Modelo de cáncer de estómago

Trabajo realizado por:
Jonay Curbelo Pérez
Cristina García Francisco
-1-
ÍNDICE
 Introducción .......................................................................... 3
 Causas de la enfermedad....................................................... 3
 Síntomas ................................................................................ 4
 Tratamiento ........................................................................... 4
 Estadísticas del cáncer de estómago ..................................... 4
 Planteamiento del modelo .................................................. 5-7
 Resolución con el Mathematica ......................................... 8-15
 Conclusión ............................................................................ 16
-2-

INTRODUCCIÓN
El Cáncer de Estómago es un tumor maligno que suele aparecer principalmente en
la parte inferior del estómago, justo encima de la abertura que desemboca en el intestino
delgado. Otro de los lugares en donde suele desarrollarse esta enfermedad es en cardias.
Se caracteriza por el crecimiento descontrolado de las células anormales. Todas las
células se reproducen por división. En el caso del cáncer de estómago, esta división se
lleva a cabo de una manera desordenada.
Puede haber tumores en el estómago durante mucho tiempo sin que estos provoquen
algún síntoma, si no se detecta y trata a tiempo, el cáncer de estómago puede extenderse
al esófago o al intestino delgado o atravesar las paredes del estómago y extenderse a los
órganos y tejidos que lo rodean. Además las células cancerosas pueden invadir otras
partes del cuerpo por medio de las vías linfáticas, siendo mortal si no se trata.
Mediante la aplicación de un modelo matemático con ecuaciones diferenciales se
pretende determinar el desarrollo y evolución de tumores cancerosos en el estómago.
El cáncer de estomago son tumores que se desarrollan en la parte superior del
estómago y pocas veces en la parte más alta en las Cardias
Esta enfermedad si no es tratada a tiempo puede extenderse a otros órganos del
cuerpo y convertirse en una enfermedad mortal.
Exactamente no se conoce las razones que provocan esta enfermedad. Las
estadísticas demuestran que en Latino América aproximadamente un 20% de personas
de todas las edades muren por causas de Cáncer de todo tipo.
CAUSAS DE LA ENFERMEDAD

La alimentación: El uso excesivo de sal, comidas secas o ahumadas, alcohol,
tabaco, alimentos sin refrigerar y nitratos para conservar los alimentos son las
principales causas de esta enfermedad en nuestro planeta. La fruta, sobre todo
aquella con mucha vitamina C, ayuda a prevenir el cáncer.
En Estado Unidos hace varios años esta enfermedad fue bastante conocida hoy en
día solo el 3% de sus habitantes lo padecen, sin embargo sigue siendo común en Gran
Bretaña, Japón, China y América.

Otras causas: La edad (a partir de los 55 años es más probable padecer la
enfermedad), el sexo (afecta más a los hombres), los antecedentes familiares, el tipo
de sangre (aquellos con sangre A, A+ y A- son más propensos a padecer el cáncer) o
la raza (estudios estadísticos demuestran que el cáncer de estómago afecta más a los
hispanos que al resto).
-3-
SINTOMAS
Los síntomas más importantes que una persona con principios o cáncer avanzado de
estomago pueden ser:








Indigestión persistente.
Sensación de estar hinchado después de comer.
Nauseas leves y falta de apetito.
Ardor en el Estomago
Heces oscuras o indicios de sangre.
Vómitos.
Pérdida de Peso.
Dolor de estómago.
TRATAMIENTO
Tras realizar análisis de orina, de fluidos estomacales y heces, se examina el
estómago mediante rayos X y gastroscopia.
La gastroscopia consiste en introducir un tubo flexible por la boca hasta el
estómago, pasando por el esófago. Esto permite al doctor observar el estómago y tomar
una muestra para una biopsia (pequeño trozo de tejido extraído para su examen). El
diagnóstico definitivo se establece si se hallan células cancerosas en la biopsia.
En caso de detectarse el cáncer de Estomago se precede al tratamiento respectivo,
dependiendo del avance del cáncer.


Cirugía (Extracción del cáncer mediante una operación).
Quimioterapia (uso de medicamentos para eliminar las células cancerosas)
La cirugía es un tratamiento común para todas las etapas del cáncer del estómago.
ESTADISTICAS DEL CANCER DE ESTÓMAGO
Según el informe sobre la incidencia del cáncer en el cantón Cuenca, para el periodo
1997-2002, publicado por el Registro de Tumores del Instituto del Cáncer, SOLCA, las
tasas estandarizadas de este tipo de cáncer son de 23,3% en los hombres y de 17,2%
para las mujeres, niveles que nos ubica como una de las zonas geográficas con las más
altas tasas de esta patología en el mundo.
El cáncer de Estomago es más común en América Central y América del Sur que en
los Estado Unidos.
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PLANTEAMIENTO DEL MODELO
El modelo expuesto se trata de un sistema de ecuaciones en diferencia finita que
expresa la evolución de las células malignas del cáncer de estómago. En concreto, nos
centraremos en las células sensibles y las células resistentes a las drogas para detectar el
tiempo en que se desarrollan dichas células.
Variables que influyen en el modelo:
- Cs = Población de células sensibles.
- Cr = Población de células resistentes.
- Tc1 = Tasa de crecimiento de células sensibles.
- Tc2 = Tasa de crecimiento de células resistentes.
- d1 = Sensibilidad de Cs a las drogas.
- d2 = Sensibilidad de Cr a las drogas.
- b = Porción de células que adquieren resistencia.
- t = tiempo.
Con esto diseñamos un modelo que nos permite calcular el tamaño de cada
población de células respecto al tiempo.
dCs
 [Tc1 - d1 (t)]Cs
dt
dCr
 bd1Cs  [Tc 2 - d2(t)]Cr
dt
A partir de este sistema de ecuaciones, podemos suponer varios casos:
-5-
Caso 1:
En este caso consideraremos que las tasas de crecimiento de ambos tipos de células
son constantes.
Cs  y
Tc1  k
Cr  z
Tc2  p
Además, que la sensibilidad de las células sensibles y las células resistentes sea
constante:
d1  A
d2  B
1.a) Ecuación continua. Ahora, resolveremos el siguiente sistema de ecuaciones:
dy
 [ k  A] y
dt
dz
 bAy  [ p  B]z
dt
1.b) Ecuación discreta en diferencia finita. En este caso resolveremos el siguiente
sistema de ecuaciones:
yt 1  yt  [k  A] yt
zt 1  bAyt  zt  [ p  B]zt
En ambos casos, se tratará de hallar primero la solución general donde
y  f (t , k , A) , z  f (t , b, A, p, B) . La solución particular la hallaremos dándole
valores a los parámetros en cada ecuación.
-6-
Caso 2:
Al igual que en el anterior caso, consideraremos que las tasas de crecimiento de
ambos tipos de células son constantes.
Cs  y
Tc1  k
Cr  z
Tc2  p
Además, en este segundo caso estudiaremos el crecimiento de las células a lo largo
del tiempo teniendo en cuenta que la sensibilidad de las células sensibles es variable, y
la de las células resistentes sigue siendo constante d 2  B . A partir de este momento,
resolveremos los sistemas de forma continua, pues resultará más sencillo con el
programa utilizado.
2.a) Si la sensibilidad es una ecuación exponencial, d1 (t )  e at resolveremos el
sistema:
dy
 [ k  e  at ] y
dt
dz
 be  at y  [ p  B ]z
dt
2.b) Si dicha sensibilidad, en la segunda ecuación, es lineal, d1 (t )  at  b
resolveremos el sistema:
dy
 [ k  A] y
dt
dz
 b(at  c) y  [ p  B]z
dt
Siguiendo la misma metodología que en los casos anteriores, hallaremos las
soluciones generales en cada uno de ellos y, posteriormente, las soluciones particulares.
-7-
RESOLUCIÓN CON EL MATHEMATICA
Caso 1.a)
De forma general:
Donde:
y[t ]  e ( Ak )t C[1]
z[t ] 
Ab(e (  A p )t )C[1] (  B  p )t
e
C[2]
A B k  p
Si le damos valores concretos a las variables que influyen en el crecimiento de las
células. Por ejemplo:
k  0.264
p  0.1
A  0.2
y0  10
z0  20
b  0.01
B  0.05
Obtenemos el siguiente resultado:
De donde sacamos:
y[t ]  0.e 0.05t  10.e 0.064t
z[t ]  8.5714e 0.05t  1.42857e 0.064t
A continuación podemos observar como las células sensibles crecen más rápido que
las células resistentes, por lo que a largo plazo llegará un punto en el que existan más las
primeras células que las segundas.
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Gráficamente:
-
Variable y (Células sensibles)
400
300
200
100
10
20
30
40
50
60
- Variable z (Células resistentes)
400
300
200
100
10
20
30
40
50
60
Para hacer una comparación, vemos ambas representaciones de forma conjunta:
400
300
200
100
10
20
30
40
-9-
50
60
Caso 1.b)
De forma general:
Donde:
y[t ]  (1  A  k ) t C[1]
Ab((1  A  k ) t  (1  B  p) t )C[1]
z[t ]  
 (1  B  p) t C[2]
A B k  p
Una vez le demos valores concretos a los parámetros que influyen en el crecimiento
de las células, como por ejemplo:
p  0.1
k  0.264
y0  10
z0  20
A  0.2
B  0.05
b  0.01
Obtenemos el siguiente resultado:
De donde sacamos:
y[t ]  1.719511011 1.05t  10. 1.064t
y[t ]  18.57141.05t  1.428571.064t
De la misma manera podemos comprobar en las siguientes gráficas como las células
sensibles crecen más rápido que las células resistentes, por lo que a largo plazo llegará
un punto en el que existan más las primeras células que las segundas.
La diferencia entre el caso continuo y el caso discreto está en que, con los mismos
parámetros fijados, en el caso discreto se requiere de más tiempo para que este hecho
suceda.
- 10 -
Gráficamente:
-
Variable y
400
300
200
100
10
-
20
30
40
50
60
20
30
40
50
60
Variable z
400
300
200
100
10
Para su comparación, vemos las dos gráficas de forma conjunta:
400
300
200
100
10
20
30
40
- 11 -
50
60
Caso 2.a)
De forma general:
Donde:
y[t ]  e
e  at
 kt
a
C[1]
e  aK $46
 aK $46  K $46 (  B  p )
a
t
z[t ]  e(  B  p ) t C[2]  e(  B  p ) t C[1] be
K $47
K $46
Fijando valores a los parámetros, por ejemplo:
k  0.264
p  0.1
a  0.15
y0  10
z0  20
b  0.01
B  0.05
Obtenemos el siguiente resultado:
De donde sacamos:
0.1 5t
y[t ]  0.0127263
e6.66667 e
0.264t
t
z[t ]  20.e 0.05t  0.0127263
e 0.05t  0.01e 6.66667 e
1
0.0127263
e 0.05t 
0
1
20
e
1
e3
100

3 K [1 ]
20  91 K [1]
20
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K [1]
0.15 K [1 ]
 0.364 K [1]
K [1] 
Gráficamente:
-
Variables y
150
100
50
10
-
20
30
40
Variable z
800
600
400
200
10
20
30
40
Para su comparación, vemos las dos gráficas de forma conjunta:
150
100
50
10
20
30
- 13 -
40
En este tercer caso, vemos como las curvas que representan el crecimiento de las
células a lo largo del tiempo no se cruzan. Aunque las células sensibles siguen
creciendo más rápidamente que las células resistentes, el crecimiento exponencial de la
sensibilidad de las primeras impide la existencia de más células sensibles que
resistentes.
Caso 2.b)
De forma general:
y[t ]  e(  Ak ) C[1]
t
be(  B p )t ( ABk  p ) (c( A  B  k  p)  a(1  At  Bt  kt  pt))C[1] (  B p )t
z[t ] 
e
C[2]
( A  B  k  p) 2
t
De nuevo, fijando los siguientes valores:
k  0.264
p  0.1
a  0.15
A  0.15
y0  10
z0  20
b  0.01
c  0.05
B  0.05
Obtenemos el siguiente resultado:
y[t ]  10.e0.114 t
z[t ]  23.584e0.05t  3.58398 2.718280.064t e0.05t  0.234375 2.7180.064t e0.05t t
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Gráficamente:
-
Variable y
200
175
150
125
100
75
50
25
10
-
20
30
40
20
30
40
Variable z
200
175
150
125
100
75
50
25
10
Para su comparación, vemos las dos gráficas de forma conjunta:
200
175
150
125
100
75
50
25
10
20
30
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40
En este último caso podemos comprobar como nuevamente las células resistentes
crecen más despacio que las células sensibles, y que también se cortan en un punto
como ocurría en los dos primeros casos. Sin embargo, este hecho ocurre mucho antes,
puesto que le hemos dado otro valor a la variable sensibilidad de las células sensibles
(A) y a que además influye una nueva constante (c).
CONCLUSIÓN
Dado que hemos fijado unos parámetros concretos para cada caso, los resultados de
estos han sido diferentes. Aún así podemos comprobar que las células sensibles crecerán
más rápidamente que las células resistentes, dado el planteamiento inicial del modelo.
Este hecho nos lleva a afirmar que a mayor edad del individuo, más propenso será a
tener cáncer de estómago. Sin embargo, como se señaló anteriormente, también influye
la dieta del individuo, los malos hábitos como el tabaquismo o el alcoholismo, así como
la genética.
Con respecto a la estabilidad y convergencia, sólo podemos decir que son inestables
en todos los casos planteados y que, además, tienden a infinito, por lo que no tiene
sentido hablar de convergencia.
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