en la órbita de aparcamiento un impulso tangente de ∆V = 4 km/s, de forma que la velocidad
de exceso de la hipérbola resultante se resta, en el sistema de referencia heliocéntrico, a la de la Tierra en relación
al Sol (es decir salida tangente). ¿Es suficiente este ∆V para alcanzar Venus? En caso afirmativo y suponiendo que
en Venus se realiza una maniobra asistida por gravedad con una aproximación a una distancia (radio) igual a 1.2
radios venusianos, ¿alcanza finalmente la misión Mercurio? Justificar la respuesta. En caso afirmativo, calcular el
tiempo total de vuelo de la misión y encontrar cuales deberı́an ser los ángulo de configuración (ángulos de fase)
tanto de Venus como de Mercurio en el lanzamiento.
Para simplificar cálculos, se hará uso de las hipótesis simplificativas usuales, es decir, las órbitas de los planetas se
suponen coplanarias en el plano de la eclı́ptica y circulares, de radio igual a su radio medio. Datos:
Planeta
Mercurio
Venus
Sı́mbolo
'
♀
µ (km3 /s2 )
22032.1
324858.8
Radio planetario (km)
2439.7
6051.8
Distancia media al Sol (AU)
0.387098
0.723327
3. (2,75 puntos) El dı́a 7 de Junio de 2015 se tiene GST0 = 45o . Se desea diseñar una órbita circular tal que
pase todos los dı́as por Sevilla (φ = 37, 23o N, λ = 5, 58o O), cruzando de Norte a Sur, y lo haga justo a las 18:00
Hora Solar Media (HSM), teniendo la menor altitud posible, pero superior a 500 kilómetros para evitar las perturbaciones atmosféricas en la medida de lo posible.
a) Determinar los elementos orbitales del satélite, en la época del 7 de Junio de 2015 a las 00:00 UT.
b) Calcular, para el 7 de Junio y en torno al cruce por Sevilla, la longitud, latitud, hora UT de cruce y HSM de
cruce de: el nodo ascendente (anterior a pasar por Sevilla), el nodo descendente (posterior a pasar por Sevilla),
punto de latitud máxima (anterior a pasar por Sevilla), punto de latitud mı́nima (posterior a pasar por Sevilla),
rellenando la siguiente tabla:
Punto
φmax
φmin
Latitud (o )
Longitud (o )
UT (hh:mm:ss)
HSM (hh:mm:ss)
¿Cuáles de estos valores serı́an distintos el dı́a 10 de Junio?
(continúa en la siguiente página)
1
c) En base al apartado anterior, dibujar aproximadamente la traza del satélite para una revolución el 7 de Junio de
2015 que contenga Sevilla, desde el nodo ascendente (anterior a Sevilla) hasta el nodo ascendente (posterior a
Sevilla), marcando con una flecha el sentido del movimiento. Se proveen más abajo dos mapas para dibujar
la traza.
d) Puesto que el satélite sobrevuela Sevilla a las 18:00 HSM, está claro el satélite tendrá a Sevilla dentro de
su cobertura geográfica algo antes de las 18:00 HSM, y dejará de tenerla algo después. Calcular de forma
aproximada este intervalo temporal en el cual Sevilla está contenida en la cobertura geográfica del satélite.
Realizar en los cálculos las hipótesis/aproximaciones que se crean necesarias, justificándolas adecuadamente.
°
90 N
°
60 N
°
30 N
°
0
°
30 S
°
60 S
°
90 S °
180 W
135° W
90° W
45° W
0°
45° E
90° E
135° E
180° E
135° W
90° W
45° W
0°
45° E
90° E
135° E
180° E
°
90 N
°
60 N
°
30 N
°
0
°
30 S
°
60 S
°
90 S °
180 W
2
Solución
1. Cuestión teórica.
L⊕ +L
2. Para encontrar la transferencia de menor coste empleamos una de tipo Hohmann, encontrando aH =
0,6935 AU, TH = 1,8145 UT = 105,48 dı́as, V∞ = 0,2529 UV = 7,5329 km/s, ∆V = 5,5549 km/s.
2
'
=
Estudiemos ahora el caso con maniobra asistida por gravedad en Venus. En primer lugar puesto que en la órbita de
aparcamiento se da un impulso de 4 km/s, se tiene que V∞ = 4,2047 km/s = 0,1412 UV. Luego V0H (la velocidad
de salida de la Tierra) es V0H = V⊕ − V∞ = 0,8588 UV, de donde obtenemos a1 = 0,7921 AU, e1 = 0,2624 (ya
que la tierra es el afelio de la trayectoria al ser la salida tangente y hacia el interior del Sistema Solar). Por tanto
V1H = 1,2258 UV, θ1H = 274,3095o , γ1H = −14,392o , y para posteriores apartados calculamos el tiempo de vuelo
como ∆T1 = 1,5199 UT = 88,3542 dı́as (el tiempo entre el afelio y θ1H ) y el ángulo de fase como ψ♀ = 47,2468o .
En cuanto a la maniobra asistida por gravedad, encontramos V∞ = 0,3049 UV = 9,0813 km/s, ∆V = 6,3872 km/s,
δ = 41,1787o , β = 92,1683o , α = β − δ = 50,9897o , luego V2H = 1,0120 UV, γ2H = −13,5389o . El triángulo se
incluye en la siguiente figura:
Vvenus
VP1
°H
2
VP2 ®
±
¯
°H
1
VH
2
VH
1
Figura 1: Triángulo del problema 2.
Luego la órbita a la salida tiene como elementos a2 = 0,5744 AU, e2 = 0,344, luego el radio de perihelio rp =
0,3768 < L' , luego se alcanza Mercurio. Para encontrar los tiempos hallamos θ2H = 209,3521o , θ3H = 333,7023o ,
3.
luego ∆T2 = 0,8638 UT = 50,2127 dı́as (el tiempo entre θ2H y θ3H ), el tiempo total de vuelo es tv = 138,5669
dı́as, y el ángulo de fase como ψ' = 348,4043o .
a) En primer lugar calculamos los elementos orbitales. Para empezar e = 0, también sabemos que a ≥ R⊕ + 500
y que T = Tk⊕ con k entero. Si a = R⊕ + 500, obtenemos T = 5677 s y k = 15,1778, por tanto tenemos
que disminuir k para hacer más grande el periodo (y a). Fijamos k = 15 obteniendo a = 6932,4 km, luego
h = 554,24 km cumpliendo el requisito. Como se quiere pasar siempre a la misma HSM elegimos una
órbita heliosı́ncrona, luego i = 97,6077o . Finalmente en el paso por Sevilla calculamos u = 142,3824o ,
λu = 185,8251o , la hora de paso t1 = 66139 s = 18 : 22 : 19,2 de donde sacamos Ω = 129,9297o y
u(t0 ) = 317,3603o .
b) En segundo lugar rellenamos la tabla partiendo del nodo ascendente previo a Sevilla, teniendo en cuenta
(t1 )
u = 0o , luego t = 63867 s = 17 : 44 : 27,3 y HSM = HSM0 = HSM (t1 ) − λu15
= 5,6117 =
5 : 36 : 42. λ se puede calcular bien usando la ecuación de la traza bien usando la relación entre UT y HSM
(puede haber pequeñas diferencias según se usen o no perturbaciones), obteniendo λ = 178,0871o . El resto
de los puntos se pueden calcular relativos al nodo ascendente, teniendo en cuenta que el tiempo entre puntos
tal como están ordenados en la tabla es un cuarto del periodo (23 minutos y 56 segundos), es decir, 1/60 del
periodo de la Tierra, y λu disminuye 90o (al ser la órbita retrógrada), y usando la ecuación de la traza en su
forma relativa, λ(t2 ) = λ(t1 ) + λu (t2 ) − λu (t1 ) − ω⊕ (t2 − t1 ), se ve que cada punto en la tabla disminuye
el valor de λ en 96o .
Punto
φmax
φmin
u(o )
0
90
180
270
λ u (o )
0
270
180
90
Latitud (o )
0
82.39 N
0
82.39 S
Longitud (o )
178.09 E
82.09 E
13.91 O
109.91 O
UT (hh:mm:ss)
17:44:27.3
18:08:23.3
18:32:19.3
18:56:15.3
HSM (hh:mm:ss)
5:36:42
23:36:42
17:36:42
11:36:42
Debido a que la traza se repite y es heliosı́ncrona todos los valores serán a priori iguales el 10 de Junio, aunque
para ello tendrı́amos que haber calculado a teniendo en cuenta la perturbación secular del J2 y haber calculado
3
los valores de la tabla anterior usando dicha perturbación, por lo que en la práctica serán ligeramente diferentes. También lo serı́an en presencia de otras perturbaciones (como por ejemplo la resistencia atmosférica u
otros armónicos gravitatorios).
c) Se dibuja la traza de forma exacta, pero es suficiente con aproximar de forma correcta el movimiento, que es
o
o
retrógrado. Obsérvese que la traza termina en otro nodo ascendente a ∆λ = − 360
15 = −24 del primero (el
retraso nodal).
180° W
90° N
150° W
120° W
90° W
60° W
30° W
0°
30° E
60° E
90° E
120° E
150° E
180° E
°
75 N
60° N
45° N
30° N
15° N
0°
15° S
30° S
45° S
°
60 S
75° S
90° S
Figura 2: Apartado c) del problema 3.
⊕
d) La circunferencia de cobertura geográfica tiene como radio Γ = arc cos RR
= 23,0665o , radio que se
⊕ +h
mantiene constante al ser la órbita circular. Por tanto Sevilla estará dentro de la circunferencia de cobertura
siempre que su distancia ortodrómica a la proyección del satélite sobre la tierra sea menor Γ. Si despreciamos
la rotación de la Tierra, cortando la Tierra por el plano de la órbita y puesto que esta es circular, observamos
que Sevilla estará cubierta durante un ángulo 2Γ de la órbita. Al ser la velocidad angular del satélite uniforme
e igual a n, se tiene que el tiempo de cobertura será Tcob = 2Γ
n = 736,1130 s = 12,27 minutos. Con mayor
precisión, el satélite cubrirá a Sevilla entre los instantes 18 : 00 − Γn = 17 : 53 : 52 HSM y 18 : 00 + Γn =
18 : 06 : 08 HSM, siendo el tiempo total de cobertura 12,27 minutos. Puesto que la Tierra no gira mucho en
este tiempo, la hipótesis de despreciar la rotación de la Tierra es buena y el resultado es fiable.
Zona
Cubierta
¡
SVQ
¡
Órbita
Figura 3: Apartado d) del problema 3.
4