Lógica, proposición y norma
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I INTRODUCCIÓN 1 . ¿Lógica? Sí, lógica Quejarnos porque 1a cuenta del restaurante es alta no nos dará ningún resultado : no lograremos convencer a1 mozo y pasaremos por mezquinos . Pero sí encontramos algún error en 1a suma provocaremos una consulta y obtendremos, junto con 1a enmíenda, las correspondientes excusas : tal es e1 poder de 1a aritmética, que ní los comerciantes se atreven contra ella . Y 1a aritmética no es una invención diabólica, ni e1 arma secreta de 1a administración impositiva : es, simplemente, un sistema teórico que reconstruye, en abstracto, las relaciones que todos aceptamos entre las cantidades concretas . Dos más dos es igual a cuatro en cualquier tiempo y 1ugar, se trate de dólares, camellos o vueltas en calesíta; y e1 conjunto de las relaciones de este tipo, reunidas en una teoría matemática universalmente 20 LOGICA, PROPOSICION Y NORMA admítída, nos permite verífícar formalmente 1a exactitud de cualquier cálculo . Lo mismo ocurre con 1a lógica . Si alguien nos endílga un largo discurso sobre un tema que ígnoramos, nos será dificil formarnos una idea sobre 1a verdad o 1a falsedad de cada una de sus afirmaciones; pero sí entre ellas hay dos que resulten contradíctorías entre sí, no necesitaremos averiguar más para saber que en esa cháchara hay algo que no funciona bien. A1 razonar de este modo habremos utilizado un sistema teórico -1a lógica- que recopi1a, generaliza, abstrae y reconstruye en fórmulas las relaciones aceptables entre las proposiciones, aun con total prescindencia de su contenido : es decir, de modo completamente formal . En otras palabras, 1a lógica es un sistema que entre otras cosas- permite verificar 1a corrección de los razonamientos . ¿Qué es esto de 1a corrección de los razonamientos? Lo entenderemos mejor a través de algunos ejemplos . Ejémplo 1 : Toda música se compone de sonidos. E1 tango es música . Por 1o tanto, e1 tango se compone de sonidos. Ejemplo 2: Como e1 cíelo es azul y las nubes son blancas, me siento alegre y optimista. Ejemplo 3 : Como todas las cucarachas tienen alas y yo soy una cucaracha, yo tengo alas . A primera vista los dos primeros ejemplos parecen muy "razonables", en tanto e1 tercero parece INTRODUCCIÓN 21 ridículo . Pero sí nos quedamos con esta ímpresíón no fremos muy lejos en nuestra capacidad de racíocínío y seremos fácilmente engañados por una retóríca falaz. Examinemos los ejemplos uno por uno, con más cuidado . E1 ejemplo 1 propone dos premisas y una conclNsíón . Y cualquiera que 10 lea advertirá que 1a conclusión es una consecuencia necesaria de las premisas . En efecto, podemos no saber gran cosa de música, y podemos ignorar por completo 1a existencía del tango; pero si nos informan que 1a música se compone de sonidos y que e1 tango es una forma de música, en esos datos se encuentra contenido, implícitamente, e1 resultado que aquel razonamiento hace explícito : que e1 tango se compone de sonídos . E1 ejemplo 2 también contiene dos premisas y una conclusión, pero ésta no se desprende necesaríamente de aquéllas . Puede ocurrir, por cierto, que una persona de talante contemplativo se sienta impulsada a un irresistible optimismo por 1a mera comprobación del color del cíelo y de las nubes ; pero también sucede que a veces uno tiene un dolor de muelas, y entonces e1 cíelo y las nubes carecen de toda eficacia como talismanes de buen humor. Y aquí aparece -entonces- un importante dato sobre 1a lógica : una deducción válida no es 1a que eventualmente lleva a un resultado verdadero, sino 1a que necesariamente lleva a un resultado verda dero siempre que las premisas también 1o sean. 22 LOGICA, PROPOSICION Y NORMA Esto podrá comprenderse mejor a partir del ejemplo 3 que, contra 1o que podría suponerse a primera vista, es absolutamente uá1Ø. No, por cierto, porque quienes esto escriben hayan sufrido alguna metamorfosis kafkiana y se dediquen a revolotear por las cocinas, sino porque 1a conclusión se desprende necesariamente de las premisas . En efecto, si fuera verdad que todas las cucarachas tienen alas, y sí fuera exacto que yo pertenezco a tan poco apreciada especie, entonces también sería eíerto que tengo alas. Nótese que no existe otra posibilidad lógica : sí yo no tengo alas no puedo ser una cucaracha (porque hemos supuesto que todas las cucarachas las tienen ) ; y si no tengo alas y a pesar de eso sigo siendo una cucaracha, entonces no puede ser verdad 1a hipótesis general sobre e1 vuelo cucarachìl. De modo que e1 ejemplo 3 es una deducción correcta, a pesar de que tanto sus premisas como su conclusión son obviamente falsas . Claro está que aquí puede surgir una reflexión escéptica : si 1a lógica aprueba un razonamiento según e1 cual todas las cucarachas tienen alas y yo soy una cucaracha alada, también podría aprobar que los chanchos escriben poemas, y que 1a ínflacíún no existe, y que 1a luna es una bola de queso Gruyère . Entonces ¿para qué sirve 1a lógica, si no permite distinguir 1o verdadero de 1o falso? Esto vale tanto como preguntar para qué sirve 1a televisión, sí los programas son tan malos. Sí e1 espeetáculo no nos gusta, haremos bien en apagar e1 re- INTRODUCCION 23 ceptor, pues no obtendremos de é1 mayor utilidad . Pero e1 día que haya un programa bueno ¿cómo haremos para verlo sin un aparato que funcione adecuadamente? Del mismo modo, exigir a 1a lógica que nos enseñe 1o verdadero y 1o falso es injusto : 1o que no han logrado hacer todavía 1a ciencia y 1a filosofía no puede conseguirse del mero razonamiento, que es sólo una herramienta intelectual, y no 1a fuente de 1a verdad . Sí partimos de premisas falsas, nínguna seguridad tendremos de llegar a conclusiones verdaderas ( si 1o hacemos, será por casualidad ) . Pero, sí tenemos 1a fortuna de hallar premisas verdaderas para alimentar e1 razonamiento, éste nos proporcionará nuevas y relucientes afirmaciones, tan verdaderas como aquéllas de las que partimos . Es que 1a lógica, pese a su utilidad, no es omnipotente. Recordemos e1 ejemplo del principio : e1 de la cuenta del restawante. La aritmética no puede evitar que nos cobren por algún plato más de 1o que vale ( de otro modo existiría gran demanda de textos sobre matemáticas ) ; pero ya es algo que nos permita controlar 1a suma para ver sí también ahí alguien pretende quedarse con nuestro dinero. 2. Lógica y bloqueo mental, o el valor de la sonrisa "Claro, lógico", solemos decir ( no siempre con propiedad ) cuando oímos una afirmación que flQ 4 2 LÓGICA, PROPOSICIÓN Y NORMA parece sencilla y plausible. Pero cuando e1 adjetivo se vuelve sustantivo y nos hablan de 1a Lógica, la imaginamos con una L mayúscula, alta como un muro en e1 que nuestra capacidad de comprender se estrellará irremediablemente . Por supuesto, esta predicción casí siempre se confirma . Con ella ocurre 1o mismo que con los rumores de 1a Bolsa : sí hacemos correr 1a voz de que determinada acción va a subir, 1a gente 1o cree, 1a demanda aumenta y e1 precio efectivamente sube . De idéntico modo, nuestra concepción de 1a lógica como un instrumento de tortura ( imagen semejante a 1a que solemos tener de las matemáticas ) tiende a crear un bloqueo mental que a menudo no nos permite siquiera averiguar sí hay algo de cierto detrás de aquella idea. Lo primero que debe advertirse es que 1a lógica no es un pasatiempo para chiflados ociosos. Tiene aplicación práctica, y está mucho más cerca de nuestra experiencia cotidiana de 1o que suele suponerse . Todos sabemos algo de lógica y 1a usamos constantemente ; pero, como e1 burgués gentilhombre de Molière, que hablaba en prosa sin saberlo, estamos tan habituados a ella que no sabemos verla . Sí juegan Boca Juniors y River Plate y nos informan que uno de ellos ganó, automáticamente tenemos 1a certeza de que e1 otro perdió . Sí extraviamos algo junto ßa1 Obelisco, no se nos ocurre ír a buscarlo a Ja sombre de 1a Torre de los Ingleses. Y, puestos ι INTRODUctIÓN 25 a comprar una ficha para hablar por teléfono, esperamos que e1 cajero nos 1a dé o nos 1a niegue, pero nos sentimos burlados sí nos contesta : "todavía me quedan algunas, pero se me terminaron" . Todas estas actitudes son aplicaciones de leyes 16gicas antiguas y muy conocidas, , pero que tienen sonoros nombres en latín y se disfrazan con cierto empaque académico cada vez que un texto de lógica nos las propina. La receta para encarar satisf actoríamente e1 estudío de 1a lógica incluye, pues, dos remedios, que deben administrarse en forma conjunta. E1 primero consiste en advertir 1a importancia de 1a lógica como exposición de un sistema explícito que nos permite ordenar, controlar y -en caso necesarioreformular 1a enorme cantidad de razonamientos que de todos modos desarrollamos cada día . Y e1 segundo, no dejarnos intimidar y tomar 1a lógica con calma, con buena voluntad y -sí es posible con una pizca de sentido del humor. Si conseguímos pertrecharnos de este modo estaremos en condícíones de ádquí rir, sin grave desgarramiento afectívo, un ínstruménto de valor inestimable . Pero para lograr este resultado es indispensable aceptar e1 desafío intelectual que 1a lógica nos propone y jamás, por ningún motivo, murmurar para nosotros "ésto no 1o voy a entender nunca". 26 LÓGICA, PROPOSICIÓN Y NORMA 3. De qué se trata, o a qué vamos a jugar Formuladas las advertencias preliminares, correspondería mostrar ahora las características concretas del estudio que . nos proponemos emprender . Pero no es fácil hacer esto con 1a lógica, que es un sistema de relaciones abstractas; y enumerar los problemas que están o han estado incluidos bajo este título llevaría a una exposición histórica bastante larga : en veinticinco siglos de desarrollo, 1a 16gica occidental ha recorrido un camino largo y muyvaríado. Para nuestros fines bastará decir que 1a lógica busca formular y sistematizar las relaciones Ømisibles entre las proposiciones, y se preocupa por establecer métodos para decidir si una proposíción se desprende o no de otras a través de un razonamiento válido . Aristóteles trató de cumplir esta tarea a través del mismo lenguaje que usamos todos los días (llamado lenguaje natural) , a1 que incorporó vocablos especialmente definidos y aun ciertos símbolos abstractos (letras como A o B, por ejemplo, para representar 1a estructura de una proposición con sujeto y predicado ) . Aristóteles emprendió así, probablemente, e1 primer estudio sistemático de 1a 1ógíca formal ; y puso en ello tanto genio que aun hoy sus obras sobre e1 tema se leen con admiración . E1 mismo camino siguieron los que vinieron después, y se prolongó a través de 1a Edad Media y del Rena- INTRODUCCION 27 cimiento. Pero en ocasiones e1 intento chocaba con ciertas dificultades, a pesar del gran desarrollo alcanzado por 1a lógica aristotélica y medieval ; e1 lenguaje natural contiene una grande y en buena medida inevitable dosis de imprecisión ( vaguedad, ambigüedad y otras intoxicaciones semánticas ), de modo que, por muy riguroso que fuera e1 propósito de establecer relaciones unívocas, siempre existía e1 riesgo de interpretaciones diversas y de aparición de seudoproblemas bajo 1a forma de disputas verbales. Aparte de esto e1 lenguaje natural está compuesto por palabras que se supone tienen sígnifícados concretos ; y esta presencia constante de los contenídos semánticos tiende a oscurecer 1a diferencia entre distintos tipos de demostración : "todas las madres tienen sexo femenino", por ejemplo, es verdadera por razones semánticas, ya que 1a femineidad es característica definitoria de "madre" ; pero "sí llueve y hace frío, llueve" puede demostrarse sin recurso alvino a1 significado de las palabras "11ueve" ni "hace frío", ya que su verdad resulta directamente de 1a estructura lógica de 1a proposición . Esta demostración,' así como otros desarrollos modemos de 1a lógica, corresponde a una etapa en que quedó superado en gran medida e1 uso del lenguaje natural. Esta etapa comenzó con Leibniz (1646-1716), pero se desarrolló a 10 largo del siglo xix en los trabajos de De Morgan (1806-1876), Boole (18151864), Free (1848-1925) y Peano (1858-1932) . 28 LOGICA, PROPOSICION Y NORMA entre otros, hasta quedar firmemente establecida a principios del siglo xx, cuando Russell y Whitehead publicaron su obra Principia Mathernatica (19101913 ) . Estos autores aplicaron a 1a 1óica un formidable instrumento proveniente de las matemáticas, campo donde ya había demostrado su utilidad . Este instrumento es e1 lenguaje formal, en e1 que símbolos convencionales, distintos de las palabras que conocemos y definidos con rigurosa precisión, según 1a función que cumplan, pueden combinarse entre sí a través de reglas deliberadamente construídas . Este nuevo desarrollo recibió distintos nombres, que pretendían diferenciarlo de 1a lógica tradícíona1 : "lógica matemática", "lógica simbólica" . Algunos 1o llaman "1ógica formal", a pesar del carácter relevantemente formal del análisis aristotélico . Pero, a medida que pasa e1 tiempo y 1a gente se habitúa a1 manejo de los símbolos ( a 1o que contríbuye mucño e1 aprendizaje de 1a teoría de conjuntos en las escuelas), 1a importancia de estas denominaciones disminuye y todo empieza a llamarse, pura y simplemente, lógica . Esta evolución es conceptualmente importante, porque ayuda a señalar que 1a nueva lógica no se opone a 1a antigua, sino que 1a complementa, 1a enmarca, en parte 1a corrige y en buena medida 1a supera, sin que por ello Aristóteles deba bajar de su pedestal . Existen hoy muchos temas -tradicionalmente englobados en 1a lógića- que resultan alcanzados INTRODUCCION 29 poco o nada por e1 uso actual del lenguaje ió líto : e1 análisis de las funciones del lenguaje, por ejemplo, 0 1a teoría del significado y de 1a definición, o e1 estudio de las falacias no formales, 0 los conceptos relacionados con cl razonamiento ínductívo. Pero nosotros aceptaremos directa e ínmedíatamente e1 desafío de que hablábamos antes y -sin menospreciar 1a utilidad de aquellos temas, sobre los que existen excelentes textos nos lanzaremos a1 asalto de las fórmulas . Para esto estudiaremos primero las relaciones entre proposiciones (lógica proposicional) , para 11egar luego a las lógicas modales : alétíca y deóntica . 4. Bueno, pero ¿por qué a mí? E1 programa que acabamos de enunciar entusiasmaría, seguramente, a una persona con ínclinacíones matemáticas ; pero e1 caso es que este libro no está dirigido a ingenieros ní a estudiosos de las ciencias exactas . Y entonces e1 lector -profesional o estudiante de •derecho, de sociología, de ciencias políticas o, en fin, de disciplinas tradicionalmente humanísticas- puede sentirse como aquel niño a quien regalaban una moneda por cada cucharada que 1e daban de un desagradable remedio . . . y cuyos padres rompían 1a alcancía, cada vez que estaba llena, para comprar otro frasco del mismo remedio . Las ciencias humanísticas se consideran tradícional- 30 LOGICA, PROPOSICION Y NORMA mente como un refugio contra las matemáticas, a cubierto de 1a insidiosa infiltración de las fórmulas ; y quien las ha elegido para sí con esa esperanza puede sentirse defraudado . Por supuesto, podría observarse que más vale advertir e1 fraude que ignorarlo ; pero, como quiera que esta reflexión no suena muy estimulante, convendrá hacer algunas aclaraciones sobre e1 punto . La lógica es una de las disciplinas humanísticas más tradicionales ; pero 1e ha sucedido 1o mismo que a 1a mayoría de las ciencias que, cuanto más se perfeccíonan, más se acercan a las matemáticas . Gran parte del progreso científico ha consistido en advertir que dos o más conceptos diferentes no eran sino distintos estadios de una misma realidad contínua, y en medir 1a diferencia entre ellos sobre cierta escala común . Así es como, por ejemplo, las relacíones entre e1 espacio y e1 tiempo y entre 1a materia y 1a energía han provocado una verdadera revoIucíón en 1a física, con ramificaciones sobre otras disciplinas ( incluida 1a filosofía ) . Pues bien, las ciencias sociales adolecen desde su origen de 1a ínsufíciencía de sus métodos para aislar los fenómenos, compararlos y medirlos. En 1a medida en que esto se consigue poco a poco, e1 lenguaje formal se introduce para abstraer cierta relación o cierto aspecto de un fenómeno complejo con independencia de su contexto contingente ; y una vez hecho esto aparecen las fórmulas para establecer los vínculos hallados entre aquellas abstracciones . De modo IN'fl ODUCCIóN 31 que esta suerte de matematiza.ción de las ciencias sociales parece una tendencia inevitable, en 1a que 1a lógica se presenta como un simple caso particular . ¿Y por qué precisamente 1a lógica? Ante todo porque cualquier sector de 1a ciencia que emplee e1 lenguaje y e1 razonamiento debe someterse a 1a prueba de 1a validez de su propio método ; pero una ciencia que no sólo emplee e1 lenguaje como herra mienta sino que además tenga por objeto de estudío argumentos que se suponen lógicamente encadenados -como las ciencias políticas y jurídicasno puede privarse de analizar 1a estructura de su propio objeto . Esta circunstancia es particularmente sensible en e1 caso de los sistemas normativos . En efecto, entre los significados que pueden simbolizarse con e1 lenguaje hay algunos que nos afectan profundamente en nuestros intereses : son las normas, que nos obligan a cumplir ciertas conductas y nos prohiben otras; que limitan e1 universo de nuestra libertad y -en e1 caso del derecho- hasta nos amenazan con e1 embargo, e1 desalojo, 1a prisíón o 1a muerte . Y existen personas ćuya profesión es razonar sobre las normas, inventar y refutar argumentos sobre ellas, describirlas, esgrimirlas y manejarlas . Los abogados -de ellos se trata- no están todos de acuerdo sobre 1a justicia y 1a injusticia de cada norma ( como no 1o están los comerciantes sobre 1a rentabilidad de determinado precio ni los científicos sobre 1a verdad de ciertas afirmaciones de hecho) ; 32 LOGICA, PROPOSICION Y NORMA pero 1a mayoría de ellos está dispuesta a admitir que existen entre las normas ciertas relaciones formales, y que sí una conducta x está prohibida, por ejemplo, sería dif ícil aceptar simultáneamente que 1a misma conducta x es obligatoria ; y esto ocurre aun cuando no sepamos en qué consiste dicha conducta, ní sí prohibirla es un acto de buen gobierno o una muestra de insufrible tiranía . Existe, pues, desde hace aproximadamente medio siglo, una lógica formal de las normas, también llamada lógica cleóntica o normatíva. Este esquema o sistema teórico, a 10 largo de sucesivas versiones, permite ejercer un control formal sobre e1 discurso normativo, equivalente a1 que tenemos sobre los cálculos mediante 1a aritmética o sobre e1 discurso en general a través de 1a lógica proposicional . Como en los otros casos, este instrumento conceptual no nos otorga un dominio absoluto sobre los fenómenos a que se refiere ( para ello habría que tener poder sobre las premisas como e1 legislador 1o tiene sobre las leyes que dicta ) ; pero a1 menos nos enseña a extraer conclusiones válidas a partir de las premisas que se nos imponen ; y no es poca cosa encontrar así una base común de razonamiento en una materia como 1a normatíva, tan polémica que 1a gente mata y muere por ella . Si una lógica deóntica merece, pues, un lugar preeminente en 1a metodología de 1a ciencia jurídica, conviene también señalar que esa importancia está perdiendo rápidamente su ropaje especulativn INTRODUCCION 33 para hacerse cada vez más práctica y cotidiana. En materia tecnológica e1 derecho es e1 pariente pobre de las demás ciencias, y e1 jurista maneja aún . . sístemas y procedimientos conceptuales que no han variado casí en milenios . Pero, como ya se ha visto, asistimos aquí también a un avance incontenible de las matemáticas, de 1o que puede ser medido, pesado, contado, calculado y . . . computado . Las normas son información ( en e1 sentido que a esta palabra atribuye 1a ínf ormátíca ) ; y las computadoras han aprendido ya a manejarlas, clasificarlas, recopilarlas y reproducirlas para facilitar e1 trabajo de abogados, jueces y legisladores . Incluso se estudia en nuestros días 1a posibilidad de instituir procesos de decisión automática, en los que 1a solución de un caso surja directamente de 1a norma, a través de un mero cálculo lógico . E1 aprovechamíento de estas realidades y perspectivas exige a1 jurista moderno una precisión de conceptos y una exactitud de razonamientos a las que e1 abogado tradicíonal no está habituado, cuya fuente es 1a lógica formal y cuyo instrumento es 1a abstracción contenída en las fórmulas . . 3. Lógica . II DE LA PROPOSICIÓN A LA FÓRMULA 1 . Concepto de proposición En e1 uso corriente del lenguaje es común que tomemos como sinónimas expresiones tales como "enunciado" y "proposición". Decimos, por ejemplo, "este párrafo contiene siete proposiciones" o "no creo en los enunciados de 1a astrología" y, aunque de una manera vaga, sabemos qué queremos decir con ello . La propia gramática española suele usar con e1 mismo significado los vocablos "proposícíon , enuncíadó , oration y asercion . Pero para 1a lógica algunas de estas denominaciones adquieren un sentido más preciso, y se refieren a conceptos distintos . A1 hablar nos expresamos mediante enunciados ; esto es, oraciones como "este es un libro de lógica", "tengo sueño" o "1o que estoy leyendo es tremendamente aburrido" . Estos conjuntos de palabras son 38 LÓCICA, PROPOSICIÓN Y NOEMA oraciones porque cumplen con e1 requisito de ser significativas, de expresar cabalmente una idea . No ocurre 1o mismo, en cambio, con expresiones como "verde e1 es campo", o "cigarrillo cenicero e1 e1 en está". A pesar de estar compuestas por palabras conocidas, su desorden interno ( respecto de las reglas de 1a construcción castellana ) las priva de sígnífícado y con ello les impide constituirse en enuncíados u oraciones. Supongamos ahora tres enunciados : "hace frío", "í1 fait froid", "ít is cold". Salta a 1a vista que ellos son diferentes : están compuestos por palabras dislintas, y hasta corresponden a diversos idiomas . Pero también advertimos que los tres tienen algo en común: quieren decir 1o mismo . Y para esto no hace falta siquiera recurrir a otros lenguajes : "e1 presidente de Bolivia fue derrocado por e1 ejército" y "e1 ejército derrocó al presidente de Bolivia" son también enunciados distintos que quieren decir 10 mismo : es decir, tienen idéntico significado. Cuando varios enunciados tienen e1 mismo significado, decimos de ellos que expresan 1a misma proposición 1. Una proposición es, pues, e1 significado de un 1 También puede ocurrir a la inversa : enunciados idénticos expresan proposiciones diferentes . En efecto, según e1 sujeto que las pranuneie y las circunstancias de tiempo y lugar en que lo haga, las palabras "ahora salgo para allá" pueden significar que José Fernández se dispone a viajar de Mendoza a Córdoba el 15 de febrero de 1979 o que Margarita Farinelli proyecta trasladarse desde la esquina de Corrientes y Uruguay hasta Montevideo 528, piso 5Q, oficina 506, el 23 de octubre de 1981 entre las 16 .10 y las 16 .25. ι DE LA PROPOSICIÓN A LA FÓRMULA 37 enunciado declarativo o descriptivo . No es e1 enunciado mismo, que está compuesto por palabras de algún idioma determinado, ordenadas según ciertas reglas gramaticales : es e1 contenido del enunciado, que es común a las diversas maneras de decir 1o mismo . Y exigimos que e1 enunciado sea desc riptivo para desechar expresamente los otros usos del lenguaje : frases como "¡cáspita!" o "páseme 1a mostaza, por favor" no expresan proposiciones, en e1 sentido que aquí damos a este concepto Z. Esto ocurre porque 1a lógica ( a1 menos, 1a parte de 1a lógica que estamos estudiando ) se maneja a través de los llamados valores de verdØ, que -en un sistema bivalente como e1 que analizamos- son dos : verdadero y falso ( algunos prefieren decirlo de modo más abstracto y utilizan los símbolos 1 y 0) . Cuando un enunciado hace referencia a ciertos estados de cosas, de tal suerte que sea posible determinar si es verdadero o falso, decimos que es un enunciado descriptivo o declarativo, cuya verdad depende de 1a existencia real del estado de cosas descripto . E1 enunciado "está lloviendo", por ejemp1o, es verdadero śí en efecto sucede e1 hecho expresado y falso sí, por el contrario, el sol brilla en un cíelo sin nubes . No importa en este momento ave2 El lenguaje puede usarse en sentido descriptivo ( "la tierra es redonda"), expresivo ("¡atiza!"), prescriptive o directivo ("váyase y no vuelva nunca más") y operativo o perf ormativo (" buenos días, señor jefe" ) . Sobre este tema pueden consultarse Carrió, Genaro R ., Notas sobre derecho y lenguaje, Bs . As ., 1965, p. 15 y ss . ; y Copi, Irving, Introducción a la lógica, Bs. As ., 1967, p. 34 y siguientes. 3$ LÓGICA, PROPOSICIÓN Y NORMA riguar sí es verdadero o falso ( en todo caso, siémpre podemos mirar por 1a ventana o extender e1 brazo fnera de ella ) . Lo relevante es que, si e1 enunciado puede ser verdadero o falso, entonces es descriptivo y constituye materia prima para 1a gran maquinaría lógica . Tal cosa no ocurre, en principio, con e1 enunciado "tírese a1 río": éste expresa una orden que puede ser válida o no, justa o injusta, disparatada o aceptable, pero nunca verdadera ni falsa. Para este tipo de enunciados se ha creada una lógica algo diferente, que más adelante examínaremos . 2. Variables, conectivas y signos auxiliares. Simbologia y notación Como ya sabemos, 1a lógica (lógica simbólica o matemática) utiliza un lenguaje formal compuesto por símbolos convencionales . Estos símbolos permíten manejar las proposiciones según las relaciones que tengan entre sí, y sin prestar atención a su contenído. En esto 1a lógica se parece a1 álgebra, que hace 1o mismo con e1 cálculo numérico . Supongamos, por ejemplo, 1a siguiente fórmula algebraica : a+b=b+a No nos interesa saber qué número puede asignarse a cada una de las letras minúsculas utilizadas, síempre que cada una de ellas tenga en todos los casos dentro del mismo cálculo- un valor idéntico . r DE LA PROPOSICION A LA FORMULA 39 Así, sí suponemos que a es 4 y que b es 5, 1a fórmula debería interpretarse de este modo : 4+5=5+4 donde cada letra ha sido reemplazada por e1 mismo número en todas sus apariciones. Pero, como podemos asignar a "a" y a "b" cualquier valor que queramos, 1a fórmula algebraica mencionada en primer término resulta especialmente útí1 para mostrar una relación general, a saber : que si sumamos dos números cualesquiera, e1 resultado será idéntico sin que importe e1 orden de los sumandos . En 1a lógica proposicional las letras minúsculas no representan números, sino proposiciones. Se llaman por esto variables proposicionales, ya que podemos asignarles como contenido cualquier proposición concreta que deseemos ( suponiendo que queramos asignarles alguno, 1o que en general no sucede ) . Este es e1 nombre más extendido, pero algunos autores las llaman también "letras esquemátícas" o "letras sentenciales" 3 . Por costumbre se usan preferentemente las letras p, q, r, s, t, w, z ; y cualquiera de ellas puede representar una proposición. A su vez, cada variable puede representar cualquier proposición, y aun distintas proposiciones en diferentes contextos : en una demostración, por ejemplo, podemos suponer que "p" simboliza "hace 3 Orayen, Raúl, Verdad, lógica y significado, en revista "Crítica", México, 1976, vol . VIII, p . 14 . 40 LOGICA, PROPOSICION Y NORMA un lindo día", y en otro desarrollo podemos asignar1e e1 contenido "mí gato tiene bigotes largos" . Pero í jual que en e1 álgebra, es indispensable tomar una elemental precaución : dentro de un mismo contexto, e1 significado que se asigne a cada variable debe ser siempre idéntico . . Ahora bien ; en e1 lenguaje natural solemos vincular entre sí dos o más enunciados para formar un enunciado más complejo, de tal modo que e1 valor de verdad del enunciado resultante depende de cierta combinación de los valores de verdad de sus. componentes. Así, "no llueve" será verdadero sí "llueve" es falso, y viceversa. "Llueve y hace frío" sólo será verdad si es verdad que 11ueve y también es verdad que hace frío, y será falso aunque llueva, sí hace calor, y aunque hiele, sí no llueve. Esta función vínculatoría es cumplida en castellano por palabras tales como "y", "o", "sí", "aunque", "pero", "sin embargo", "sí y sólo sí", "siempre que" y otras; pero no siempre es fácil, dentro de 1a c1ásíca ambigüedad del lenguaje natural, establecer unívocamente e1 tipo de relación que se busca ex presar. Si alguien nos dice, por ejemplo, "esta noche iré a1 cine o a comer" no sabemos con seguridad si pretende elegir una de dichas actividades o sí también deja abierta 1a posibilidad de hacer ambas cosas. Para evitar problemas de este tipo y facilitar e1 cálculo, e1 lenguaje formal representa aquellos vínculos mediante signos especiales, que reciben el 41 DE LA PROPOSICIÓN w LA FÓRMULA nombre de conectivas extensionales ( conectivas a secas, para los íntimos), signos l6gicos, constantes lógicas u ØerØores. Pero no existe un acuerdo generalizado acerca de cómo representar estos signos . Lsto da lugar a 1a existencia de distintas notaciones, o sistemas gráficos de escritura de 1a lógica simbólica. La notación más extendida es 1a llamada inglesa o de Russell, en una de cuyas versiones -que usaremos de aquí en adelante- las conectivas principales se representan mediante los símbolos sí« y «», . guíentes • Por e1 modo en que las conectivas afectat a las variables a que se refieren, se las divide en monádi- 4 Aunque sea a modo de ilustración, convendrá tener presente que la mencionada no es la única notación "inglesa" existente . Algunos autores reemplazan "--" por " . " por "A" ; " D " por o por -3 o m por f-> . Hay además una notación completamente distinta, cuyas ventajas consisten en que no recurre a símbolos diferentes de los alfabéticos y que no requiere uso alguno de paréntesis, aparte de ciertas facilidades de cálculo que no vale la pena enumerar aquí . Se trata de la notación polaca, introducida por Lukasiewiez, cuyas equivalencias con la notación inglesa son las siguientes : "Np", "kpq" "Apq" "Ĵpq" '`Cpq" "Epq" equivale equivale equivale equivale a a a a "-p" "p q" "p v q" "p q" equivale a "p D q" equivale a "p q" No usaremos la notación polaca. porque al lado de sus virtudes presenta algunas dificultades, sobre todo para el principiante : su lectura es menos intuitiva, y cuando las fórmulas se hacen complicadas es más fácil comprender de un vistazo su estructura general con la notación de Russell, donde las conectivas diádicas se ubican precisamente entre las variables conectadas . 42 LÓGICA, PROPOSICIÓN Y NORMA cas y di4dicas o binarias . E1 signo " " es monádíco, porque sólo afecta a una proposición : 1a representada por 1a fórmula de 1a derecha . Así, 1a verdad de 1a fórmula "-p" dependerá del valor de verdad de "p" modificado por e1 operador "=" . Las demás conectivas mencionadas se llaman diádicas porque afectan a dos proposiciones conjuntamente : las situadas a derecha e izquierda del signo de que se trate . Por ejemplo, e1 valor de "p . q" depende del valor de verdad de "p" y del valor de verdad de "q", combinados en 1a forma índicada por " . " . Por e1 momento, conviene que resistamos a 1a tentación de buscar a cada uno de estos signos un equivalente en lenguaje natural . Tales equívalencías -aunque existen- no son perfectas ni unívocas, debido a 1a imprecisión del lenguaje natural . Por esto, como luego veremos, trataremos de definir cada signo por su función de verdad y sólo a partir de a11í buscaremos las trØucciones a1 castellano . Sí hiciéramos a1 revés, correrlamos e1 riesgo de introducir en e1 lenguaje formal, por 1a vía de las definiciones, los mismos inconvenientes semántícos que buscamos eliminar . Aparte de las variables y de las conectivas, 1a lógica cuenta también con símbolos auxiliares, que hacen las veces de signos de puntuación y sirven para separar, en caso necesario, unas fórmulas de otras . Se trata de los paréntesis "( )", los corchetes "[ ]", las llaves "~ }" y las barras "~ I" . DE LA PROPOSICIÓN A LA FÓRMULA 43 3. Concepto de fórmula proposicional Hasta ahora hemos hablado bastante sobre las fórmulas, de modo que resulta oportuno fijar un contenido preciso para esta palabreja. Una fórmula proposicional es una expresión simbólica que está compuesta exclusivamente por variables proposicionales, conectivas o signos lógicos y símbolos auxiliares 5. Esta definición puede tomarnos algo desprevenidos, por 1o que convendrá hacer algunas aclaraciones sobre ella . Una fórmula está siempre compuesta, en forma exclusiva, por los signos apuntados, que constítuyen -por así decirlo- su elenco estable . Ningún actor ajeno a 1a compañía puede introducirse en. 1a función ( "llueve . hace frío"; "llueve yp"; "p . hace frio " ) pues e1 resultado no sería una formula ( sería algo así como mezclar, en una sola frase, palabras de varios idiomas diferentes : "Ich am going au cinéma domani por 1a noche" ) . Que variables, conectivas y signos auxiliares formen e1 elenco estable del teatro lógico no implica que todos ellos deban estar siempre en escena: bastará con que haya, por 1o menos, una variable. Así; "p" es una fórmula ; "-p" y "p . q" también 1o son, igual que otras más complicadas como : s )]» "(p q) D [r v (q 5 Cfr. Orayen, ob . citada . Ø LÓGICA, PROPOSICIÓN Y NORMA Por último, no basta que los actores estén en escena para constituir una función teatral : además es necesario que desempeñen su papel según cíerto libreto y de acuerdo con ciertas reglas que definen esa actividad . Del mismo modo, los componentes de una fórmula no pueden estar mezclados a1 azar : han de respetar las llamadas reglas de formaCiÓn ) o normas sintácticas convencionales que rigen 1a estructura simbólica de las fórmulas . Estas reglas pueden enunciarse así : 1) Una variable proposicional es una fórmula . Ej . : cc ιι cc ιι cc ιι 2) Una fórmula precedida por un operador monádíco es una formula . E' cc ι) cc ,, cc ι) -p, -q, r . 3) Dos fórmulas encerradas dentro de un par de signos auxiliares y entre las cuales hay un operador diádico ( y sólo un operador diádico) , constituyen una fórmula . Ej . : `(P • 4) » "( -P D 9)(P 9) D ( r v s)]". Las reglas de formación, que en su conjunto pueden considerarse también como una definición de "fórmula", permiten excluir de nuestro lenguaje simbólico todas las expresiones q ue no se ajusten a ellas . Así, "~ ", q-, pq, rs, (qv .q) ", " ( r . ) s" no son fórmulas bien formadas ; y puede constituir un interesante ejercicio averiguar cuál es el defecto que aqueja a cada una de tales expresiones . DE LA PROPOSICIÓN A LA FÓRMULA 45 Conviene aquí hacer una aclaración sobre los signos auxiliares . Su función consiste en eliminar ambigüedades : sin ellos, 1a expresión "-p q", por ejemplo, podría interpretarse de dos maneras : a) (-p . q ) , donde e1 operador monádíco afecta sólo a 1a fórmula "p", o bien b) -(p , q), dondeel operador monádíco afecta a la formula (p . q) No toda fórmula, sin embargo, plantea semejantes ambigüedades ; y de a11í resulta que puede establecerse una convención práctica : cuando una expresíón simbólica no es susceptible de ínterpretaciones esquemáticas diversas, es posible eliminar los signos auxiliares innecesarios : por ejemplo, en 1ugar de "( p q ) " puede escribirse "p q"; pero sí 1a misma fórmula lia de relacionarse a su vez con otra -por ejemplo, en "(p q ) v r" e1 uso de paréntesis no puede omitirse . 4. Fórmulas atómicas y fórmulas moleculares Así como e1 lenguaje natural vincula dos o más enunciados para formar un enunciado complejo, e1 lenguaje simbólico combína las variables -por medio de las conectivas- para constituir fórmulas compuestas . Por asociación de ideas con e1 modo en que los átomos de elementos simples constituyen las moléculas de los compuestos químicos, 1a lógica ha adoptado aquí una nomenclatura con reminiscencias 46 LOGICA, PROPOSICION Y NORMA de 1a física nuclear . Una fórmula atómica es aque1la constituida exclusivamente por una variable prono modificada por operador alguno : ``p", por ejemplo. Las fórmulas en las que aparece un operador monádico ( "-q" ) o que resultan de una combinación de fórmulas unidas por conectivas diádicas ( "r v s", "z =- w" ) se llaman moleculares. Toda fórmula molecular es una función de verdØ de las fórmulas atómicas que 1a componen : es decir, su verdad o su falsedad dependen de 1a verdad o de 1a falsedad de las proposiciones representadas por las variables simples . Pero, como hemos visto antes, e1 modo en que deben combinarse 1a verdad 01a falsedad de los componentes para determinar e1 valor de verdad de 1a fórmula molecular depende de las conectivas que aparezcan en 1a misma fónnula. Por esto los operadores resultan ser 1a clave para desentrañar 1a estructura interna de una fórmula. A su estudio, pues, dedicaremos e1 próximo capítulo .
