Juegos bipersonales de suma nula Juegos semi

y Juegos bipersonales de suma nula
y Juegos semi-infinitos
Mª Enriqueta Vercher González
Universitat de València
Índice
y Introducción
y Juego bipersonal de suma nula
y
Pares de equilibrio
y
Estrategias mixtas
y
Teorema del Minimax
y
Determinación de estrategias óptimas
y Juegos semi-infinitos
y Referencias
Homenaje a Marco A. López Cerdá. Alacant 2010
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Teoría de Juegos
y La Teoría de Juegos es una colección de modelos
matemáticos formulados para estudiar la toma de
decisiones en ambiente de conflicto y/o cooperación.
y Un juego consta de n jugadores que deben elegir de una
lista de alternativas sobre las que tienen diferentes
preferencias (Von Neumann and Morgenstern, 1944)
y Un juego puede describirse mediante un árbol de
decisión (forma extensiva) o mediante la descripción de
todas las estrategias puras de cada jugador y los pagos
asociados a cada estrategia pura (forma normal).
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Ejemplos
• Juegos n-personales
• Juegos bipersonales
• finitos
• rectangulares de suma nula
• cooperativos: dilema del prisionero
• multi-etápicos
• Juegos de supervivencia
• Juegos estocásticos
• infinitos
• Juegos sobre el cuadrado unidad
• semi-infinitos
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Forma normal de un juego
y Una estrategia pura πi∈Εi para un jugador Ji, i=1,…,n es
un programa completo de acción, que en cualquier
instante del juego dicta la elección a tomar.
y La función de pago a cada jugador explicita el pago que
recibe cada jugador para cada conjunto de estrategias
puras:
Ρi: E1×E2 × … × En→ℜ i=1,…, n
y Un conjunto de estrategias π′ está en equilibrio si y solo si
∀πj∈Εj se tiene que Pj(πj, π′(n -1))≤Ρj(π′), j=1…n
Un jugador racional no deseará separarse de este conjunto
∀π 1 ∈ E1 P1 (π 1 , π 2 ) ≤ P1 (π )
y ∀π 2 ∈ E2 P2 (π 1 , π 2 ) ≤ P2 (π )
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Juego bipersonal de suma nula
y Un juego bipersonal es de suma nula si y solo si para
todo
π ∈ E1 × E2 P1 (π ) + P2 (π ) = 0
y Un juego bipersonal de suma nula (rectangular) queda
definido por los dos conjuntos de estrategias puras y la
función de pago al jugador J1, respectivamente:
E1 = {α1 ,L , α m }, E2 = {β1 ,L , β n } y
P (α i , β j ) = aij
y La función de pago puede representarse mediante una
matriz (m×n), siendo J1 (I) el jugador fila y J2 (II) el
jugador columna.
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Juego bipersonal de suma nula
y Los pares de equilibrio (αi0, βj0) verifican que:
∀i = 1,..., m aij0 ≤ ai0 j0 y ∀j = 1,..., n − ai0 j ≤ − ai0 j0
y Siendo el elemento ai0 j0 el máximo de la columna (j0) y el
mínimo de la fila (i0), es decir es un punto de silla de la
función de pago del jugador I:
∀i = 1,..., m aij0 = P(α i , β j0 ) ≤ ai0 j0 ≤ ai0 j = P (α i0 , β j ) ∀j = 1,..., n
y Los
pares
de
equilibrio
son
equivalentes
intercambiables, y conducen al pago de equilibrio ai0 j0
e
que se conoce como valor del juego.
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Juegos sin puntos de silla
y Para juegos sin puntos de silla no se puede decidir que
estrategia dará mejor resultado al jugador. No se da una
situación de equilibrio y el juego no tiene valor.
y Ejemplo: Consideremos un juego donde E1 = {α1 , α 2 }, E2 = {β1 , β 2 }
con matriz de pagos ⎡4 2⎤
⎢1 3 ⎥
⎣
⎦
y
El beneficio máximo que puede asegurarse I
vI' = max i =1,..,m {min j =1,..,n aij } = max{2,1} = 2
y
El tope a la ganancia de I que puede imponer II
vII' = min j =1,..,n {max i =1,..,m aij } = min{4,3} = 3
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Estrategias mixtas
y Una estrategia mixta es una distribución de probabilidad
sobre el conjunto de estrategias puras. Respectivamente:
m
n
⎧
⎫
⎫
⎧
m
n
X = ⎨ x ∈ ℜ : xi ≥ 0, ∑ xi = 1⎬ e Y = ⎨ y ∈ ℜ : y j ≥ 0, ∑ y j = 1⎬
i =1
j =1
⎭
⎩
⎩
⎭
y El pago esperado si se eligen las estrategias x e y es
m
n
P( x, y ) = ∑∑ xi aij y j = xT Ay
i =1 j =1
y El valor maximin vI y la estrategia maximin x∈X son, resp.
v I = max x∈ X v ( x ) = max x∈ X {min j =1,.., n P ( x , β j )} y v ( x ) = v I
y El valor minimax vII y la estrategia minimax y∈Y son, resp.
v II = min y∈Y v ( y ) = min y∈Y {max i =1,.., m P (α i , y )} y v ( y ) = v II
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Estrategias mixtas
y El valor maximin vI es la ganancia esperada que puede
asegurarse el jugador I si elige una estrategia maximin
x∈X, tal que v(x)=vI.
y El valor minimax vII es el tope a la ganancia esperada del
jugador I si elige una estrategia minimax y∈Y, tal que
v(y)=vII. En particular, v(y0) es la pérdida máxima del
jugador II si elige una estrategia y0∈Y.
y Se tiene, además, que:
vI' ≤ vI ≤ vII ≤ vII'
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Teorema del Minimax
y Un resultado fundamental en la Teoría de Juegos es el
Teorema del Minimax vI = vII mediante el cual se establece
la optimalidad de las estrategias maximin y minimax para
ambos jugadores.
y La primera demostración de este teorema se debe a Von
Neumann (1928), que utilizó un teorema de separación
estricta y un teorema de alternativa (véase Owen, 1968).
y En el libro de Parthasarathy and Raghavan (1971) puede
encontrarse una colección exhaustiva de teoremas
generales del minimax.
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Teorema General del Minimax
X ∈ℜ
m
,Y ∈ℜ
n
Sean
dos conjuntos compactos
convexos no vacíos y sea f : X ×Y → ℜ
Sea fx(.) una función convexa y sc inf para todo x∈X,
f x : Y → ℜ, f x ( y ) = f ( x, y )
Sea fy(.) una función cóncava y sc sup para todo y∈Y,
f y : X → ℜ, f y ( x) = f ( x, y )
Entonces, se tiene que:
max x∈X min y∈Y f ( x, y ) = min y∈Y max x∈X f ( x, y )
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Teorema General del Minimax
y Se sigue de la demostración que existe un punto de silla
(x0,y0) de la función f(x,y).
y Para un juego rectangular (X,Y,A) con función de pago
f(x,y)=xTAy, se demuestra que x0 es una estrategia
maximin e y0 es una estrategia minimax, cumpliéndose
que
max x∈X f ( x, y 0 ) = v = min y∈Y f ( x 0 , y )
y Los conjuntos de estrategias óptimas son:
n
m
⎧
⎫
⎧
⎫
n
m
T
X = ⎨ x ∈ ℜ : xi ≥ 0, ∑ xi = 1, x A ≥ (v,...v)⎬ e Y = ⎨ y ∈ ℜ : y j ≥ 0, ∑ y j = 1, Ay ≤ (v,...v)T ⎬
j =1
i =1
⎩
⎭
⎩
⎭
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Determinación de estrategias óptimas
y Dado que los conjuntos de estrategias óptimas son
poliedros acotados no vacios, para su determinación será
suficiente calcular las estrategias óptimas básicas.
y Teorema (Shapley and Snow, 1950) Para un juego
rectangular (X,Y,A) con valor v≠0. Las estrategias óptimas
( x , y ) ∈ X × Y son básicas si, y solo si, existen S⊂{1,…,m} y
T⊂{1,…,n} tales que la submatriz
xi = 0 ∀ i ∉ S y x
T
A
j
AST
es regular,
= v ∀j∈ T ,
y j = 0 ∀j ∉ T y Ai y = v ∀i ∈ S .
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Determinación de estrategias óptimas
y Aplicando el siguiente procedimiento iterativo se determina
tanto el valor del juego como las estrategias óptimas
básicas:
y Calcular todas las submatrices M (sxs) regulares de A
y Comprobar si se satisfacen simultáneamente:
(i ) v =
1
u sT M −1u s
(ii ) Para xsT = vu sT M −1 , completando con ceros xT A ≥ unT v
(iii ) Para ysT = vu sT M −1 , completando con ceros Ay ≤ u m v
y Tendríamos una solución óptima, siendo básicas las
estrategias óptimas obtenidas.
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Juegos rectangulares y PL
y La equivalencia existente entre un juego rectangular y un
par
de
programas
lineales
duales
simétricos
fue
establecida por Dantzig en 1951.
y Determinar las estrategias óptimas de los jugadores I y II
se sigue de la resolución de los programas
xT um
( I ) Min
s.a. xT A ≥ unT
( II ) Max
s.a.
x ≥ 0m
umT y
Ay ≤ um
y ≥ 0n
y En particular, resulta más sencillo obtener las estrategias
optimas resolviendo el PL asociado al jugador II.
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Juegos semi-infinitos
y Un juego bipersonal de suma nula semi-infinito está
definido por un conjunto de vectores {at , t ∈ T } ⊂ ℜ n
y Los conjuntos de estrategias puras son E1 = T y E2 = {1,..., n}
y La matriz semi-infinita de pagos seria P(t , j ) = atj
y Este tipo de juegos ha sido tratado por Soyster (1975),
cuando T es numerable, aplicando resultados de dualidad
sobre conos.
y Tijs (1979) aplica técnicas de aproximación, usando
subprogramas lineales finitos, para dar una demostración
alternativa del teorema del minimax y prueba que el
jugador II siempre tiene estrategias óptimas.
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Juegos semi-infinitos lineales
Si los jugadores I y II eligen una distribución de probabilidad
discreta sobre sus correspondientes conjuntos de estrategias
puras, se sigue que los conjuntos de estrategias mixtas son:
Jugador I: Γ={λ= (λt)t ∈T/ nº finito de λt≠0, λt ≥0 y ∑ t ∈T λt=1}
Jugador II: Y:={y∈Rn/ ∑ i=1,..,n yi=1, yi ≥0}
Función de pago del jugador I:
P(λ, y)= ∑ t ∈T λt at´y
λ ∈ Γ, y ∈ Y
Los valores maximin y minimax:
vI:=sup λ ∈Γ{minj=1,..,n P(λ, ej)}
vII:= inf y∈Y {sup t ∈T at´y }
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Juegos semi-infinitos lineales
Aplicando el Teorema de alternativa generalizado de
Stiemke: (I) ⇔ no (II) (López y Vercher, 1983), siendo
{
}
( I ) atT x ≤ 0, t ∈ T tiene una solución x 0 tal que atT x 0 ≠ 0 para algun t
( {
( II ) 0 n ∈ int r co at , t ∈ T
})
se demuestra que:
• Teorema del minimax. Cualquier juego semi-infinito lineal
verifica vI=vII.
• Para cualquier juego con valor finito el jugador II siempre
tiene estrategias óptimas.
• Condiciones adicionales para que el jugador I tenga
estrategias óptimas. Por ejemplo, que el conjunto de
vectores {at, t ∈ T} sea compacto (Goberna et al, 1984).
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Juegos semi-infinitos convexos
Sea FT={ft, t ∈T} familia de funciones convexas. Una
estrategia pura del jugador I consiste en elegir una función
de FT.
Los conjuntos de estrategias mixtas se definen:
• Jugador I: Γ={λ= (λt)t ∈T/nº finito λt≠0, λt ≥0, ∑ t ∈T λt=1}
• Jugador II: C:=conjunto cerrado convexo no vacio de Rn
Función de pago del jugador I:
P(λ, x)= ∑ t ∈T λt ft(x)
λ ∈ Γ, x ∈ C
Los valores maximin y minimax son:
vI:=sup l ∈G{inf x∈C P(λ, x)}
vII:= inf x∈C {sup t ∈T ft(x)}
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Teorema del Minimax
Condición (R). Las funciones convexas en FT no tienen
ninguna dirección de recesión común con las direcciones de
recesión de C, i.e. 0+C∩(∩ t ∈T rec ft) = {0}
Teorema (López y Vercher, 1986) Sea (FT, C) un juego semiinfinito que verifique la condición (R), entonces una y solo
una de las siguientes alternativas se cumple:
• Existe un vector x∈C tal que ft(x)≤0 para todo t ∈T
• Existen λ= (λt)t
∈T/nº
finito λt≠0, λt ≥0, tales que para
algun ξ>0 se tiene que ∑ t ∈T λt ft(x) ≥ ξ, para todo x∈C
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Teorema del Minimax
Teorema del minimax (López y Vercher, 1986)
Para cualquier juego semi-infinito (FT, C) que verifique la
condición (R): vI=vII.
Se ha demostrado que:
• Para cualquier (R)-juego semi-infinito, cuyo valor del
juego es finito, el jugador II siempre tiene estrategias
óptimas.
• En las condiciones anteriores, si el conjunto de
vectores L(FT) es compacto (por ejemplo), también el
conjunto de estrategias óptimas del jugador I es no vacio.
Siendo
⎧ ⎡ ut ⎤
⎫
*
n +1
∈
∈
,
u
dom
(
f
),
t
T
⊂
ℜ
L( FT ) = ⎨⎢ *
⎬
⎥ t
f
(
u
)
⎩⎣ t t ⎦
⎭
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Estrategias óptimas
Las estrategias óptimas de los juegos (FT, C) que verifican
la condición (R) y tienen valor cero admiten una curiosa
interpretación geométrica:
• Los únicos hiperplanos que separan L(FT) e hipo IC,
siendo IC(u):= inf x∈C u´x, tienen la ecuación
⎡u ⎤
− 1]⎢ ⎥ = 0
⎣ρ ⎦
[x *,
donde x* es una estrategia óptima de II.
• Si L(FT) es compacto: hipo IC∩co(L(FT) )≠∅. Los vectores
que pertenecen a esta intersección son
⎡u ⎤
⎢ρ ⎥ =
⎣ ⎦
⎡
u
⎤
λu ⎢ c t ⎥
∑
∑
t ∈T u ∈ dom ( f ) ⎣ f t ( u t ) ⎦
c
t
t
t
λt =
∑
ut ∈dom(ftc )
λut
y λ=(λ t) t ∈T es un estrategia óptima del jugador I.
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Estrategias puras óptimas
Si T es el conjunto de estrategias puras del jugador I. Si T
es un conjunto compacto convexo de Rm hemos
caracterizado la existencia de estrategias puras óptimas:
• Sea (FT, C) un juego que verifica la condición (R), tal que
(i) ft(x) es cóncava en t y cont sobre T, para x ∈ C.
Entonces, el valor del juego es finito y el jugador I tiene
estrategias puras óptimas.
• Sea (FT, C) un juego convexo, siendo C compacto tal que
(i) ft(x) es continua sobre T, para cada x ∈ C
(ii) T(x):={t ∈ T/ft(x)=max t ∈ T ft(x)} es convexo.
Entonces, el valor del juego es finito y el jugador I tiene
estrategias puras óptimas.
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Referencias
• G. B. Dantzig, en Activity Analysis of Production and Allocation, Koopmans
(ed), Wiley 1951.
• M. A. Goberna, M.A.Lopez . J. Pastor and E. Vercher (1984) Nieuw Archief
voor Wiskunde (4) 2, 218-234.
• M. A. Lopez and E. Vercher (1983) Cuadernos de Bioestadística y sus
Aplicaciones Informáticas I, 260-266.
• M. A. Lopez and E. Vercher (1986) Journal of Optimization Theory and
Applications 50, 289-312
• G. Owen, Game Theory, Saunders,1968.
• T. Parthasarathy and T. E. S. Raghavan, Some topics in two-person games,
American Elsevier 1971.
• R. T. Rockafellar, Convex Analysis, Princeton Univ. Press, 1970.
• L. S. Shapley and R. N. Snow, en Contributions to the theory of games, vol. I,
Kuhn and Tucker (eds), Princeton Univ. Press, 1950.
• A. L. Soyster (1975) Management Science 21, 806-812
• S. H. Tijs (1979) Nieuw Archief voor Wiskunde 27, 197-214
• J. Von Neumann (1928) Mathematische Annalen 100, 295-320
• J. Von Neumann and O. Morgenstern, Theory of games and Economic
behavior, Princeton Univ. Press, 1970.
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