Solución Examen Jun 2012

A. Considere un ala larga con forma en planta elíptica, de envergadura b y alargamiento Λ>>1,
cuyos perfiles son placas planas que forman un ángulo respecto de la dirección de vuelo
α ( y ) = α 0 + α 1 ( 2y b ) .
En estas condiciones, el primer coeficiente de la distribución adimensional de circulación vale:
1.- A1 = 4α 0 / ( Λ + 4 )
2.- A1 = 2α 0 / ( Λ + 2 )
3.- A1 = 2α 0 / ( Λ + 4 )
4.- Ninguno de los anteriores valores es correcto.
El segundo coeficiente de la distribución adimensional de circulación vale:
5.- A2 = 4α 0 / ( Λ + 4 )
6.- A2 = 2α 1 / ( Λ + 4 )
7.- A2 = 4α 1 / ( Λ + 2 )
8.- Ninguno de los anteriores valores es correcto.
El coeficiente de momentos de balance vale:
9.- cM x = πΛα 1 / ( 4Λ + 16 )
10.- cM x = πΛα 1 / ( 4Λ + 8 )
11.- cM x = πΛα 0 / ( 4Λ + 16 )
12.- Ninguno de los anteriores valores es correcto.
El coeficiente de resistencia inducida vale:
⎡ α 02
2α 12 ⎤
c
=
πΛ
+
13.- Di
⎢
2
2 ⎥
⎢⎣ ( 2 + Λ ) ( 4 + Λ ) ⎥⎦
⎡ 4α 02
α 12 ⎤
14.- cDi = πΛ ⎢
+
2
2 ⎥
⎢⎣ ( 2 + Λ ) ( 4 + Λ ) ⎥⎦
⎡ 4α 02
2α 12 ⎤
15.- cDi = πΛ ⎢
+
2
2 ⎥
⎢⎣ ( 2 + Λ ) ( 4 + Λ ) ⎥⎦
16.- Ninguno de los anteriores valores es correcto.
Como 2y / b = cosθ , α (θ ) = α 0 + α 1 cosθ . La ecuación de Prandtl con ∂cl ∂α = 2π es
∞
⎡
⎤
nAn sin nθ ⎥
∑
∞
⎢
1 4
∑ An sin nθ = 2 πΛ sinθ 2π ⎢⎢α 0 + α1 cosθ − n=1 2sinθ ⎥⎥
n=1
⎢⎣
⎥⎦
∞
⎛
∑ A ⎜⎝ 1+
n
n=1
2n ⎞
4
4⎡
1
⎤
⎟⎠ sin nθ = [α 0 sin θ + α 1 cosθ sin θ ] = ⎢α 0 sin θ + α 1 sin 2θ ⎥
Λ
Λ
Λ⎣
2
⎦
y por tanto 2⎞ 4
⎛
A1 ⎜ 1+ ⎟ = α 0 , A1 = 4α 0 ( Λ + 2 )
⎝ Λ⎠ Λ
4⎞ 2
⎛
A2 ⎜ 1+ ⎟ = α 1 , A2 = 2α 1 ( Λ + 4 )
⎝ Λ⎠ Λ
πΛ
cM x =
A2 = πΛα 1 ( 4Λ + 16 )
8
⎡ 4α 02
πΛ ∞
2α 12 ⎤
2
cDi =
nA
=
πΛ
+
⎢
∑ n
2
2 ⎥
4 n=1
⎢⎣ ( 2 + Λ ) ( 4 + Λ ) ⎥⎦
B. Considere la configuración que produce un manantial de gasto Q situado en el punto τ 0 = −3ai/2
en presencia de una placa plana que se extiende entre ξ=−2a y ξ=2a como se indica en la figura.
La velocidad en el punto τ 1 = −15ai/4 vale:
17.- u = 0 , w = −15Q / ( 56πa )
18.- u = 0 , w = −30Q / (119πa )
19.- u = 0 , w = 15Q / ( 56πa )
20.- Ninguno de los anteriores valores es correcto.
Aplicando una transformación conforme adecuada, el problema se transforma en:
21.- Un círculo de radio a con un manantial de gasto Q situado en −2ai
22.- Un círculo de radio a con un manantial de gasto Q situado en −4ai
23.- Un círculo de radio 2a con un manantial de gasto Q situado en −2ai
24.- Un círculo de radio a con un manantial de gasto Q situado en −2a
La configuración transformada equivale a:
25.- Un manantial situado en -4ai, un manantial en –ai/4 y un sumidero en el origen
26.- Un manantial situado en -4a, un manantial en –a/4 y un sumidero en el origen
27.- Un manantial situado en -2ai, un manantial en –ai/2 y un sumidero en el origen
28.- Un manantial situado en -2ai, un sumidero en –ai/4 y un manantial en el origen
a2
La transformación de Youkowskii τ = t +
transforma la placa plana en el circulo de radio a del plano t.
t
La inversa de la transformación es
t 2 − τ t + a2 = 0
−τ + τ 2 − 4a 2
2
El manantial está por tanto en τ = −3ai / 2, t = −2ai y la velocidad hay que calcularla en τ = −15ai / 4, t = −4ai La configuración es por tanto un círculo de radio a con un manantial de gasto Q situado en −2ai.
t=
El potencial, sin considerar el circulo sería
f (t ) =
Q
log ( t + 2ai)
2π
y, aplicando el teorema del círculo
⎛ a2
⎞ Q
Q
Q
Q
⎛ ai ⎞ Q
f (t ) =
log ( t + 2ai) +
log ⎜ − 2ai⎟ =
log ( t + 2ai) +
log ⎜ t + ⎟ −
log ( t )
⎝
2π
2π
2π
2 ⎠ 2π
⎝ t
⎠ 2π
o sea, un manantial situado en –2ai, un manantial en –ai/2 y un sumidero en el origen todos de gasto Q
La velocidad en t=−4ai vale
Q ⎛ 2 1 1⎞
Q 15
f ( −4ai) = −
⎜⎝ + − ⎟⎠ = −
2πa 7 2 4
πa 56
la derivada de la transformación vale:
dτ
a 2 17
(t = −4ai) = 1− 2 =
dt
t
16
y, por tanto,
15 ⎞
dt
Q 15 16
Q 30
⎛
w ⎜ τ = − ai⎟ = f ( −4ai) ( −4ai) = −
=−
⎝
4 ⎠
dτ
πa 56 17
πa 119