Apunte unidad 2

Unidad 2: Valoración de Proyectos
Tema 1
Valor Futuro y Valor presente
En la unidad anterior ya se tuvo un pequeño acercamiento al concepto de valoración de
proyectos, cuando se vieron las herramientas matemáticas como el valor presente o el
valor futuro de un activo. Estos dos conceptos comúnmente utilizados, son la primera
aproximación para valorar proyectos de inversión.
Cuando una persona o empresa tiene en flujos en efectivo, tiene dos opciones para
tomar, dedicarlo a consumir con lo que obtendrá una satisfacción inmediata y cierta, o
bien, puede renunciar a ella invirtiendo dicho dinero a la espera de que, en el futuro,
pueda recoger los frutos de una ganancia que, en todo caso, es incierta. Por lo tanto,
una inversión consiste en la renuncia a una satisfacción inmediata y cierta a cambio de
la esperanza de una ganancia futura, la cual es incierta.
La inversión es básicamente un proceso de acumulación de capital, con el objetivo de
que en el futuro el beneficio de los flujos sacrificados sea mayor. La condición
necesaria para realizar una inversión es la existencia de una demanda insatisfecha,
mientras que la condición suficiente es que el rendimiento del proyecto supere al coste
de realizarlo.
Entonces el beneficio que rinde un proyecto de inversión a través de toda su vida útil;
se define como el valor presente de su flujo de ingresos futuros menos el valor
presente de su flujo de costos. Es un monto de dinero equivalente a la suma de los
flujos de ingresos netos que generará el proyecto en el futuro.
La tasa de actualización o descuento utilizada para calcular el valor presente neto
debería ser la tasa de costo alternativo del capital que se invertirá. Entendiendo por la
tasa de costo alternativo, como aquella que refleja el mejor uso alternativo de dichos
flujos. Por ejemplo, si el agente en vez de destinar los flujos al proyecto los hubiera
destinados a ahorrarlos en el banco, la tasa relevante es la tasa de interés que le
hubiera capitalizado en el banco.
Debido a la dificultad práctica que significa calcular la tasa de descuento actualizada,
generalmente se usa la tasa de interés de mercado. Esta última igualará al costo
alternativo del capital cuando exista competencia perfecta.
Sabiendo como valoramos un proyecto de inversión, es que debemos proceder analizar
aquellas variables que inciden en la valoración del proyecto, dentro de las que se
destacan por sobre las otras, las siguientes tres:
1. El tamaño del proyecto: El resultado obtenido no es indiferente a las
características propias del proyecto, y claramente un proyecto de 10.000.000 no
es lo mismo a uno de 1.000, ya que los riesgos tomados son claramente
distintos. Esta variable se puede medir a través de los fondos requeridos de
otros recursos necesarios.
2. El efecto sobre el riesgo económico: La variable riesgo también cobra gran
incidencia a la hora de evaluar los proyectos, ya que tal como se propuso en el
apartado anterior, una inversión tiene asociado un valor futuro incierto, por lo
tanto bajo este escenario la incertidumbre que se enfrente no es irrelevante.
Mientras más riesgo tenga un proyecto más adverso a él soy, y le exigiré un
rendimiento mayor.
Además el proyecto a analizar puede tener el mismo riesgo que los
anteriormente tomados por la empresa o, por el contrario, ser más (menos)
arriesgado con lo que incrementará (reducirá) el riesgo económico medio de la
empresa.
3. El grado de dependencia: Otro aspecto no menor a la hora de analizar los
distintos proyectos, es el grado de dependencia que exista entre ellos.
Claramente si existe dependencia entre los proyectos el resultado de uno va a
estar afectado por los resultados del otro. Por lo tanto si los proyectos están
altamente correlacionados, y uno tuvo un mal resultado lo más seguro es que el
otro también fracase, lo que le generaría una gran pérdida al inversionista.
Con respecto al grado de dependencia de los proyectos de inversión, estos
pueden ser independientes entre sí, excluyentes, complementarios
sustitutivos.
o
1. El Valor Presente
Es el valor actual de un capital que no es inmediatamente exigible, sino que se recibirá
en un fecha determina. Entonces la suma que se invierta, a tasa compuesta o simple
por un período determinado (hasta el vencimiento), se convertiría en una cantidad igual
a aquél en la época de pago. Por lo que el valor presente es el valor del dinero en
función del tiempo.
En otras palabras, el valor presente de un determinado flujo que se recibirá en una
fecha futura, es aquel capital que a una tasa dada se alcanzará en el período de tiempo
contado hasta la fecha de su recepción, un monto igual a la suma a recibirse en la
fecha estipulada.
Para poder entender de mejor forma lo que se dijo en el párrafo anterior, veamos el
siguiente ejemplo:
Supongamos que se recibirán $ 1.000 después de un año. Si la tasa
de interés
relevante (costo de oportunidad de los fondos) es 7%, ¿qué suma de dinero de hoy
llegará a ser igual a $ 1.000 después de un año con un interés de 7%?
La solución es bastante sencilla, ya que para encontrar el valor presente debemos
dividir el valor final de los flujos por la tasa de interés, lo que se denomina en finanzas
como actualización o descuento:
VP = $1.000 /1.07 = $ 934,58
De manera similar, el valor presente de $ 1.000 que se recibirán dentro de dos años es
igual a: $1.000 /(1.07)2 = $ 873,44
Generalizando las expresiones anteriores obtenemos que el valor presente de un flujo
F, que se recibirá al final del año n, a una tasa de interés r, es igual a:
es la fórmula que se expuso en la unidad 1.
que
El concepto de valor presente permite apreciar las diferencias que existen por el hecho
de poder disponer de un capital en distintos momentos del tiempo, actualizados con
diferentes tasas de descuento. Es así que el valor presente varía en forma inversa el
período de tiempo en que se recibirán las sumas de dinero, y también en forma inversa
a la tasa de interés utilizada en el descuento.
2. Valor Futuro
Es el valor de un capital inicial más los intereses capitalizados durante el periodo por el
cual los flujos estuvieron invertidos, esto quiere decir que la inversión se capitaliza a
una tasa fija de interés nominal por n períodos. Con lo que el valor futuro de una serie
uniforme de flujos es un pago único futuro, el cual está ubicado al final del plazo o
término de la serie, exactamente donde ocurre el último pago.
Para hacer más sencillo el análisis imaginemos que una persona deja en el banco la
suma de 1000 capitalizándose a la tasa fija de 7% por n períodos, el valor futuro de
este flujo será igual a:
, siendo el caso de análisis igual
,
para el caso de que n fuera igual a 2 el valor futuro de los 1000 pesos capitalizados al
7% sería 1.144,9.
Tema 2
Valor Actual Neto (VAN)
Los diferentes criterios de valoración de proyectos de inversión se basan en la corriente
de flujos monetarios que dichos proyectos prometen generar en el futuro.
De un modo u otro, el factor discriminante a la hora de decidir si un proyecto de
inversión se lleva a cabo o no, no es otro que en qué medida se espera recuperar la
inversión inicial necesaria para llevar a cabo el proyecto (el coste inicial).
Toda inversión lleva asociada una corriente de cobros y pagos, de tal modo que ésta
interesará llevarla a cabo siempre que, en términos absolutos, los primeros superen a
los segundos.
La razón por la que se utilizan flujos de liquidez en lugar de flujos de renta radica en el
hecho de es necesario actualizar el valor de dichas cantidades, producidas en
momentos futuros del tiempo, éstas deberán reflejar cantidades líquidas. Además, es
necesario entender que las cantidades generadas por la inversión deberán ser
reinvertidas en otros proyectos o distribuidas en forma de dividendos lo que obliga a
disponer del dinero en forma líquida y no en forma teórica como ocurriría si
considerásemos flujos de renta. Así, pues, en el análisis de inversiones se trabaja
siempre con dinero líquido, esto es, con los flujos de caja que perciben las empresas.
De este modo, vamos a plantearnos la realización de un determinado proyecto de
inversión que se extiende a lo largo de N períodos. Dicho proyecto supone la
realización de unos cobros y pagos en cada uno de los diferentes años de vida de la
inversión. Habrá inversiones en las que no habrá cobros y/o pagos en determinados
años. Pues bien, a partir de aquí, se define el flujo neto de caja como la diferencia entre
los cobros y los pagos que tengan lugar en un momento determinado del tiempo.
Lo anterior sugiere que el flujo de caja neto Fni vendrá dado por la diferencia entre los
cobros sucedidos durante el año i y los pagos hechos en el mismo año.
Fni= Ci- Pi
A la hora de representar los flujos netos de caja de un proyecto, estos quedan
representados como:
Fn0 , Fn1, Fn2 .. , Fnj , ...., Fnn
Siendo esta una inversión de n años de duración y con unos flujos de caja en cada uno
de los mismos.
Normalmente al momento de visualizar los pagos durante los n años, en el momento
inicial o el tiempo 0 no suelen haber cobros, sino más bien un pago de parte del
inversionista que es el desembolso inicial, y la cual puede representarse por I.
Con lo cual los flujos anteriores nos quedan de la siguiente manera:
-I , Fn1, Fn2 .. , Fnj , ...., Fnn
Por último, uno de los supuestos mayormente utilizados es que los pagos de los flujos
de caja de un período determinado se reciben al final del período en cuestión. Esto se
hace de esta manera para facilitar el cálculo, en el caso de que no fuera posible
trabajar con períodos anuales se recomienda trabajar con períodos, semestrales,
trimestrales o mensuales, pero siempre teniendo en cuenta que las tasas entre
períodos (anual
semestral
trimestral
mensual) son distintas.
Uno de los mecanismos que permiten hacer la valoración de empresas, es el VAN, que
junto con la TIR son las medidas de rentabilidad mayormente utilizadas para evaluar
proyectos.
El valor actual neto (VAN) es el resultado de traer al presente una serie de flujos que
generará la inversión en el futuro, expresados en moneda de un período determinado
generalmente al momento de efectuar la inversión.
Estos flujos de dinero son actualizados utilizando una tasa de descuento equivalente de
inversión, o equivalente a la tasa de interés de mercado.
El valor presente neto o valor actual neto, es la diferencia del valor actual de una
inversión menos el valor actual de la recuperación de fondos de manera que, aplicando
una tasa que corporativamente consideremos como la mínima aceptable para la
aprobación de un proyecto de inversión, pueda determinarnos, además, el índice de
conveniencia de dicho proyecto.
Este índice no es sino el factor que resulta al dividir el valor actual de la recuperación
de fondos entre el valor actual de la inversión; de esta forma, en una empresa, donde
se establece un parámetro de rendimiento de la inversión al aplicar el factor establecido
a la inversión y a las entradas de fondos, se obtiene por diferencial el valor actual neto,
que si es positivo indica que la tasa interna de rendimiento excede el mínimo requerido,
y si es negativo señala que la tasa de rendimiento es menor de lo requerido y, por
tanto, está sujeto a rechazo. Por lo que el valor relativo representa, para un valor
financiero, su deseabilidad de acuerdo con su riesgo, tiempo, liquidez y rendimientos
en comparación con la misma de otro valor.
Ahora veamos la fórmula del VAN:
n
VAN = ∑
t =1
Ft
(1 + TD ) t
Para que podamos ver en detalle el mecanismo del VAN, veamos el siguiente ejemplo.
Suponga que usted tiene la posibilidad para adquirir un departamento de 100 m2, con el
propósito de arrendarlo por cuatro años y luego venderlo al cabo de los cuatro años.
El coste total del departamento es 4.000.000 y cada año se espera cobrar (recibir
ingresos) por el arriendo del departamento, así como tener que realizar una serie de
pagos dentro de los que destacan las contribuciones y los gastos comunes.
Los flujos para cada período se muestran en la siguiente tabla:
1
194.000
35.000
159.000
2
198.300
35.750
162.550
3
202.800
36.500
166.300
4
207.400
37.300
170.100
Donde la primera columna indica el año, la segunda los ingresos percibidos por
concepto de arriendo, la tercera el pago de los gastos comunes y contribuciones y la
última es el flujo neto por año. Ahora para obtener el VAN
necesitamos la tasa
relevante que imaginemos que es un 7%, y el valor de venta al 4 año, que supongamos
que es 3.000.000.
Entonces el VAN:
VAN = -1.341.327
Por lo tanto no le conviene a realizar la inversión, porque estaría perdiendo 1.341.327
pesos. Como se puede ver en este ejemplo, el VAN nos indica si un proyecto es
rentable dada nuestra tasa relevante.
Tema 3
Tasa interna de retorno (TIR)
La tasa interna de retorno es aquella tasa que al utilizarla para descontar los flujos
futuros de ingresos netos, hace que el valor presente neto de la inversión sea igual a
cero.
Normalmente la tasa interna de retorno se compara con la tasa de interés de mercado.
n
Ft
−I
t
por lo que
t =1 (1 + Tir )
generalmente se dice que la TIR es la tasa que hace al VAN cero, sin embargo la TIR
La TIR se calcula a través del siguiente método,
0=∑
es aquella tasa que uno le exige al proyecto para que sea rentable, es la tasa mínima
que se le exige al proyecto.
De la formula anterior, hay que despejar la tasa. Usando el ejemplo anterior esto sería
TIR: -0,682671
En la evaluación de la gestión de una empresa tampoco existe un único indicador de
rentabilidad. Los índices de rentabilidad más utilizados constituyen una medida de la
eficiencia operativa de la empresa, y son de dos tipos; los que muestran la rentabilidad
en relación al volumen de ventas, y los que muestran la rentabilidad en relación con la
inversión.
Entre los primeros se puede mencionar el porcentaje de utilidad bruta, que es igual a la
utilidad bruta dividido por las ventas totales; y el margen de utilidad neta, que es igual a
la utilidad neta dividido por las ventas totales.
1
Se estimo mediante Excel, a través del Solver.
Entre los índices de rentabilidad respecto a la inversión, se puede citar el porcentaje de
rendimiento del patrimonio, que es igual a la utilidad neta dividido por el patrimonio
total; o el porcentaje de rendimiento de los activos, que es igual a la utilidad neta
dividido por el total de activos tangibles. No obstante, ninguno de los índices
mencionados son útiles por sí solos, siendo necesario disponer de un conjunto de ellos
para realizar comparaciones que permitan evaluar la rentabilidad de la gestión de la
empresa.
Decisiones de Inversión, el VAN v/s TIR
a. Aceptación o rechazo del proyecto
Al momento de evaluar proyectos, las empresas pueden enfrentarse solo a proyectos
que otorguen VAN positivo. Es decir, que las empresas no presenten restricciones de
inversión inicial, ni de recursos. Todos los proyectos que tienen VAN positivo tienen
también una TIR mayor que el costo de capital. Por lo mismo, a la hora de evaluar el
proyecto, ambos métodos aceptarán o rechazarán el mismo conjunto de proyectos, por
lo tanto, ambos métodos son igualmente aceptables para este tipo de decisión.
b. Decisiones de clasificación
Para aquellas empresas que no poseen infinitos recursos o que están analizando
proyectos mutuamente excluyentes, es necesario que clasifiquen entre todas las
opciones disponibles, ya que no pueden hacerlos todos,
rentables.
elijiendo aquellos más
En el gráfico se aprecia que a medida que aumenta la tasa de descuento, el valor
actual neto disminuye. Si el criterio del VAN indica la aceptación de un proyecto cuando
éste es cero o positivo y si el criterio de la TIR indica su aceptación cuando la TIR es
mayor que
la
tasa utilizada
como
tasa
de descuento, ambas
conducirán
necesariamente al mismo resultado.
A pesar de lo anterior, el análisis no es tan concluyente cuando se desea jerarquizar
proyectos, buscando aquellos más rentables.
En el caso presentado en el segundo gráfico, ambas técnicas pueden jerarquizar los
proyectos en distinto orden. La diferencia de los resultados que proporcionan ambas
técnicas se debe a los supuestos en que cada una está basada. El criterio de la TIR
supone que los fondos generados por el proyecto serían reinvertidos a la tasa de
rentabilidad del proyecto, mientras que el criterio del VAN supone que existirá una
reinversión a la tasa de descuento de la empresa.
Entonces si nos basamos en que la empresa actuara de forma racional
(económicamente hablando), ella reinvertirá hasta que su beneficio marginal sea cero,
lo que significa que el VAN del último proyecto es igual a cero; es decir, hasta que su
tasa de rentabilidad sea igual a su tasa de descuento. Si así fuese, un proyecto con alta
TIR difícilmente podrá redundar en que la inversión de los excedentes por él generados
reditúen en otras alternativas con igual tasa de rendimiento. Sin embargo, según el
supuesto de eficiencia económica, la empresa reinvertirá los excedentes a su tasa de
descuento, ya que si tuviera posibilidades de retornos a tasa mayores ya habría
invertido en ellas. Hay que señalar que algunos autores cuestionan el supuesto de que
la TIR reinvierte los flujos del proyecto a la misma tasa2.
Si el VAN proporciona una unidad de medida concreta de la contribución de un
proyecto a incrementar el valor de la empresa, debe ser el criterio del VAN el que
tendrá que primar en la evaluación.
2
Sapag Chaín
Ejercicios:
Tema 1
1.- Calcular el valor futuro de $750,000, con un porcentaje anual de 8% y en un plazo
de 9 años.
a. Identificar los valores:
C = $750,000
i = 0.08
n = 9 años
VF = ?
Resultado: VF = 750000(1+0.08)9 = 750000(1.08)9 = 750000(1.99) = 1492500
Por lo tanto, el valor futuro de $750,000 en un plazo de 9 años y con un interés anual
de 8%, es de $1, 492,500
2.- Calcular la cantidad que se pagaría al término de 3 años, con una tasa de interés
anual de 14% y una cantidad presente de $1,350
C = $1,350
i = 0.14
n = 3 años
VF= ?
Resultado: C = 1350 (1+0.14)3 = 1350 (1.14)3 = 1350 (1.4815) = 2000
Por lo tanto, el valor futuro de $1,350 en un plazo de 3 años y con un interés anual de 14%, es
de $2,000
3.- Calcular la cantidad que se pagaría al término de 4 años, con una tasa de interés
anual de 15% y una cantidad presente de $4,100
C = $4,100
i = 0.15
n = 4 años
VF = ?
Resultado: VF = 4100(1+0.15)4 = 4100(1.15)4 = 4100(1.749) = 7171
Por lo tanto, el valor futuro de $4,100 en un plazo de 4 años y con un interés anual de
15%, es de $7,171
4.- Calcular la cantidad que se pagaría al término de 6 meses, con una tasa de interés
anual de 10% y una cantidad presente de $5,000
C = $5,000
i = 0.05 [(0.1anual/12meses) * 6 meses]
n = 6 meses
VF = ?
Resultado: VF = 5000(1+0.05)6 = 5000(1.05)6 = 5000(1.34) = 6700
Por lo tanto, el valor futuro de $5,000 en un plazo de 6 meses y con un interés anual de
10%, es de $6,700
Tema 2 y 3
1. El Sr. MANGON está evaluando la alternativa de instalarse con una fuente de soda.
La inversión inicial que se requiere es de $ 5.000 y los beneficios netos durante 5 años
sería de $ 2000. El Sr. MANGON piensa financiar este negocio con 60% de deuda que
puede contratar al 20%; el resto lo financia con capital propio, cuyo costo alternativo es
de 15% ¿Cuál es la tasa de descuento relevante para este señor?.
SOLUCION:
Siempre la tasa de descuento relevante es el costo de oportunidad del Capital Propio.
2. Una Maquina tiene un costo inicial de 1100 pesos una vida útil de 6 años, al cabo de
los cuales su valor de salvamento (valor de venta al término del período) es de 100
pesos. Los costos de operación y mantenimiento son de 30 pesos al año y se espera
que los ingresos por el uso de la maquina asciendan a 300 pesos al año.
¿Cuál es la TIR de este proyecto de inversión?
DATOS:
Ci = 1100
n = 6 años
Vs = 100
Cop = 30 €/año
Ingresos = 300 €/año
TIR = ?
SOLUCION:
3. Considere los dos siguientes planes de inversión:
Plan A, tiene un costo inicial de 25000 y requiere inversiones adicionales de 5000 al
final del tercer mes y de 8000€ al final del séptimo mes. Este plan tiene 12 meses de
vida y produce 10000 mensuales de beneficios a partir del primer mes.
Plan B, tiene un costo inicial de 20000 y requiere una inversión adicional de 10000 al
final del octavo mes. Durante sus 12 meses de vida, este plan produce 8000
mensuales de ingresos, 12000 al termino del proyecto.
Suponiendo un TREMA (tasa de rentabilidad mínima aceptada) del 3% mensual, o tasa
de descuento.
Determine cuál de los dos planes es más conveniente.
SOLUCION
Plan A:
Inversión Inicial = 25000
Inv 3 mes= 5000
Inv 7 mes = 8000
n = 12 meses
Ingresos mensuales = 10000
Plan B:
Inversión Inicial = 20000
Inv 8 mes = 10000
n = 12 meses
Ingresos mensuales = 8000
Ingreso en el 12avo mes = 12000
Tasa de Descuento = 3 % mensual
VAN = 63459.6 ==> TIR = 34.65%
VAN = 54543 ==> TIR = 37.86%
Como la TIR es mayor en el segundo caso, elijo el segundo proyecto.
Anexo
CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS
De la fórmula para calcular el monto de una inversión es posible deducir el cálculo de la
tasa de interés cuando se conocen el monto, el valor presente y el número total de
períodos de capitalización.
Ejemplo 1
Una persona invierte $5.000.000 durante año y medio con intereses liquidados y
capitalizados mensualmente y le entregan al final $6.250.000 como capital más
intereses. ¿Cual fue la tasa de interés?
Tenemos:
M = P x (1 + i)n
Si despejamos la tasa de interés:
i=n
1
M −1 = ( M ) n −1
P
P
i = (6.250.000/5.000.000)1/18 - 1 = 1,2474% mensual
Esta tasa equivale a una tasa de interés nominal del 14,9688% anual con liquidación
mensual de intereses:
in = 1,2474% x 12 = 14,9688%
Ejemplo 2
¿A que tasa bimensual se triplica un capital en cinco años?
Tenemos que:
M = P x ( 1 + i )n
Si queremos triplicar el capital, entonces M = 3 x P
Luego:
3 x P= P x (1 + i)30
3 = (1 + i) 30
Despejando i: i = 31/30 - 1 = 3,7299% bimensual que equivale a un 22,3795% anual
nominal liquidado bimensualmente.
CÁLCULO DEL NÚMERO DE PERÍODOS
El cálculo del número de períodos exige despejar el exponente de la fórmula para el
monto. El procedimiento se realiza con la utilización de logaritmos.
Ejemplo 1
Una persona invierte cierto capital a una tasa del 18% anual nominal con liquidación
mensual de intereses. ¿Dentro de cuántos meses se duplica el capital?
En primer lugar la tasa mensual es:
i = 0,18 / 12 = 0,015 = 1,5% mensual.
Tenemos que:
M = P x (1 + i)n y a su vez M = 2 x P
Entonces:
2P =P x (1 + 0,015)n
Cancelando P:
2 = (1 + 0,015)n
Sacando logaritmos:
log 2 = log (1 + 0,015)n
log 2 = n x log (1 + 0,015)
Despejando n:
n = log2 / log( 1 + 0,015 ) = 46,56
Esto quiere decir que el capital se duplicará en un poco más de 46 meses.
FORMULAS
Fórmula 1
Monto o Valor Futuro
M = P x (1 + i ) n
Fórmula 2
Valor Presente o Valor Actual
P = M/( 1 + i ) n
Fórmula 3
Tasa de Interés
i = ( M / P) 1/n – 1
Fórmula 4
Número de Periodos
n = log(M/P)/log(1+i)