Guía Básica para el Estudio de la Estadística Inferencial AGUILERA

U NIVERSIDAD M ICHOACANA
DE
S AN N ICOLÁS
DE
H IDALGO
F acultad de C ontaduría y
C iencias A dministrativas
Academia de Matemáticas
Apuntes para la Materia de
Estadística II
“ Guía Bás ica para e l Es tu di o de la
Es tad ís tic a In fer en c ial ”
Elaboró:
M.A. José Rafael Aguilera Aguilera
Asesor en Estrategias de Inversión
(Certificación reconocida por la Bolsa Mexicana de Valores)
Morelia Mich., Diciembre de 2009
Estadística II
ÍNDICE
TEMA 1: Fundamentos de Estadística Inferencial ..... 4
1.1.- Conceptos Básicos. ..........................................................4
1.2.- Técnicas para Contar........................................................5
1.3.- Diagrama de la Probabilidad Estadística. .........................9
TEMA 2: Teoría Elemental de Muestreo ...................... 10
2.1.- Distribución Binomial. ...................................................10
2.2.- Distribución Normal. .....................................................33
2.3.- Muestreo Aleatorio Simple. ...........................................51
2.4.- Distribuciones Muéstrales ..............................................54
2.4.1.- Distribución Muestral de Medias. ............................55
2.4.2.- Distribución Muestral de Proporciones ....................56
2.4.3.- Distribución Muestral de Diferencias y Sumas. .......58
2.5.- Otros Ejercicios..............................................................61
1 de 110
José Rafael Aguilera Aguilera
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Estadística II
TEMA 3: Teoría de Estimación Estadística............... 73
3.1.- Estimación de Parámetros. .............................................73
3.1.1.- Estimas Insesgadas. ..................................................74
3.1.2.- Estimas Eficientes. ...................................................75
3.2.- Estimas por Puntos y Estimas por Intervalos de Seguridad .......76
3.3.- Estimas por Intervalo de Confianza, de Parámetros Poblacionales. ..77
3.3.1.- Sistemas de Medias por Intervalos de Confianza .....78
3.3.2.- Intervalos de Confianza para Proporciones. .............80
3.3.3.- Intervalos de Confianza para Diferencias y Sumas. .81
3.3.4.- Intervalos de Confianza para Desviaciones Típicas. 82
3.4.- Error Probable. ...............................................................82
3.5.- Ejercicios .......................................................................83
Tema 4: Teoría de la Decisión Estadística (Paramétrica). . 90
4.1.- Conceptos y Definiciones. .............................................90
4.1.1.- Decisiones Estadísticas.............................................90
4.1.2.- Hipótesis Estadística, Hipótesis Nula. ......................90
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4.2.- Ensayos de Hipótesis y Significación. ...........................91
4.2.1.- Error De Tipo I Y Tipo II. ........................................92
4.2.2.- Nivel de Significación. .............................................93
4.3.- Ensayos Referentes a la Distribución Normal. ...............94
4.4.-Ensayos de Una y Dos Colas. .........................................97
4.5.- Ensayos Especiales. .......................................................98
4.6.- Ejercicio de Inferencia de Medias. ............................... 100
BIBLIOGRAFÍA........................................................ 110
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TEMA 1: Fundamentos de Estadística Inferencial
1.1.- Conceptos Básicos.
A la estadística inferencial la podemos definir a través de cuatro puntos muy importantes los
cuales son los siguientes.
1. Materia de las ciencias sociales:
-
licenciado en contaduría
licenciado en administración
licenciado en informática administrativa
2. Tomar decisiones:
La estadística: tomar decisiones de una población con base de datos muéstrales.
Esta se requiere para tomar decisiones estadísticas.
Tomar decisiones
Diseño experimental
¿Cómo voy a encontrar esos
MORELIA
200 datos?
1, 300,000
Estimar
_______
EDAD
POBLACION
DE
DATOS
Inferir
200
____
X
MUESTRA
DE
DATOS
4 de 110
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3. Probabilidad:
Estudia los experimentos y fenómenos aleatorios.
Interviene el
hombre
No interviene
el hombre
4. Que es un experimento o fenómeno aleatorio:
Tiene que ver con resultados que puedan ocurrir y que antes de que ocurran no sabemos cual
va a ocurrir.
1.2.- Técnicas para Contar.
En esta ocasión utilizaremos tres tipos de técnicas para contar las cuales son:
CASO 1: En donde:
La formula de este caso seria:
ORr = nr
- Si me importa el orden y
- Si se puede repetir.
n
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Estadística II
Ejemplo:
2
a b
c d
a,a b,a c,a d,a
a,b b,b c,b d,b
a,c b,c, c,c, d,c,
a,d b,d c,d d,d
-----------
= 16 resultados
Para el caso anterior de la población de Morelia tendríamos que hacer lo mismo pero seria muy
difícil con esa cantidad.
En cambio si utilizamos la formula es mas rápido y sencillo,
nORr
=nr
nORr
=nr
nORr
=42
nORr
= 1, 300, 000 200
nORr
= 16
nORr
=
CASO 2: En donde:
-
Si me importa el orden
No se pueden repetir
La formula de este caso seria:
Or =
n
n!
(n-r)!
6 de 110
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Ejemplo:
2
a b
c d,c b,
-----------
a,b
a,c
a,d
b,a c,a d,a
b,c c,b d,c = 12 Resultados
b,d c,d d,d
Solución con la formula:
nOr = n !
(n-r)!
nOr = 24 !
4O2
=4!
(4-2)!
nOr = 1
2
CASO 3: En donde:
-
-
La formula de este caso seria:
No hay orden
No se pueden repetir
nCr = n!
r ! (n – r) !
Por lo tanto el resultado es:
nCr = n!
r! (n – r) !
nCr = 4!
2! (4 – 2) !
nCr = 24!
nCr = 6
2 (2 !)
nCr = 24
4
7 de 110
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Ejemplo 2: realizar el siguiente ejercicio por los tres casos en el que n sea 5 y r 3.
3
abc
de
-----------
Caso1:
FORMULA:
nORr
SUSTITUCION:
=nr
nORr
nORr
=53
= 125
Caso 2:
FORMULA:
nOr = n !
(n-r)!
SUSTITUCION:
nOr = 5 !
(5 – 3) !
nOr = 120
2
nOr = 120
2!
nOr = 60
Caso3:
FORMULA:
nCr = n!
r! (n – r) !
SUSTITUCION:
nCr = 5 !
3 ! (5 - 3) !
nCr = 120
6 ( 2 !)
nCr = 120
6 (2)
nCr = 120
12
nCr = 10
8 de 110
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1.3.- Diagrama de la Probabilidad Estadística.
EXPERIMENTOS:
(Influyen personas)
LA PROBABILIDA
ESTADISTICA
ALEATORIOS
Tienen que ver con resultados que puedan ocurrir y
que antes de que ocurran
No sabemos cual va a ocurrir.
FENÓMENOS:
(No influyen personas)
Para estudiarlos se
Construyen.
Modelo probabilística
Que representa el comportamiento de un fenómeno
o experimento aleatorio.
DEVIDO
MODELOS
(Distribuciones)
Existen en el universo millones
de experimentos y fenomenos
aleatorios.
PERO
Muchos se parecen
entre ellos.
SE LE PONE
NOMBRE PROPIO
EJEMPLO:
Estos modelos
o distribuciones
Binomial o Bernoulli
Principal
Característica
Normal
POR LO QUE
Toman el mismo modelo
de
distribución de probabilidad
1 experimento con 2 resultados se repite n veces.
Ejemplo:
Poisson
1
4
2
9 de 110
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3
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TEMA 2: Teoría Elemental de Muestreo
2.1.- Distribución Binomial.
La distribución Binomial:
Si p es la probabilidad de ocurrencia de un suceso en un solo ensayo (llamada probabilidad de
éxito) y q = 1 – P es la probabilidad de que el suceso no ocurra en un solo ensayo (llamada
probabilidad de fallo), entonces la probabilidad de que el suceso se presente exactamente X
veces en N ensayos, (es decir, X éxitos y N – X fallos) viene dada por:
p(X) = NCXpxqN-X =
N!
p q
X! (N – X) ! X N – X
Algunas propiedades de la distribución binomial son dadas en la siguiente tabla.
Media
M = Np
Varianza
σ 2 = Npq
Desviación típica
σ = Npq
Coeficiente de sesgo
q- p
α3 =
Coeficiente de curtosis
Npq
1 – 6pq
α 4 = 3 + Npq
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EJEMPLOS:
1. Hallar la probabilidad de que lanzando una moneda 6 veces aparezcan (a) 0, (b) 1,
(c) 2, (d) 3, (e) 4, (f) 5, (g) 6 caras.
Paso 1: Describir El Experimento Aleatorio.
R= lanzar una moneda 6 veces
Paso 2: Construir El Espacio Muestral.
R= S = (s,s,s,s,s,s) (s,s,s,s,s,a) (s,s,s,s,a,a,)
NOTA: Como son muchos resultados mejor usamos la formula que es:
R= nORr = nr
nORr = 26
nORr = 64
Paso 3: Definir Una Variable Aleatoria.
R=
X = numero de caras
Paso 4: Construir El Espectro De La Variable Aleatoria.
R= Sx = { 0,1,2,3,4,5,6 }
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Paso 5: Construir El Modelo O Distribución De Probabilidad Del Experimento.
R= Modelo binomial por que tiene dos resultados ya sea fracaso o éxito.
P = posible éxito. 1/2
q = probable fracaso. 1-P = 1-1/2 = 1/2
N= 6
FORMULA:
P(x) =
N!
X! (N-X) !
(PX) (q n-x)
SOLUCION:
(A)
P (0) =
P (0) =
P (0) =
P (0) =
6!
0! (6-0) !
[(1/2)0] [(1/2) 6-0]
720
1 (6) !
(1/1) [(1/2) 6]
720
1 (720)
(1/1) [(1/64)]
720
720
(1/1) [(1/64)]
P (0) = (1) (1/1) (1/64)
P (0) = 1/64
12 de 110
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(B)
P (1) =
P (1) =
P (1) =
P (1) =
6!
1! (6-1) !
720
1 (5)!
[(1/2)1] [(1/2) 6-1]
(1/2) [(1/2) 5]
720
1 (120)
(1/2) (1/32)
720
120
(1/2) (1/32)
P (1) = (6) (1/2) (1/32)
P (1) = 6/64
(C)
P (2) =
P (2) =
P (2) =
P (2) =
6!
2! (6-2) !
[(1/2)2] [(1/2) 6-2]
720
2 (4) !
(1/4) [(1/2) 4]
720
2 (24)
(1/4) [(1/2) 4]
720
48
(1/4) (1/16)
P (2) = (15) (1/4) (1/16)
P (2) = 15/64
13 de 110
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(D)
P (3) =
P (3) =
P (3) =
P (3) =
6!
3! (6-3) !
720
6 (4) !
(1/8) [(1/2) 3]
720
(6) (6)
720
36
[(1/2)3] [(1/2) 6-3]
(1/8) (1/8)
(1/8) (1/8)
P (3) = (20) (1/8) (1/8)
P (3) = 20/64
(E)
P (4) =
P (4) =
P (4) =
P (4) =
6!
4! (6-4) !
720
24 (2) !
720
(24) (2)
720
48
[(1/2)4] [(1/2) 6-4]
(1/16) [(1/2) 2]
(1/16) (1/4)
(1/16) (1/4)
P (4) = (15) (1/16) (1/4)
P (4) = 15/64
14 de 110
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(F)
P (5) =
P (5) =
P (5) =
P (5) =
6!
5! (6-5) !
[(1/2)5] [(1/2) 6-5]
720
120 (1) !
(1/32) [(1/2) 1]
720
(120) (1)
720
120
(1/32) (1/2)
(1/32) (1/2)
P (5) = (6) (1/32) (1/2)
P (5) = 6/64
(G)
P (6) =
P (6) =
P (6) =
P (6) =
6!
6! (6-6) !
[(1/2)6] [(1/2) 6-6]
720
720 (0) !
(1/64) [(1/2) 0]
720
(120) (1)
720
720
(1/64) (1/1)
(1/64) (1/1)
P (6) = (1) (1/64) (1/1)
P (6) = 1/64
TABLA DEL EJERCICIO:
Caras X
0
1
2
3
4
5
6
P(x)
1/64
6/64
15/64
20/64
15/64
6/64
1/64
15 de 110
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2. Hallar la probabilidad de (a) 2 o más caras (b) menos de 4 caras en un lanzamiento
de 6 monedas.
(A) Hallar la probabilidad de 2 o mas caras:
R= 15/16 + 20/64 + 15/64 + 6/64 + 1/64 =
57/64
(B) Menos de 4 caras:
R= 20/64 + 15/64 + 6/64 + 1/64 = 42 ÷ 2 =
64 ÷ 2
21
32
3. Si X denota el numero de caras en un solo lanzamiento de 4 monedas, hallar (a) p{X
= 3}, (b) p{X‹ 2}, (c) p{X ‹ 2}, (d) p{ 1 ‹ X ‹ 3}.
Paso 1: Describir El Experimento Aleatorio.
R= lanzar 4 monedas
Paso 2: Construir El Espacio Muestral.
R= S = (c,c,c,c,) (a,a,a,a) (c,c,a,a,) (c,c,c,a) (a,a,a,c) (c,a,a,a)
NOTA: Como son muchos resultados mejor usamos la formula que es:
R= nORr = nr
nORr = 24
nORr = 16
16 de 110
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Estadística II
Paso 3: Definir Una Variable Aleatoria.
R=
X = numero de caras
Paso 4: Construir El Espectro De La Variable Aleatoria.
R= Sx = { 0,1,2,3,4 } Caras
Paso 5: Construir El Modelo O Distribución De Probabilidad Del Experimento.
R= Modelo binomial por que tiene dos resultados ya sea fracaso o éxito.
P = Éxito (1/2)
q = fracaso (1/2)
N = Cuantas monedas “4”
P(x) =
FORMULA:
N!
X! (N-X) !
(PX) (q n-x)
SOLUCION:
(A)
P (3) =
P (3) =
P (3) =
P (3) =
4!
3! (4-3) !
24
6 (1) !
24
(6) (1)
24
6
[(1/2)3] [(1/2) 4-3]
(1/8) [(1/2) 1]
(1/8) (1/2)
(1/8) (1/2)
P (3) = (4) (1/8) (1/2)
P (3) = 4/16 ÷ 4 = ¼
17 de 110
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Estadística II
(B) 1.-
P (0) =
P (0) =
P (0) =
P (0) =
4!
0! (4-0) !
[(1/2)0] [(1/2) 4-0]
24
1 (4) !
(1/1) [(1/2) 4]
24
1 (24)
24
24
(1/1) [(1/16) ]
(1/1) [(1/16) ]
P (0) = (1) (1) (1/16)
P (0) = 1/16
2. - P (1) =
4!
1! (4-1) !
P (1) =
[(1/2)1] [(1/2) 4-1]
24
1 (3) !
P (1) = 24
1 (6)
P (1) = 24
6
(1/2) [(1/2) 3]
(1/2) (1/8)
(1/2) (1/8)
P (1) = (4) (1/2) (1/8)
P (1) = 4/16
18 de 110
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Estadística II
(C)
3. - P (2) =
P (2) =
P (2) =
4!
2! (4-2) !
[(1/2)2] [(1/2) 4-2]
24
2 (2) !
(1/4) [(1/2) 2]
24
2 (2)
(1/4) (1/4)
P (2) = 24
4
(1/4) (1/4)
P (2) = (4) (1/2) (1/8)
P (2) = 4/16
TABLA DEL EJERCICIO:
Caras X
0
1
2
3
4
P(x)
1/16
4/16
6/16
1/4
5/8
19 de 110
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Estadística II
4. De un total de 800 familias con 5 hijos cada una, cuantas cabe esperar que tengan
(a) 3 niños (b) 5 niñas (c) 2 o 3 niños. Suponer iguales la probabilidad de niño o Nina
Paso 1: Describir El Experimento Aleatorio.
R= Que nazcan 5 criaturas
Paso 2: Construir El Espacio Muestral.
R= nORr = nr
nORr = 25
nORr = 32
Paso 3: Definir Una Variable Aleatoria.
R=
X = numero de niños que nazcan
Paso 4: Construir El Espectro De La Variable Aleatoria.
R= Sx = { 0,1,2,3,4,5 } niños
P = Éxito (1/2/)
q = fracaso (1/2)
N = 5 niños requeridos
20 de 110
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Estadística II
P(x) =
FORMULA:
N!
X! (N-X) !
(PX) (q n-x)
SOLUCION:
P (0) =
P (0) =
P (0) =
P (0) =
5!
0! (5-0) !
[(1/2)0] [(1/2) 5-0]
120
1 (5) !
(1/1) [(1/2) 5]
120
1 (120)
(1/1) [(1/32)]
120
120
(1/1) [(1/32)]
P (0) = (1) (1/1) (1/32)
P (0) = 1/32 = 0.03125 x 800 = 25
P (1) =
P (1) =
P (1) =
P (1) =
5!
1! (5-1) !
120
1 (4) !
120
1 (24)
120
24
[(1/2)1] [(1/2) 5-1]
(1/2) [(1/2) 4]
(1/2) (1/16)
(1/2) (1/16)
P (1) = (5) (1/2) (1/16)
P (1) = 5/32 = 0.15625 x 800 = 125
21 de 110
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Estadística II
P (2) =
P (2) =
P (2) =
P (2) =
5!
2! (5-2) !
120
2 (3) !
120
2 (6)
120
12
[(1/2)2] [(1/2) 5-2]
(1/4) [(1/2) 3]
(1/4) [(1/8)]
(1/4) (1/8)
P (2) = (10) (1/4) (1/8)
P (2) = 10/32 = 0.3125 x 800 = 250
(A)
P (3) =
P (3) =
P (3) =
P (3) =
5!
3! (5-3) !
120
6 (2) !
(1/8) [(1/2) 2]
120
(6) (2)
120
12
[(1/2)3] [(1/2) 5-3]
(1/8) (1/4)
(1/8) (1/4)
P (3) = (20) (1/8) (1/8)
P (3) = 10/32 = 0.3125 x 800 = 25
P (4) =
P (4) =
5!
4! (5-4) !
120
24 (1) !
[(1/2)4] [(1/2) 5-4]
(1/16) [(1/2) 1]
22 de 110
José Rafael Aguilera Aguilera
F.C.C.A. - U.M.S.N.H.
Estadística II
P (4) =
P (4) =
120
(24) (1)
120
24
(1/16) (1/2)
(1/16) (1/2)
P (4) = (5) (1/16) (1/2)
P (4) = 5/32 = 0.15625 X 800 = 125
(B)
P (5) =
P (5) =
P (5) =
P (5) =
5!
5! (5-5) !
[(1/2)5] [(1/2) 5-5]
120
120 (0) !
(1/32) [(1/2) 0]
120
(120) (1)
120
120
(1/32) (1/1)
(1/32) (1/1)
P (5) = (1) (1/32) (1/1)
P (5) = 1/32 = 0.03125 x 800 = 25
TABLA DEL EJERCICIO:
Caras X
0
1
2
3
4
5
P(x)
1/32
5/32
10/32
10/32
5/32
1/32
23 de 110
José Rafael Aguilera Aguilera
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Estadística II
5. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 9 una vez en 3 lanzamientos de un por de
dados?
Paso 1: Describir El Experimento Aleatorio.
R= Lanzar un par de dados 3 veces
Paso 2: Construir El Espacio Muestral.
R= nORr = nr
nORr = 113
nORr = 1331
Paso 3: Definir Una Variable Aleatoria.
R=
X = numero de caras
Paso 4: Construir El Espectro De La Variable Aleatoria.
R= Sx = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9, }
Paso 5: Construir El Modelo O Distribución De Probabilidad Del Experimento.
P = Éxito (1/2/)
q = fracaso (1/2)
N = 5 niños requeridos
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Estadística II
P(x) =
FORMULA:
N!
X! (N-X) !
(PX) (q n-x)
SOLUCION:
P (9) =
P (9) =
P (9) =
9!
9! (9-9) !
[(1/2)9] [(1/2) 9-9]
362880
362880 (0) !
(1/1) [(1/2) 0]
362880
362880 (1)
(1/512) (1)
P (9) = 362880
362880
(1/512) (1)
P (9) = (1) (1/512) (1)
P (9) = 1/512
6. Hallar la probabilidad de contestar correctamente al menos 6 de las 10 preguntas de
un examen falso-verdadero.
Paso 1: Describir El Experimento Aleatorio.
R= Contestar correctamente 6 preguntas
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Estadística II
Paso 2: Construir El Espacio Muestral.
R= nORr = nr
nORr = 210
nORr = 1024
Paso 3: Definir Una Variable Aleatoria.
R=
X = numero de caras
Paso 4: Construir El Espectro De La Variable Aleatoria.
R= Sx = { 6,7,8,9,10 } Contestar 6 respuestas por lo menos
Paso 5: Construir El Modelo O Distribución De Probabilidad Del Experimento.
R= Modelo binomial por que tiene dos resultados ya sea verdadero y falso.
P = Éxito (1/2)
q = fracaso (1/2)
N = Cuantas monedas “10”
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Estadística II
FORMULA:
P (6) =
P(x) =
N!
X! (N-X) !
10!
6! (10-6) !
(PX) (q n-x)
[(1/2)6] [(1/2) 10-6]
P (6) = 3628800
720 (4) !
(1/64) [(1/2) 4]
P (6) = 3628800
(720) (24)
(1/64) (1/16)
P (6) = 3628800
17280
(1/64) (1/16)
P (6) = (210) (1/64) (1/16)
P (6) = 210/1024 = 105/512
P (7) =
10!
7! (10-7) !
P (7) = 3628800
5040 (3) !
[(1/2)7] [(1/2) 10-7]
(1/128) [(1/2) 3]
P (7) = 3628800
(5040) (6)
(1/128) (1/8)
P (7) = 3628800
30240
(1/128) (1/8)
P (7) = (120) (1/128) (1/8)
P (7) = 120/1024 = 15/128
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Estadística II
P (8) =
10!
8! (10-8) !
[(1/2)8] [(1/2) 10-8]
P (8) = 3628800
40320 (2) !
(1/256) [(1/2) 2]
P (8) = 3628800
(40320) (2)
(1/256) (1/4)
P (8) = 3628800
80640
(1/256) (1/4)
P (8) = (45) (1/256) (1/4)
P (8) = 45/1024
P (9) =
10!
9! (10-9) !
[(1/2)9] [(1/2) 10-9]
P (9) = 3628800
362880 (2) !
(1/256) [(1/2) 1]
P (9) = 3628800
(362880) (2)
(1/256) (1/2)
P (9) = 3628800
725760
(1/256) (1/2)
P (9) = (5) (1/256) (1/2)
P (9) = 5/512
28 de 110
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Estadística II
P (10) = 10!
10! (10-9) !
[(1/2)10] [(1/2) 10-10]
P (10) = 3628800
3628800 (1) !
(1/1024) [(1/1) 0]
P (10) = 3628800
(362880) (1)
(1/1024) (1/1)
P (10) = 3628800
3628800 (1/1024) (1/1)
P (10) = (1) (1/1024) (1/1)
P (10) = 1/1024
Caras X
6
7
8
9
10
P(x)
105/512
15/128
45/1024
5/512
1/1024
Muestra de Dos Elementos con Reemplazo:
6
4
2
3
PARAMETRO
UNIVERSO
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= 193/512
Estadística II
Paso 1: Describir El Experimento Aleatorio.
R= Sacar muestras de 2 elementos con reemplazo.
Paso 2: Construir El Espacio Muestral.
R= S =
2,2
2,3
2,4
2,6
3,2
3,3
3,4
3,6
4,2
4,3
4,4
4,6
6,2
6,3
6,4
6,6
(estadístico)
= 16
NOTA: Como son muchos resultados mejor usamos la formula que es:
R= nORr = nr
nORr = 42
nORr = 16
Paso 3: Definir Una Variable Aleatoria.
R=
X = La media de cada muestra
Paso 4: Construir El Espectro De La Variable Aleatoria.
R= Sx = { 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5, 5, 6 }
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Estadística II
Paso 5: Construir El Modelo O Distribución De Probabilidad Del Experimento.
X
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
6
SUMA
Px(x)
1/16
2/16
3/16
2/16
3/16
2/16
2/16
1/16
16/16 = 1
Paso 6: Calcular la media de la distribución muestral de media.
2 (1/16) + 2.5 (2/16) + 3 (3/16) + 3.5 (2/16) + 4 (3/16) + 4.5 (2/16) + 5 (2/16) + 6
(1/16) =
2/16 + 5/16 + 9/16 + 7/16 + 12/16 + 9/16 + 10/16 + 6/16 = 60/16 = 3.75
Comprobación:
6 + 4 + 2 + 3 = 15/4 = 3.75
Distribución Muestral de Medias:
Media: Mx = M
Con Reemplazo:
Q
D. Estándar: Qx =
N
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Estadística II
Formula De La Desviación Estándar:
n
2
∑ (X – μ)
i=1
n
X
μ
X- μ
(X- μ)
2
3.75
- 1.75
3.0625
3
3.75
0.75
0.5625
4
3.75
0.25
0.0625
6
3.75
2.25
5.0625
8.75
4
μ= 3.75
Q = 1.4790
=
2.1875
Q = 1.4790
Q
Qx =
1.4790
Qx =
N
2
1.4790
Qx =
Qx =
1.04581
1.414213
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Estadística II
X
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
6
μ
3.75
3.75
3.75
3.75
3.75
3.75
3.75
3.75
2
X- μ
-1.75
-1.25
-0.75
-0.75
0.25
0.75
1.25
2.25
(X- μ)
3.0625
1.5625
0.5625
0.0625
0.0625
0.5625
1.5625
5.0625
Px(X)
1/16
2/16
3/16
2/16
3/16
2/16
2/16
1/16
2
(Px(x))((x- μ) )
0.191406…
0.1953…
0.1054…
0.0078…
0.0116…
0.0703…
0.1953…
0.3169…
2
Q = 1.0939
Q = 1.0939
Q = 1.0458
2.2.- Distribución Normal.
CONTINUAS
SIMETRICAMENTE
VALOR MAS COMUN-MEDIA
SON NORMALES
DISTRIBUCIÓN
NORMAL.
NO SON NORMALES
PERO SE COMPORTAN
DE MANERANORMAL
.
1
e -1/2 (x – μ) 2/
Y=
σ
σ2
2π
μ = Media
σ = Desviación estándar o desviación típica
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Estadística II
TRANSFORMAR
μ=0
σ=1
Z
X
Por lo tanto la formula para resolver problemas de distribución normal es:
X- μ
Z=
σ
Uno de los mas importantes ejemplos de una distribución de probabilidad continua es la
distribución normal, curva normal o distribución de gauss dada por la ecuación.
1
e
Y =
2
2/σ
-1/2 (X – M )
σ 2π
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Estadística II
Algunas propiedades de la distribución normal se indican en la siguiente tabla:
Media
μ
Varianza
σ2
Desviación Típica
σ
Coeficiente de sesgo
α3
Coeficiente de curtosis
α4
= 0
=
3
Desviación Media
σ
2 / π = 0.7979 σ
EJEMPLOS:
1. En un examen de estadística la media fue 7.8 y la desviación típica 10 (a)
Determinar las referencias tipificadas de dos estudiantes cuyas puntuaciones fueron
93 y 62, respectivamente, (b) Determinar las puntuaciones de dos estudiantes cuyas
referencias tipificadas fueron -0.6 y 1.2 respectivamente.
X=μ+Zσ
x 2= 62 μ = 78 x1= 93
σ = 10
FORMULAS:
z2= -1.6 μ = 0 z1= 1.5
- 0.6 σ = 1
x- μ
Z=
σ
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Estadística II
X= μ + Zσ
PROCEDIMIENTO:
Z= 93 – 78
10
(A)
Z=
(B)
15
10
Z = 1.5
X1 = μ + Z σ
X1 = 78 + (-0.6) (10)
X1 = 78 - 6
X1 = 72
(X1)
Z=
62 – 78
10
Z=
-16
10
Z=
-1.6
X2 = μ + Z σ
X2 = 78 + (1.2) (10)
X2 = 78 - 12
X2 = 92
(X2)
2. Hallar (a) la media y (b) la desviación típica de un examen en e que as puntuaciones
de 70 y 88 tienen una referencias tipificadas de -0.6 y 1.4 respectivamente.
DATOS:
FORMULA:
X1 = 70
Z1 = -0.6
X2 = 88
Z2 = 1.4
μ=X - Zσ
SUSTITUCIÓN:
μ = X1 - Z1σ
μ = 70 – (-0.6) σ
μ = 70 + 0.6 σ
μ = X2 - Z2σ
μ = 88 – 1.4 σ
=
70 + 0.6 σ = 88 – 1.4 σ
0.6 σ + 1.4 σ = 88 - 70
2 σ = 18
σ = 18/2
σ =9
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Estadística II
μ = X1 - Z1σ
μ = 70 + 0.6 (9)
μ = 70 + 5.4
μ = 75.4
μ = X2 - Z2σ
μ = 88 – 1.4 (9)
μ = 88 – 12.6
μ = 75.4
3. Hallar el área bajo la curva normal entre (a) z = -1.20 y z = 2.40, (b) z = 1.23 y z =
1.87, (c) z = -2.35 y z -0.50.
RESULTADOS:
(A)
μ
Z1 = - 1.20
Z2 = 2.40
x
Tabla = 0.3849
Tabla = 0.4918
R = 0.8767
z1 = -1.20
Z= 0
z2 = 2.40
NOTA: Los porcentajes se sacan de la tabla de áreas bajo la curva normal tipificada de 0 a Z.
(B)
μ
Z= 0
z1 = z2 =
1. 23 1. 87
Z1 = 1.23
Z2 = 1.87
Tabla = 0.3907
Tabla = 0.4693
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Estadística II
R = 0.0786
(C)
μ
z1 = z2 =
Z= 0
-2. 35 - 0.50
Z1 = - 2.35
Z2 = - 0.50
Tabla = 0.4906
Tabla = 0.1915
R = 0.2991
4. Hallar el área bajo la curva normal (a) a la izquierda de z = -1.78 (b) a la izquierda
de z = 0.56 (c) a la derecha de z = -1.45 (d) correspondiente a z > 2.16, (e)
correspondiente a – 0.80 < z < 1.53, (f) a la izquierda de z = -2.52 y a la derecha de
z = 1.83.
RESULTADOS:
(A)
50%
μ
Z1 = - 1.78
z1 = -1.78
Tabla = 0.4625
50%
Z= 0
0.5000
0.4625
0.0375
NOTA: Los porcentajes se sacan de la tabla de áreas bajo la curva normal tipificada de 0 a Z.
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Estadística II
(B)
50%
μ
Z1 = 0.56
Z= 0
Tabla = 0.2123
50%
μ
z1 = -1. 45
Tabla = 0.4265
z1 = 0. 56
0.5000
0.2123
0.7123
(C)
Z1 = -1.45
50%
0.5000
+ 0.4265
0.9265
39 de 110
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50%
Z= 0
Estadística II
(D)
50%
μ
Z1 = 2.16
Z= 0
Tabla = 0.4846
50%
μ
z1 = -
Tabla = 0.2881
Tabla = 0.4370
z1 = 2.16
0.5000
0.4846
0.0154
(E)
Z1 = - 0.8
Z1 = 1.53
50%
0.2881
+ 0.4370
0.7251
40 de 110
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0. 8
50%
Z= 0
z2 = 1. 53
Estadística II
(E)
50%
μ
Z1 = - 2.52
Z2 = 1.83
z1 = -
Tabla = 0.4941
Tabla = 0.4664
0.5000
- 0.4941
0.0059
2. 52
50%
Z= 0
z2 = 1. 83
0.5000
- 0.4664
0.0336
R = 0.0059 + 0.0336 = 0.0395
5. Si la altura de 300 estudiantes se distribuyen normalmente con media 68.0 pulgadas
y desviación típica 3.0 pulgadas, cuantos estudiantes tienen alturas (a) mayor de 72
pulgadas, (b) menor o igual a 64 pulgadas, (c) entre 65 y 71 pulgadas inclusive, (d)
igual a 68 pulgadas. Supóngase las medidas, registradas con aproximación de
pulgada.
1 pulgada = 2.54cm x 1.30 pulg. = 3.302 cm. = 3.30 mts.
Paso 1: Describir El Experimento Aleatorio.
R= Seleccionar uno de los 300 estudiantes aleatoriamente y medirlo.
Paso 2: Construir El Espacio Muestral.
R= S = {e / 0 < e < 130}
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Estadística II
Paso 3: Definir Una Variable Aleatoria.
R=
X= estatura de los estudiantes
Paso 4: Construir El Espectro De La Variable Aleatoria.
R= Sx = {X / 0 < X < 130}
La estatura de cualquier estudiante que mida de 0 a 130.
Paso 5: Construir El Modelo O Distribución De Probabilidad Del Experimento.
R= Calcular la probabilidad de interés.
(A) Mayor de 72 pulgadas.
50%
μ=68. 0
σ= 3.0
FORMULA:
50%
μ = 0 z = 1. 5
72. 5
X- μ
Z=
σ
42 de 110
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Estadística II
SUSTITUCION:
Z = 72.5 – 68.0
3.0
Z=
Z = 1.5
Tabla = 0.4332
Z = 0.5000
- 0.4332
0.0668
x 300
20.04 = 20
4.5
3.0
Z = 1.5
(B) Menor o igual a 64.
64.5
FORMULA:
μ=68. 0
σ= 3.0
50%
50%
z = -1. 17
μ=0
X- μ
Z=
σ
SUSTITUCION:
Z = 64.5 – 68.0
3.0
Z=
3.5
3.0
Z = -1.17
Z = -1.17
Tabla = 0.3790
Z = 0.5000
- 0.3790
0.121
x 300
36.3 = 36
43 de 110
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Estadística II
(C) Entre 65 y 71 pulgadas inclusive.
50%
64.5
FORMULA:
μ=68. 0
σ= 3.0
50%
z = -1. 17 μ = 0
71. .5
X = 68
X- μ
Z=
σ
SUSTITUCION:
Z = 64.5 – 68.0
3.0
Z=
3.5
3.0
Z = -1.17
Z = 68 – 71.5
3.0
Z = - 3.5
3.0
Z = - 1.17
1.17
0.3790
1.17
0.3790
0.7580
P (65 < X < 71) = 0.7580 = 75%
N. de estudiantes = 300 (0.7580)
= 227 %
44 de 110
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Estadística II
(D) Igual a 68 pulgadas.
67.5
FORMULA:
μ=68. 0
σ= 3.0
μ=0
68. 5
X = 68
X- μ
Z=
σ
SUSTITUCION:
Z = 67.5 – 68.0
3.0
Z = - 0.5
3.0
Z = -1.17
Z = 68 – 68
3.0
Z = 0.5
3.0
Z = 0.17
0.17
0.0675
0.17
0.0675
0.1350
P (x = 68) = 0.1350 = 13.5
N. de estudiantes = 300 (0.1350)
= 40.5
45 de 110
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Estadística II
6. Si los diámetros de cojinetes de bolas se distribuyen normalmente con media 0.6140
pulgadas y desviación típica 0.0025 pulgadas, determinar el porcentaje de cojinetes
de bolas con diámetros (a) entre 0.610 y 0.618 pulgadas inclusive (b) mayor de 0.617
pulgadas, (c) menor de 0.608 pulgadas, (d) igual a 0.615 pulgadas.
(A) Entre 0.610 y 0.018.
0. 6095
FORMULA:
μ=68. 0
σ= 3.0
μ=0
0. 6185
X- μ
Z=
σ
SUSTITUCION:
Z1 = 0.6095 – 0.6140
0.0025
Z1 = - 0.0045
0.0025
Z2 = 0.6185 – 0.6140
0.0025
Z2 = 0.0045
0.0045
Z2 = 1.8
Z1 = -1.8
0.17
0.4641
0.17
0.4641
0.9282
92.82% = 93%
46 de 110
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Estadística II
(B)
Mayor de 0.617.
0.6175
μ= 0. 6140
σ= 3.0
FORMULA:
μ=0
X = 1.4
X- μ
Z=
σ
SUSTITUCION:
Z = 0.6175 – 0.6140
0.0025
Z = 0.0035
0.0025
- 0.5000
0.4192
0.0808 x 100 = 8.08 = 8.1
Z = 1.4
47 de 110
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Estadística II
(C) Menor de 0.608 pulg.
0.608 = 0.6075
50%
μ= 0. 6140
σ= 0.0025
FORMULA:
z = -2.6
X = 1.4
X- μ
Z=
σ
SUSTITUCION:
Z = 0.6075 – 0.6140
0.0025
Z = -0.0065
0.0025
μ=0
- 0.5000
0.4953
0.0047 x 100 = 0.47%
Z = -2.6 = 0.4953
48 de 110
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Estadística II
(D) Igual a 0.615 pulg.
x1 = 0.6145 x2 = 0.6155
μ= 0. 6140
σ= 0.0025
FORMULA:
z2 = -0.6
50%
μ = 0 z1= -0.2
X- μ
Z=
σ
SUSTITUCION:
Z1 = 0.6140 – 0.6140
0.0025
Z2 = 0.6140 – 0.6155
0.0025
Z1 = -0.0005
0.0025
Z2 = -0.0015
0.0025
Z1 = -0.2 = 0.0793
Z2 = -0.6 = 0.2258
49 de 110
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0.0793
+ 0.2258
0.3051
Estadística II
7. La puntuación media en un examen fue 72 y la desviación típica 9. El 10% superior
de los alumnos reciben la calificación A. ¿Cuál es la puntuación mínima que un
estudiante debe tener para recibir una A?
DE ATRÁS HACIA DELANTE:
DATOS:
FORMULA:
M= 72
Q= 9
Z1= 1.28 Tabla
%= ?
X = Z1 Q + M
SUSTITUCION:
0.3997
X = 1.28 (9) + 72
X = 11.52 + 72
X = 83.52
X = 84
10%
AHORA DE ADELANTE HACIA ATRÁS:
μ= 72
FORMULA:
μ=0 z =
X= 84
X- μ
Z=
σ
SUSTITUCION:
Z=
83.52 – 72
9
0.5000
0.3997
Z=
11.52
9
0.1003 x 100 = 10%
Z = 1.28 = 0.3997
50 de 110
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1.28
Estadística II
2.3.- Muestreo Aleatorio Simple.
Teoría De Muestreo
La teoría de muestreo es un estudio de las relaciones existentes entre una
población y muestras extraídas de la misma. Tiene gran interés en muchos
aspectos de la estadística. Por ejemplo, permite estimar cantidades
desconocidas de la población (tales como la media poblacional, la
varianza, etc.), frecuentemente llamadas parámetros poblacionales o
brevemente parámetros, a partir del conocimiento de las correspondientes
cantidades muéstrales (tales como la media muestral, la varianza, etc.), a
menudo llamadas estadísticos muéstrales o brevemente estadísticos.
La teoría de muestreo es también útil para determinar si las diferencias
que se puedan observar entre dos muestras son debidas a la aleatoriedad
de las mismas o si por el contrario son realmente significativas. Tales
preguntas surgen, por ejemplo, al ensayar un nuevo suero para el
tratamiento de una enfermedad, o al decidir si un proceso de producción
es mejor que otro. Estas decisiones envuelven a los llamados ensayos e
hipótesis de significación, que tienen gran importancia en teoría de la
decisión.
51 de 110
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Estadística II
En general, un estudio de inferencias, realizado sobre una población
mediante muestras extraídas de la misma, junto con las indicaciones sobre
la exactitud de tales inferencias aplicadas a la teoría de la misma, junto
con las indicaciones sobre la exactitud de tales inferencias aplicadas a la
teoría de la probabilidad, se conoce como inferencia estadística.
Muestras Al Azar. (Números Aleatorios)
Para que las conclusiones de la teoría del muestreo e inferencia
estadística sean validas, las muestras deben elegirse de forma que sean
representativas de la población. Un estudio sobre métodos de muestreo y
los problemas que tales métodos implican, se conoce como diseños de
experimentos.
El proceso mediante el cual se extrae de una población una muestra
representativa de la misma se conoce como muestreo al azar, deacuerdo
con ello cada miembro de la población tiene la misma posibilidad de ser
incluido en la muestra. Una técnica para obtener una muestra al azar es
asignar números a cada miembro de la población, escritos estos números
en pequeños papeles, se introducen en una urna y después se extraen
números de la urna, teniendo cuidado de de mezclarlos bien antes de cada
extracción. Esto puede ser sustituido por el empleo de una tabla de
números aleatorios.
52 de 110
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Estadística II
Muestreo Con Y Sin Remplazamiento
Si se extrae un numero de una urna, se puede volver o no el numero a la
urna antes de realizar una segunda extracción. En el primer caso, un
mismo número puede salir varias veces, mientras que en el segundo un
número determinado solamente puede salir una vez. El muestreo, en el
que cada miembro de la población puede elegirse más de una vez, se
llama muestreo con remplazamiento, mientras que si cada miembro no
puede ser elegido más de una vez se tiene el muestreo sin
remplazamiento.
Las poblaciones pueden ser finitas o infinitas. Si, por ejemplo, se extraen
sucesivamente 10 bolas sin remplazamiento de una urna que contiene
100, se esta tomando una muestra de una población finita, mientras que si
se lanza al aire una moneda 50 veces, anotándose el numero de caras, se
esta muestreando en una población infinita.
Una población finita, en la que se realiza un muestreo con remplazamiento,
puede teóricamente ser considerada como infinita, puesto que puede
extraerse cualquier número de muestras sin agotar la población. E muchos
casos prácticos, el muestreo de una población finita que es muy grande,
pueden considerarse como muestreo de una población infinita.
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Estadística II
2.4.- Distribuciones Muéstrales
Considerándose todas las posibles muestras de tamaño N que pueden
extraerse de una población dada (con o sin remplazamiento). Para cada
muestra se puede calcular un estadístico, tal como la media, la desviación
típica, etc., que variara de una muestra a otra. De esta forma se obtiene
una distribución del estadístico que se conoce como distribución muestral.
Si, por ejemplo, el estadístico de que se trata es la media muestral, la
distribución se conoce como distribución muestral de medias o distribución
muestral de la meda. Análogamente se obtendría las distribuciones
muéstrales de las desviaciones típicas, etc. Así, pues, se puede hablar de
la media y desviación típica de la distribución muestral de medias, etc.
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Estadística II
2.4.1.- Distribución Muestral de Medias.
Supóngase que son extraídas de una población finita todas las
posibles muestras sin remplazamiento de tamaño N, siendo el
tamaño de la población Np > N. Si se denota la media y la
desviación típica de la distribución muestral de medias por μx y
σx y la media y la desviación típica de la población por µ y σ,
respectivamente se tiene:
Σ
Μ x = μ
Np - N
σx =
y
N
Si
la
población
es
infinita
Np - 1
o
si
el
muestreo
es
remplazamiento, los resultados anteriores se convierten en:
σ
Μx = μ
y
σx =
N
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con
Estadística II
Para valores grandes de N(N > 30) la distribución muestral de medias se
aproxima a una distribución normal con media Μx y desviación típica σx
independientemente de la población de que se trate (siempre que la media
y la varianza poblacional sean finitas y el tamaño de la población sea la
menos dos veces el tamaño de la muestra ). Este resultado en una
población infinita es un caso especial del teorema central del límite de
teoría de probabilidad superior, que demuestra que la aproximación es
tanto mejor conforme N se hace mayor. Esto se indica diciendo que la
distribución muestral es sintéticamente normal. En caso de que la
distribución se distribuya normalmente, la distribución muestral de medias
se distribuye también normalmente, incluso para pequeños valores de N
(es decir, N < 30).
2.4.2.- Distribución Muestral de Proporciones
Supóngase una población infinita y que la probabilidad de ocurrencia de un
suceso (conocido como su éxito) es p, mientras que la probabilidad de no
ocurrencia del suceso es q = 1 – p. Por ejemplo, la población pueden ser
todos los posibles lanzamientos de una moneda, en la que la probabilidad
del suceso (cara) es p = ½.
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Estadística II
Se consideran todas las posibles muestras de tamaño N extraídas de esta
población y para cada muestra se determina la proporción p de éxito. En
el caso de la moneda, P seria la proporción de caras aparecidas en los N
lanzamientos.
Entonces
se
obtiene
una
distribución
muestral
de
proporciones cuya media µp y desviación t6ipica σp vienen dadas por:
Μ x = μ
σx =
y
Pq
N
=
p(1 – p)
N
Que pueden obtenerse de (2) sustituyendo μ por q y σ por
pq.
Para grandes valores de N (es decir, N < 30) la distribución muestral se
aproxima mucho a una distribución normal. Nótese que la población se
distribuye binominalmente.
Las ecuaciones (3) son igualmente validas para una población finita en la
que el muestreo se hace con remplazamiento.
Para poblaciones finitas y muestreo sin remplazamiento, las ecuaciones
(3) pasan a ser como las ecuaciones (1) con μ = p y σ =
pq.
Adviértase que las ecuaciones (3) se obtienen mas fácilmente dividiendo la
media y la desviación típica (Np y Npq) de la distribución binominal por N.
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Estadística II
2.4.3.- Distribución Muestral de Diferencias y Sumas.
Supónganse que se tienen dos poblaciones. Para cada muestra de
tamaño N1, extraída de la primera población se calcula un estudio S1. Esto
proporciona una distribución muestral del estadístico S1 cuya medida y
desviación típica vienen dadas por μs1 y σs1, respectivamente.
Análogamente, para cada muestra de tamaño N2, extraída de la segunda
población, se calcula un estadístico S2. Esto igualmente proporciona una
distribución muestral del estadístico S2, cuya media y desviación típica
vienen dadas por μs2 y σs2. De todas las posibles combinaciones de estas
muestras de las dos poblaciones se puede obtener una distribución de las
diferencias, S1 – S2 que se conoce como distribución muestral de
diferencias de los estadísticos. La medida y la varianza de esta distribución
muestral se denotan, respectivamente, por μs1- S2 y σs1 – S2 y son
dadas por
μs1 – S2 = μs1 – μs2
y σs1 – S2 =
σ2S1 + σ2s2
(4)
Con tal de que las muestras no dependan de ninguna forma una de otra,
es decir, las muestras sean independientes.
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Estadística II
Si S1 y S2 son las medidas muéstrales de las dos poblaciones, las cuales
vienen dadas por X1 y X2, entonces la distribución muestral de la
diferencias de medias para poblaciones infinitas con medidas y
desviaciones típicas μ1, σ1 y μ2, σ2, respectivamente, tienen por media y
desviación típica.
μx1-x2 = μx1 – μx2 = μ1 – μ2 y σx1- σx2 =
σ2x1 + σ2x2 = σ2+ σ2
1
2
N1 N2
(5)
Usando las ecuaciones (2). El resultado se mantiene valido para
poblaciones finitas si el muestreo es con remplazamiento.
Resultados similares pueden obtenerse para poblaciones finitas en las que
el muestreo se realiza sin remplazamiento partiendo de las ecuaciones (1).
Resultados correspondientes pueden deducirse para las distribuciones
muéstrales de diferencias de proporción de dos poblaciones distribuidas
binominalmente con parámetros p1, q1 y p2, q2, respectivamente. En este
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Estadística II
caso S1 y S2 corresponden a las proporciones de éxito, P1 y P2, y las
ecuaciones (4) dan los resultados.
μp1 – p2 = μp1 – μp2 = p1 – p2 y σp1-p2 = σ2p1 + σ2p2 = p1q1 p2q2
N1
N2
(6)
Si N1 y N2 son grandes (N1, N2 = 30), las distribuciones muéstrales de
diferencia de medias o proporciones se distribuyen muy aproximadamente
como un normal.
A veces, es útil hablar de la distribución muestral de la suma de
estadísticos. La media y la desviación típica de esta distribución viene
dada por
μs1+s2 = μs1 + μs2 y σs1+s2 =
σ2s1 + σ2s2
Suponiendo que las muestras son independientes.
60 de 110
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(7)
Estadística II
2.5.- Otros Ejercicios.
1) Muestra De Dos Elementos Con Reemplazo:
6
4
2
3
PARAMETRO
UNIVERSO
Paso 1: Describir El Experimento Aleatorio.
R= Sacar muestras de 2 elementos con reemplazo.
Paso 2: Construir El Espacio Muestral.
R= S =
2,2
2,3
2,4
2,6
3,2
3,3
3,4
3,6
4,2
4,3
4,4
4,6
6,2
6,3
6,4
6,6
(estadístico)
= 16
NOTA: Como son muchos resultados mejor usamos la formula que es:
R= nORr = nr
nORr = 42
nORr = 16
Paso 3: Definir Una Variable Aleatoria.
R=
X = La media de cada muestra
61 de 110
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Estadística II
Paso 4: Construir El Espectro De La Variable Aleatoria.
R= Sx = { 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5, 5, 6 }
Paso 5: Construir El Modelo O Distribución De Probabilidad Del Experimento.
X
Px(x)
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
6
1/16
2/16
3/16
2/16
3/16
2/16
2/16
1/16
SUMA
16/16 =
1
Paso 6: Calcular la media de la distribución muestral de media.
2 (1/16) + 2.5 (2/16) + 3 (3/16) + 3.5 (2/16) + 4 (3/16) + 4.5 (2/16) + 5 (2/16) + 6
(1/16) =
2/16 + 5/16 + 9/16 + 7/16 + 12/16 + 9/16 + 10/16 + 6/16 = 60/16 = 3.75
Comprobación:
6 + 4 + 2 + 3 = 15/4 = 3.75
62 de 110
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Estadística II
Distribución Maestral De Medias:
Media: Mx = M
Con Reemplazo:
Q
D. Estándar: Qx =
N
Formula De La Desviación Estándar:
n
2
∑ (X – μ)
i=1
n
X
μ
X- μ
2
3.75
- 1.75
(X- μ)
3.0625
3
3.75
0.75
0.5625
4
3.75
0.25
0.0625
6
3.75
2.25
5.0625
63 de 110
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Estadística II
8.75
4
μ= 3.75
Q = 1.4790
=
2.1875
Q = 1.4790
Q
1.4790
Qx =
Qx =
N
2
1.4790
Qx =
Qx =
1.04581
1.414213
X
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
6
μ
3.75
3.75
3.75
3.75
3.75
3.75
3.75
3.75
X- μ
-1.75
-1.25
-0.75
-0.75
0.25
0.75
1.25
2.25
2
(X- μ)
3.0625
1.5625
0.5625
0.0625
0.0625
0.5625
1.5625
5.0625
Px(X)
1/16
2/16
3/16
2/16
3/16
2/16
2/16
1/16
2
(Px(x))((x- μ) )
0.191406…
0.1953…
0.1054…
0.0078…
0.0116…
0.0703…
0.1953…
0.3169…
Q2 = 1.0939
Q = 1.0939
Q = 1.0458
64 de 110
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Estadística II
2) Muestra De Dos Elementos sin Reemplazo:
6
4
PARAMETRO
2
3
UNIVERSO
Paso 1: Describir El Experimento Aleatorio.
R= Sacar muestras de 2 elementos sin reemplazo.
Paso 2: Construir El Espacio Muestral.
R= S =
2,3 3,2 4,2 6,2
2,4 3,4 4,3 6,3
2,6 3,6 4,6 6,4
(estadístico)
= 12
NOTA: Como son muchos resultados mejor usamos la formula que es:
R= nOr = 4!
(4 – 2) !
nOr = 24/2
nOr = 12
nOr = 24
2!
nOr = 24/2
Paso 3: Definir Una Variable Aleatoria.
R=
X = La media de cada muestra
65 de 110
José Rafael Aguilera Aguilera
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Estadística II
Paso 4: Construir El Espectro De La Variable Aleatoria.
R= Sx = { 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5, 5 }
Paso 5: Construir El Modelo O Distribución De Probabilidad Del Experimento.
X
2.5
3
3.5
4
4.5
5
TOTAL
Px(x)
2/12
2/12
2/12
2/12
2/12
2/12
12/12
=1
Paso 6: Calcular la media de la distribución muestral de media.
Mx = 2.5 (2/12) + 3 (2/12) + 3.5 (2/12) + 4 (2/12) + 4.5 (2/12) + 5 (2/12) =
Mx = 5/12 + 6/12 + 7/12 + 8/12 + 9/12 +10/12 = 3.75
COMPROBACIÓN:
6 + 4 + 2 + 3 = 15/4 = 3.75
Distribución Maestral De Medias:
Media: Mx = M
Sin Reemplazo:
Q
D. Estándar: Qx =
N
66 de 110
José Rafael Aguilera Aguilera
F.C.C.A. - U.M.S.N.H.
NP - N
NP - 1
Estadística II
Formula De La Desviación Estándar:
X
2.5
3
3.5
4
4.5
5
μ
3.75
3.75
3.75
3.75
3.75
3.75
X- μ
-1.25
-0.75
-0.75
0.25
0.75
1.25
2
(X- μ)
1.5625
0.5625
0.0625
0.0625
0.5625
1.5625
Px(X)
2/12
2/12
2/12
2/12
2/12
2/12
2
(Px(x))((x- μ) )
0.2604166
0.09375
0.0104166
0.0104166
0.09375
0.2604166
Q2 = 0.7291664
Q = 0.7291664
Q = 0.8539
3) Una población esta formada por los cuatro números 3, 7, 11, 15. Considerar todas la
s posibles muestras de tamaño dos que pueden extraerse de esta población con
remplazamiento. Hallar (a) la media poblacional, (b) la desviación típica
poblacional, (c) la media de la distribución muestral de medias, (d) la desviación
típica de la distribución muestral de medias. Encontrar (c) y (d) directamente de (a)
y (b) mediante las formulas adecuadas.
3
7
PARAMETRO
11 15
UNIVERSO
Paso 1: Describir El Experimento Aleatorio.
R= Sacar muestras de 2 elementos con reemplazo.
67 de 110
José Rafael Aguilera Aguilera
F.C.C.A. - U.M.S.N.H.
Estadística II
Paso 2: Construir El Espacio Muestral.
R= S =
3,3
3,7
3,11
3.15
7,3
7,7
7,11
7,15
11,3
11,7
11,11
11,15
15,3
15,7
15,11
15,15
(estadístico)
= 16
NOTA: Como son muchos resultados mejor usamos la formula que es:
R= nORr = nr
nORr = 42
nORr = 16
Paso 3: Definir Una Variable Aleatoria.
R=
X = La media de cada muestra
Paso 4: Construir El Espectro De La Variable Aleatoria.
R= Sx = { 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}
Paso 5: Construir El Modelo O Distribución De Probabilidad Del Experimento.
X
3
5
7
9
11
13
15
SUMA
Px(x)
1/16
2/16
3/16
4/16
3/16
2/16
1/16
16/16
=1
68 de 110
José Rafael Aguilera Aguilera
F.C.C.A. - U.M.S.N.H.
Estadística II
Paso 6: Calcular la media de la distribución muestral de media.
Mx = 3 (1/16) + 5 (2/16) + 7 (3/16) + 9 (4/16) + 11 (3/16) + 13 (2/16) + 15 (1/16) =
Mx = 13/16 + 10/16 + 21/16 + 36/16 + 33/16 + 26/16 + 15/16 = 144/16 = 9
COMPROBACIÓN:
3 + 7 + 11 + 15 = 36/4 = 9
X
μ
X- μ
(X- μ)
3
9
-6
36
7
9
-2
4
11
9
2
4
15
9
6
36
36 + 4 + 4 + 36 = 80
Q = 80/4
M= 9
Q = 20
Q= 4.4721
Q= 4.472135955
69 de 110
José Rafael Aguilera Aguilera
F.C.C.A. - U.M.S.N.H.
Estadística II
X
2.5
3
3.5
4
4.5
5
μ
3.75
3.75
3.75
3.75
3.75
3.75
X- μ
-1.25
-0.75
-0.75
0.25
0.75
1.25
2
(X- μ)
1.5625
0.5625
0.0625
0.0625
0.5625
1.5625
Px(X)
2/12
2/12
2/12
2/12
2/12
2/12
2
(Px(x))((x- μ) )
0.2604166
0.09375
0.0104166
0.0104166
0.09375
0.2604166
2
Q = 10
Q=
10
Q = 3.162
4) Los pesos de 1500 cojinetes de bolas se distribuyen normalmente con media de 22.40
onzas y desviación típica de 0.048 onzas. Si se extraen 300 muestras de tamaño 36 de
esta población, determinar la media esperada y la desviación típica de la
distribución muestral de medias, si el muestreo se hace (a) con remplazamiento, (b)
sin remplazamiento.
CON REMPLAZO:
M = 22.40
Mx = M
Q = 0.048
M = 22.40 = 22.40
Muestra = 300 c.
Qx = Q
N
Qx = 0.048/ 6
Qx = 0.008
Qx = 0.048
36
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Estadística II
SIN REMPLAZO:
Q
D. Estándar:
Qx =
NP - N
NP - 1
N
0.048
Qx =
300-36
300 - 1
36
0.048
Qx =
264
299
6
Qx = 0.008 (
0.882943144 )
Qx = 0.008 ( 0.939650543 )
Qx = 0.0075
Qx = Menor que 0.008.
5) Resolver el problema anterior si la población se compone de 72 cojines.
Mx = M
Q = 0.048
22.40 = 22.40
Qx = Q
N
Qx = 0.048/ 6
Qx = 0.008
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Estadística II
Qx = 0.048
36
Qx =
Q
Np – N
Np – 1
N
Qx =
0.048
76 – 36
76 – 1
36
Qx =
0.048
36
75
6
Qx = 0.008 (
0.507042254
)
Qx = 0.008 ( 0.712068995 )
Qx = 0.0075
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Estadística II
TEMA 3: Teoría de Estimación Estadística
3.1.- Estimación de Parámetros.
En el ultimo capitulo se vio como la teoría del muestreo podía emplearse
para obtener información acerca de muestras extraídas al azar de una
población conocida. Sin embargo, desde un punto de vista práctico, es
frecuentemente más importante es el poder inferir información sobre una
población mediante muestras extraídas de ella.
Tales problemas son los tratados en la inferencia estadística, basándose
en la teoría del muestreo.
Un importante problema de la diferencia estadística es la estimación del
parámetro de la población o brevemente parámetros (tales como la media,
varianza de la población, etc.) a partir de los correspondientes estadísticos
muéstrales o brevemente estadísticos (es decir, media muestral, varianza
muestral, etc.). En este capitulo se considera este problema.
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Estadística II
3.1.1.- Estimas Insesgadas.
Si la media de la distribución muestral de un estadístico es igual al
correspondiente parámetro poblacional, el estadístico se llama estimador
insesgado del parámetro, si no es igual se dice estimador sesgado del
mismo. Los valores correspondientes de tales estadísticos se conocen,
respectivamente, como estimas insesgadas o sesgadas.
Ejemplo 1: La media de la distribución muestral es medias μx = μ, medias poblacional. De aquí
que la media muestral X es una estima insesgada de la media poblacional μ.
Ejemplo 2: La media de la distribución muestral de varianzas μs2 = N – 1 σ2, donde σ2
N
Es la varianza poblacional y N es el tamaño muestral. Así, pues, la
varianza muestral s2 es una estima esesgada de la varianza poblacional
σ2. Utilizando la varianza modificada
ŝ2 =
_N___ s2,
N-1
Se tiene que μs2 = σ2, de modo que s2 es una estima no sesgada de σ2. Sin
embargo s es una estima sesgada de σ.
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Estadística II
En lenguaje de esperanza se puede decir que un estadístico es insesgado
si su esperanza es igual al correspondiente parámetro poblacional. Así, X y
ŝ2 son insesgados, puesto que E{X} = μ y E{ŝ2} = σ2.
3.1.2.- Estimas Eficientes.
Si las distribuciones muéstrales de dos estadísticos tienen la misma media
(o esperanza), el estadístico que tenga menor varianza de llama estimador
eficiente de la media, mientras que el otro estadístico de llama estimador
no eficiente. Los valores correspondientes de los estadísticos de llaman
estimas eficientes, respectivamente.
Si se consideran todos los posibles estadísticos, cuyas distribuciones
muéstrales tienen la misma media, al que tiene menor varianza se le llama
el más eficiente o mejor estimador de esta media.
Ejemplo: Las distribuciones muéstrales e la media y de la mediana tienen
las misma media que es la media poblacional. Sin embargo, la varianza de
la distribución muestral de medias es menor que la de la distribución
muestral de medianas. De aquí que la mediana muestral de una estima
eficiente de la media poblacional, mientras que la mediana muestral de
una estima no eficiente de ella.
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Estadística II
De todos los estadísticos que estiman la media poblacional, la media
muestral proporciona la estima mejor o más eficiente. En la práctica se
utilizan frecuentemente estimas no eficientes, por la relativa facilidad con
que algunas de ellas pueden obtenerse.
3.2.- Estimas por Puntos y Estimas por Intervalos de
Seguridad
La estima de un parámetro poblacional dada por un numero se llama
estima de punto del parámetro. La estima de un parámetro poblacional
dada por dos números entre los cuales se considera que se encuentra
dicho parámetro se llama estima de intervalo del parámetro.
La estima por intervalo indican la precisión o exactitud de una estima y, por
tanto, son preferidas a las estimas puntuales.
Ejemplo: si se dice que una distancia viene dada por 5,28 pies, se esta
dando una estima de punto. Si, por otra parte, se dice que la distancia es
5,28 ± 0,03 pies, es decir, la distancia real se encuentra entre 5,25 y 5,31
pies, se esta dando una estima de intervalo.
La precisión o conocimiento del error de una estima se conoce también
como su seguridad.
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3.3.- Estimas por Intervalo de Confianza, de
Parámetros Poblacionales.
Sean μs y σs la media y la desviación típica (error típico) de la distribución
muestral de un estadístico S. Entonces, si la distribución muestral es S es
aproximadamente normal (lo que se ha visto, que es cierto para muchos
estadísticos, si el tamaño de muestra es N ≥ 30), cabe esperar en
muestras extraídas, que el estadístico S se encuentre en los intervalos μs σsa μs + σs, μs - 2σsa μs + 2σs, o μs - 3σsa μs + 3σs, el 68.27%, 95.45% y
99.73% de las veces, respectivamente.
Análogamente cabe esperar o se puede confiar en encontrar, μs en los
intervalos S - σs a S + σs, S - 2σs a S + 2σs o S + 3σs a S +3σs en el
68.27%, 95.45% y 99.73% de las veces, respectivamente.
Por esto se pueden llamar a estos intervalos los intervalos de confianza del
68.27%, 95.45% y 99.73% para la estima de μs. Los números extremos de
estos intervalos (S + σs, S + 2σs, S + 3σs) son llamados los limites de
confianza del 68.27%, 95.45% y 99.73% o, como otras veces se conocen,
limites fiduciales.
Análogamente, S ± 1,96σs y S± 2.58σs son los limites de confianza del
95% y 99% (o 0.95 y 0.99) para S. El porcentaje de confianza se llama
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también nivel de confianza. Los números 1.96, 2.58, etc., de los limites de
confianza se llaman coeficientes de confianza o valores críticos y se
denotan por Zc. De los niveles de confianza se pueden obtener los
coeficientes de confianza, y recíprocamente.
En la tabla 9-1 se dan los valores de Zc que corresponden a distintos
niveles de confianza utilizados en la practica. Para niveles de confianza
que no se encuentran en la tabla, los valores de Zc pueden sacarse de las
tablas de la curva normal.
Nivel de confianza
Zc
99.73% 99% 98% 96% 95.45% 95% 90% 80% 68.27% 50%
3.00
2.58 2.33
2.05 2.00
1.96
1.645 1.28
1.00
0.6745
3.3.1.- Sistemas de Medias por Intervalos de Confianza
Si el estadístico S es la media muestral X, entonces los limites de
confianza del 95% y 99% para la estimación de la media poblacional μ,
vienen dados por X ± 1.96σx, respectivamente.
Mas generalmente, los límites de confianza son dados por X ± zcσx, donde
zc depende del nivel de confianza que en cada caso se desee y pueda
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obtenerse de la tabla anterior. Utilizando los valores de σx, y se puede ver
que los limites de confianza para la medida poblacional vienen dados por
_
X
±
zc _ σ _____
N
En el caso del muestreo de una población infinita o si el muestreo es con
remplazamiento en una población finita, y por
Np - N
X
± zc
σ
N
Np – 1
Si el muestreo es sin remplazamiento de una población finita de tamaño
Np.
En general la desviación típica poblacional σ es desconocida, de modo
que para obtener los limites de confianza anteriores, se utiliza la estima
muestral s o s. Esto suministra una aproximación satisfactoria para N ≥ 30.
Para N < 30, la aproximación es mala y debe emplearse la teoría de
pequeñas muestras.
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3.3.2.- Intervalos de Confianza para Proporciones.
Si el estadístico S es la proporción de “éxitos” en una muestra del tamaño
N extraída de una población binominal en la que p es la proporción de
éxito (es decir, la probabilidad de éxito), los limites de confianza para p
vienen dados por P _+ zcσp, es la proporción de éxitos en la muestra de
tamaño N con los valores obtenidos de σp, se tiene que los limites de
confianza para la proporción poblacional son dados por:
P ± zc
pq
N
=
P ± zc
p(1 - p)
N
Para el caso de muestreo en una población infinita, o con remplazamiento
de una población finita, y por
P ± zc
Pq
N
Np – N
Np – 1
Si el muestreo es sin remplazamiento en una población finita de tamaño
Np.
Para calcular estos limites de confianza puede utilizarse la estima muestral
P para p, que generalmente da una aproximación satisfactoria para N ≥ 30.
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3.3.3.- Intervalos de Confianza para Diferencias y Sumas.
Si S1 y S2 son dos estadísticos con distribución muestral aproximadamente
normales, los limites de confianza para la diferencia de los parámetros
poblacionales a S1 y S2 vienen dados por
S1 – S2 _+ zcσs1 – s2 = S1 – S2 ± zc
σ2s1 + σ2s2
Mientras que los limites de confianza para la suma de los parámetros
poblacionales son
S1 + S2 _+ zcσs1+s2
= S1 + S2 ± z c
σ2s1+σ2s2
Con tal de que las muestras sean independientes.
Por ejemplo, los limites de confianza para la diferencia de dos medias
poblacionales, en el caso de que las poblaciones sean infinitas, vienen
dados por
X1 – X2 ± zcσx1 – x2
= X1 – x2 ± zc
σ2
1
N1
σ2
2
N2
Donde X1, σ1, N1 y X2, σ2, N2 son las respectivas medias, desviaciones
típicas y tamaños de las dos muestras extraídas de las poblaciones.
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Análogamente, los limites de confianza para la diferencia de dos
proporciones poblacionales, siendo las poblaciones infinitas, son dados por
P1 – P2 ± zcσp1 – p2
=
P1 (1 – p1)
p1 – p2 ± zc
P2 (1 – P2)
N1
N2
3.3.4.- Intervalos de Confianza para Desviaciones Típicas.
Los limites para las desviaciones típicas σ de una población que se
distribuye normalmente y que es estimada por una muestra con desviación
típica s, son dados por
σ
s ± z c σs
.
= s ± zc
2N
Para calcular estos limites de confianza se utiliza s o s’ para estimar σ.
3.4.- Error Probable.
Los limites de confianza del 50% de los parámetros de la población,
correspondientes a un estadístico S son dados por S ± 0.6745σs. La
cantidad 0.6745σs se conoce como error probable de la estima.
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3.5.- Ejercicios
La media y la desviación típica de las cargas máximas soportadas por 60 cables son
dados por 11.09 ton. Y 0.73 ton., respectivamente. Hallar los límites de confianza del
(a) 95% y (b) 99% para la media de las cargas máximas de todos los cables
producidos por la compañía.
POBLACION INFINITA.
X = 11.09 ton.
Todas las
cargas
maximas de
todos los
cables.
Q = 0.73 ton.
60
Cables.
A) 95%
Q
Me = X
+
-
Zc
=
Media Poblacional.
N
Me = 11.09 ton. ± 1.96 (0.73 ton. /
60
)
Me = 11.09 ton. ± 1.96
(0.73 ton. / 7.745966)
Me = 11.09 ton. ± 1.96
(0.094242603)
Me = 11.09 ton. ± 0.184715
Me = [10.90, 11.27]
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B) 99%
Me = 11.09 ton. ± 2.58 (0.73 ton. /
60
)
Me = 11.09 ton. ± 2.58 (0.73 ton. / 7.745966)
Me = 11.09 ton. ± 2.58 (0.094242603)
Me = 11.09 ton. ± 0.243145
Me = [10.90, 11.33]
C) 50%
Me = 11.09 ton. ± 0.6745 (0.73 ton. /
60
)
Me = 11.09 ton. ± 0.6745 (0.73 ton. / 7.745966)
Me = 11.09 ton. ± 0.6745 (0.094242603)
Me = 11.09 ton. ± 0.063566
Me = [10.90, 11.15]
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Estadística II
La media de la desviación típica de los diámetros de una muestra de 250 remaches
fabricados por una compañía son 0.72612 pulgadas y 0.00058 pulgadas
respectivamente hallar los limites de confianza del (a) 99% (b) 98% (c) 95% (d)
90% para el diámetro medio de todos los remaches fabricados por la compañía.
M = 250
X = 0.72642
Q = 0.00058
A) 99%
Me = 0.72642ton. ± 2.58 (0.00058ton. /
250
)
Me = 0.72642ton. ± 2.58 (0.00058 ton. / 15.8113883)
Me = 0.72642ton. ± 2.58 (0.000036682)
Me = 0.72642ton. ± 0.000095
Me = [0.726325, 0.726615
B) 98%
Me = 0.72642ton. ± 2.33 (0.00058ton. /
250
)
Me = 0.72642ton. ± 2.33 (0.00058 ton. / 15.8113883)
Me = 0.72642ton. ± 2.33 (0.000036682)
Me = 0.72642ton. ± 0.000085
Me = [0.72, 0.72]
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Estadística II
C) 95%
Me = 0.72642ton. ± 1.96 (0.00058ton. /
250
)
Me = 0.72642ton. ± 1.96 (0.00058 ton. / 15.8113883)
Me = 0.72642ton. ± 1.96 (0.000036682)
Me = 0.72642ton. ± 0.000072
Me = [0.73, 0.73]
D) 90%
Me = 0.72642ton. ± 1.645 (0.00058ton. /
250
)
Me = 0.72642ton. ± 1.645 (0.00058 ton. / 15.8113883)
Me = 0.72642ton. ± 1.645 (0.000036682)
Me = 0.72642ton. ± 0.000060
Me = [0.7263, 0.7264]
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Estadística II
Una compañía tiene 500 cables. Un ensayo con 40 cables elegidos al azar dieron una
media de resistencia a la rotura de 2400 libras y una desviación típica de 150 libras.
(a) ¿Cuál son los limites de confianza del 95% y 99% para estimar la media de la
resistencia a la rotura de los 460 cables restantes? ¿con que grado de confianza cabe
decir que la media de resistencia a la rotura de los 460 cables restantes sea 2400 ±35
libras?
POBLACION FINITA
40
500
CABLES
CABLES
M = 40
X = 2400 Libras
Q = 150 Libras
Q
Me = x ± a.C.
N
NP - N
NP - 1
A) 95% Y 99%
Me = 2400 Lib. ± 1.96 (150/
500 - 40
40 ) (
)
500 – 1
Me = 2400 Lib. ± 1.96 (150/ 6.32455532 ) (
460
)
499
Me = 2400 Lib. ± 1.96 (23.71708245) (
0.9218…
)
Me = 2400 Lib. ± 1.96 (23.72) (0.96)
Me = 2400 Lib. ± 1.96 (22.7712)
Me = 2400 Lib. ± 44.63
Me = [2305.75, 2395.75]
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Estadística II
A) 99%
Me = 2400 Lib. ± 2.58 (150/
500 - 40
40 ) (
500 – 1
Me = 2400 Lib. ± 2.58 (150/ 6.32455532 ) (
)
460
)
499
Me = 2400 Lib. ± 2.58 (23.71708245) (
0.9218…
)
Me = 2400 Lib. ± 2.58 (23.72) (0.96)
Me = 2400 Lib. ± 2.58 (22.7712)
Me = 2400 Lib. ± 59
Me = [2341, 2459]
B) ? %
2400 ± 35
35 = x ± Zc
Q
NP - N
NP - 1
N
35 = Zc (150/
40 ) (
500 - 40
)
500 – 1
460
35 = Zc (150/ 6.32455532 ) (
)
499
35 = Zc (23.71708245) (
0.9218…
)
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Estadística II
35 = Zc (23.72) (0.96)
35 = Zc (22.77)
35 / 22.77 = Zc
1.54 = Zc
50%
0.4382 x 2 = 0.8764
50%
R = 87.64%
1. 59
1..54
2400 ± 20
460
20 = Zc (150/ 6.32455532 ) (
)
499
20= Zc (23.71708245) (
0.9218…
)
20 = Zc (23.72) (0.96)
20 = Zc (22.77)
20 / 22.77 = Zc
0.87 = Zc
50%
50%
0.88 = Tabla
0.3106 x 2 = 0.212
R = 62.12%
1.59
1.54
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Estadística II
Tema 4: Teoría de la Decisión Estadística
(Paramétrica).
4.1.- Conceptos y Definiciones.
4.1.1.- Decisiones Estadísticas.
Muy a menudo, en la práctica, se tienen que tomar decisiones sobre
poblaciones, partiendo de la información muestral de las mismas. Tales
decisiones se llaman decisiones estadísticas.
Por ejemplo, se puede querer decidir a partir de los datos del muestreo, si
un suero nuevo es realmente efectivo para la cura de una enfermedad, si
un sistema educacional es mejor que otro, si una moneda determinada
esta o no cargada, etc.
4.1.2.- Hipótesis Estadística, Hipótesis Nula.
Para llegar a tomar decisiones, conviene hacer determinados supuestos o
conjeturas acerca de las poblaciones que se estudian. Tales supuestos
que pueden ser o no ciertos se llaman hipótesis estadísticas y, en general,
lo son sobre distribuciones de probabilidad de las poblaciones.
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Estadística II
En muchos casos se formulas las hipótesis estadísticas con el solo
propósito de rechazarlas o invalidarlas. Por ejemplo, si se quiere decir si
una moneda esta cargada, se formula la hipótesis de que la moneda esta
bien, es decir, p = 0.5; donde p es la posibilidad de cara.
Análogamente, si se quiere decir sobre si un procedimiento es mejor que
otro, se formula la hipótesis de que no hay diferencia entre los
procedimientos (es decir, cualquiera diferencia observada se debe
meramente a fluctuaciones en el muestreo de la misma población).
Tales hipótesis se llaman también hipótesis nulas y se denotan por Ho.
Cualquier hipótesis que difiera de una hipótesis dada se llama hipótesis
alternativa. Por ejemplo, si una hipótesis es p = 0.5 hipótesis alternativas
son p = 0.7: p =/ 0.5 o p > 0.5. Una hipótesis alternativa de la hipótesis
nula se denota por H1.
4.2.- Ensayos de Hipótesis y Significación.
Si el supuesto de que una hipótesis determinada es cierta, se encuentra
que los resultados observados en una muestra al azar difieren
marcadamente de aquellos que cabía esperar con la hipótesis y con la
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Estadística II
variación propia del muestreo, se diría que las diferencias observadas son
significativas y se estaría en condiciones de rechazar la hipótesis (o al
menos no aceptarla de acuerdo con la evidencia obtenida). Por ejemplo, si
en 20 lanzamientos de una moneda se obtienen 16 caras, se estaría
inclinando a rechazar la hipótesis de que la moneda esta bien, aunque
seria posible que fuera un rechazamiento erróneo.
Los procedimientos que facilitan el decir si una hipótesis se acepta o se
rechaza
o
el
determinar
si
las
muestras
observadas
difieren
significativamente de los resultados esperados se llaman ensayos de
hipótesis, ensayos de significación o reglas de decisión.
4.2.1.- Error De Tipo I Y Tipo II.
Si se rechaza una hipótesis cuando debería ser aceptada, se dice que se
comete un error de tipo I. Si por el contrario, se acepta una hipótesis que
debe ser rechazada, se dice que se comete un error de tipo II. En
cualquiera de los dos casos se comete un error al tomar una decisión
equivocada.
Para que cualquier ensayo de hipótesis o regla de decisión sea bueno,
debe diseñarse de forma que minimice los errores de decisión. Esto no es
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Estadística II
tan sencillo como puede parecer puesto que para un tamaño de muestra
dado, un intento de disminuir un tipo de error, va generalmente
acompañado por un incremento en el otro tipo de error.
En la práctica, un tipo de error puede tener más importancia que el otro, y
así se tiende a conseguir poner una limitación al error de mayor
importancia. La única forma de disminuir al tiempo ambos tipos de error es
incrementar el tamaño de muestra, lo cual puede ser o no ser posible.
4.2.2.- Nivel de Significación.
La probabilidad máxima con la que el ensayo de una hipótesis se puede
cometer un error del Tipo I se llama nivel de significación del ensayo. Esta
posibilidad de denotar frecuentemente por a; generalmente se fija antes de
la extracción de las muestras, de modo que los resultados obtenidos no
influyen en la elección.
En la práctica se acostumbra a utilizar niveles de significación del 0.05 o
0.01, aunque igualmente se pueden emplear otros valores. Si, por ejemplo,
se elige un nivel de significación del 0.05 o 5% al diseñar un ensayo de
hipótesis, entonces hay aproximadamente 5 ocasiones en 100 en que se
rechazaría la hipótesis cuando debería ser aceptada, es decir, se esta con
un 95% de confianza de que se tome la decisión adecuada.
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Estadística II
En tal caso como se dice que la hipótesis ha sido rechazada a nivel de
significación del 0.05, lo que significa que se puede cometer error con una
probabilidad de 0.05.
4.3.- Ensayos Referentes a la Distribución Normal.
Para aclarar las ideas anteriores, supónganse que con una hipótesis dada,
la distribución muestral de un estadístico S es una distribución normal con
media μs y desviación típica σs. Entonces la distribución de la variable
tipificada (representada por z) dada por z = (S - μs)/σs, es una normal
tipificada (media 0, varianza 1). Figura 10.1.
Como se indica en la figura, se puede estar con el 95% de confianza de
que, si la hipótesis es cierta,el valor de z obtenido de una muestra real
para el Estadístico S se encontrara entre – 1.96 y 1.96 (puesto que el área
bajo la curva normal entre estos valores es 0.95).
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Estadística II
Fig. 10-1
Sin embargo, si al elegir una muestra al azar se encuentra que z para ese
estadístico se halla fuera del rango – 1.96 a 1.96, lo que quiere decir que
es un suceso con posibilidad de solamente 0.05 (área sombreada en la
figura) si la hipótesis fuera verdadera.
Entonces puede decirse que esta z difiere significativamente de la que
cabía esperar de esta hipótesis y se estaría inclinando a rechazar la
hipótesis.
El área total sombreada 0.05 es el nivel de significación del ensayo.
Representa la probabilidad de cometer error al rechazar la hipótesis es
decir, la posibilidad de cometer error del Tipo I. Así, pues, se dice que la
hipótesis se rechaza al nivel de significación del 0.05 o que la z obtenida
del estadístico muestral dado es significativa al nivel de significación del
0.05.
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Estadística II
El conjunto de la z que se encuentra fuera del rango – 1.96 a 1.96
constituye lo que se llama región crítica o región de rechace de la hipótesis
o región de significación. El conjunto de las z que se encuentran dentro del
rango – 1.96 a 1.96 podía entonces llamarse región de aceptación de la
hipótesis o región de no significación.
De acuerdo con lo dicho hasta ahora, se puede formular la siguiente regla
de decisión o ensayo de hipótesis o significación.
(a) Se rechaza la hipótesis al nivel de significación del 0.05 si la z
obtenida para el estadístico S se encuentra fuera del rango – 1.96 a
1.96 (es decir, z > 1.96 o z < - 1.96). Esto equivale a decir que el
estadístico muestral observado es significativo al nivel del 0.05.
(b) Se acepta la hipótesis (o si se desea no se toma decisión alguna) en
caso contrario.
A causa de su importante papel en los ensayos de hipótesis y significación,
z recibe también el nombre de ensayo estadístico.
Debe ponerse de manifiesto que pueden igualmente emplearse
otros
niveles de significación. Por ejemplo, si se utiliza el nivel del 0.01 se
sustituiría 1.96 en todo lo visto anteriormente por 2.58. (Tabla 10-1).
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Estadística II
4.4.-Ensayos de Una y Dos Colas.
En el ensayo anterior se atendía a los valores extremos del estadístico S o
su correspondiente z a ambos lados de la media, es decir, en las dos
«colas» de la distribución. Por esta razón, tales ensayos se llaman
ensayos de dos colas o ensayos bilaterales.
Sin embargo, con frecuencia, se puede estar solamente interesado en los
valores extremos a un solo lado de la media, es decir, en una «cola» de la
distribución, como, por ejemplo, cuando se están ensayando la hipótesis
de que un proceso es mejor que otro (que es diferente a ensayar si un
proceso es mejor o peor que otro). Tales ensayos se llaman ensayos de
una cola o ensayos unilaterales. En tales casos, la región crítica es una
región a un lado de la distribución, con área igual al nivel de significación.
La tabla 10-1, que da los valores críticos de z para ensayos de una y dos
colas o distintos niveles de significación, será de utilidad para propósitos
de referencia. Valores críticos de z para otros niveles de significación, se
pueden encontrar utilizando la tabla que da las áreas bajo la curva normal.
Nivel de significación
Valores críticos de z para
ensayos de una cola
Valores críticos de z para
ensayos de dos colas
0.10
-1.28 o
1.28
-1.645
y 1.645
Tabla 10-1
0.05
-1.645 o
1.645
-1.96
y 1.96
0.01
-2.33 o
2.33
-2.58
y 2.58
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0.005
-2.58 o
2.58
-2.81
y 2.81
0.002
-2.88 o
2.88
-3.08
y 3.08
Estadística II
4.5.- Ensayos Especiales.
Para muestras grandes, las distribuciones muéstrales de muchos
estadísticos son distribuciones normales (o al menos casi normales) con
media μs y desviaron típica σs. En tales casos, se pueden utilizar los
resultados anteriores para formular reglas de decisión o ensayos de
hipótesis y significación.
Los siguientes casos especiales, (sacados de la tabla 8-1), son solamente
unos pocos de los estadísticos de interés practico. En cada caso, los
resultados
son para
poblaciones
infinitas
o
para
muestreo con
remplazamiento. Para muestreo sin remplazamiento de poblaciones finitas
los resultados deberán modificarse.
1. Medias. Aquí S = Χ, la media muestral; μs = μx = μ, media
poblacional; σs = σx = σ/√¯N¯, donde σ es la desviación típica
poblacional y N es el tamaño de la muestra.
El valor de la z viene dado por
_
X–μ
z =
σ/√ N
Donde se utiliza la desviación muestral s o ŝ para estimar σ.
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2. Proporciones. Aquí S = P, la proporción de «éxitos» en una muestra; μs
= μp = p, donde p es la proporción de éxitos en la población y N es el
tamaño de la muestra; σs = σp =
pq/N donde q = 1 – p. El valor de z
viene dado por:
P–p
Z=
pq/ N
En el caso de que P = X/N, donde X es el número real de éxitos en una
muestra, z se convierte en:
X – Np
z =
Npq
Es decir, μx = μ = Np, σx = σ
Npq, y S = X.
Análogamente pueden obtenerse los resultados para otros estadísticos.
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4.6.- Ejercicio de Inferencia de Medias.
1.- OBJETIVO.- Comprobar la media hipotética con una muestra grande
aleatoria.
2.- DESCRIPCION DEL EXPERIMENTO.- Se desea comprobar que el
consumo promedio diario de lubricantes en una empresa es de 1,500 lts.,
mediante una muestra de 250 observaciones.
3.- HIPOTESIS:
Ho: μ = 1,500
Ha: μ ≠ 1,500
4.- CARACTERISTICAS:
∙ Comprobación de media hipotética.
∙ Una sola muestra aleatoria.
∙ Muestra grande (n = 250).
∙ Medición de razón con valores continuos.
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5.- COEFICIENTE DE CONFIANZA:
95%, dos colas, α/2 = 0.025.
6.- DISTRIBUCION MUESTRAL.- La distribución muestral apropiada es la
normal, por tratarse de muestra grande.
7.- BASE DE RECHAZO.- Según la tabla No. 1 anexa, para el 95% de
confianza y distribución de dos colas, el valor de z = 1.96.
RECHAZAR si – 1.96 > z > 1.96.
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8.- RESULTADOS DE LA MUESTRA: n = 250.
1486 1473 1501 1467 1496 1498 1477 1488 1460 1479 1492 1503 1477 1493 1473
1472 1485 1497 1499 1506 1478 1499 1486 1486 1465 1438 1497 1486 1502 1471
1488 1474 1491 1492 1480 1505 1500 1473 1482 1489 1467 1483 1492 1496 1485
1458 1453 1503 1500 1486 1476 1462 1496 1499 1468 1459 1476 1466 1457 1481
1485 1477 1469 1488 1490 1495 1506 1483 1471 1492 1486 1457 1459 1489 1502
1493 1498 1477 1468 1491 1477 1475 1457 1498 1499 1472 1498 1467 1505 1481
1467 1493 1507 1502 1475 1468 1457 1482 1492 1476 1476 1475 1489 1462 1492
1490 1468 1483 1499 1467 1470 1465 1483 1492 1472 1499 1455 1482 1496 1467
1466 1473 1478 1489 1468 1477 1469 1485 1484 1471 1481 1492 1490 1474 1492
1482 1467 1467 1503 1474 1457 1497 1489 1478 1488 1477 1496 1482 1490 1499
1466 1498 1488 1467 1492 1472 1491 1490 1499 1498 1478 1496 1492 1492 1468
1487 1479 1468 1493 1483 1499 1482 1494 1496 1485 1499 1497 1478 1456 1471
1482 1468 1495 1472 1492 1472 1495 1467 1457 1487 1478 1470 1472 1459 1492
1490 1506 1482 1500 1478 1482 1490 1506 1478 1481 1489 1492 1490 1476 1468
1477 1480 1478 1492 1467 1482 1467 1492 1490 1503 1478 1475 1492 1495 1472
1498 1499 1472 1485 1492 1482 1488 1468 1482 1472 1477 1495 1472 1474 1481
1478 1490 1500 1472 1469 1482 1486 1467 1457 1489
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9.- PROCEDIMIENTO DE ANALISIS:
_
a.- Calculo de la media muestral: Ү = ∑Ү/n.
_
Ү = 370,586/250 = 1,482
b.- Calculo de la desviación estándar muestral:
S =
[∑Y2 – (∑Y)2/n]/(n-1)
S =
[549,378,852 – (370,586)2/250]/(250-1) = 13.1287
c.- Estadísticas de prueba:
_
__
zc = (Y - μ)/(S/ √ n )
___
z = (1,482 – 1,500)/(13.1283/√250) = - 21.67
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Estadística II
10.- DECISION.- Con el 95% de confianza, se rechaza la Ho. Hay videncia
significativa que prueba que el promedio de consumo diario de lubricantes
en la empresa es diferente de 1,500 Litros.
ANALISIS ADICIONALES.- Estimación
de la media.
_
__
d.- Cota de error. Sү = zS/√n
_
___
Sү = 1.96(13.128)/√250 = 1.63
e.- Límites extremos: Limites inferiores de confianza.
_ _
LIC = Ү – Sү
LIC = 1,482 – 1.6 = 1,480.4
_
_
LSC = Ү + Sү
Limite superior de confianza.
LSC = 1,482 + 1.6 = 1,483.6
c.- Conclusiones.
Con el 95% de confianza se estima que el consumo diario de lubricantes esta entre 1,480.4 y
1,483.6.
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Estadística II
Comprobar que el contenido medio de azufre en un
compuesto es de 0.025, con el 95% de confianza y estimar la
media poblacional, con los resultados de la siguiente
muestra:
1.- OBJETIVO.- Comprobar la media hipotética con una muestra grande
aleatoria.
2.- DESCRIPCION DEL EXPERIMENTO.- Se desea comprobar que el
contenido medio de azufre en un compuesto es de 0.025, con el 95% de
confianza y estimar la media poblacional, con los resultados de la siguiente
muestra.
3.- HIPOTESIS:
Ho: μ = 1,500
Ha: μ ≠ 1,500
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Estadística II
4.- CARACTERISTICAS:
Comprobación de media hipotética.
∙ Una sola muestra aleatoria.
∙ Muestra grande (n = 250).
∙ Medición de razón con valores continuos.
5.- COEFICIENTE DE CONFIANZA:
95%, dos colas, α/2 = 0.025.
6.- DISTRIBUCION MUESTRAL.- La distribución muestral apropiada es la
normal, por tratarse de muestra grande.
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Estadística II
7.- BASE DE RECHAZO.- Según la tabla No. 1 anexa, para el 95% de
confianza y distribución de dos colas, el valor de z = 1.96.
RECHAZAR si – 1.96 > z > 1.96.
8.- RESULTADOS DE LA MUESTRA: n = 250.
0.023
0.002
0.027
0.028
0.024
0.028
0.023
0.025
0.022
0.023
0.029
0.027
0.021
0.024
0.025
0.026
0.026
0.021
0.024
0.024
0.028
0.025
0.023
0.022
0.026
0.026
0.028
0.026
0.025
9.- PROCEDIMIENTO DE ANALISIS:
M = 0.025
Y = 0.875 / 35 = 0.025
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José Rafael Aguilera Aguilera
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0.026
0.028
0.025
0.025
0.027
0.023
Estadística II
X - X
=
0.025 – 0.023 = 0.002
0.025 – 0.022 = 0.003
0.025 – 0.027 = -0.002
0.025 – 0.028 = -0.003
0.025 – 0.024 = 0.001
0.025 – 0.028 = -0.003
0.025 – 0.023 = 0.002
0.025 – 0.025 = 0.000
0.025 – 0.022 = 0.003
0.025 – 0.023 = 0.002
0.025 – 0.029 = 0.004
0.025 – 0.027 = 0.002
X
- X
=
X
0.025 – 0.021 = 0.004
0.025 – 0.024 = 0.001
0.025 – 0.025 = 0.000
0.025 – 0.026 =-0.001
0.025 – 0.026 =-0.001
0.025 – 0.021 = 0.004
0.025 – 0.024 = 0.001
0.025 – 0.024 = 0.001
0.025 – 0.028 =-0.003
0.025 – 0.025 = 0.000
0.025 – 0.023 = 0.002
0.025 – 0.022 = 0.003
- X
=
0.025 – 0.026 = -0.001
0.025 – 0.026 = -0.001
0.025 – 0.028 = -0.003
0.025 – 0.026 = -0.001
0.025 – 0.028 = -0.003
0.025 – 0.026 = -0.001
0.025 – 0.028 = -0.003
0.025 – 0.025 = 0.000
0.025 – 0.025 = 0.000
0.025 – 0.027 = -0.002
0.025 – 0.023 = 0.002
0.009
R = 0.009
(X - X)2 =
(0.002)2 = 0.000004
(0.003)2 = 0.000009
(-0.002)2= 0.000004
(-0.003)2= 0.000009
(0.001)2= 0.000001
(-0.003)2= 0.000009
(0.002)2= 0.000004
(0.003)2= 0.000009
(0.002)2= 0.000004
(0.004)2= 0.000016
(0.002)2= 0.000004
R = 0.00000162 / 35 =
(X - X)2
=
(0.004)2 = 0.000016
(0.001)2 = 0.000001
(0.001)2 = 0.000001
(0.001)2 = 0.000001
(0.004)2 = 0.000016
(0.001)2 = 0.000001
(0.001)2 = 0.000001
(0.003)2 = 0.000009
(0.002)2 = 0.000004
(0.003)2 = 0.000004
(0.001)2 = 0.000001
0.00000462
(X - X)2
(0.001)2 = 0.000001
(0.003)2 = 0.000009
(0.001)2 = 0.000001
(0.003)2 = 0.000009
(0.001)2 = 0.000001
(0.003)2 = 0.000009
(0.002)2 = 0.000004
(0.0022 = 0.000004
0.00000162
= 0.00214
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=
Estadística II
EJERCICIO ADICIONAL.
.- Con el 95% de confianza, comprobar que el promedio del valor de
las acciones cotizadas en la bolsa de valores en un día
seleccionado, es mayor de 10,000 y estimar la media poblacional. La
muestra tomada indica los siguientes valores:
21,300 660 3,440 10,650 36,700 2,250 31,600 9,800 10,250 2,020
12,800 2,150 11,500
5,825
2,140 1,680 12,300 7,750
6,000 2,850
1,240 19,200 14,500
1,770
3,750
216
1,080 15,000
1,480 33,700
640 14,450 49,800
4,300 81,000
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Estadística II
BIBLIOGRAFÍA.
KAZMIER, Leonard J. “Estadística aplicada a Administración
y Economía”. Ed. McGraw-Hill. México, 4º Edición,
2006.
LEVIN, Richard I.. “Estadística para Administración y
Economía”. Ed. Prentice Hall. México, 1º Edición,
2004.
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Edición, 2002.
STEVENSON, William J. “Estadística para Administración y
Economía: Conceptos y aplicaciones”. Ed. Alfaomega
Grupo Editor, 1º Edición, 2002.
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