Cálculo Diferencial - Aprende Matemáticas

Profr. Efraín Soto Apolinar.
Aplicaciones en ciencias naturales, económico-administrativas y
sociales
Ya hemos resuelto algunos problemas aplicados a las ciencias naturales, así que aquí nos enfocaremos más a problemas de economía, administración y ciencias sociales.
Se va a construir una caja rectangular que tenga un volumen de 256 cm3 . Su base debe ser doble
de largo que de ancho. El material de la tapa cuesta $0.10 por centímetro cuadrado y el de los
lados, $0.05 por centímetro cuadrado. Encuentra las dimensiones que hagan el costo mínimo.
• Empezamos con un diagrama para representar la situación:
y
V = 2 x2 y
2x
x
• El área de la base y la tapa juntas es:
Ab = 2 x2 + 2 x2 = 4 x2
• El costo de este material es: 0.4 x2 pesos, porque cada centímetro cuadrado cuesta 0.1 pesos.
• El área de las 4 caras laterales de la caja es:
Ac = 2 xy + 4 xy = 6 xy
• Y tienen un costo de: 0.3 xy pesos.
• El volumen total de la caja es de 256 cm3 , así que:
V = 2 x2 y = 256
⇒
y=
256
128
= 2
2
2x
x
• Así que el costo total del material requerido para construir la caja es:
C = Ab + Ac
= 0.4 x2 + 0.3 xy
= 0.4 x2 + 0.3 x ·
= 0.4 x2 +
128
x2
38.4
x
• Ahora podemos calcular el mínimo:
38.4
dC
= 0.8 x − 2 = 0
dx
x
⇒
x=
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√
3
48 ≈ 3.6342
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Ejemplo 1
Profr. Efraín Soto Apolinar.
• Entonces, las dimensiones de la caja son:
y=
√
3
48, 2
√
3
48 y
128
128
= √ 2 ≈ 9.6913
x2
3
48
• Entoces, la caja con mínimo costo en materiales es:
128
√ 2
3
48
√
3
Ejemplo 2
2
√
3
48
48
Un tanque de forma cilindrica circular recta, sin tapa y con base horizontal ha de contener 400
litros. El materia de la base cuesta el doble por metro cuadrado que el de los lados. Calcule las
dimensiones del tanque más económico. Nota: 1 litro equivale a 1 dm3 .
• Empezamos con el diagrama que ilustra la situación:
V = πr2 h
h
r
• Definimos como c el costo por unidad de superficie al material para las paredes del cilindro
y 2 c al del fondo.
• Utilizaremos r y h medido en decímetros, para simplificar los cálculos.
• Así, el volumen del cilindro estará en decímetros cúbicos, es decir, en litros.
• El área de material utilizado en la base es:
Ab = πr2
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• El material para la base costará: Cb = 2 c πr2 .
• El área de material requerido para las paredes del cilindro es:
A p = 2 πrh
• Y su costo es C p = 2 cπrh.
• Pero el volumen del cilindro es:
V = πr2 h = 400
⇒
h=
400
πr2
• Entonces, el costo del material requerido para la construcción de ese cilindro es:
C = Cb + C p
= 2 c πr2 + 2 cπrh
= 2 c πr2 + 2 cπr ·
C (r )
= 2 c πr2 +
400
πr2
800 c
r
• Ahora podemos calcular el costo mínimo:
r
dC
800 c
= 4 cπr − 2 = 0
dr
r
⇒
r=
3
200
≈ 3.9929
π
• Y la altura del cilindro debe ser:
h=
400
=
πr2
400
√
π
3
200/π
2 ≈ 7.98589
• Verifica que el volumen del cilindro con estas dimensiones es 400 dm3 .
El costo de un inventario x en una cadena de comidas está dado por:
I (x) =
70 000
+ 0.25 · x
x
Ejemplo 3
¿Cuál debe ser su inventario mensual para minimizar el costo?
• Para conocer el mínimo costo de inventario derivamos, igualamos a cero y resolvemos para
x:
√
dI
70 000
= − 2 + 0.25 = 0
⇒
x = 28 000 ≈ 167.33
dx
x
• Se sugiere que tenga un inventario de 167 productos.
Función de costo
La función de costo C = f ( x ) indica el costo total de producción al producir x artículos.
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Definición
1
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Definición
2
Función de ingreso
La función de ingreso I = f ( x ) indica el ingreso total de vender x artículos.
Definición
3
Función de utilidad
La función de utilidad se define como la diferencia entre las funciones de ingreso y de costo:
U (x) = I (x) − C(x)
Para algunos problemas de economía y administración se utiliz muy frecuentemente la palabra
«marginal».
Esta palabra se refiere a: «para el siguiente producto». Por ejemplo, la utilidad marginal se refiere a
la utilidad que obtendrán si venden un producto más; el costo marginal es el costo de producir
un producto más, etc.
En sí, la palabra marginal se refiere a una razón de cambio promedio medida en un punto dado,
que puede aproximarse a través de la derivada evaluada en ese punto.
Definición
4
Ingreso marginal
Es la razón de cambio instantánea del ingreso con respecto a la cantidad de unidades vendidas.
Definición
5
Utilidad marginal
Es la razón de cambio instantánea de la utilidad con respecto a la cantidad de unidades vendidas.
Ejemplo 4
Una compañía fabricante de vestidos ha encontrado que la utilidad de producir x vestidos está
dada por:
1 200
U (x) = √
− 150
x2 + 25
Calcula la utilidad marginal.
• La utilidad marginal es la utilidad que obtedrán al vender un producto más.
• Es decir, si al vender 200 vestidos obtengo en promedio una utilidad de $12 pesos por
vestido, ¿qué utilidad obtendré por vender un vestido más?
• Esto se calcula con la derivada, pues se trata de la razón de cambio unitaria en un punto
dado:
dU
1 200 x
=−
3/2
dx
x2 + 25
La función de ingreso por la venta de x calculadoras científicas en total es:
Ejemplo 5
I ( x ) = 50 + 250 x − 0.25 x2
Calcula el ingreso marginal con x = 100. Compara este resultado con I (101) − I (100).
• Primero calculamos el ingreso marginal:
dI
= 250 − 0.5 x
dx
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Profr. Efraín Soto Apolinar.
• El ingreso marginal de vender la calculadora 101 es:
dI = 250 − 0.5 (100) = 200
dx x=100
Profesor:
La diferencia
radica en que 200
es la razón de
• Por otra parte,
cambio
instantánea,
porque
se calculó con la
derivada, mientras que 119.75
es la razón de
= 50 + 250 (101) − 0.25 (101)2 = 22794.75
I (100) = 50 + 250 (100) − 0.25 (100)2 = 22 550
I (101) − I (100) = 22 794.75 − 22 550 = 199.75
I (101)
• ¿Qué concluyes?
cambio promedio.
Una compañía ha encontrado que las funciones de ingreso I ( x ) y de costo C ( x ) para un ventilador de pedestal doméstico son:
= 250 x − 0.5 x2
C ( x ) = 1 200 + 125 x + 0.05 x2
I (x)
Ejemplo 6
Calcula la cantidad x de ventiladores que deben producir para obtener la máxima utilidad.
• Por definición, la utilidad U ( x ) es igual a la diferencia del ingreso y el costo:
U (x)
= I (x) − C(x)
= 250 x − 0.5 x2 − 1 200 + 129 x + 0.05 x2
= −1 200 + 121 x − 0.55 x2
• Evidentemente, esta función tiene un máximo, pues es una parábola que abre hacia abajo.
• Ahora calculamos el máximo:
dU
= 121 − 1.1 x = 0
dx
⇒
x = 110
• Se recomienda que produzcan 110 ventiladores para obtener la mayor utilidad.
Obviamente, lo mejor sería conocer la utilidad de vender un producto en función de su precio.
Esto se puede lograr algunas veces, y el siguiente ejemplo muestra cómo determinar el precio que
maximiza la utilidad.
La utilidad U que obtiene una compañía al vender evaluaciones por Internet, cada una a p
pesos, está dada por:
U ( p) = −1.25 p2 + 635 p − 120
¿A qué precio deben ofertar las evaluaciones para obtener la mayor utilidad?
• Debemos calcular el máximo de U en función de p.
dU
= 635 − 2.5 p = 0
dp
⇒
p=
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635
= 254
2.5
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Ejemplo 7
Profr. Efraín Soto Apolinar.
• Al vender a $254.00 pesos cada evaluación, la compañía obtendrá la mayor utilidad.
La utilidad U ( x ) de producir x reguladores de voltaje se puede calcular con:
50 000
+5x
x
U (x) =
Ejemplo 8
Calcula:
i. La utilidad marginal
ii. El número de reguladores de voltaje que deben producir para maximizar la utilidad.
• Empezamos calculando la utilidad marginal:
dU
50 000
= − 2 +5
dx
x
• Para calcular el número de reguladores de voltaje que deben producir para maximizar la
utilidad, igualamos a cero el resultado anterior y resolvemos para x:
−
50 000
+5 = 0
x2
• Esto significa que deben producir x =
mayor utilidad posible.
x2 =
⇒
√
50 000
= 10 000
5
10 000 = 100 reguladores de voltaje para obtener la
Un fabricante de altavoces para computadora ha encontrado que el precio p y el número x de
altavoces del modelo SR − 71 que logra vender a ese precio están relacionados por la expresión:
p = 500 −
x
2
Por otra parte, saben que el costo C de producir x de esos altavoces viene dado por:
Ejemplo 9
C ( x ) = 12 000 + 125 x − 0.001 x2
i. Determina x como una función de p
ii. Expresa C ( x ) como una función de p
iii. Calcula el valor de p que minimiza el costo de producción.
• Para escribir x en términos de p, debemos despejar:
p
x
2
x
= 500 −
x
2
= 500 − p
= 1 000 − 2 p
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Profr. Efraín Soto Apolinar.
• Ahora vamos a sustituir este resultado en la expresión para C ( x ):
C(x)
= 12 000 + 125 x + 0.001 x2
= 12 000 + 12 (1 000 − 2 p) + 0.001(1 000 − 2 p)2
= 24 000 − 24 p + 0.001 (106 − 4 000 p + 4 p2 )
= 24 000 − 24 p + 1 000 − 4 p + 0.004 p2
= 25 000 − 28 p + 0.004 p2
• Para minimizar el costo, derivamos C ( p) respecto de p, igualamos a cero y resolvemos:
dC
= −28 + 0.008 p = 0
dp
⇒
p = 3 500
• Esto significa que debe venderlos a $3 500.00 pesos para obtener la mayor utilidad posible.
• Observando la función de demanda que relaciona a x y a p, ¿crees que esto es posible?
La utilidad U de producir x artículos diariamente en una planta de fabricación de neumáticos
en Apodaca, N.L., es:
U ( x ) = 500 − 250 x + 32 x2 − 0.35 x3
¿Qué producción diaria les trae la mayor utilidad?
• Para calcular el máximo de la función de utilidad usaremos el criterio de la segunda derivada.
• Empezamos calculando la derivada:
dU
= −250 + 64 x − 1.05 x2
dx
• Para conocer los puntos críticos igualamos a cero y resolvemos la ecuación cuadrática:
−250 + 64 x − 1.05 x2 = 0
p
−64 ± 4096 − 4 (1.05)(250)
x =
−2.1
√
−64 ± 4096 − 1050
=
−2.1
√
−64 ± 3046
=
−2.1
−64 ± 55.1906
≈
−2.1
• Nosotros solamente consideramos el valor positivo:
x≈
−64 − 55.1906
= 56.7574
−2.1
• Entonces, si la producción diaria se fija en 57 obtendrán una utilidad muy cercana a la
máxima posible de acuerdo al modelo.
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Ejemplo 10
Profr. Efraín Soto Apolinar.
Créditos
Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.
Albert
Einstein
Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más
que el autor.
Autor: Efraín Soto Apolinar.
Edición: Efraín Soto Apolinar.
Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar.
Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar.
Productor general: Efraín Soto Apolinar.
Año de edición: 2010
Año de publicación: Pendiente.
Última revisión: 01 de agosto de 2010.
Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010.
Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean
divulgados entre otros profesores y sus alumnos.
Este material es de distribución gratuita.
Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico:
[email protected]
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