Procesamiento Digital de Señales Práctica 1 INTRODUCCIÓN A

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE BAJA CALIFORNIA
FACULTAD DE INGENIERÍA,
ARQUITECTURA Y DISEÑO
Laboratorio de
Procesamiento Digital de Señales
Práctica 1
INTRODUCCIÓN A MATLAB
OBJETIVO:
Que el alumno realice gráficos y programas sencillos usando MATLAB.
MATERIAL Y EQUIPO:
Computadora con MATLAB (versión 6.5 mínimo)
DESARROLLO:
Antes de iniciar con las actividades, el docente presentará una exposición sobre el
entorno de trabajo de MATLAB y mostrará ejemplos del uso de comandos y
funciones básicas.
1. Hacer un programa que genere y grafique las siguientes funciones.
a. y (t ) = sen(3t )
b. r (t ) = 3t + 2
2. Multiplicar las funciones y(t) y r(t), luego graficar.
3. Mostrar en diferentes áreas de la ventana de gráfico cada una de las señales
generadas en el punto 1.
CONCLUSIÓN
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Laboratorio de
Procesamiento Digital de Señales
Elaboró: Dr. Marcial Castro Muñoz
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Práctica 2
MUESTREO INTERPOLACIÓN Y ALIASING
OBJETIVO:
Observar el muestreo de una señal y el efecto conocido como “Alising”.
MATERIAL Y EQUIPO:
Computadora con MATLAB
FUNDAMENTOS TEORÍCOS
Si la frecuencia más alta contenida en una señal analógica xa(t) es Fmax y la señal
se muestrea a una tasa Fs >2 Fmax, entonces xa(t) se puede recuperar totalmente
a partir de sus muestras mediante la siguiente función:
 n
xa (t ) = ∑ xa 
 Fs
donde
g (t ) =
 
n
 g  t −
  Fs

 ,

sen(πFst )
(πFst ) .
Si el criterio no es satisfecho, existirán frecuencias cuyo muestreo coincide con otras
(el llamado aliasing).
DESARROLLO:
1. Simular el muestreo de la señal y(t) a una frecuencia de muestreo de 10 Hz y
graficarla.
y (t ) = sen(4πt ) + sen(8πt )
2. Recuperar la señal analógica y(t) utilizando las muestras obtenidas en el
punto 1 y aplicando la sumatoria de funciones de interpolación.
Elaboró: Dr. Marcial Castro Muñoz
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 n
y a (t ) = ∑ y
 Fs
 
n
 g  t −
  Fs



3. Simular el muestreo de una onda sinusoidal pura de 300 Hz. Utilizar una
frecuencia de muestreo de 800 Hz.
4. Simular el muestreo de las ondas sinusoidales puras cuyas frecuencias se
indican en los incisos a, b, c, d y e a una frecuencia de muestreo de 800 Hz.
a. 125 Hz
b. 215 Hz
c. 305 Hz
d. 395 Hz
e. 500 Hz
Observar los cambios en las formas de onda de la señal muestreada y la
señal recuperada. Graficar en la misma ventana la señal original, la señal
muestreada y la señal recuperada.
5. Repetir el punto anterior pero ahora con un periodo de muestreo de 1 ms y
con las frecuencias de
a. 7525 Hz
b. 7650 Hz
c. 7775 Hz
d. 7900 Hz
Observar los cambios en las formas de onda de la señal muestreada y la
señal recuperada. Graficar en la misma ventana la señal original, la señal
muestreada y la señal recuperada.
6. Encontrar tres señales diferentes que tengan la misma representación
discreta.
7. Establecer conclusiones
PROGRAMA DE APOYO
%Practica 2. Procesamiento Digital de Senales
%Muestreo e interpolacion
%Desarrollado por: Marcial Castro Muñoz
%Limpiar variables, funciones, ventana de comandos y figuras
clear; clc; clf
%Constantes
f1=4.7 %Armónico de mayor frecuencia de la señal
f2=2
%Armónico de menor frecuencia de la señal
M=3
m=-3
%Limite superior de la amplitud para la grafica
%Limite inferior de la amplitud para la grafica
a=-1
b=1
%Tiempo de inicio de la señal
%Tiempo final de la señal
fs=10
%frecuencia de muestreo
Elaboró: Dr. Marcial Castro Muñoz
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ab=b-a %Intervalo de la señal
%Crear el vector de tiempo cuasicontinuo
fc=100*f1 %Frecuencia usada para visualizar la señal como analogica
tc=1/fc
t=[a:tc:b];
%Crea el vector de tiempo de señal muestreada
ts=1/fs
td=[a:ts:b];
%Señal a interpolar
yc=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t);
%Señal muestreada
yd=sin(2*pi*f1*td)+sin(2*pi*f2*td);
%Graficar ambas señales
subplot(2,1,1)
stem(td,yd,'o')
title('Señal muestreada')
axis([a,b,m,M])
subplot(2,1,2) %Dos cuadros de figura en vertical
plot(t,yc)
title('Señal original')
axis([a,b,m,M])
hold on
%Rutina para recuperar la señal original a partir de la muestreada
[xm,xn]=meshgrid(t,td);
aux=(pi/ts)*(xm-xn)+eps;
yi=yd*(sin(aux)./(aux));
%Grafica de la señal recuperada
plot(t,yi,'r')
title('Señal recuperada')
axis([a,b,m,M])
hold off
Elaboró: Dr. Marcial Castro Muñoz
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Procesamiento Digital de Señales
Práctica 3
CUANTIZACIÓN
OBJETIVO:
Analizar la relación entre el ruido de cuantización, la frecuencia de muestreo y el
paso de cuantización.
MATERIAL Y EQUIPO:
Computadora con MATLAB
INTRODUCCIÓN:
La cuantización se refiere al proceso
en el que una señal analógica se
aproxima a una señal que puede
tomar solamente un número finito de
valores. La señal digital resultado
de la cuantificación es diferente a la
señal analógica que la originó
debido a lo que se conoce como
error de cuantificación. El error de
cuantificación se interpreta como un
ruido añadido a la señal tras el
proceso de decodificación digital. La
cuantificación no tendrá ninguna
consecuencia si el ruido añadido
con la cuantificación se mantiene
por debajo del ruido presente en la
señal analógica original.
Elaboró: Dr. Marcial Castro Muñoz
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DESARROLLO:
1. Hacer un programa en MATLAB que simule la conversión analógica a digital
y que recupere la señal original a partir de la señal digital con la sumatoria de
funciones de interpolación. (Analizar el programa que aparece al final de este
documento).
2. Trabajar con la señal definida por:
sen(3t ) 
8 
y (t ) = 2  sen(t ) −
9 
π 
3. Muestrear la señal a una frecuencia 3 veces mayor a la del armónico de
mayor frecuencia y luego digitalizar con una resolución de 1 unidad. Graficar
el muestreo de la señal y su digitalización.
4. Reconstruir la señal analógica a partir de sus muestras digitalizadas y
compararla con la señal original. Usar una frecuencia de muestreo 3 veces
mayor a la del armónico mas alto.
5. Hacer una grafica de la magnitud del error de cuantización. Hacer una resta
entre la seña muestreada la señal digitalizada.
6. Aumentar la frecuencia de muestreo 20 veces más y observar si se reduce la
magnitud del error. Se debe incrementar la frecuencia de muestreo a 60
veces mayor que el armónico mayor.
7. Regresar ahora a la frecuencia de muestreo anterior (3 veces mayor a la del
armónico de mayor frecuencia) y mejorar la resolución en un factor de 20, es
decir usar una resolución de 0.05 unidades. Observar lo que sucede con la
magnitud del error.
8. Simular un la digitalización de un convertidor A/D de 3 bits con niveles entre
0 y 5 Volt.
9. Anotar conclusiones
Elaboró: Dr. Marcial Castro Muñoz
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Procesamiento Digital de Señales
Práctica 4
OPERACIÓNES CON SEÑALES
OBJETIVO:
Realizar operaciones con señales digitales de audio.
MATERIAL Y EQUIPO:
Computadora con MATLAB
Audifonos
INTRODUCCIÓN:
En muchas ocasiones es necesario considerar señales que son el resultado de una
pequeña transformación de otra señal. Un tipo importante de este tipo de
transformación en el tiempo es el corrimiento en el tiempo donde la señal original es
desplazada en el eje del tiempo, ya sea para atrasarla o adelantarla; para una señal
discreta equivale a un corrimiento en la variable independiente n y se representa
como x[n-no] (“no” es el corrimiento). Otro es la inversión en el tiempo donde la
señal es vista como una reflexión en el en n=0 y se representa como x[-n]. Además
de estas operaciones están las suma, resta y multiplicación entre señales.
DESARROLLO:
1. Guardar los archivos de texto con el sonido digitalizado en la carpeta
“work” de matlab.
Elaboró: Dr. Marcial Castro Muñoz
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2. Abrir uno de los archivos para verificar que se trata de datos numéricos.
Enseguida se muestra el contenido del archivo
3. Cargar los datos del sonido digitalizado (archivo de texto) al ‘workspace’
de matlab. Usar la función load. Guardar en una variable con el mismo
nombre . Se muestra el ejemplo con el archivo datop.
Después de hacer esto debe aparecer la variable en la
“workspace”
ventana
4. Generar el vector ‘np’, ‘nd’, ‘nde’, ‘ns’ correspondiente al tiempo de las
variables. Deben tener el mismo número de elementos que los que tiene
la variable.
La variable datop tiene 14001 elementos. Esto se puede ver en la ventana
“workspace”
Entonces el vector de tiempo debe tener 14001 elementos y se genera con
la siguiente instrucción
Despues de esto debe aparecer una nueva variable llamada “np” en el
“workspace”
Elaboró: Dr. Marcial Castro Muñoz
Página 8
5. Graficar cada una de las señales usando la función stem (usar puntos en la
grafica). Enseguida se muestra el ejemplo para la gráfica de datop vs np.
Con esto se obtiene la siguiente gráfica
6. Reproducir las señales como sonido a una frecuencia de muestreo de
8000 Hz utilizando la función de matlab ‘sound(señal, Fs)’. Fs es la
frecuencia de muestreo, en este caso Fs=8000.
7. Reproducir las mismas señales con una frecuencia de muestreo de 5000 y
observar la diferencia en el sonido. Anotar lo que sucede y dar una
explicación.
8. Reproducir las mismas señales con una frecuencia de muestreo de 13000
y observar la diferencia en el sonido. Anotar lo que sucede y dar una
explicación.
9. Obtener la suma de las cuatro señales y guardarla en una variable con
nombre datosuma.
10. Graficar la señal datosuma y reproducirla como sonido.
11. Realizar las operaciones necesarias para concatenar las cuatro señales en
el mismo orden que en (1) dándoles un espaciamiento de 2000 muestras y
guardarlas en la señal ‘datosconcatenados’. Graficar y reproducir.
12. Invertir la señal ‘datosconcatenados’ y guardalos en ‘invertida’.
13. Graficar y reproducir la señal ‘invertida’
Elaboró: Dr. Marcial Castro Muñoz
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Procesamiento Digital de Señales
Práctica 5
RESPUESTA DEL SISTEMA
OBJETIVO:
Obtener la respuesta de un sistema discreto por medio de la convolución y la
evaluación directa de las ecuaciones de diferencias.
MATERIAL Y EQUIPO:
Computadora con MATLAB
INTRODUCCIÓN:
La convolución discreta es una operación matemática entre dos señales discretas
(el símbolo de la operación es un * asterisco) que tiene gran importancia en
procesamiento digital de señales ya que la respuesta y[n] de un sistema lineal e
invariante en el tiempo se puede obtener a partir de su respuesta al impulso h[n] y la
señal de entrada x[n].
La convolución discreta está definida por la sumatoria
Un sistema discreto lineal e invariante en el tiempo puede ser descrito
matemáticamente por una ecuación de diferencias de coeficientes constantes de la
forma,
N
M
∑ a y[n − k + 1] = ∑ b x[n − m + 1]
k =1
k
Elaboró: Dr. Marcial Castro Muñoz
m =1
m
Página 10
Esta ecuación describe la relación entre la señal de salida y la señal de entrada. Se
puede ver que están involucrados los valores de instantes actuales así como de
instantes anteriores tanto para la señal de entrada como para la de salida. De esta
expresión se puede despejar el valor actual de la señal de salida y[n] con lo que se
obtiene,
M
N
bm
a
y[n] = ∑ x[n − m + 1] − ∑ k y[n − k + 1]
m =1 a1
k = 2 a1
Donde se puede ver que la ecuación de diferencias da una forma recursiva para
obtener la salida actual del sistema utilizando los valores de la señal de entrada
previos así como el actual y también los valores previos de la misma señal de
salida.
MATLAB cuenta con una función que evalúa este tipo de ecuación de diferencias
dada una cierta señal de entrada. La función se denomina FILTER.
FILTER filtro digital. Y = FILTER(B,A,X) filtra los datos del vector X con el filtro
descrito por los vectores A y B. La función FILTER evalúa la siguiente ecuación de
diferencias.
a(1)*y(n) + a(2)*y(n-1) + a(3)*y(n-2) + ... = b(1)*x(n) + b(2)*x(n-1) + b(3)*x(n-2) + ...
Donde B=[b(1) b(2) …], A=[a(1) a(2) …], X= señal de entrada
DESARROLLO:
1. Hacer una función que calcule la convolución de dos funciones.
2. Obtener la convolución de x[n] y y[n] definidas a continuación.
a)
x[n] = µ[n] − µ[n − 5]
-10<n<10
y[n] = δ [n]
-5<n<5
b)
c)
x[n] = µ[n] − µ[n − 5]
-10<n<10
y[n] = δ [n − 5]
-5<n<10
x[n] = µ[n] − µ[n − 5]
y[n] = δ [n] + δ [n − 10]
-10<n<10
-5<n<15
3. La respuesta al impulso de un sistema discreto lineal e invariante en el
tiempo es h[n]. ¿Qué respuesta tendrá este sistema si se le aplica la señal
x[n] definida a continuación? (Utilizar la convolución).
Solución
Elaboró: Dr. Marcial Castro Muñoz
Página 11
4. Hacer una función que genere una secuencia exponencial del tipo an.
(ejemplo 0.7n).
5. Obtener la respuesta de un sistema discreto lineal e invariante cuando la
entrada es x[n]. La respuesta al impulso del sistema es h[n]. Graficar la señal
de entrada, la señal de salida y la respuesta al impulso del sistema.
8. Un sistema esta descrito por la ecuación de diferencias
donde x[n] es la entrada y y[n] es la salida. Calcular y graficar la respuesta al
impulso y al escalón unitario.
9. Se tiene un diferenciador digital descrito por:
Obtener la respuesta de este sistema para las siguientes entradas
Pulso rectangular
Pulso triangular
pulso sinusoidal
CONCLUSIONES:
Elaboró: Dr. Marcial Castro Muñoz
Página 12
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Práctica 6
DESARROLLO EN FRACCIONES PARCIALES Y
GRAFICAS DE POLOS Y CEROS
OBJETIVO:
Obtener el desarrollo de fracciones parciales y las graficas de polos y ceros con
ayuda de MATLAB.
MATERIAL Y EQUIPO:
Computadora con MATLAB
INTRODUCCIÓN:
Una operación que debe hacerse con frecuencia en el cálculo de la respuesta del
sistema es el desarrollo en fracciones parciales, para que permita el uso de tablas
de transformadas. Para esta operación se cuenta con la función de MATLAB
“residuez”. Las gráficas de polos ceros de la función de transferencia son muy
importantes ya que nos dan información sobre la dinámica del sistema. MATLAB
cuenta con la función “zplane” que permite realizar este tipo de gráficas de forma
simple introduciendo los coeficientes de la función de transferencia
DESARROLLO:
Hacer el desarrollo en fracciones parciales y las gráficas de polos y ceros de las
siguientes funciones.
z2
H (z ) = 2
1.
z − 2z +1
2.
3.
4.
Elaboró: Dr. Marcial Castro Muñoz
Página 13
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Práctica 7
RESPUESTA EN FRECUENCIA
OBJETIVO:
Aplicar las funciones de MATLAB para obtener la respuesta en frecuencia de
sistemas discretos.
MATERIAL Y EQUIPO:
Computadora con MATLAB
INTRODUCCIÓN:
Una de las características de un sistema lineal e invariante en el tiempo es que la
respuesta en estado estacionario del sistema a una entrada sinusoidal es otra señal
de tipo sinusoidal; la diferencia entre estas es solamente de magnitud y fase.
Si conociéramos la forma en que afecta el sistema a una entrada sinusoidal de
cualquier frecuencia podríamos determinar su respuesta a cualquier señal de
entrada ya que todas las señales se pueden considerar como una combinación
lineal de señales sinusoidales. Por eso resulta conveniente caracterizar a los
sistemas con su respuesta en frecuencia, es decir con la información sobre el
cambio que produce en la magnitud y en la fase de las señales sinusoidales de
entrada antes de llevarlas a la salida.
DESARROLLO:
Obtener la respuesta en frecuencia y la respuesta al impulso de los siguientes
sistemas. Utilizar preferentemente la función FVTOOL
a)
b)
Elaboró: Dr. Marcial Castro Muñoz
Página 14
c)
CONCLUSIONES:
Elaboró: Dr. Marcial Castro Muñoz
Página 15
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Práctica 8
ANALISIS ESPECTRAL
OBJETIVO:
Utilizar la transformada rápida de Fourier para obtener la descomposición de una
señal discreta en sus armónicos.
MATERIAL Y EQUIPO:
Computadora con MATLAB
INTRODUCCIÓN:
El análisis espectral se refiere al proceso de descomposición de una señal en sus
componentes de frecuencia. Con este análisis se obtiene de cada componente de
frecuencia una magnitud y una fase que representan lo que conocemos como
transformada de Fourier. Para el caso de señales discretas se tiene la
correspondiente transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT), la cual es una
representación de la misma señal pero en el domino de la frecuencia discreta. Con
la DTFT se obtiene una función continua de la frecuencia discreta  que s e pue de
obtener directamente de la expresión matemática que la define,
(1)
Si la señal a analizar fuera de duración infinita seria imposible evaluar
numéricamente la expresión anterior debido a las limitaciones de memoria en los
equipos de cómputo. Sin embargo si la señal es de duración finita entonces la
ecuación
se
puede
calcular
para
cualquier
valor
de
frecuencia.
Desafortunadamente la cantidad de operaciones y los requerimientos de memoria
aumentan de forma exponencial con el número de muestras.
Para sobrepasar este inconveniente se definió una nueva transformada denominada
transformada discreta de Fourier DFT que equivale al desarrollo en series de Fourier
Elaboró: Dr. Marcial Castro Muñoz
Página 16
para la señal a analizar. Para esto se supone que la señal representa solo un
periodo de una señal ficticia de la cual se calcula su serie. Además se desarrollo la
trasformada rápida de Fourier FFT que calcula la DFT mediante un la algoritmo que
realiza las operaciones de forma eficiente.
Existe una rutina en Matlab “fft” que calcula la FFT y que puede usarse para analizar
espectralmente una secuencia de duración finita. La función regresa el mismo
número de datos que los que se ingresan. Si se utiliza una secuencia de 10
elementos la fft regresa 10 datos que representan los componentes de frecuencia
de la secuencia original espaciados por 2π/N radianes, donde N representa el
número de muestras de la señal.
El orden en que la función “fft” de matlab entrega los componentes de frecuencia es
diferente a como estamos acostumbrados a graficarlos (frecuencias positivas a la
derecha y negativas a la izquierda), nos da los componentes de frecuencia negativa
a la derecha después del ultimo componente de frecuencia positiva.
Para ordenar los componentes de frecuencia en el orden acostumbrado se utiliza la
función “fftshift”.
Otras funciones comunes en el análisis espectral son “abs” y “angle” la primera para
obtener el valor absoluto de una señal compleja y la segunda para la fase.
DESARROLLO:
1. Graficar el contenido espectral de la señal
x[n] = cos(0.1πn )
usando la transformada rápida de Fourier.
2. Generar una señal cuyas frecuencias seaπ0.9
y graficar su contenido
espectral junto con la secuencia.
3. Generar una señal con tres tonos diferentes sobrepuestos cuyas frecuencias
son 0.1π, 0.3π 0.7π y graficar su contenido espectral junto con la secuencia.
En este caso la expresión matemática para la señal a analizar es una suma
de tres funciones coseno a las frecuencias mencionadas..
4. Analizar el contenido espectral de la señal impulso unitario localizado en
n=100 con 0<n<200. Aquí hay que generar la secuencia definida desde n=0
hasta n=200 con un impulso unitario en n=100 y después aplicar la fft.
5. Analizar el contenido espectral de la señal impulso unitario localizado en n=0
con 0<n<200. Se procede igual que en 4.
6. Analizar el contenido espectral de las siguientes señales
-20<n<40
Pulso rectangular
-100<n<200
Elaboró: Dr. Marcial Castro Muñoz
pulso sinusoidal
Página 17
7. un pulso rectangular con inicio en n=100 y fin en 150 con 0<n<200. Igual pero
se genera un pulso en lugar de un impulso.
CONCLUSIONES:
Elaboró: Dr. Marcial Castro Muñoz
Página 18
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Práctica 9
FILTROS DIGITALES DE
RESPUESTA INFINITA AL IMPULSO IIR
OBJETIVO:
Comparar la respuesta en frecuencia de los filtros de respuesta infinita al impulso.
MATERIAL Y EQUIPO:
Computadora con MATLAB
INTRODUCCIÓN:
Un filtro electrónico es un elemento que discrimina una determinada frecuencia o gama de
frecuencias de una señal que pasa a través de él, pudiendo modificar tanto su amplitud como
su fase. Existen diferentes tipos de filtros, según la respuesta en frecuencia que se desee de
estos, así que se puede requerir de filtros pasa bajas, pasa altas, pasa banda o rechazo de
banda. Cualquiera de las respuestas en frecuencia deseadas se puede obtener con diferentes
tipos de filtros que tiene características especiales en las bandas de paso, de transición o de
rechazo. Los filtros más comunes son los que se muestran en la figura 1. El filtraje se puede
obtener de forma analógica o digital.
Elaboró: Dr. Marcial Castro Muñoz
Página 19
Figura 1. Gráficas de respuesta en frecuencia de los principales tipos de filtros donde se
muestra sus diferencias en las bandas de paso, de rechazo y de transición.
DESARROLLO:
Comparar la respuesta en frecuencia de los diferentes tipos de filtros digitales IIR.
1. Para un filtro pasa bajas de quinto orden, una frecuencia de corte de 0.5
radianes y rizo de 1 dB (donde aplique).
2. Para un filtro pasa banda de orden 10, frecuencias de corte en 0.3 y 0.6
radianes y rizo de 1 dB.
3. Comparar la respuesta en frecuencia del filtro Chebyshev tipo 1 pasa bajas
para una frecuencia de 0.3 rad y rizos de 1 dB, 3 dB y 6 dB.
4. Comparar la respuesta en frecuencia del filtro Chebyshev tipo 2 pasa altas
para una frecuencia de corte de 0.3 rad y rizos de 1 dB, 3 dB y 6 dB.
5. Comparar la respuesta en frecuencia del filtro Elíptico pasa bajas para una
frecuencia de corte de 0.3 rad y rizos de 1 dB, 3 dB y 6 dB en banda de paso
y de rechazo.
Elaboró: Dr. Marcial Castro Muñoz
Página 20
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Práctica 10
FILTROS DIGITALES DE
RESPUESTA FINITA AL IMPULSO FIR
OBJETIVO:
Comparar la respuesta en frecuencia de los diferentes tipos de filtros de respuesta
finita al impulso.
MATERIAL Y EQUIPO:
Computadora con MATLAB
INTRODUCCIÓN:
Los filtros digitales de respuesta finita al impulso (FIR por sus siglas en ingles) son
filtros que obtiene la señal de salida usando solamente valores de la secuencia de
entrada y ningún valor de la señal de salida, por eso su respuesta a un impulso en la
entrada tiene una longitud finita y por lo tanto siempre es estable. Sin embargo
tienen la desventaja de necesitar un orden mayor respecto a los filtros IIR para
cumplir las mismas características de respuesta en frecuencia.
DESARROLLO:
Comparar la respuesta en frecuencia de los filtros digitales que aplican el método de
la ventana, la aproximación por mínimos cuadrados y muestreo en frecuencia.
1. Para un filtro pasa bajas de orden 15, una frecuencia de corte de 0.5
radianes.
2. Para un filtro pasa banda de orden 50, frecuencias de corte en 0.3 y 0.6
radianes.
3. Comparar la respuesta en frecuencia del filtro Chebyshev tipo 1 pasa bajas
para una frecuencia de 0.3 rad y rizos de 1 dB, 3 dB y 6 dB.
4. Comparar la respuesta en frecuencia del filtro Chebyshev tipo 2 pasa altas
para una frecuencia de corte de 0.3 rad y rizos de 1 dB, 3 dB y 6 dB.
5. Comparar la respuesta en frecuencia del filtro Elíptico pasa bajas para una
frecuencia de corte de 0.3 rad y rizos de 1 dB, 3 dB y 6 dB en banda de paso
y de rechazo.
Elaboró: Dr. Marcial Castro Muñoz
Página 21